MATRIKS DAN TRANSFORTASI I. MATRIKS II. TRANSFORMASI MATRIKS & TRANSFORMASI. a b. a b DETERMINAN. maka determinan matriks A.

Matematika SMA 1

M AT R IK S & T R AN SFO RM A SI

MATRIKS DAN TRANSFORTASI

I. MATRIKS

PENGERTIAN

Matriks adalah kumpulan bilangan yang dinyatakan dalam baris dan kolom.

Contoh : Matriks A =

5 2X3

3 2

4 1

3 



 



 dengan ukuran (ordo) : 2

x 3. Artinya matriks tersebut tersusun atas 2 baris dan 3 kolom.

OPERASI MATRIKS

1. Penjumlahan ( + / - )

Dua buah matriks / lebih dapat dijumlahkan bila ber ordo sama. Cara operasinya dengan menjumlahkan elemen yang seletak.

Contoh :



 





5 3 2

4 1

3 + 

 





2 1 1

3 5

2 = 

 





7 4 3

7 6 5

2. Perkalian

 konstan x matriks : k . 

 



 d c

b

a = 

 



 kd kc

kb ka

 matriks x matriks :

Matriks Am x n dapat dikalikan dengan matriks B_{n x p} dengan syarat : kolom A = baris B.

Cara operasinya : elemen baris matriks A dikali elemen kolom matriks B.

JENIS MATRIKS

 Matriks Identitas ( I ) : matriks bujursangakar yang elemen diagonal utama merupakan angka 1 dan selain itu angka 0.

I = ( 1 )_{1 x 1} , I =

2 x

1 2

0 0 1 



 





Sifat : A I = I A = A

 Transpose matriks : A^t

Matriks baru yang diperoleh dengan merubah baris (matriks asal) menjadi kolom atau kolom (matriks asal) menjadi baris.

Contoh :

Bila matriks A = _



 





5 3 2

4 1

3 maka transpos

matriks A adalah

















5 4

3 1

2 3

.

DETERMINAN Bila A = _



 



 d c

b

a maka determinan matriks A dinyatakan : |A| = ad – bc

Untuk ordo 3 x 3

i h g

f e d

c b a

= aei + bfg + cdh – gec – hfa – idb

Sifat :

 det ( A^t ) = det (A)

 det ( A ^–1 ) = ) det(

1 A

 Bila diketahui : A B = C maka berlaku juga det (A) det (B) = det (C)

INVERS MATRIKS Bila A = 

 



 d c

b

a maka invers A dituliskan :

A^-1 = 



 









 c a

b d bc ad

1

 Bila det A = 0 maka A : matriks singular

 Bila det A  0 maka A : matriks non singular

 Sifat invers : (A^–1 ) ^–1 = A (A.B) ^–1 = B^–1 . A^–1 A^–1.A = I ( identitas ) Persamaan matriks :

A . x = B  x = A^–1 . B x . A = B  x = B . A ^–1

II. TRANSFORMASI

A. Pergeseran ( translasi ) Konsep :

P’ = M + P  



 







 







 





y x b a y x '

' M =

matriks transformasi

a > 0 : ke kanan b > 0 : ke atas

a < 0 : ke bawah b < 0 : ke bawah

Hal khusus : Grafik fungsi y = f(x) di geser oleh 



 



 b

a , hasilnya grafik dengan persamaan :

Y – b = f( x – a)

Matematika SMA 2

M AT R IK S & T R AN SFO RM A SI

B. Pencerminan ( Refleksi ) Konsep :

P’ = M . P  



 







 







 





y x d c

b a y x '

'

Hal khusus :

Pencerminan terhadap :

 Sumbu x : Mx = 



 



 0 1

0

1 garis y = -

x : My = -x = 



 







 0 1

1 0

 Sumbu y : My = 



 





1 0

0

1 pusat

sumbu (0, 0) : M = 



 







 1 0

0 1

 Garis y = x : My = x = 



 



 0 1

1

0

C. Perputaran ( Rotasi ) Konsep :

P’ = M . P  M_ =



 



 







 cos sin

sin cos

 Pusat rotasi ( 0, 0 ) Untuk pusat rotasi (a, b) :



 







 



 









b y

a M x b y

a x

' 

'

D. Perkalian ( Dilatasi )

Konsep : P’ = M . P  Mk = 



 



 k k 0

0

 Pusat (a, b) :



 







 



 







 









b y

a x k k b y

a x

0 0 '

' .

Soal-soal latihan :

1. Determinan matriks K yang memenuhi

persamaan 



 







 





1 2

1 K 3

5 3

7

4 sama dengan

a. 3 b. 1 c. – 1 d. – 2 e. – 3

2. Vektor 

 





2 1

x x x

 diputar mengelilingi pusat koordinat O sejauh 90^o dalam arah berlawanan dengan perputaran jarum jam.

Hasilnya dicerminkan terhadap sumbu x, menghasilkan vektor 



 





2 1

y y y

 . Jika x Ay, maka A ...

a. 

 



 0 1

1 0

b. 



 







 0 1

1 0

c. 



 



 

0 1

1 0

d. 



 



 1 0

0 1

e. 



 







 1 0

0 1

3. Vektor 

 





2 1

a a a

 dicerminkan terhadap sumbu x, hasilnya dicerminkan terhadap sumbu y dan hasil ini dipurtar mengelilingi pusat koordinat O sejauh 90o dalam arah yang berlawanan dengan perputaran jarum jam menghasilkan vektor b

. Matriks transformasi yang mentranformasi a

ke b

berbentuk

a. 



 



 

0 1

1 0

b. 



 





1 0 1 0

c. 



 



 1 0

0 1

d. 

 



 0 1

0 1

e. 



 





1 0

0 1

+ : berlawanan arah jarum jam

 =

- : searah jarum jam

P’

P b 

a

Matematika SMA 3

M AT R IK S & T R AN SFO RM A SI

4. Jika 



 





 



 







 



 









5 16

2 0 1 y 2

1 4 2 5

4 5

x , maka

a. y = 3x b. y = 2x c. y = x d. y = ₃^x e. y = ₂^x

5. 

 





 



 







 





1 1 x y

y x q

p , maka p ² q² dinyatakan dalam x dan y adalah

a. (x – y)² b. 2(x – y)² c. 2(x + y)² d. 2(x² – y²) e. 2(x² + y²)

6. Jika 



 







 

4 9

2

P 5 , 



 







 

y x x

1

Q 2 dan



 





 0 1

0 Q 1

P maka xy...

a. ²³₂ b. ²¹₂ c. ¹⁹₂ d. ¹⁷₂ e. ¹⁵₂

7. Jika a bilangan bulat, matriks

















7 6 5

a 1 a

2 1 a

tidak punya invers untuk a  a. 5

b. 4 c. 3 d. 2 e. 1

8. Diberikan dua matrik A dan B sebagai berikut



 



 2 0

k

A 5 , 

 



 5 0

m

B 9 . Jika AB BA, maka k/m =

a. 3 4

b. 4

3

c. 4 3

d. 45 10 e. 2

9. Diketahui lingkaran L berpusat di titik (2,3) dan melalui titik (1,5). Jika lingkaran L diputar 90 terhadap titik O(0,0) searah jarum jam, kemudian digeser ke bawah sejauh 5 satuan, maka persamaan lingkaran L’ yang dihasilkan adalah

a. x²y²6x6y50 b. x²y²6x6y50 c. x²y²6x6y50 d. x²y²6x6y50 e. x²y²6x6y0

10. Hasil kali semua nilai x sehingga matriks

















6 x 2 x

10 x x 2

x² tidak mempunyai invers

adalah a. 20 b. –10 c. 10 d. –20 e. 9

11. Diketahui matriks 

 





 

4 3

2

A 4 dan



 



 

 2 1

3

B 5 . Jika AC B dan C^1 adalah invers dari matriks C, maka determinan matriks C^1 adalah

a. – 2 b. – 1 c. 1 d. 2 e. 3

12. Jika A, B, dan C matriks 2 x 2 yang

memenuhi 



 





  0 1

1

AB 0 dan



 





  1 0

0

CB 1 , maka CA^-1 adalah…

a. 



 



 

0 1

1 0

b. 



 







 0 1

1 0

c. 



 





1 0

0 1

d. 



 



 1 0

0 1

e. 



 



 0 1

1 0

Matematika SMA 4

M AT R IK S & T R AN SFO RM A SI

13. Jika matriks 

 







 b 4

3

a mentransformasikan

titik (5,1) ke titik (7,–12) dan inversnya mentransformasikan titik P ke titik (1,0), maka koordinat titik P adalah

a. (2, –4) b. (2,4) c. (–2,4) d. (–2, –4) e. (1,3)

14. Parabola yx²6x8 digeser ke kanan sejauh 2 satuan searah dengan sumbu-x dan digeser ke bawah sejauh 3 satuan. Jika parabol hasil pergeseran ini memotong sumbu-x di x₁ dan x₂maka x ₁ x₂=

a. 8 b. 9 c. 10 d. 11 e. 12

15. Proyeksi titik (2, 3) pada garis y x adalah

… a.

 

25

2 5, b.

 

₃^7,₃⁷

c.

 

49 4 9, d.



¹¹₅^,11₅



e.



³₂^{, 3}₂



16. Transfortasi T berupa rotasi yang disusul dengan pencerminan terhadap garis y = x. Jika rotasi itu berupa rotasi sebesar 90⁰ berhadap pusat koordinat dalam arah perputaran jarum jam, maka matriks transfortasi T dapat ditulis sebagai

a. _



 





1 0

0 1

b. _



 





1 0

0 1

c. _



 



 

0 1

1 0

d. _



 





1 0 1 0

e. _



 





1 1

1 1 2 1

17. Diketahui 

 







 

1 a 5

4 a

M a , dengan a  0.

Jika determinan matriks M sama dengan 1, maka M^-1 sama dengan

a. 



 







 7 5

11 8

b. 

 



 8 5

11 7

c. 



 



 7 5

11 8

d. 

 







 8 5

11 7

e. 



 



 8 11

5 7

18. Suatu gambar dalam bidang xy diputar 45^o searah perputaran jarum jam kemudian dicerminkan terhadap sumbu x. Matriks yang menyatakan hasil kedua transformasi tersebut adalah :

a. 

 









 1 1

1 1 2

2

b. 

 









 1 1

1 1 2

2

c. 

 



 1 1

1 1 2

2

d. 



 





1 1

1 1 2

2

e. 



 







 1 1

1 1 2

2

19. Matriks yang menyatakan perputaran sebesar ₃^ terhadap O dalam arah berlawanan dengan perputaran jarum jam dan dilanjutkan dengan pencerminan garis xy0 adalah

a. 











 

3 1

1 3 2 1

b. 











 3 1

1 3 2 1

c. 













 

1 3

3 1

2 1

d. 













 1 3

3 1

2 1

e. 













 

3 1

1 3 2 1

Matematika SMA 5

M AT R IK S & T R AN SFO RM A SI

20. Jika transformasi T1 memetakan (x,y) ke (-y,x) dan transformasi T2 memetakan (x,y) ke (-y,x) dan jika transformasi T merupakan tansformasi T1, yang diikuti oleh transformasi T₂, maka matriks T adalah…

a. 

 



 

0 1

1 0

b. 



 







 0 1

1 0

c. 

 





1 0

0 1

d. 



 



 0 1

0 1

e. 

 







 1 0

0 1