Matematika SMA 1
M AT R IK S & T R AN SFO RM A SI
MATRIKS DAN TRANSFORTASI
I. MATRIKS
PENGERTIAN
Matriks adalah kumpulan bilangan yang dinyatakan dalam baris dan kolom.
Contoh : Matriks A =
5 2X3
3 2
4 1
3
dengan ukuran (ordo) : 2
x 3. Artinya matriks tersebut tersusun atas 2 baris dan 3 kolom.
OPERASI MATRIKS
1. Penjumlahan ( + / - )
Dua buah matriks / lebih dapat dijumlahkan bila ber ordo sama. Cara operasinya dengan menjumlahkan elemen yang seletak.
Contoh :
5 3 2
4 1
3 +
2 1 1
3 5
2 =
7 4 3
7 6 5
2. Perkalian
konstan x matriks : k .
d c
b
a =
kd kc
kb ka
matriks x matriks :
Matriks Am x n dapat dikalikan dengan matriks Bn x p dengan syarat : kolom A = baris B.
Cara operasinya : elemen baris matriks A dikali elemen kolom matriks B.
JENIS MATRIKS
Matriks Identitas ( I ) : matriks bujursangakar yang elemen diagonal utama merupakan angka 1 dan selain itu angka 0.
I = ( 1 )1 x 1 , I =
2 x
1 2
0 0 1
Sifat : A I = I A = A
Transpose matriks : At
Matriks baru yang diperoleh dengan merubah baris (matriks asal) menjadi kolom atau kolom (matriks asal) menjadi baris.
Contoh :
Bila matriks A =
5 3 2
4 1
3 maka transpos
matriks A adalah
5 4
3 1
2 3
.
DETERMINAN Bila A =
d c
b
a maka determinan matriks A dinyatakan : |A| = ad – bc
Untuk ordo 3 x 3
i h g
f e d
c b a
= aei + bfg + cdh – gec – hfa – idb
Sifat :
det ( At ) = det (A)
det ( A –1 ) = ) det(
1 A
Bila diketahui : A B = C maka berlaku juga det (A) det (B) = det (C)
INVERS MATRIKS Bila A =
d c
b
a maka invers A dituliskan :
A-1 =
c a
b d bc ad
1
Bila det A = 0 maka A : matriks singular
Bila det A 0 maka A : matriks non singular
Sifat invers : (A–1 ) –1 = A (A.B) –1 = B–1 . A–1 A–1.A = I ( identitas ) Persamaan matriks :
A . x = B x = A–1 . B x . A = B x = B . A –1
II. TRANSFORMASI
A. Pergeseran ( translasi ) Konsep :
P’ = M + P
y x b a y x '
' M =
matriks transformasi
a > 0 : ke kanan b > 0 : ke atas
a < 0 : ke bawah b < 0 : ke bawah
Hal khusus : Grafik fungsi y = f(x) di geser oleh
b
a , hasilnya grafik dengan persamaan :
Y – b = f( x – a)
Matematika SMA 2
M AT R IK S & T R AN SFO RM A SI
B. Pencerminan ( Refleksi ) Konsep :
P’ = M . P
y x d c
b a y x '
'
Hal khusus :
Pencerminan terhadap :
Sumbu x : Mx =
0 1
0
1 garis y = -
x : My = -x =
0 1
1 0
Sumbu y : My =
1 0
0
1 pusat
sumbu (0, 0) : M =
1 0
0 1
Garis y = x : My = x =
0 1
1
0
C. Perputaran ( Rotasi ) Konsep :
P’ = M . P M =
cos sin
sin cos
Pusat rotasi ( 0, 0 ) Untuk pusat rotasi (a, b) :
b y
a M x b y
a x
'
'
D. Perkalian ( Dilatasi )
Konsep : P’ = M . P Mk =
k k 0
0
Pusat (a, b) :
b y
a x k k b y
a x
0 0 '
' .
Soal-soal latihan :
1. Determinan matriks K yang memenuhi
persamaan
1 2
1 K 3
5 3
7
4 sama dengan
a. 3 b. 1 c. – 1 d. – 2 e. – 3
2. Vektor
2 1
x x x
diputar mengelilingi pusat koordinat O sejauh 90o dalam arah berlawanan dengan perputaran jarum jam.
Hasilnya dicerminkan terhadap sumbu x, menghasilkan vektor
2 1
y y y
. Jika x Ay, maka A ...
a.
0 1
1 0
b.
0 1
1 0
c.
0 1
1 0
d.
1 0
0 1
e.
1 0
0 1
3. Vektor
2 1
a a a
dicerminkan terhadap sumbu x, hasilnya dicerminkan terhadap sumbu y dan hasil ini dipurtar mengelilingi pusat koordinat O sejauh 90o dalam arah yang berlawanan dengan perputaran jarum jam menghasilkan vektor b
. Matriks transformasi yang mentranformasi a
ke b
berbentuk
a.
0 1
1 0
b.
1 0 1 0
c.
1 0
0 1
d.
0 1
0 1
e.
1 0
0 1
+ : berlawanan arah jarum jam
=
- : searah jarum jam
P’
P b
a
Matematika SMA 3
M AT R IK S & T R AN SFO RM A SI
4. Jika
5 16
2 0 1 y 2
1 4 2 5
4 5
x , maka
a. y = 3x b. y = 2x c. y = x d. y = 3x e. y = 2x
5.
1 1 x y
y x q
p , maka p 2 q2 dinyatakan dalam x dan y adalah
a. (x – y)2 b. 2(x – y)2 c. 2(x + y)2 d. 2(x2 – y2) e. 2(x2 + y2)
6. Jika
4 9
2
P 5 ,
y x x
1
Q 2 dan
0 1
0 Q 1
P maka xy...
a. 232 b. 212 c. 192 d. 172 e. 152
7. Jika a bilangan bulat, matriks
7 6 5
a 1 a
2 1 a
tidak punya invers untuk a a. 5
b. 4 c. 3 d. 2 e. 1
8. Diberikan dua matrik A dan B sebagai berikut
2 0
k
A 5 ,
5 0
m
B 9 . Jika AB BA, maka k/m =
a. 3 4
b. 4
3
c. 4 3
d. 45 10 e. 2
9. Diketahui lingkaran L berpusat di titik (2,3) dan melalui titik (1,5). Jika lingkaran L diputar 90 terhadap titik O(0,0) searah jarum jam, kemudian digeser ke bawah sejauh 5 satuan, maka persamaan lingkaran L’ yang dihasilkan adalah
a. x2y26x6y50 b. x2y26x6y50 c. x2y26x6y50 d. x2y26x6y50 e. x2y26x6y0
10. Hasil kali semua nilai x sehingga matriks
6 x 2 x
10 x x 2
x2 tidak mempunyai invers
adalah a. 20 b. –10 c. 10 d. –20 e. 9
11. Diketahui matriks
4 3
2
A 4 dan
2 1
3
B 5 . Jika AC B dan C1 adalah invers dari matriks C, maka determinan matriks C1 adalah
a. – 2 b. – 1 c. 1 d. 2 e. 3
12. Jika A, B, dan C matriks 2 x 2 yang
memenuhi
0 1
1
AB 0 dan
1 0
0
CB 1 , maka CA-1 adalah…
a.
0 1
1 0
b.
0 1
1 0
c.
1 0
0 1
d.
1 0
0 1
e.
0 1
1 0
Matematika SMA 4
M AT R IK S & T R AN SFO RM A SI
13. Jika matriks
b 4
3
a mentransformasikan
titik (5,1) ke titik (7,–12) dan inversnya mentransformasikan titik P ke titik (1,0), maka koordinat titik P adalah
a. (2, –4) b. (2,4) c. (–2,4) d. (–2, –4) e. (1,3)
14. Parabola yx26x8 digeser ke kanan sejauh 2 satuan searah dengan sumbu-x dan digeser ke bawah sejauh 3 satuan. Jika parabol hasil pergeseran ini memotong sumbu-x di x1 dan x2maka x 1 x2=
a. 8 b. 9 c. 10 d. 11 e. 12
15. Proyeksi titik (2, 3) pada garis y x adalah
… a.
252 5, b.
37,37c.
49 4 9, d.
115,115
e.
32, 32
16. Transfortasi T berupa rotasi yang disusul dengan pencerminan terhadap garis y = x. Jika rotasi itu berupa rotasi sebesar 900 berhadap pusat koordinat dalam arah perputaran jarum jam, maka matriks transfortasi T dapat ditulis sebagai
a.
1 0
0 1
b.
1 0
0 1
c.
0 1
1 0
d.
1 0 1 0
e.
1 1
1 1 2 1
17. Diketahui
1 a 5
4 a
M a , dengan a 0.
Jika determinan matriks M sama dengan 1, maka M-1 sama dengan
a.
7 5
11 8
b.
8 5
11 7
c.
7 5
11 8
d.
8 5
11 7
e.
8 11
5 7
18. Suatu gambar dalam bidang xy diputar 45o searah perputaran jarum jam kemudian dicerminkan terhadap sumbu x. Matriks yang menyatakan hasil kedua transformasi tersebut adalah :
a.
1 1
1 1 2
2
b.
1 1
1 1 2
2
c.
1 1
1 1 2
2
d.
1 1
1 1 2
2
e.
1 1
1 1 2
2
19. Matriks yang menyatakan perputaran sebesar 3 terhadap O dalam arah berlawanan dengan perputaran jarum jam dan dilanjutkan dengan pencerminan garis xy0 adalah
a.
3 1
1 3 2 1
b.
3 1
1 3 2 1
c.
1 3
3 1
2 1
d.
1 3
3 1
2 1
e.
3 1
1 3 2 1
Matematika SMA 5
M AT R IK S & T R AN SFO RM A SI
20. Jika transformasi T1 memetakan (x,y) ke (-y,x) dan transformasi T2 memetakan (x,y) ke (-y,x) dan jika transformasi T merupakan tansformasi T1, yang diikuti oleh transformasi T2, maka matriks T adalah…
a.
0 1
1 0
b.
0 1
1 0
c.
1 0
0 1
d.
0 1
0 1
e.
1 0
0 1
