Clapeyron + Cross

(1)

A. Struktur Statis Tertentu dan Struktur Statis Tak Tentu

Struktur statis tertentu : Suatu struktur yang mempunyai kondisi di mana jumlah reaksi perletakannya sama dengan jumlah syarat kesetimbangan statika. Struktur statis tak tentu : suatu struktur yang mempunyai kondisi di mana jumlah reaksi

perletakannya melebihi jumlah syarat kesetimbangan statika. Jenis perletakan dan reaksi yang timbul :

Mampu menahan gaya vetikal dan horisontal tetapi mengalami rotasi (putaran sudut)

Mampu menahan gaya vetikal dan mengalami rotasi

Mampu menahan gaya vetikal, horisontal dan momen serta tidak mengalami rotasi tumpuan

Jumlah syarat kesetimbangan statika :

1. Struktur 2 dimensi : 3 syarat kesetimbangan ---->  Fx = 0 ;  Fy = 0 ;  M = 0

2. Struktur 3 dimensi : 6 syarat kesetimbangan ---->  Fx = 0 ;  Fy = 0 ;  Fz = 0  Mx = 0 ;  My = 0 ;  Mz = 0

Pada suatu struktur balok atau portal, apabila jumlah joint (titik kumpul atau titik simpul) termasuk perletakan dinyatakan sebagai j, jumlah batang yang dibatasi 2 joint dinyatakan sebagai m, dan jumlah reaksi perletakan dinyatakan sebagai r maka dalam bentuk formula,

3 Jenis peletakan Perletakan Sendi Perletakan Rol Perletakan Jepit 2

STRUKTUR STATIS TAK TENTU

Simbol/notasi Reaksi dan rotasi yang timbul No. 1 y x z x y

(2)

Struktur statis tertentu : 3j = 3m + r

Struktur statis tak tentu : 3j < 3m + r

B. Contoh Struktur StatisTertentu dan Struktur Statis Tak Tentu 1.

Reaksi perletakan, r = 3 3j = 3m + r

Jumlah batang, m = 1 (3 * 2) = (3 * 1) + 3

Jumlah joint, j = 2 6 = 6 ---> Struktur statis tertentu 2.

Jumlah batang, m = 0 (3 * 1) = (3 * 0) + 3

Jumlah batang, m = 1 (3 * 2) = (3 * 1) + 3

Jumlah batang, m = 1 (3 * 2) = (3 * 1) + 4

Jumlah joint, j = 2 6 < 7 ---> Struktur statis tak tentu

A _B RAy RAx RBy A RAy RAx MA A _B RAy RAx RBy A B RAy RAx RBy RBx y x y x y x y x

(3)

5.

Jumlah batang, m = 2 (3 * 3) = (3 * 2) + 4

Jumlah joint, j = 3 9 < ---> Struktur statis tak tentu 6.

Jumlah batang, m = 2 (3 * 3) = (3 * 2) + 8

Jumlah joint, j = 3 9 < ---> Struktur statis tak tentu 7.

Reaksi perletakan, r = 3j = 3m + r

Jumlah batang, m = 3 (3 * 4) = (3 * 3) + 9

Jumlah joint, j = 4 12 < ---> Struktur statis tak tentu 10 18 9 13 14 y x B C RBx RBy RCx RCy A RAy RAx MA MC A RAy RAx B RBy C RCy y x z x y B RBz RBy RBx RCz RCx RCy Tumpuan sendi A RAz RAx RAy C

(4)

C. Metode Analisis Pendekatan

dengan nol.

1. Struktur balok yang kedua ujungnya terjepit dengan beban merata

1) Balok statis tak tentu

kedua ujung terjepit dengan beban merata

2) Sketsa deformasi balok

Terdapat dua titik belok yaitu titik M dan N Pada titik M dan N momen lenturnya sama dengan nol

3) Struktur diuraikan menjadi

segmen-segmen statis stertentu yg terpisahkan pada titik belok

Reaksi tumpuan dan momen untuk masing-masing segmen dapat dihitung. Segmen I : RM = RN = (w x 0,58L)/2 = 0,29 wL ML = (wL2)/8 = (w x (0,58L)2)/8 = wL2/24

Metode analisis pendekatan didasarkan pada deformasi balok (struktur) dengan mencermati lokasi titik-titik belok, di mana pada titik-titik belok deformasi balok (struktur) momen lenturnya sama

A B M_A MB RA RB L A B M N 0,21L 0,58L 0,21L w A B M_A MB R_A R_B M N RM RN 0,21L 0,58L 0,21L w w w M_L (I) (II) (II) (+)

(5)

Segmen II :

RM atau RN menjadi beban pada segmen II

RA = RB = (w x 0,21L)+RM = 0,21 wL + 0,29 wL = 0,5 wL MT = (RM x 0,21L) -(w x 0,21L) x (0,21L/2) = (0,29 wL x 0,21 L) -0,022 wL2 = - wL2/12

Diagram momen untuk seluruh struktur adalah gabungan dari diagram momen masing-masing segmen.

Diagram gaya lintang

2. Struktur balok yang kedua ujungnya terjepit dengan beban terpusat

kedua ujung terjepit dengan beban terpusat

Terdapat dua titik belok yaitu titik M dan N Pada titik M dan N momen lenturnya sama dengan nol M_L=wL2_/24 (-) MT=- wL2/12 (-) (+) A B M_A MB RA RB L L/2 P A B M N 0,25L 0,5L 0,25L M_T (-) (+) (-) D=1/2wL D=1/2wL

(6)

3) Struktur diuraikan menjadi segmen-segmen statis tertentu yang terpisahkan pada titik belok

Reaksi tumpuan dan momen untuk masing-masing segmen dapat dihitung. Segmen I : RM = RN = 1/2 P ML = 1/4 PL = 1/4 x P x 0,5L = 1/8 PL Segmen II : RM atau RN menjadi beban pada segmen II

RA = RB = RM = 1/2 P MT = - (RM x 0,25L) - (1/2 P x 0,25L) = -1/8 PL

A B MA MB R_A RB M N 0,25L 0,5L 0,25L (II) (II) RM RN P (I) ML MT M_L= 1/8PL M_T=-1/8PL (+) (-) (-) (+) (-) D=-1/2P D=1/2P

(7)

3. Struktur balok terjepit dan tumpuan sendi dengan beban merata

ujung terjepit dan tumpuan sendi dengan beban merata

Terdapat satu titik belok yaitu titik M

Pada titik M momen lenturnya adalah nol

3) Struktur diuraikan menjadi

segmen-segmen statis stertentu yg terpisahkan pada titik belok

Reaksi tumpuan dan momen untuk masing-masing segmen dapat dihitung. Segmen I : RM = RA = (w x 0,75L)/2 = 0,375 wL ML = (wL2)/8 = (w x (0,75L)2_)/8 = 9/128 wL2 Segmen II :

RM menjadi beban pada segmen II RB = (w x 0,25L)+RM = 0,25 wL + 0,375 wL = 0,625 wL A B M_B RA RB L w A M 0,25L 0,75L A B M_B R_A RB M RM 0,25L 0,75L w w (I) (II) ML (+) M_T (-)

(8)

MT = (RM x 0,25L)

-(w x 0,25L) x (0,25L/2) = (0,375 wL x 0,25 L)

-0,03125 wL2 = - wL2_/8

4. Struktur balok terjepit dan tumpuan sendi dengan beban terpusat

ujung terjepit dan tumpuan sendi dengan beban terpusat

Terdapat satu titik belok yaitu titik M

Pada titik M momen lenturnya sama dengan nol M_T=-wL2_/8 (-) M_L=9/128wL2 (+) A B M_B R_A RB L A B M 0,2725L 0,7275L P L/2 P (+) (-) D=-0,625wL D=0,375wL

(9)

3) Struktur diuraikan menjadi segmen-segmen statis stertentu yg terpisahkan pada titik belok

Reaksi tumpuan dan momen untuk masing-masing segmen dapat dihitung. Segmen I : RM = (0,5/0,7275) x P = 0,687 P RA = (0,2275/0,7275) x P = 0,313 P ML = RA x 0,5L = 0,313P x 0,5L = 5/32 PL atau ML = RM x 0,2275L = 0,687P x 0,2275L = 5/32 PL Segmen II :

RM menjadi beban pada segmen II RB = RM = 0,687 P MT = (RM x 0,2725L) = (0,687 P x 0,2725 L) -= -3/16 PL

Diagram momen untuk seluruh struktur adalah gabungan dari diagram momen masing-masing segmen. A R_A RM (I) B MB RB M (II) P 0,2725L 0,7275L 0,5L 0,2275L ML (+) MT (-) M_L=5/32 PL (+) MT=-3/16 PL (-)

(10)

D. Metode Clapeyron

1. Pengertian metode Clapeyron

persyaratan yaitu : 1) Keseimbangan

kaku sama dengan nol. 2) Kestabilan

sama besarnya dan arahnya Perhatikan konstruksi di bawah ini !

Batang T1, T2, T3 bertemu di titik simpul T dengan sambungan kaku maka, MT1 + MT2 + MT3 = 0 dan qT1 = qT2 = qT3

diasumsikan sebagai sambungan kaku, dimana dalam sambungan kaku harus dipenuhi dua

Jumlah momen batang-batang yang bertemu pada sebuah titik simpul yang disambung secara

Rotasi batang-batang yang bertemu pada sebuah titik simpul yang disambung secara kaku Metoda Clapeyron atau yang dikenal juga dengan Metode Persamaan Tiga Momen adalah salah cara menyelesaikan suatu struktur statis tak tentu di mana meliputi perhitungan semua gaya-gaya luar (reaksi perletakan) dan gaya-gaya dalam (gaya normal, gaya lintang, momen) pada struktur tersebut. Pada suatu struktur balok dan portal, sambungan antara batang-batang pada struktur tersebut

D=-0,687P D=0,313P 1 2 3 T MT1 M_T2 M_T3 P

q

T3

q

T2

q

T1 (+) (-)

(11)

21 = 3 EI PL2 Pb (L2_{- b}2₎ 6 EI L 24 EI 16 EI M1 L Pa (L2 - a2) 6 EI L wL3 384 EI 7 wL3 9 wL3 384 EI M1 L 6 EI 1 2 q12 q21 P EI L/2 L/2 1 2 q₁₂ q₂₁ P EI a b L 1 2 q12 q21 EI L w 1 2 q12 q21 EI w L/2 L/2 M₁ 1 2 q12 q21 EI L

(12)

b) Momen di ujung balok 2

q

12 =

q

₂₁ =

3) Akibat perpindahan (translasi) relatif ujung balok terhadap ujung balok yang lain

q

₁₂ =

q

21 =

bergoyang.

sebagai berikut : 1)

2)

3) Batang dibatasi oleh dua titik simpul, sehingga pergerakan titik simpul searah batang sama. Dari konsep tersebut dapat dirumuskan : n = 2 j – (m + 2f + 2 h + r)

dimana,

n = jumlah derajat kebebasan dalam pergoyangan. j = jumlah titik simpul termasuk perletakan

m = jumlah batang yang dibatasi oleh dua joint. f = jumlah perletakan jepit.

h = jumlah perletakan sendi. r = jumlah perletakan rol

Apabila n  0, struktur tidak dapat bergoyang.

dari dua ketentuan syarat sambungan kaku seperti yang disebutkan diatas yaitu :

1) Jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. 2) Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik sama, besar dan arahnya.

Dan kalau ada variabel D perlu persamaan keseimbangan struktur.

(bilangan yang tidak diketahui) dan pergoyangan (defleksi D ) pada struktur-struktur yang dapat

Untuk menentukan apakah sebuah struktur dapat bergoyang atau tidak, dapat dilihat dari teori Suatu titik simpul mempunyai dua kemungkinan arah pergerakan, yaitu vertikal dan horizontal. Perletakan jepit dan perletakan sendi tidak dapat bergerak vertikal maupun horizontal, sedangkan perletakan rol dapat bergerak hanya pada satu arah yaitu searah bidang perletakan.

Untuk menghitung variabel yang ada, disusun persamaan-persamaan sejumlah variabel yang ada Metoda Clapeyron (Persamaan Tiga Momen) memakai momen-momen batang sebagai variabel

3 EI D L M2 L 6 EI M2 L M2 1 2 q₁₂ q₂₁ EI L 1 q12 2 q₂₁ L D

(13)

2. Langkah-langkah penyelesaian metode Clapeyron

Untuk menyelesaikan perhitungan struktur statis tidak tertentu dengan metode Clapeyron (metode Persamaan Tiga momen) urutan langkah-langkah yang harus dikerjakan adalah sebagai berikut : 1) Tentukan apakah struktur statis tidak tertentu tersebut mempunyai pergoyangan, dengan

rumus :

n = 2 j – (m + 2f + 2 h + r)

Kalau n  0, berarti stuktur tersebut tidak bergoyang.

a)

Balok diatas tiga tumpuan, A jepit, B dan C rol, dengan beban seperti tergambar, maka :

j = 3 ; m = 2 ; f = 1 ; h = 0 ; r = 2

n = 2 j – (m + 2f + 2 h + r)

= (2 x 3) - ((2 + (2 x 1) + (2 x 0) + 2)) = 0 ---> Tidak ada pergoyangan b)

Suatu portal dengan perletakan A dan B sendi, dengan ukuran dan beban seperti tergambar, maka :

j = 4 ; m = 3 ; f = 0 ; h = 2 ; r = 0 n = 2 j – (m + 2f + 2 h + r) = (2 x 4) - ((3 + (2 x 0) + (2 x 2) + 0)) = 1 ---> Ada pergoyangan w=5 kN/m A B _{6 m} C D 4 m 3 m P=10 kN EI EI EI 4 m 1,5 m A B P1=4 kN P2=6 kN w=5 kN/m C D E 4 m EI EI EI EI

(14)

2)

ketentuan yang harus diperhatikan yaitu :

a) Batang tidak berubah panjang, suatu batang ( ij ) kalau joint i bergerak ke kanan sebesar D , maka joint j juga akan berpindah ke kanan sebesar D.

b)

digambarkan dari arah asli sumbu batang ke arah sumbu batang setelah bergoyang.

3)

sama, tetapi arahnya berlawanan.

batang yang lain besar maupun arahnya dimisalkan dengan mengingat ketentuan bahwa jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Jadi kalau pada satu titik simpul bertemu dua batang , maka besarnya momen-momen batang tadi Kalau ada pergoyangan, gambarkan bentuk pergoyangan dan tentukan arah rotasi batang – batang akibat pergoyangan tersebut. Dalam menggambarkan bentuk pergoyangan ada dua

Batang dapat berotasi akibat perpindahan relatif ujung-ujung batang. Perpindahan relatif antara ujung-ujung batang dapat digambarkan tegak lurus sumbu batang dan arah rotasi

Gambarkan permisalan arah momen-momen batang. Untuk momen kantilever, dapat dihitung besarnya dan ditentukan secara pasti arah putarannya, sedangkan untuk momen- momen

w=5 kN/m P=10 kN A B C D MCD MCB MBC MBA M_AB P1=4 kN

(15)

4) Gambar pemisalan bentuk garis elastis struktur. bahwa :

a)

harus digambarkan dengan arah rotasi yang sama yaitu searah jarum jam. b)

rotasi),

searah jarum jam, maka batang-batang yang lain yang bertemu pada titik simpul tersebut Ujung batang yang terjepit tetap mengalami rotasi (pada saat pemisalan garis elastis batang yang ujungnya terjepit diasumsikan sebagai tumpuan sendi, sehingga mengalami Untuk menggambarkan permisalan bentuk garis elastis struktur, harus mengingat ketentuan Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul adalah sama besarnya maupun arahnya. Jadi kalau salah satu batang yang bertemu pada satu titik dimisalkan rotasinya

A B P1=4 kN P2=6 kN w=5 kN/m C D E MDE MDB M_DC MCD MCA A B P1=4 kN P2=6 kN w=5 kN/m C D E q_DBB q_CA qCDB qDC qDE w=5 kN/m P=10 kN A B C D qBA q_BC

Walaupun terjepit tetap mengalami rotasi

(16)

5)

batang (Δ) kalau ada goyangan. 6)

momen dan rotasi batang-batang pada titik simpul atau perletakan. a)

tanda negatif (-) , atau sebaliknya.

b) Rotasi batang dengan perletakan jepit sama dengan nol. c)

sebaliknya diberi tanda negatif (-). d)

menghubungkan antara variable satu dengan yang lainnya. 7)

yang dimisalkan terbalik. 8)

tidak tertentu tersebut dapat digambarkan. 3. Contoh-contoh soal :

(free body diagram), maka bidang momen, gaya lintang dan gaya normal dari struktur statis Dari persamaan-persamaan yang disusun diatas , maka variable-variable yang berupa momen-momen batang tadi dapat dihitung besarnya. Kalau nilai variable yang didapat positif (+), maka arah momen permisalan benar, sedangkan kalau nilainya negatif (-), maka arah momen

Setelah momen-momen diperoleh, dengan perhitungan keseimbangan tiap-tiap batang (rotasi batang) dengan beban dan momen – momen yang ada pada batang tersebut. Kalau arah rotasi batang pada permisalan garis elastis sesuai dengan rotasi batang yang diakibatkan oleh beban dan momen batang yang bekerja diberi tanda positif (+) , kalau Kalau ada variable pergoyangan (Δ) maka perlu tambahan persamaan keseimbangan struktur. Disini kita buat perhitungan “ free body diagram” dengan arah momen-momen batang seperti yang dimisalkan , sehingga kita mendapatkan satu persamaan yang yang ada. Penyusunan persamaan – persamaan tersebut berdasarkan ketentuan keseimbangan Momen batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Untuk momen batang yang digambarkan dengan arah sama, diberi tanda sama. Misalnya kalau searah jarum jam diberi tanda positif (+). Maka yang berlawanan arah jarum jam diberi

Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama besar maupun arahnya . Untuk menyusun persamaan rotasi harus memperhatikan permisalan garis elastis Dari langkah 1-4 yang telah dikerjakan diatas dapat ditentukan jumlah variablenya, yaitu momen-momen batang yang belum diketahui besarnya dan perpidahan relatif ujung

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)