TRANSFORMASI Oleh Harti Rahayu, S.P., M.Pd

(1)

TRANSFORMASI - TRANSLASI -

Oleh: Harti Rahayu, S.P., M.Pd

(2)

PENGERTIAN TRANSFORMASI GEOMETRI

Kalian pasti pernah nonton transformer kan?? Paling tidak mendengarnya. Apa si perbedaannya dengan transformasi??

Transformer itu film yang menceritakan perubahan kendaraan (mobil atau tank) menjadi sebuah robot yang memiliki senjata untuk mengalahkan musuh. Kalau

kendaraan menjadi robot artinya

melakukan perubahan apa?

Yap, tepat sekali.

Perubahan bentuk.

Jadi, fokusnya Transformer ialah

kemampuan melakukan perubahan bentuk dari kendaraan

menjadi robot.

Sekarang, transformasi geometri.

Perubahan apa yang terjadi dalam transformasi

geometri?

Transformasi geometri merupakan perubahan posisi

(perpindahan) da ri suatu posisi awal (x , y) ke posisi lain (x’ , y’)

Nah, sudah tahu kan

pengertian dari transformasi geometri itu apa? Ada perbedaan dengan

Transformer bukan?.

Sekarang, lanjut simak yuk tentang jenis-jenis transformasi geometri!

(3)

Ada empat macam transformasi geometri

◦ Translasi merupakan jenis transformasi yang memindahkan suatu titik sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak yang sama.

Artinya, translasi itu hanya perpindahan

◦ Reflexi dalam transformasi geometri ini dapat dikatakan sebagai pencerminan. Refleksi ini memindahkan semua titik dengan menggunakan sifat pencerminan pada cermin datar.

◦ Rotasi atau perputaran. Prinsipnya, yakni memutar terhadap sudut dan titik pusat tertentu yang memiliki jarak sama dengan setiap titik yang diputar. Perlu diingat ya bahwa rotasi itu tidak mengubah ukuran.

◦ Dilatasi merupakan suatu transformasi mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) bentuk bangun geometri tetapi tidak merubah bentuk bangun tersebut.

1

Traslasi 2

Refleksi 3

Rotasi 4

Dilatasi

(4)

T R A N S L A S I

▪ Pengertian translasi dalam ilmu Matematika

ialah transformasi geometri yang digunakan oleh sebuah titik pada sepanjang garis lurus agar dapat berpindah menggunakan jarak dan arah tertentu.

▪ Maka dari itu sebuah titik dapat dipindahkan posisinya menuju titik lainnya.

▪ Dalam materi translasi ini kita dapat

mempelajari bagaimana cara menghitung sebuah titik dapat berpindah atau berubah posisinya.

▪ Di samping ini terdapat grafik transformasi titik A(x,y) menggunakan metode translasi

(5)

Dapat disimpulkan

➢ Translasi merupakan salah satu jenis transformasi yang bertujuan untuk memindahkan semua titik suatu bangun dengan jarak dan arah yang sama pada koordinat kartesius.

➢ Translasi pada bidang kartesius dapat dilukis jika kamu mengetahui arah dan seberapa jauh gambar bergerak secara mendatar dan atau vertikal.

➢ Untuk nilai yang sudah ditentukan a dan b, yakni translasi 𝒂

𝒃 memindahkan setiap titik P (x, y) dari sebuah bangun pada bidang kartesius ke P’ (x + a, y + b).

Translasi dapat disimbolkan dengan (x, y) → (x + a, y + b).

Catatan:

a adalah besar pergeseran pada sumbu x (sumbu mendatar):

1) Satuan a akan bergeser menuju x positif atau ke arah kanan apabila a > 0.

2) Satuan a akan bergeser menuju x negatif atau ke arah kiri apabila a < 0.

b adalah besar pergeseran pada sumbu y (sumbu vertical:

1) Satuan b akan bergeser menuju y positif atau ke arah atas apabila b > 0.

2) Satuan b akan bergeser menuju y negatif atau ke arah bawah apabila b < 0.

(6)

Jarak dan arah sebuah translasi dapat dinyatakan dalam : 1. Ruas garis berarah. Misalnya pada contoh di atas 𝑃𝑃′

2. Sebuah pasangan bilangan 𝑃𝑃′ = 4

3 artinya pergeseran 4 kekanan dan 3 ke atas (lihat catatan pada slide 5)

Contoh 1

Tentukan bayangan P(2, 3) oleh translasi T 4 3 Jawab:

𝑃(2, 3)

𝑇 4

3 𝑃′(𝑥^′, 𝑦^′) 𝑥^′ = 2 + 4 = 6 𝑦^′ = 3 + 3 = 6

Jadi bayangan P(2, 3) oleh translasi T 4 adalah 𝑃′(6, 6) 3

Bila ditampilkan dalam bentuk grafik adalah sebagai berikut:

(7)

Contoh 2.

Tentukan hasil translasi dari 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑘𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 𝑃 −3,2 jika ditranslasikan

oleh

⁻⁵₋₆

. Jawab:

𝑃 𝑥, 𝑦 T= ^𝑎_𝑏 P^′ 𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏 = (𝑥^′, 𝑦^′)

T= ⁻⁵₋₆

𝑃(−3,2) 𝑃′(−3 + −5 , 2 + (−6)) P′(−8, −4)

(8)

Tentukan koordinat titik B Jawab:

𝑥 + −3 = −3 𝑥 = −3 − −3

x = −3 + 3 x = 0

𝑦 + 4 = 2 𝑦 = 2 − 4

y = −2

𝐾𝑜𝑜𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝐵(0, −2) T= ⁻³₄ .

B(x, 𝑦) B′(−3,2)

(9)

Contoh 4.

Sebuah titik 𝑄 5,3 ditranslasikan dengan 𝑎

𝑏 sehingga menghasilkan bayangan 𝑄′(9,2). Tentukan komponen garis berarah tersebut!

Jawab:

T= ^𝑎_𝑏

Q(5,3) 𝑄′(9,2)

5 + 𝑎 = 9 𝑎 = 9 − 5

𝑎 = 4

3 + 𝑏 = 2 𝑏 = 2 −3

𝑏 = −1

𝐾𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑟𝑎ℎ 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ T= ₋₁⁴

(10)

❑ Gambar di samping menunjukkan segitiga ABC yang ditranslasikan 4 satuan ke kanan dan 3 satuan ke bawah.

❑ Hal ini dapat dinyatakan sebagai:

(x, y) → (x + 4, y – 3).

❑ Koordinat bayangan hasil translasinya sebagai berikut

A (–3, 1) → A’ (–3 + 4, 1 – 3) atau A’ (1, –2) B (–1, 4) → B’(–1 + 4, 4 – 3) atau B’ (3, 1)

C (–2, –1) → C’ (–2 + 4, –1 – 3) atau C’ (2, –4)

Contoh 5. Tentukan bayangan titik-titik 𝐴 −3,1 , 𝐵 −1, 4 , 𝐶(−2,1) oleh translasi

T 4

−3

(11)

Contoh 6.

Sebuah persegi panjang memiliki koordinat 1,2 , 5,2 , 5, −1 𝑑𝑎𝑛 1, −1 . Tentukan bayangan persegi panjang jika ditranslasikan dengan

³

−5 !

Jawab:

T= ₋₅³ (x, y)

A(1,2) 𝐴^′ 1 + 3, 2 + −5 𝑎𝑡𝑎𝑢 (4, −3)

B(5,2) 𝐵^′ 5 + 3, 2 + −5 𝑎𝑡𝑎𝑢 (8, −3)

D(5, −1) 𝐷^′ 5 + 3, −1 + −5 𝑎𝑡𝑎𝑢 (8, −6)

C(1, −1) 𝐶^′ 1 + 3, −1 + −5 𝑎𝑡𝑎𝑢 (4, −6) 𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏 = (𝑥^′, 𝑦^′)

(12)

Tugas 3.5.1. Translasi

1. Kerjakanlah soal-soal di bawah ini

2. Fotolah hasilnya dan berilah nama file: Nama_Tugas translasi (misal: Rahayu_Tugas translasi)

3. Uploadlah tugasmu ke dalam link yang akan ibu share menyusul di grup whatsapp 4. Soal:

1) Tentukan bayangan titik-titik koordinat berikut dan gambarlah grafik translasinya sesuai dengan contoh 1 (slide 6) dan contoh 5 (slide 10).

a) Tentukan bayangan titik R 3, −5 ditranslasi T 7

−2 ……… lihat slide 6 b) Tentukan bayangan titik S −9, 7 ditranslasi T −6

4 …….... lihat slide 6 c) Tentukan bayangan titik-titik J −1, 3 , 𝐾 2, 1 , 𝐿(−3,1) oleh translasi T −5

−6 ……….. lihat slide 10

(13)

2)

Tentukan hasil translasi dari 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑘𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 𝑃 −5, 4 jika ditranslasikan oleh

⁻⁷₋₆

……… lihat slide 7

3)

Hasil translasi titik B oleh −5

2 adalah 6, −4 . Tentukan koordinat titik B ………. lihat slide 8

4)

Sebuah titik 𝑄 (4, 8) ditranslasikan dengan 𝑎

𝑏 sehingga menghasilkan

bayangan 𝑄′(7, 5). Tentukan komponen garis berarah tersebut! ……….

.... lihat slide 9

(14)

TRANSFORMASI -REFLEKSI-

Harti Rahayu, S.P., M.Pd

(15)

Refleksi atau pencerminan

➔

merupakan salah satu jenis transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang (atau bangun geometri) dengan menggunakan sifat benda dan bayangannya pada cermin datar.

➔Sifat bayangan benda yang dibentuk oleh pencerminan/refleksi antara lain sebagai berikut.

01

Bayangan suatu bangun yang dicerminkan

memiliki bentuk dan ukuran yang sama dengan

bangun aslinya

02

Jarak bayangan ke cermin sama

dengan jarak

bangun aslinya ke cermin

03

Bayangan bangun pada cermin saling berhadapan

dengan bangun aslinya.

(16)

Perhatikan gambar berikut, beberapa contoh refleksi

(17)

❖ Pada bidang geometri, cermin dilukis sebagai sebuah garis lurus

❖ Garis-garis yang berfungsi sebagai cermin disebut sumbu cermin atau sumbu refleksi

PENCERMINAN /REFLEKSI PADA BIDANG

KOORDINAT

1. Refleksi pada sumbu x

A(𝑎, 𝑏) ^𝑀^𝑥 A’(a,−b)

(18)

Contoh refleksi terhadap sumbu x

ABC adalah segitiga siku-siku, masing-masing koordinat titiknya A(−1,1), B(1,1), dan C(−1,2). Tentukan koordinat bayangan bangun segitiga ABC tersebut jika dicerminkan terhadap sumbu x

A 𝑥, 𝑦 A’(x,−y)

A −1,1 A’ −1, −1

B 1,1 B’ 1, −1

C −1,2 C’ −1, −2

𝑀_𝑥

(19)

2. Refleksi pada sumbu y

𝐴(𝑎, 𝑏) ^𝑀^𝑦 𝐴′(−a, b)

Pencerminan terhadap sumbu y, merupakan

kebalikan dari pencerminan terhadap sumbu

x. Di mana nilai absis menjadi kebalikannya

dan nilai ordinatnya tetap.

(20)

ABCD adalah trapesiun, masing-masing koordinat titiknya A(1,1), B(3,2), C(2,3), dan D(1,2). Tentukan koordinat bayangan bangun trapesium ABCD

tersebut jika dicerminkan terhadap sumbu y !

Contoh refleksi terhadap sumbu y

A 𝑥, 𝑦 A’(−x, y) A 1,1 A’ −1,1

B 3,2 B’ −3,2

C 2,3 C’ −2,3

D 1,2 D’(−1,2)

𝑀_𝑦

(21)

3. Refleksi pada titik pusat (0,0)

A(𝑎, 𝑏) A’(−a,−b)

𝑀_𝑜(0,0)

Contoh refleksi terhadap titik (0,0):

➢ Titik A berada pada koordinat (2,3).

Tentukan koordinat A’ apabila di

refleksikan terhadap titik pusat (0,0).

➢ Jawab:

A( 2,3) ^𝑀^𝑜(0,0) A’(−2,−3)

(22)

4. Refleksi terhadap garis y = x

A(𝑎, 𝑏) 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑦 = 𝑥 A’(𝑏, 𝑎)

Contoh refleksi terhadap garis y = x :

➢ Titik A berada pada koordinat (−4,2).

Tentukan koordinat A’ apabila di refleksikan terhadap garis y = x.

➢ Jawab:

A( −4,2) garis y = x A’(2,−4)

Pada pencerminan terhadap garis y = x akan mengakibatkan nilai absis menjadi ordinat.

Begitu juga, nilai ordinat akan menjadi absis

(23)

5. Refleksi terhadap garis y = −x

A(𝑎, 𝑏) 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑦 = −𝑥 A’(𝑏, 𝑎)

Contoh refleksi terhadap garis y = −x :

➢ Titik Q berada pada koordinat (5,−2).

Tentukan koordinat A’ apabila di refleksikan terhadap garis y = x.

➢ Jawab:

Q( 5, −2) Q’(2,−5)

garis y = −x

Pencerminan terhadap garis y = – x akan membuat nilai absis menjadi kebalikan dari ordinat. Sedangkan nilai ordinat akan menjadi kebalikan dari absis

(24)

5. Refleksi terhadap garis x = h

A(𝑎, 𝑏) 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑥 = ℎ A’(2ℎ − 𝑎, 𝑏)

Contoh refleksi terhadap garis x = h :

Titik P berada pada koordinat (2,4). Tentukan

koordinat P’ apabila direfleksikan terhadap garis x = −3.

Jawab:

Q( 2,4) garis x = −3 Q’(2(−3) − 2, 4) atau Q’(−8,4) Pencerminan terhadap garis x = h akan

membuat titik absis bergeser sejauh 2h.

Sedangkan nilai titik ordinatnya tetap.

(25)

6. Refleksi terhadap garis y = k

A(𝑎, 𝑏) 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑥 = ℎ A’(𝑎, 2𝑘 − 𝑏)

Contoh refleksi terhadap garis y = k :

Titik P berada pada koordinat (6,4). Tentukan koordinat P’ apabila direfleksikan terhadap garis y = 1.

Jawab:

Q( 6,5) garis y = 1 Q’(6, 2(1) −5) atau Q’(6,−3) Pencerminan terhadap garis y = k akan

membuat titik ordinatnya bergeser sejauh 2k. Sedangkan nilai titik absisnya tetap.

(26)

1) Tentukan bayangan dari titik A(3,2) yang direfleksikan terhadap sumbu x = −3 dan dilanjutkan terhadap sumbu y = 3, kemudian gambarkan bayangannya pada bidang koordinat kartesius.

Contoh soal

Jawab:

𝐴 3,2 ^{𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑥=−3} 𝐴^′ 2 −3 − 3, 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 (−9,2)^{𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑦=3}𝐴"(−9, 2(3) − 2) 𝑎𝑡𝑎𝑢 (−9,4)

(27)

Gunakan sifat-sifat yang ada pada slide 4 sampai dengan slide 12

2) Tentukan bayangan dari titik B(−5,4) yang direfleksikan terhadap sumbu x = 6 dan dilanjutkan terhadap sumbu y = −3

3) Tentukan bayangan dari titik C(7,−5) yang direfleksikan terhadap sumbu x dan dilanjutkan terhadap titik pusat (0,0)

Contoh soal

Jawab:

B −5,4 ^{𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑥=6} 𝐵^′ 2(6) − (−5), 4 𝑎𝑡𝑎𝑢 (17,4)^{𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑦=−3}𝐵"(17, 2(−3) − 4) 𝑎𝑡𝑎𝑢 (17, −10)

Jawab:

C 7, −5 ^𝑀^𝑥 𝐶^′ 7,5 ^𝑀^𝑜(0,0) 𝐶"(−7, −5)

(28)

1) Tentukan bayangan dari titik A(−2,4) yang direfleksikan terhadap sumbu x = −2 dan dilanjutkan terhadap sumbu y = 4, kemudian gambarkan bayangannya pada bidang koordinat kartesius.

2) Tentukan bayangan dari titik A(−6,7) yang direfleksikan terhadap sumbu x = 5 dan dilanjutkan terhadap sumbu y = 3

3) Tentukan bayangan dari titik A(−6, −3) yang direfleksikan terhadap sumbu x = −3 dan dilanjutkan terhadap sumbu y = 2

4) Tentukan bayangan dari titik A(8,6) yang direfleksikan terhadap sumbu x dan dilanjutkan terhadap sumbu y

5) Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudutnya, yaitu A(1, 4), B(3, 1), dan C(4, 6).

Gambarlah bayangan dari segitiga ABC yang direfleksikan terhadap sumbu x pada bidang koordinat kartesius

Tugas 3.5.2. Refleksi – kerjakan di kertas berpetak atau milimeter block

(29)

TRANSFORMASI - ROTASI -

(30)

01

Rotasi atau perputaran merupakan perubahan kedudukan objek

(titik atau bangun) dengan cara diputar

melalui pusat dan sudut tertentu.

02

Besarnya rotasi dalam transformasi geometri

sebesar α (positif) disepakati untuk arah yang berlawanan dengan arah jalan jarum jam.

Jika arah perputaran rotasi suatu benda searah dengan jarum jam, maka sudut yang dibentuk adalah –α (negatif).

03

Hasil rotasi suatu objek tergantung dari titik

pusat rotasi, yaitu

O(0,0) atau P(a,b) dan besar sudut rotasi.

Rotasi atau Perputaran

(31)

Sifat-sifat pada rotasi dengan sembarang sudut putar

Pada rotasi dengan

sembarang sudut putar terdapat sifat sbb:

1. Sebuah garis sama panjang dengan bayangannya.

2. Sebuah bangun kongruen

atau sama dan sebangun

dengan bayangannya.

(32)

Rotasi Perputaran pada pusat O(0,0)

Contoh: Segitiga ABC dirotasikan dengan pusat O(0,0) dan sudut putar 90^o berlawanan arah jarum jam (arah putar ke kiri) atau diputar 270^o searah jarum jam (arah putar ke kanan). Tentukan masing-masing titik pada bayangan segitiga ABC

➢ 𝐴 𝑥, 𝑦 𝑅 𝑂,90 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑅(𝑂,−270)

𝐴^′ 𝑥^′, 𝑦^′ = (−𝑦, 𝑥)

➢ 𝐴 2,4 𝑅 𝑂,90 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑅(𝑂,−270)

𝐴^′ 𝑥^′, 𝑦^′ = (−4,2)

➢ B 5,4 𝑅 𝑂,90 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑅(𝑂,−270)

𝐵′ 𝑥^′, 𝑦^′ = (−4,5)

➢ C 2,1 𝑅 𝑂,90 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑅(𝑂,−270)

𝐴^′ 𝑥^′, 𝑦^′ = (−1,2) Jadi 𝐴^′ −4,2 , 𝐵^′ −4,5 , 𝑑𝑎𝑛 𝐶′(−1,2)

(33)

Segitiga ABC dirotasikan dengan pusat O(0,0) dan sudut putar 90^o searah jarum jam jam (arah putar ke kanan) atau diputar 270^o berlawanan arah jarum jam (arah putar

ke kiri). Tentukan masing-masing titik pada bayangan segitiga ABC Rotasi Perputaran pada pusat O(0,0)

➢ 𝐴 𝑥, 𝑦 𝑅 𝑂,−90 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑅(𝑂,270)

𝐴^′ 𝑥^′, 𝑦^′ = (𝑦, −𝑥)

➢ 𝐴 2,4 𝑅 𝑂,−90 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑅(𝑂,270)

𝐴^′ 𝑥^′, 𝑦^′ = (4, −2)

➢ B 5,4 𝑅 𝑂,−90 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑅(𝑂,270)

𝐵′ 𝑥^′, 𝑦^′ = (4, −5)

➢ 𝐶 2,1 𝑅 𝑂,−90 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑅(𝑂,270)

𝐶′ 𝑥^′, 𝑦^′ = (1, −2) Jadi 𝐴^′ 4, −2 , 𝐵^′ 4, −5 , 𝑑𝑎𝑛 𝐶′(1, −2)

(34)

Segitiga ABC dirotasikan dengan pusat O(0,0) dan sudut putar 180^o searah jarum jam jam (arah putar ke kanan) atau diputar 180^o berlawanan arah jarum jam (arah ke kiri).

Tentukan masing-masing titik pada bayangan segitiga ABC Rotasi Perputaran pada pusat O(0,0)

➢ 𝐴 𝑥, 𝑦 𝑅 𝑂,−180 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑅(𝑂,180)

𝐴^′ 𝑥^′, 𝑦^′ = (−𝑥, −𝑦)

➢ 𝐴 2, 4 𝑅 𝑂,−180 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑅(𝑂,180)

𝐴^′ 𝑥^′, 𝑦^′ = (−2, −4)

➢ B 5, 4 𝑅 𝑂,−180 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑅(𝑂,180)

𝐵′ 𝑥^′, 𝑦^′ = (−5, −4)

➢ C 2, 1 𝑅 𝑂,−180 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑅(𝑂,180)

𝐴^′ 𝑥^′, 𝑦^′ = (−2, −1) Jadi 𝐴^′ −2, −4 , 𝐵^′ −5, −4 , 𝑑𝑎𝑛 𝐶′(−2, −1)

(35)

Segitiga QRS dirotasikan dengan pusat (a,b) dan sudut putar 90^o berlawanan arah jarum jam jam (arah putar ke kiri) atau diputar 270^o searah jarum jam (arah ke

kanan). Tentukan masing-masing titik pada bayangan segitiga QRS Rotasi Perputaran pada pusat (a,b)

➢ 𝐴 𝑥, 𝑦 𝑅 (1,2),90 / 𝑅((1,2),−270)

𝐴^′ 𝑥^′, 𝑦^′ = − 𝑦 − 𝑏 + 𝑎, (𝑥 − 𝑎 + 𝑏)

➢ Q −5,4 𝑅 1,2 ,90 /𝑅 1,2 ,−270

𝑄^′(− 4 − 2 + 1, −5 − 1 + 2) = (−1,−4)

➢ R −2,4 𝑅 1,2),90 / 𝑅((1,2),−270)

𝐵^′ − 4 − 2 + 1, −2 − 1 + 2 = (−1,−1)

➢ 𝑆 −5,1 𝑅 (1,2),90 / 𝑅((1,2),−270)

𝑆^′ − 1 − 2 + 1, −5 − 1 + 2 = (2,−4) Jadi 𝑄^′ −1, −4 , 𝑅^′ −1, −1 , 𝑑𝑎𝑛 𝑆′(2, −4)

(36)

Segitiga IJK dirotasikan dengan pusat (1,2) dan sudut putar 90^o searah arah jarum jam (arah putar ke kanan) atau diputar 270^o berlawanan arah jarum jam (arah ke kiri).

Tentukan masing-masing titik pada bayangan segitiga IJK Rotasi Perputaran pada pusat (a,b)

➢ 𝐴 𝑥, 𝑦 𝑅 1,2 ,−90 / 𝑅((1,2),270)

𝐴^′ 𝑥^′, 𝑦^′ = 𝑦 − 𝑏 + 𝑎, −(𝑥 − 𝑎 + 𝑏)

➢ 𝐼 4,−3 𝑅 1,2 ,−90 / 𝑅((1,2),270)

𝐼^′ −3 − 2 + 1, − 4 − 1 + 2) = (−4,−1)

➢ 𝐽 4,0 𝑅 1,2),−90 / 𝑅((1,2),270)

𝐽^′ 0 − 2 + 1, − 4 − 1 + 2 = (−1,−1)

➢ 𝐾 7,−3 𝑅 1,2 ,−90 / 𝑅((1,2),270)

𝐾^′ −3 − 2 + 1, − 7 − 1 + 2 = (−4,−4) Jadi 𝐼^′ −4, −1 , 𝐽^′ −1, −1 , 𝑑𝑎𝑛 𝐾′(−4, −4)

(37)

𝑆𝑒𝑔𝑖 𝑒𝑚𝑝𝑎𝑡 𝐾𝐿𝑀𝑁 𝑑𝑖𝑟𝑜𝑡𝑎𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑢𝑠𝑎𝑡 𝑃 −2.1 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟 180⁰. 𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑚𝑎𝑠𝑖𝑛𝑔 − 𝑚𝑎𝑠𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑝𝑎𝑑𝑎 bayangan 𝑠𝑒𝑔𝑖 𝑒𝑚𝑝𝑎𝑡 𝐾𝐿𝑀𝑁

Rotasi Perputaran pada pusat (a,b)

➢ 𝐴 𝑥, 𝑦 ^{𝑅 𝑎,𝑏 ,180} 𝐴^′ 𝑥^′, 𝑦^′ = (2𝑎 − 𝑥, 2𝑏 − 𝑦)

➢ 𝐾 −8,5 𝑅 −2,1 ,180

𝐾^′ 2 −2 − −8 , 2 1 − 5 = (4, −3)

➢ 𝐿 −3, 5 𝑅 −2,1),180

𝐿^′ 2 −2 − (−3), 2 1 − 5 = (−1, −3)

➢ 𝑀 −3, 2 𝑅 −2,1 ,180

𝑀^′ 2 −2 − −3 , 2 1 − 2 = (−1, 0)

➢ 𝑁 −8, 2 𝑅 −2,1 ,180

𝐾^′ 2 −2 − −8 , 2 1 − 2 = (4, 0) Jadi 𝐾^′ 4, −3 , 𝐿^′ −1, −3 , 𝑀 −1,0 , 𝑑𝑎𝑛 𝑁′(4,0)

(38)

𝐺𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑦 = 2𝑥 + 3 𝑑𝑖𝑟𝑜𝑡𝑎𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝𝑢𝑠𝑎𝑡 0,0 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 90⁰ 𝑏𝑒𝑟𝑙𝑎𝑤𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑎𝑟𝑎ℎ 𝑗𝑎𝑟𝑢𝑚 𝑗𝑎𝑚. Tentukan bayangannya,

Contoh penerapan soal

𝑦 = 2𝑥 + 3 → ?

𝐴 𝑥, 𝑦 → 𝐴^′ 𝑥^′, 𝑦^′ = −𝑦, 𝑥

𝑥^′ = −𝑦 𝑑𝑎𝑛 𝑦^′ = 𝑥 𝑦 = −𝑥^′ 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 𝑦′

y = 2x + 3 → −𝑥^′ = 2𝑦^′ + 3

−2𝑦′ = 𝑥′ + 3 𝑦 = ^𝑥+3

−2

𝑐𝑒𝑘 ∶ 𝐴 1,5 → 𝐴^′ −5,1 𝑚𝑎𝑘𝑎 1 = ⁻⁵⁺³

−2 = 1 (terbukti)

(39)

1. Segi empat PQRS berkoordinat di P (2, –2), Q (4, –1), R (4, –3) dan S (2, –4). Gambarlah bayangan PQRS pada rotasi 90^𝑜 berlawanan arah jarum jam yang berpusat di titik asal.

a) Kerjakan soal berikut ini pada kertas berpetak

b) Fotolah hasilnya kemudian upload melalui link yang nanti akan ibu kirim melalui grup WA kelas matematika

2. Gambar bayangan rotasi setiap bangun berikut dengan sudut 90^𝑜 jika diketahui arah dan pusat rotasi. Tentukan koordinat titik-titik bayangannya. ∆WAN dengan W (–4, 1), A (–2, 1), dan N (–4, –3) berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi di titik P(2,3)

3. Diketahui segitiga RST dengan koordinat titik sudut di R (3 ,6), S (–5, 2) dan T (3, –3).

Gambar bayangan hasil transformasinya jika diketahui segitiga tersebut:

a. Dirotasi 90^𝑜 searah jarum jam yang berpusat di titik asal kemudian dicerminkan terhadap sumbu-y.

c. Dirotasi 180^𝑜 berlawanan arah jarum jam yang berpusat di titik asal kemudian ditranslasi 4

5 setelah itu dicerminkan terhadap sumbu-x.

(40)

TRANSFORMASI - DILATASI -

(41)

Dilatasi

➢ Dilatasi disebut juga dengan perbesaran atau pengecilan suatu objek/bangun datar.

➢ Jika transformasi pada translasi, refleksi, dan rotasi hanya mengubah posisi benda, maka dilatasi melakukan transformasi geometri dengan merubah ukuran benda.

➢ Ukuran benda hasil dilatasi dapat menjadi lebih besar atau lebih kecil.

➢ Perubahan ini bergantung pada skala yang menjadi faktor pengalinya.

➢ Rumus dalam dilatasi ada dua, yang dibedakan berdasarkan pusatnya

(42)

Objek/bangun datar akan diperbesar dan

posisinya searah terhadap pusat dilatasi dengan obyek/bangun datar

semula

1. skala k > 1

Sifat-sifat bayangan pada transformasi – dilatasi berdasarkan faktor skala

° 𝑃

𝐵

𝐵′

𝐴′

𝐶

𝐴

𝐶′

Faktor skala k > 1

(43)

Objek/bangun datar tidak mengalami

perubahan bentuk, ukuran, dan

posisi

2. Skala k = 1

Sifat-sifat bayangan pada transformasi – dilatasi berdasarkan faktor skala

Objek/bangun datar tidak mengalami perubahan bentuk, ukuran, tetapi posisi

berlawanan arah terhadap pusat dilatasi

dengan objek/bangun datar semula

3. Skala k = −1

Faktor skala k = −1

° 𝑃

S

𝑆′

𝑈′

U

𝑅′

(44)

Objek/bangun datar akan diperbesar dan

posisi berlawanan arah terhadap pusat

dilatasi dengan objek/bangun datar

semula

4. Skala k < −1

° 𝑃

S

𝑆′

𝑈′

U

R

𝑅′

Faktor skala k < −1

(45)

Objek/bangun datar akan diperkecil dan

posisi searah terhadap pusat dilatasi dengan objek/bangun datar

semula

5. Skala 0 < k < 1

Sifat-sifat bayangan pada transformasi – dilatasi berdasarkan faktor skala

Faktor skala 0 < k < 1

° 𝑃

𝑄′

S Q 𝑅′

S′

R

(46)

Objek/bangun datar akan diperkecil dan

posisi berlawanan arah terhadap pusat

dilatasi dengan obyek/bangun datar

semula

6. Skala −1 < k < 0

Faktor skala −1 < k < 0

° 𝑃 𝑄′

Q S

𝑅′

𝑆′

R

(47)

Titik sudut

ABC (3x, 3y) Titik sudut A’B’C’

A(1,3) (3 x 1, 3 x 3) A’(3, 9)

B(2, 3) (3 x 2, 3 x 3) B’(6, 9)

C(2,1) (3 x 2, 3 x 1) C’(6, 3)

Diketahui segitiga ABC dengan titik sudut masing-masing A (1, 3), B (2, 3), dan C (2, 1).

Gambar segitiga ABC dan bayangannya setelah didilatasi dengan faktor skala 3 dengan pusat dilatasi titik awal (0,0).

Contoh 1. Dilatasi Pada Segitiga dengan Pusat Dilatasi di Titik Asal

Penyelesaian

(48)

Contoh 2. Dilatasi Pada Segiempat dengan Pusat Dilatasi di Titik Asal=

Diketahui segi empat WXYZ dengan titik sudut masing-masing W (–4, –6), X (–4, 8), Y (4, 8) dan Z (4, –6). Gambar segi empat WXYZ dan bayangannya setelah didilatasi dengan faktor skala 0,5 dengan pusat dilatasi titik awal.

Penyelesaian

Titik sudut

WXYZ (0,5x, 0,5y) Titik sudut

W’X’Y’Z’

W(−4, −6) (0,5 x (−4), 0,5 x (−6)) W’(−2, −3) X(−4, 8) (0,5 x (−4), 0,5 x 8) X’(−2, 4)

Y(4, 8) (0,5 x 4), 0,5 x 8) Y’(2, 4)

Z(4, −6) (0,5 x 4), 0,5 x (−6) Z’(2, −3)

(49)

Contoh 3. Dilatasi Pada Segi Empat dengan Pusat Dilatasi di Titik P

Persegi panjang KLMN berkoordinat di K (2, 0), L (3, 0), M (3, 2) dan N (2, 2). Tentukan koordinat K’L’M’N’yang merupakan bayangan dari persegi panjang KLMN setelah didilatasi dengan pusat dilatasi di titik P (1, 4) dan faktor skala 2.

Penyelesaian

Langkah 1. Tentukan titik P dan gambar persegi panjang KLMN pada bidang koordinat.

Langkah 2. Buat garis dari titik P sehingga PK’= 2PK, PL’ = 2PL, PM’ = 2PM, dan PN’ = 2PN. Sehingga diperoleh titik-titik koordinat bayangan K, L, M, dan N adalah sebagai berikut. K’(3, -4), L (5, –4), M (5, 0), dan N’ (3, 0).

Langkah 3. Hubungkan titik-titik K’, L’, M’, dan N’

sehingga terbentuk persegi panjang K’L’M’N’.

(50)

a) Kerjakan soal berikut ini pada kertas berpetak

b) Fotolah hasilnya kemudian upload melalui link yang nanti akan ibu kirim melalui grup WA kelas matematika

1. Gambar yang berwarna biru merupakan hasil dilatasi dari gambar berwarna merah. Tentukan faktor skala dan jenis dilatasinya

a. b.

(51)

2. Titik sudut dari masing-masing bidang datar diberikan sebagai berikut. Gambar bidang datar yang dimaksud dan bayangannya setelah dilatasi dengan faktor skala yang diberikan masing-masing. Sebutkan jenis dilatasinya. a. A (1, 1), B (1, 4), dan C (3, 1) dengan faktor skala 4

3. Garis TU berkoordinat di T (4, 2) dan U (0, 5). Setelah didilatasi, bayangan yang terbentuk memiliki koordinat di T’ (6, 3) dan U’ (12, 11). Tentukan faktor skala yang digunakan.

4. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat titik sudut di A (6, 12), B (–9, 3) dan C (6, –6).

Gambar bayangan hasil transformasinya jika diketahui segitiga tersebut:

a. Didilatasi dengan menggunakan faktor skala 1 3 dengan pusat titik asal kemudian dirotasi 90^𝑜 searah jarum jam yang berpusat di titik asal.

b. Didilatasi dengan menggunakan faktor skala 2 dengan pusat titik asal kemudian ditranslasi 2

−1 setelah itu dicerminkan terhadap sumbu-y.

(52)