K e m a m p u a n M a t e m a t i s

B a b 6

P

K e m a m p u a n M a t e m a t i s

ada tahun 2016 Pemerintah dalam hal ini Departemen Pendidikan dan Kebudayaan mengeluarkan peraturan menteri mengenai standar isi dan kompetensi kelulusan pendidikan dasar dan menengah. Dalam peraturan mengenai standar isi tersebut terdapat muatan matematika untuk siswa kelas satu sampai kelas enam, kompetensii muatan-muatan dikaitkan dengan ruang lingkup materi di SD. Terdapat kompetensi yang sama dalam setiap ruang lingkup materi, yaitu:

1.Menunjukkan sikap positif bermatematika logis, cermat dan teliti, jujur, bertanggung jawab, dan tidak mudah menyerah dalam menyelesaikan masalah, sebagai wujud implementasi kebiasaan dalam inkuiri dan eksplorasi matematika.

2.Memiliki rasa ingin tahu, semangat belajar yang kontinu, percaya diri, dan ketertarikan pada matematika, yang terbentuk melalui pengalaman belajar. Kompetensi-kompetensi lain dapat dilihat pada tabel 6.1.

Bab ini berisikan pengetahuan mengenai kemampuan- kemampuan matematis yang harus dikuasi oleh setiap siswa

dan bagaimana seorang guru menilai kemampuan- kemampuan tersebut dengan

menggunakan rubrik

Sub CPMK

 Mahasiswa mengetahui macam-macam kemampuan matematis siswa SD

 Mahasiswa dapat memahami indikator setiap kemampuan matematis siswa SD

 Mahasiswa dapat membuat permasalahan yang

berdasarkan indikator

kemampuan matematis siswa SD

 Mahasiswa dapat memahami dan membuat penilaian kemampuan matematis siswa

Tabel 6.1

Muatan Matematika Tingkat SD

Kompetensi Ruang Lingkup

Materi

 Memahami penjumlahan dan pengurangan bilangan asli.  Mengelompokkan benda menurut tampilan bentuknya.

 Memahami efek penambahan dan pengurangan dari kumpulan

objek.

 Mengidentifikasi seluruh dan bagian dalam kehidupan sehari-

hari.

 Menggunakan gambar atau foto untuk menyatakan sebuah

informasi dan menjawab pertanyaan mengenainya.

 Menggunakan model konkret dalam penyelesaian masalah.

 Bilangan asli dan pecahan sederhana.  Geometri dan pengukuran sederhana.  Statistika sederhana.

 Menjelaskan pola bangun dalam kehidupan sehari-hari dan

memberikan dugaan kelanjutannya berdasarkan pola berulang.

 Memahami penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat dan

pecahan.

 Mengelompokkan benda menurut bentuknya dan disertai

jastifikasi

 Menyelesaikan masalah aritmetika sehari-hari sebagai

penerapan pemahaman atas efek penambahan dan

pengurangan.

 Menyadari objek dapat dipandang sebagai kesatuan dari

bagian-bagiannya.

 Memberikan interpretasi dari sebuah sajian informasi/data.  Menggunakan model konkret dan simbolik atau strategi lain

dalam penyelesaian masalah sehari-hari.

 Bilangan bulat dan bilangan pecahan.  Geometri (sifat dan unsur) dan Pengukuran (satuan standar).  Statistika (pengumpulan dan penyajian data sederhana).

 Bersikap terbuka menghadapi perbedaan sudut pandang dan

mengemukakan kemungkinan sudut pandang yang berbeda dari yang dimilikinya.

 Menemukan pola bangun datar untuk menarik kesimpulan

atau menyusun bukti atau jastifikasi sederhana.

 Memahami penjumlahan, pengurangan, perkalian dan

pembagian bilangan bulat dan pecahan.

 Mengelompokkan benda ruang menurut sifatnya.

 Memberi estimasi penyelesaian masalah dan membandingkannya dengan hasil perhitungan

 Memberikan visualisasi dan deskripsi proporsi dan

menggunakannya dan penyelesaian masalah.

 Mengumpulkan data yang relevan dan menyajikannya dalam

bentuk tabel, gambar, daftar.

 Menggunakan simbol dalam pemodelan, mengidentifikasi

informasi, menggunakan strategi lain bila tidak berhasil.

 Bilangan (termasuk pangkat dan akar sederhana).  Geometri dan Pengukuran termasuk satuan turunan).  Statistika dan peluang.

Selanjutnya, mengenai standar kompetensi kelulusan, menteri melalui surat keputusannya menyatakan bahwa setiap lulusan baik tingkat dasar maupun menengah harus memiliki kompetensi yang terangkum di dalam tiga

dimensi, yaitu dimensi sikap, pengetahuan, dan keterampilan. Dalam bab ini, kita hanya membahas mengenai dimensi

faktual

prosedural metakognitif

pengetahuan saja. Standar kelulusan dalam dimensi pengetahuan adalah bahwa setiap lulusan memiliki pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif pada tingkat dasar yang berkenaan dengan ilmu pengetahuan, teknologi, seni, dan budaya, serta dapat mengaitkan pengetahuan-pengetahuan tersebut dalam

konseptual

konteks diri sendiri, keluarga, sekolah, masyarakat, dan lingkungan alam sekitar, bangsa, dan negara. Lebih lanjut, surat keputusan tersebut juga menjelaskan definisi dari pengetahuan-pengetahuan tersebut dalam tingkat pendidikan dasar, yaitu:

 Kemampuan faktual merupakan pengetahuan dasar yang berkenaan dengan ilmu pengetahuan, teknologi, seni, dan budaya terkait dengan diri sendiri, keluarga, sekolah, masyarakat dan lingkungan alam sekitar, bangsa, dan negara.

 Kemampuan konseptual merupakan terminologi atau istilah yang digunakan, klasifikasi, kategori, prinsip, dan generalisasi berkenaan dengan ilmu pengetahuan, teknologi, seni dan budaya terkait dengan diri sendiri, keluarga, sekolah, masyarakat dan lingkungan alam sekitar, bangsa, dan negara.

 Kemampuan prosedural merupakan pengetahuan tentang cara melakukan sesuatu atau kegiatan yang berkenaan dengan ilmu pengetahuan, teknologi, seni, dan budaya terkait dengan diri sendiri, keluarga, sekolah, masyarakat dan lingkungan alam sekitar, bangsa, dan negara.

 Kemampuan metakognitif merupakan pengetahuan tentang kekuatan dan kelemahan diri sendiri dan menggunakannya dalam mempelajari ilmu pengetahuan, teknologi, seni dan budaya terkait dengan diri sendiri, keluarga, sekolah, masyarakat dan lingkungan alam sekitar, bangsa, dan negara.

Surat keputusan yang dikeluarkan oleh pemerintah diharapkan dapat membuat calon pendidik dan seorang pendidik untuk dalam mengatur proses pembelajaran menjadi terarah, tepat, dan sesuai dengan lulusan yang diharapkan oleh bangsa ini. Hal ini sejalan dengan salah satu hadist yang diriwayatkan oleh Imam Thabrani bahwasanya Rasulullah SAW bersabda:

Artinya: ه )راوه الطار بن( َ ن ق ي َ ن تي ي ا ل ا م م عل ي حدك ي ا _ل ذاعم ب ي ِ ه َح ِ نا لل “Sesungguhnya Allah mencintai orang yang jika melakukan suatu pekerjaan, dilakukan secara itqan (tepat, terarah, dan tuntas)” (HR. Thabrani).

Agar proses pembelajaran terarah dan tepat, sudah seharusnya seseorang baik calon pendidik maupun sudah menjadi pendidik mengetahui kemampuan matematis yang harus dimiliki dan dikuasai oleh setiap siswa khususnya di tingkat SD serta bagaimana seorang pendidik menilai kemampuan tersebut. Kemampuan-kemampuan tersebut antara lain:

Kemampuan Pemahaman Matematis

Kemampuan pemahaman matematis adalah salah satu kemampuan matematis dasar dalam pembelajaran matematika. Dalam taksonomi Bloom, kemampuan pemahaman berada pada tahap kedua setelah pengetahuan. Walaupun kemampuan pemahaman dinilai lebih kompleks dari pengetahuan, tetapi kemampuan pemahaman masih dapat digolongkan ke dalam tingkat

langsung atau masih dapat dikatakan hanya bersifat melaksankan perhitungan secara rutin. Lebih lanjut, Bloom menyatakan bahwa terdapat tiga jenis pemahaman yang tercantum dalam buku karya Rusefendi, yaitu:

a. Pengubahan (translation), yaitu mampu mengubah soal yang berbentuk kata-kata ke dalam bentuk simbol dan sebaliknya.

Contoh: mengubah jumlah dari 2 bunga dan 3 bunga adalah menjadi 2 + 3 = . . .

b. Pemberian arti (interpretation), yaitu mampu mengartikan suatu kesamaan. Contoh: Ubahlah 25% menjadi bentuk pecahan.

c. Pembuatan ekstrapolasi (extrapolation), mampu memperkirakan suatu kecenderungan yang tersirat dalam suatu diagram.

Contoh:

Banyaknya Penjualan Barang

Senin Selasa Rabu Kamis Jumat

Berdasarkan diagram di atas, maka banyaknya penjualan pada hari Jumat adalah ...

Sedikit berbeda dengan Bloom, Polya yang dikutip dari Sumarmo pada kumpulan makalahnya pada tahun 2013 yang mengidentifikasi empat tahap dalam pemahaman matematis, yaitu:

Kemampuan Matematis | 193 berpikir rendah karena hanya menerapkan penggunaan rumus secara

600

450

300

a. Pemahaman mekanikal yang dicirikan dengan melaksanakan perhitungan secara rutin atau sederhana.

Contoh: 25 + 3 x 70 =

b. Pemahaman induktif, yaitu menerapkan rumus atau konsep dalam kasus sederhana atau dapat dikatakan bahwa rumus tersebut dapat diterapkan dalam kasus serupa.

Contoh: Diketahui panjang sisi suatu persegi adalah 10 cm, tentukan luas persegi tersebut?

c. Pemahaman rasional, yaitu membuktikan kebenaran atas sesuatu. Contoh: Buktikan bahwa jika suatu jari-jari lingkaran diperbesar menjadi dua kalinya maka luas lingkaran tersebut menjadi 4 kali luas lingkaran semula!

Pada kasus ini, bila seorang siswa dapat membuktikan kebenaran dari pernyataan tersebut, maka dapat dikatakan siswa tersebut sudah memiliki kemampuan pemahaman rasional.

d. Pemahaman intuitif, yaitu memperkirakan kebenaran dengan pasti (tanpa ragu-ragu) sebelum menganalisis secara analitik atau menganalisis lebih lanjut.

Contoh: Tanpa menjumlahkan, jika seperempat, sepertiga, dan seperlima dijumlahkan apakah hasilnya lebih besar atau lebih kecil dari 1?

Tokoh berikutnya yang mengidentifikasikan mengenai pemahaman matematis adalah Skemp. Berdasarkan tulisan Kastberg yang diambil dari penelitian Aulia pada tahun 2013, menyatakan bahwa pada awalnya Skemp membagi kemampuan pemahaman ke dalam dua jenis, tetapi kemudian Skemp merevisi definisi mengenai kedua pemahaman tersebut dan menambah satu jenis pemahaman yang baru. Jenis-jenis kemampuan pemahaman menurut Skemp, yaitu:

a. Pemahaman instrumental merupakan kemampuan yang dimiliki siswa tanpa siswa tersebut mengetahui mengapa suatu aturan diterapkan (rules without reason) atau suatu aturan bekerja, sehingga siswa hanya

diajukan. Tingkat pemahaman instrumental sama dengan mekanikal. Contoh: Tentukan volume suatu kubus jika diketahui panjang rusuknya 10 cm!

b. Pemahaman relasional merupakan kemampuan untuk menarik kesimpulan dari suatu aturan atau prosedur tertentu yang didasarkan dari hubungan matematis yang lebih umum (knowing what to do and why). Pada pemahaman ini adanya saling keterkaitan antar suatu prosedur dengan prosedur lainnya.

Contoh: Tentukan luas permukaan suatu kubus jika diketahui volume kubus tersebut 216 cm3_!

c. Pemahaman formal merupakan kemampuan untuk menghubungkan simbol dan notasi matematis dengan ide-ide matematis yang relevan, dan mengkombinasikan ide-ide tersebut ke dalam rangkaian penalaran logis. Pemahaman formal ini termasuk ke dalam kemampuan matematika yang lebih tinggi dibandingkan kemampuan-kemampuan pemahaman lainnya. Contoh: Tentukan besar sudut X pada gambar di bawah ini!

57°

X°

65°

Selanjutnya dalam tulisannya, Sumarmo (2013) menyatakan bahwa Pollastek dan Copeland mendefinisikan tingkat kemampuan pemahaman matematis yang tidak jauh berbeda dengan tokoh lainnya. Pollastek membagi

tahapan menjadi pemahaman komputasional dan pemahaman fungsional. Sedangkan Copeland membagi menjadi knowing how to dan knowing.

Pemahaman komputasional dan knowing how to memiliki tingkat

pemahaman yang sama dengan pemahaman mekanikal dan instrumental, yaitu pemahaman yang hanya menerapkan rumus saja. Selanjutnya, pemahaman fungsional dan knowing memilliki tingkatan yang sama dengan pemahaman induktif, dan relasional.

Pada awal pembahasan, kemampuan pemahaman matematis dinilai sebagai kemampuan yang rendah, akan tetapi terdapat tingkatan pemahaman matematis yang memerlukan kemampuan kognitif yang lebih tinggi untuk menguasainya dibandingkan kemampuan pemahaman yang lainnya. Serta pemilihan kemampuan apa yang menjadi target dalam proses pembelajaran haruslah disesuaikan dengan tingkat berpikir siswa.

Setelah kita membahas mengenai kemampuan pemahaman matematis dan indikator-indikator menurut para ahli. Kita akan membahas proses penilaian kemampuan pemahaman matematis. Dalam melakukan penilaian terhadap kemampuan matematis baik itu pemahaman dan kemampuan matematis lainnya. Alat penilaian yang tepat digunakan adalah dengan menggunakan penialian otentik yaitu melalui rubrik. Rubrik terbagi menjadi dua, yaitu holistik dan analitik.

“To solve math problems, you need to know the basic mathematics before you can start applying it.

-Catherine

Asaro-Rubrik holistik memiliki penjabaran penilaian secara keseluruhan sedangkan rubrik analitik memiliki penjabaran penilaian secara lebih terperinci. Contoh rubrik holistik dan analitik pada kemampuan pemahaman matematis dapat dilihat pada tabel 6. 2 dan 6. 3 berikut:

Tabel 6.2

Rubrik Analitik Kemampuan Pemahaman Matematis

Indikator Respon Siswa Skor

Pemahaman Instrumental

Tidak ada jawaban atau salah menginterpretasikan

permasalahan 0

Hanya menuliskan konsep yang akan digunakan 1 Jawaban salah; siswa menuliskan konsep matematika dan menerapkannya dalam algoritma, tetapi sangat terbatas.

2

Jawaban salah; siswa menuliskan konsep matematika dan menerapkannya dalam algoritma, tetapi kurang lengkap.

3

Jawaban benar; siswa menuliskan konsep matematika dan menerapkannya dalam algoritma, tetapi tidak lengkap, dan mengandung sedikit kesalahan dalam perhitungan.

4

Jawaban benar; siswa menuliskan konsep matematika dan menerapkannya dalam algoritma dengan lengkap dan benar

5

Pemahaman Relasional

Tidak ada jawaban atau salah menginterpretasikan

permasalahan 0

Hanya menuliskan konsep matematika yang terkait

dengan konsep yang akan digunakan 1

Jawaban salah; siswa menuliskan konsep matematika yang terkait dengan konsep yang akan digunakan dan menerapkannya dalam algoritma, tetapi sangat terbatas

2

Jawaban salah; siswa menuliskan konsep matematika yang terkait dengan konsep yang akan digunakan menerapkannya dalam algoritma, tetapi kurang lengkap

3

Jawaban benar; siswa menuliskan konsep matematika yang terkait dengan konsep yang akan digunakan dan menerapkannya dalam algoritma, tetapi tidak lengkap, dan mengandung sedikit kesalahan dalam perhitungan.

4

Jawaban benar; siswa menuliskan konsep matematika yang terkait dengan konsep yang akan digunakan dan menerapkannya dalam algoritma dengan lengkap dan benar

5

(Sumber: Aulia, 2013)

Pada rubrik analitik terlihat bahwa setiap indikator kemampuan memiliki penilaian yang terperinci.

Tabel 6.3

Rubrik Hostik Kemampuan Pemahaman Matematis

Score Description

4

Advanced Understanding

This student has full mastery and is ready to extend understanding to new concepts or move on.

3 Profience

Small instructional nudges to refine thinking or move toward efficiency 2 Developing Understanding

Targeted instruction to address specific gaps or key misunderstandings 1 Beginning Understanding

Much instruction to build conceptual understanding from foundations (Sumber:https://mathroot.wikispaces.com/Scoring+the+Benchmark+Assessments)

Terlihat pada tabel 6.3 mengenai rubrik holistik bahwa penjabaran dari setiap point penilaian merupakan secara garis besar.

Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis

Pemecahan masalah merupakan bagian yang penting dan menjadi inti dalam pembelajaran matematik. Hal ini didasarkan dari pernyataan Kaur dan Har yang menyatakan bahwa melalui pemecahan masalah seorang siswa harus mengkoordinasikan pengetahuan, pengalaman, pemahaman, dan intuisinya untuk mengatasi persoalan yang dihadapinya. Lebih lanjut, National Council of Teacher of Mathematics (NCTM) pada tahun 2000 menyatakan bahwa melalui pemecahan masalah seorang siswa belajar bagaimana cara berpikir, kegigihan, keingintahuan, dan kepercayaan diri. Sehingga kemampuan-kemampuan yang diperoleh melalui pemecahan masalah dapat membantu mereka dalam memecahkan masalah yang mereka hadapi di masa yang akan datang. Oleh sebab itu, sangatlah penting seorang siswa menguasai kemampuan pemecahan masalah matematis.

Charles dan Lester yang disadur dari tulisan Kaur dan Har menyatakan bahwa terdapat tiga faktor yang mempengaruhi seseorang dalam menguasai kemampuan pemecahan masalah, yaitu:

pengetahuan yang dimiliki, terbiasa dengan strategi-strategi yang akan menjadi solusi dari permasalahan, dan terbiasa dengan konteks dan isi dari masalah.

b. Faktor afektif, seperti ketertarikan, motivasi, tekanan, ketakutan, toleransi dalam ambiguitas dan ketekunan dalam mengahadapi permasalahan yang berhubungan dengan pemecahan masalah.

c. Faktor kognitif, seperti kemampuan membaca, spasial, analisis, logika, perhitungan dan memori.

Selain ketiga faktor tersebut, Minister Of Education (MOE) Singapore pada tahun 2006 menyatakan bahwa kemampuan pemecahan masalah matematis membutuhkan konsep dan keterampilan matematika dalam situasi yang sangat luas, termasuk di dalamnya soal-soal tidak rutin, open-ended, dan permasalahan yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari. Keluasan aspek pemecahan masalah dapat dilihat pada gambar berikut ini:

Gambar 6.1

Kerangka Pemecahan Masalah

Kerangka pemecahan masalah tersebut mengindikasikan bahwa dalam mengembangkan kemampuan pemecahan masalah matematis sangat

bergantung kepada kelima komponen tersebut, yaitu metakognisi, proses, konsep, keterampilan, dan sikap.

Tokoh pemecahan masalah yang sangat terkenal adalah Polya. Pada tahun 1973, melalui bukunya “How to Solve It”, Polya merancang empat tahapan dalam proses pemecahan masalah, yaitu: memahami masalah (understand the problem), merencanakan (devise a plan), melaksanakan perencanaan (carry out the plan), dan memeriksa kembali (look back). Selain keempat tahapan, Polya juga membuat kerangka berpikir dalam setiap tahapan-tahapannya seperti yang terlihat pada gambar 6.2.

Tahapan-tahapan Polya mengarahkan kepada heuristik (heuristic). Heuristik merupakan suatu strategi umum yang membantu siswa dalam proses pemecahan masalah. Heuristik menyajikan suatu road map agar proses pemecahan masalah dapat menghasilkan solusi yang benar. Peran heuristik dalam matematika adalah menuntun seseorang dalam menemukan konsep- konsep dan aturan-aturan dalam matematika. Berikut adalah saran-saran heuristik yang dikembangkan oleh Departemen Pendidikan Singapura (MOE Singapore, 2000)

 Untuk membuat representasi (to make a reperesentation)

Menggambar diagram atau gambar (draw a diagram), membuat list (make a list), menggunakan persamaan (use equations)

 Untuk membuat perkiraan kalkulasi (to make a calculated guess)

Tebak dan cek (guess and check), lihat pola (look for a pattern), membuat anggapan (make suppositions)

 Untuk melalui proses (to go through the process)

Menjalankan (act it out), bekerja mundur (work backwards), sebelum- sesudah (before-after)

 Untuk merubah persoalan (to change the problem)

Menyatakan kembali permasalahan (restate the problem), menyederhanakan persoalan (simplify the problem), menyelesaikan sebagian dari persoalan (solve part of the problem)

Gambar 6.2 Polya’s Framework

Berikut ini adalah beberapa contoh heuristik yang digunakan dalam pemecahan masalah.

Membuat diagram atau gambar Contoh soal:

Dalam sebuah pesta terdapat 5 orang yang hadir dimana setiap orang akan bersalaman atau berjabat tangan satu kali kepada setiap orang yang lain yang hadir di pesta tersebut. Berapa banyak salaman yang terjadi? Jawab: 4 3 2 1 4 + 3 + 2 + 1 = 10 jabat tangan

Membuat list atau daftar Contoh soal:

Tiga orang anak (Attar, Haura, dan Widya) akan berfoto bersama-sama. Berapa banyak posisi mereka bertiga berfoto?

Jawab:

Attar, Haura, Widya Haura, Attar, Widya Widya, Attar, Haura Attar, Widya, Haura Haura, Widya, Attar Widya, Haura, Attar

posisi.

Menggunakan persamaan Contoh soal:

Jika diketahui harga dua buah buku dan tiga buah pensil adalah Rp 31.000,00. Harga 2 buah buku dan 1 buah pensil adalah Rp 21.000,00. Maka harga satu buah pensil adalah . . .

Jawab:

Dimisalkan Buku = B dan pensil = P, maka 2 B + 3 P = Rp 31.000,00

2 B + P = Rp 21.000,00 2 P = Rp 10.000,00 P = Rp 5.000,00

Terkadang menggunakan persamaan dapat menolong dalam menuliskan informasi yang diperoleh dari soal, sehingga lebih mudah untuk dikerjakan. Tebak dan cek

Contoh soal:

Coretlah salah satu bilangan sehingga persamaan di bawah ini bernilai benar!

28 + 35 + 17 + 42 =87 Jawab:

Pada persoalan di atas siswa dapat melakukannnya dengan sistem coba- coba (trial and error), misalnya

35 + 17 + 42 = 94 x (salah)

28 + 17 + 42 = 87 Melihat pola Contoh soal:

 (benar)

Perhatikan gambar di atas maka gambar buah berikutnya adalah . . . Dengan membuat daftar, siswa akan memperoleh jawabannya yaitu 6

Jawab:

Dengan melihat pola siswa dapat menjawab gambar buah berikutnya yaitu buah apel.

Bekerja mundur Contoh soal:

Kakak memiliki sejumlah permen, kakak memberikan 10 permennya ke pada adik dan 13 permennya kepada temannya. Tiba-tiba ibu memberikan sebanyak 8 permen kepada kakak, sehingga permen kakak sekarang berjumlah 17. Berapa permen mula-mula kakak?

Jawab:

Untuk menyelesaikan persoalan di atas dapat digunakan cara mundur, yaitu 17 – 8 + 13+ 10 = 32 buah.

Menyederhanakan persoalan Contoh soal:

Berapa jumlah 50 bilangan asli pertama? Jawab:

Terkadang dalam menggunakan heuristik menyederhanakan persoalan dibutuhkan heuristik lainya, sebagai contoh melihat pola untuk menyelesaikan persoalan di atas.

1 + 2 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 155 = 100 + 55 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 = 255 = 200 + 55 Setelah siswa melihat pola, siswa dapat menyederhanakan persoalan menjadi

= [55 x 5 + ( 100 + 200 + 300 + 400)] = 275 + 1000

= 1275

Selain memberikan saran mengenai heuristik dalam tahapan merencanakan, MOE Singpore (Kaur dan Har, 2009) juga memberikan saran

framework lain seperti yang terlihat pada tabel 6.4 berikut: Tabel 6.4

Step for Problem Solving by MOE Singapore Step for Problem solving

1. Understand the problem  Look for information given  Visualise the information  Organise the information

- Make a table

 Connect the information 2. Devise a plan

 To make a representation - Draw a diagram - Make a systematic list - Use equations

 To make a calculated guess - Guess and check

- Look for a pattern - Make suppositions  To go through the process

- Act it out

- Work backwards - Before-after

 To change the problem - Restate the problem - Simplify the problem - Solve part of the problem

3. Carrying out the plan

 Use mathematical knowledge  Use mathematical skills  Use logical thinking 4. Look back (reflecting)

 Check solution - Is it reasonable?

 Improve on the methode use  Seek alternative solutions  Extend the methode to other

problem

Diaharapkan melalui langkah-langkah pemecahan masalah dan heuristik baik berdasarkan Polya’s framework maupun saran dari MOE Singapore, dapat membantu siswa untuk lebih mengembangkan kemampuan pemecahan masalah matematis. Tentu saja hal tersebut tidak terlepas dari peran guru. Oleh sebab itu tindakan guru sebelum, selama, dan sesudah siswa menyelesaikan soal-soal pemecahan masalah. Charles dan Lester yang diambil dari buku karangan Baroody dan Coslick pada tahun 1993 memberikan pada tahapannya yang lebih ringkas dari kerangka Polya atau Polya’s

saran tindakan apa saja yang harus dilakukan oleh seorang guru yaitu sebagai berikut:

Tindakan guru yang harus dilakukan sebelum tahapan memahami masalah 1. Untuk menggarisbawahi pentingnya membaca soal dengan seksama,

sebaiknya guru membacakan atau meminta seseorang siswa untuk membacakan masalah di depan kelas. Hal ini untuk mengatasi permasalahan siswa yang masih memiliki masalah dalam membaca. Diskusikan kata-kata yang memiliki arti yang penting dalam bidang matematika, kosakata asing, pengaturan, sehingga siswa dapat memahami persoalan dengan benar.

2. Untuk membantu siswa untuk fokus terhadap data atau informasi kunci dan untuk mengklarifikasi masalah, tanyakan kepada mereka mengenai apa yang mereka pikirkan mengenai yang ditanya dan data atau informasi apa saja yang diperlukan untuk menjawab pertanyaan. Guru dapat menyarankan agar siswa mengaitkan permasalahan ke dalam bahasa mereka sendiri. Serta guru dapat menuliskan pertanyaan secara spesifik dan petunjuk sebelum kelas dimulai.

Tindakan guru yang harus dilakukan selama tahapan merencanakan dan melaksanakan perencanaan

3. (Opsional) Untuk membantu siswa mempertimbangkan strategi solusi yang mungkin, doronglah para siswa untuk menawarkan ide mereka dalam mencari metode yang dapat digunakan dalam menghadapi permasalahan. Selama proses brain-stroming ide tersebut, usahakan tidak memberikan komentar, kritik, atau cara yang tepat kepada para siswa.

4. Untuk mengevaluasi kemajuan dan kesulitan siswa, guru harus memantau pekerjaan para siswa dan mintalah para siswa untuk menjastifikasi usaha mereka.

5. Untuk membantu siswa mengatasi hambatan, berilah siswa petunjuk bukan strategi solusi. Petunjuk yang diberikan dapat dalam bentuk heuristik, seperti: “Mengapa tidak mempertimbangkan masalah yang lebih

kerjakan sebelumnya?”. Dalam beberapa kasus, hal tersebut dapat membantu siswa untuk menganalisis ulang permasalahan. Para guru harus mengingat bahwa tujuannya adalah bahwa siswa kita melakukan proses berpikir sebanyak mungkin yang mereka bisa.

Tindakan guru yang harus dilakukan setelah tahapan melihat kembali

6. Untuk mendorong siswa mengevaluasi jawabannya, mintalah mereka menjastifikasi jawabannya, sebagai contoh tanyakan apakah jawaban yang mereka berikan masuk akal apa tidak, dan apakah jawaban mereka sesuai dengan pertanyaan awal.

7. Untuk menantang siswa yang telah menyelesaikan lebih awal dan untuk membantu siswa untuk dapat menggeneralisasi strategi solusi mereka terhadap masalah baru, diperlukan mengajukan masalah yang lebih lanjut. Misalnya, mintalah para siswa mempertimbangkan apa yang akan terjadi jika salah satu komponen dalam suatu masalah memiliki nilai yang berbeda. Kondisi tersebut selayaknya harus dipertimbangkan terlebih dahulu oleh guru apabila ingin mengajukan permasalahan tambahan yang diajukan sebelum proses pembelajaran dimulai.

8. Untuk mengilustrasikan berbagai metode solusi, mintalah para siswa untuk mendiskusikan solusi strategi mereka kepada temannya yang lain. Untuk mempercepat kebebasan dalam memberikan keputusan, mintalah para siswa juga membahas solusi mereka, tapi janganlah bertindak sebagai hakim akhir. Dorong siswa untuk membenarkan prosedur jawaban dan solusi mereka, untuk mengevaluasi saran orang lain, sehingga sampai pada suatu kesimpulan.

9. Untuk mendemonstrasi solusi metode mereka secara umum, mintalah para siswa untuk mendiskusikan bagaimana soal yang mereka kerjakan memiliki hubungan dengan soal atau situasi yang lain. Bagaimana persamaan dan perbedaan dengan soal yang telah mereka kerjakan

yang berbeda?

10. Untuk membantu siswa mempertimbangkan dampak dari fitur khusus, mintalah siswa untuk membahas aspek-aspek penting dari soal tersebut. Misalnya, apakah ada yang terkecoh oleh gambar yang menyertainya (bukan kesulitan yang jarang terjadi), sebuah "kata kunci" atau informasi tambahan.

Sepuluh tindakan guru yang telah dipaparkan sebelumnya dapat dijadikan acuan bagi para calon pendidik dan seorang pendidik untuk mempersiapkan hal-hal apa saja yang berkenaan dengan kemampuan pemecahan masalah matematis.

Dengan berkembangnya ilmu pendidikan, pemecahan masalah tidak hanya merupakan salah satu dari kemampuan matematis saja. Hal ini dikarenakan, terdapat tiga konsepsi pembelajaran pemecahan masalah, yaitu:

a. Mengajar melalui pemecahan masalah, yaitu dimana masalah yang diajukan oleh seorang guru dapat mengarahkan kepada pembelajaran suatu konsep atau keterampilan.

b. Mengajar tentang pemecahan masalah, yaitu fokus dari konsepsi ini adalah proses pemecahan masalah termasuk didalamnya heuristik dan kebiasan berpikir dibandingkan konten matematika.

c. Mengajar untuk pemecahan masalah, yaitu pemberian pemecahan masalah didahului dengan pengajaran konsep atau keterampilan matematika yang dibutuhkan untuk memecahkan masalah.

Setelah kita memahami apa yang dimaksud kemampuan pemecahan masalah matematis dan bagaimana siswa dapat mengembangkan kemampuan tersebut. Agar lebih terukur apa yang telah dikembangkan oleh siswa, maka diperlukan pedoman penilaian kemampuan pemecahan masalah. Berikut ini adalah contoh salah satu rubrik pemecahan masalah yang dapat digunakan yaitu yang terlihat pada tabel 6.5 yang diperoleh dari hasil penelitian Aisyah pada tahun 2012, yaitu sebagai berikut:

Indikator Nilai 0 1 2 3 4 Memahami Masalah Tidak menjawab, atau menjawab tidak berhubungan dengan pertanyaan Hanya sebagian interpretasi masalah yang benar Memahami masalah secara; mengidentifikasi semua bagian penting dari permasalahan; termasuk dengan membuat diagram atau gambar yang jelas dan

sederhana yang menunjukkan pemahaman terhadap ide dan proses masalah Merencanakan Tidak menjawab atau strategi yang dipilih salah Sebagian rencana sudah benar atau perencanaan tidak lengkap Keseluruhan rencana yang dibuat benar dan mengarah kepada penyelesaian yang benar Melaksanakan Perhitungan Tidak menjawab atau jawaban salah akibat perencanaan yang salah Penulisan salah, perhitungan salah, hanya sebagian kecil jawaban yang dituliskan, tidak ada penjelasan jawaban, jawaban dibuat tetapi tidak benar Hanya sebagian kecil prosedur yang benar, atau kebanyakan salah sehingga hasil perhitungan salah Secara substansial prosedur yang dilakukan benar dengan sedikit kekeliruan atau ada kesalahan prosedur sehingga akhir perhitungan salah Jawaban benar dan lengkap, memberikan jawaban secara lengkap, jelas, dan benar, termasuk dengan membuat diagram atau gambar Merefleksikan Tidak menjawab atau tidak ada pemeriksaan atau keterangan apapun Terdapat pemeriksaan tetapi tidak tuntas Pemeriksaan dilakukan untuk melihat kebenaran hasil dan proses Tabel 6.5

Sebelum kita mulai mempelajari apa yang dimaksud dengan kemampuan penaralan matematis. Coba kalian perhatikan pertanyaan berikut ini:

Semua calon peserta yang belajar pasti lulus ujian. Sebagaian calon peserta yang lulus ujian ternyata tidak belajar.

a. Sebagian calon peserta belajar dan lulus ujian

b. Sebagian calon peserta yang tidak lulus ternyata belajar c. Semua calon peserta belajar

d. Semua calon peserta yang tidak belajar tidak lulus ujian e. Semua calon peserta belajar dan lulus ujian

Apakah kalian pernah melihat bentuk pertanyaan seperti yang tercantum di atas?. Mungkin ada beberapa di antara kalian yang menganggap tipe-tipe pertanyaan tersebut terkadang membingungkan dan lebih memilih untuk tidak memperdulikan bahkan bisa jadi membencinya. Untuk dapat menyelesaikan tipe-tipe pertanyaan seperti tersebut, kita memerlukan kemampuan penalaran dalam menjawabnya. Oleh sebab itu, penalaran termasuk dalam salah satu kemampuan matematis yang harus dimiliki oleh setiap siswa. Hal ini dikarenakan melalui penalaran menawarkan cara-cara yang tangguh untuk membangun dan mengekspresikan gagasan-gagasan tentang beragam fenomena yang luas (NCTM, 2000).

Penalaran matematis adalah kemampuan yang berkenaan dengan menganalisis situasi matematika dan mengkonstruksikan argumen secara logis, dimana kemampuan tersebut merupakan bentuk pikiran yang dikembangkan melalui pengaplikasian matematika di berbagai konteks (MOE Singapore, 2006).

salah satu heuristik dalam pemecahan masalah adalah melihat pola. Pada heuristik ini diperlukan penalaran induktif dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan pola.

Secara umum terdapat dua tipe penalaran matematis, yaitu penalaran induktif dan penalaran deduktif. Penalaran induktif merupakan proses penalaran yang bekerja dimulai khusus menuju ke umum. Proses penalaran induktif biasanya disebut proses “bottom up” atau “hill climbing”, sedangkan penalaran deduktif merupakan proses kebalikan dari penalaran induktif, karena penalaran deduktif bekerja dari yang umum menuju ke khusus, Proses penalaran deduktif biasanya disebut “top-down” atau “water fall”, seperti yang terlihat pada gambar 6.3 (sumber: Widyasari, 2013).

Gambar 6.3

Proses Berpikir Penalaran Induktif dan Deduktif

Agar lebih memahami perbedaan penalaaran induktif dan deduktif, coba perhatikan penjelasan dalam materi bilangan bulat berikut:

Kemampuan Matematis | 211 Seperti yang ditelah dibahas pada subbab sebelumnya, bahwa dalam

THEORY THEORY

TENTATIVE

HYPOTHESIS HYPOTHESIS

PATTERN OBSERVATION

OBSERVATION _{Hill Climbing}

Water Fall CONFIRMATION

 Penalaran Deduktif

Diberikan teorema a – (-b ) = a + b, setelah guru memberikan bentuk tersebut maka guru meminta siswa mengerjakan jika 2 – (-1) = . . . Berdasarkan teorema yang telah diberikan sebelumnya, siswa akan mengolah menjadi 2 – (-1) = 2 + 1 = 3.

Bentuk a – (-b) merupakan bentuk umum, sedangkan bentuk 2 – (-1) merupakan bentuk khusus.

 Penalaran Induktif

Untuk menanamkan konsep seperti permasalahan pada penalaran induktif terlebih dahulu guru menyajikan

2 – 2 = 0 2 – 1 = 1 2 – 0 = 2

Sampai tahap ini siswa akan diajak untuk melihat pola, semakin kecil nilai pengurangnya maka akan bertambah satu nilai hasilnya, sehingga

2 – (-1) = 3

Dst, dari proses ini siswa akan membuat kesimpulan jika a – (-b) = a + b. Tahapan pengurangan dengan langsung melibatkan angka merupakan bentuk khusus, sedangkan a – (-b) merupakan bentuk umum.

Akan tetapi, berdasarkan disertasi Sumarmo pada tahun 1987 menyatakan bahwa deduksi dan induksi bukan dibedakan dari keumuman atau kekhususan premis dan konklusinya. Pernyataan tersebut didasarkan pernyataan Copi yang dituliskan oleh Sumarmo (1987), yang menyatakan bahwa pada argumen deduktif yang merupakan proses penalaran dimana konklusinya diturunkan secara mutlak menurut premis-premisnya, sedangkan argumen induktif merupakan proses penalaran yang kesimpulannya diturunkan menurut premis-premisnya dengan suatu probabilitas. Berbeda dengan pada umunya, Baroody dan Coslick membagi penalaran menjadi tiga bagian, yaitu:

 Penalaran Intuisi

Penalaran intuisi memerlukan wawasan yang siap atau bermain firasat. Sering tidak menggunakan semua informasi yang diperlukan untuk membuat keputusan sehingga kita mendasarkan keputusan pada firasat. Contoh:

Persegi panjang merah atau biru yang memiliki luas daerah yang lebih besar?

 Penalaran Induktif

Penalaran induktif melibatkan pengamatan sebuah keteraturan (seperti heuristik mencari pola pada pemecahan masalah melibatkan jenis penalaran ini). Menemukan sebuah aturan umum di antara contoh yang beragam merupakan dasar untuk pembentukan konsep dan sangat mengurangi apa yang harus kita ingat.

Contoh:

Jelaskan apa yang dimaksud dengan segilima yang didasarkan dari gambar gambar di bawah ini!

 Penalaran Deduktif

Penalaran deduktif mengilustrasikan kesimpulan yang hanya perlu mengikuti dari apa yang diketahui.

Sumarmo (2012) memberikan penjelasan dan indikator-indikator yang termasuk dalam kemampuan penalaran matematis, yaitu sebagai berikut:  Penalaran Induktif

Penalaran induktif diartikan sebagai penarikan kesimpulan yang bersifat umum atau khusus berdasarkan data yang teramati. Nilai kebenaran dalam penalaran induktif dapat bersifat benar atau salah. Beberapa kegiatan yang tergolong pada penalaran induktif di antaranya adalah: a. Transduktif, merupakan proses menarik kesimpulan dari satu kasus

atau sifat khusus yang satu diterapkan pada yang kasus khusus lainnya.

Contoh:

Transduktif yang benar Perhatikan gambar berikut

X Berdasarkan K gambar di samping kiri maka Y Z L M XY2 _{+ YZ}2 _{= XZ}2 _{maka berlaku} KL2 + LM2 _{= KM}2

Transduktif yang salah

15 adalah bilangan ganjil dan dapat dibagi 3 35 adalah bilangan ganjil dan dapat dibagi 3

data atau proses. Contoh: H E F D G 15 cm C 10 cm

Jika panjang rusuk balok diperpanjang 10 cm, maka balok tersebut memiliki hubungan dengan 35 cm

A _{20 cm B}

Jika tinggi rusuk balok ABCD.EFGH diperpanjang menjadi 25 cm, maka memiliki hubungan dengan ... cm.

Jelaskan alasanmu! (sumber: Widyasari, 2013)

c. Generalisasi, merupakan penarikan kesimpulan umum berdasarkan sejumlah data yang teramati.

Contoh:

dan seterusnya

Balok-balok di atas mempunyai alas berbentuk persegi yang memiliki ukuran berturut-turut a, 2a, 3a, dan seterusnya, serta tinggi masing balok merupakan dua kali dari panjang rusuk alas. Berapakah panjang diagonal ruang untuk pola ke-n?

d. Memperkirakan jawaban, solusi atau kecenderungan baik interpolasi maupun ekstrapolasi. Ini sama dengan pemahaman pembentukan ekstrapolasi yang dikemukakan oleh Bloom. Ekstrapolasi yaitu kecenderungan data di akhir sedangkan interpolasi di tengah.

e. Memberi penjelasan terhadap model, fakta, sifat, hubungan, atau pola yang ada. Contoh dapat dilihat pada bagian analogi. Pada soal analogi b. Analogi, merupakan penarikan kesimpulan berdasarkan keserupaan

Serupa dengan

ada pertanyaan jelaskan alasanmu. Pertanyaan tersebut masuk ke dalam indikator ini.

f. Menggunakan pola hubungan untuk menganalisis situasi, dan menyusun konjektur. Contoh dapat dilihat pada soal generalisai. Jika pada soal tersebut ditambahkan tentukan panjang diagonal pola ke-5 maka ini termasuk dalam menyusun konjektur.

Konjektur merupakan kegiatan yang cukup penting dalam kemampuan penalaran matematis pada tingkat SD. Hal ini dikarenakan, konjektur merupakan penarikan kesimpulan yang ditarik dari penalaran intuitif atau induktif yang disebut dugaan. Konjektur dapat dikatakan sebagai hasil dari menebak, kesimpulan, teori, atau prediksi berdasarkan bukti yang tidak pasti atau tidak lengkap. Lebih lanjut, konjektur merupakan penghubung antara penalaran induktif dan penalaran deduktif. Berdasarkan indikator-indikator tersebut, Sumarmo (2012) juga menyatakan bahwa pada umumnya penalaran transduktif tergolong pada kemampuan berpikir matematik tingkat rendah, sedangkan kemampuan lainnya tergolong dalam kemampuan berpikir matematik tingkat tinggi. Selanjutnya adalah indikator-indikator penalaran deduktif.

 Penalaran Deduktif

Penalaran deduktif merupakan penarikan kesimpulan berdasarkan aturan yang disepakati, serta nilai kebenaran dalam penalaran deduktif bersifat mutlak benar atau salah, dan tidak keduanya bersama-sama. Penalaran deduktif dapat tergolong tingkat rendah atau tingkat tinggi. Beberapa kegiatan yang tergolong pada penalaran deduktif di antaranya adalah: a. Melaksanakan perhitungan berdasarkan aturan atau rumus tertentu.

Pada kegitan ini memiliki tingkat kemampuan yang sama dengan pemahaman relasional yang diajukan oleh Skemp.

b. Menarik kesimpulan logis berdasarkan aturan inferensi, memeriksa validitas argumen, membuktikan, dan menyusun argumen yang valid.

pembuktian dengan induksi matematika.

Kemampuan pada butir pertama pada penalaran deduktif menurut Sumarmo (2012) pada umumnya tergolong ke dalam kemampuan berpikir matematik tingkat rendah, sedangkan kemampuan lainnya tergolong ke dalam berpikir matematik tingkat tinggi.

Sementara itu menurut Mullis, et al. pada 2009 membuat komponen yang diukur pada pelaksanaa survey kemampuan yang dilakukan oleh TIMSS pada tahun 2011, dimana Mullis, et al. membuat komponen-komponen yang termasuk dalam kemampuan penalaran matematis seperti yang terlihat pada tabel 6.6.

Tabel 6.6.

Komponen Penalaran Matematis Menurut Mullis, et al

Komponen

Penalaran Deskripsi

Analisis

Menentukan, membicarakan, atau menggunakan hubungan-hubungan antar variabel atau obyek dalam situasi matematik, dan menyusun inferensi sahih dari informasi yang diberikan.

Generalisasi

Memperluas domain sehingga hasil pemikiran matematik atau pemecahan masalah dapat diterapkan secara lebih umum dan lebih luas.

Sintesis

Membuat hubungan antara elemen-elemen pengetahuan yang berbeda dengan representasi yang berkaitan. Menggabungkan fakta-fakta, konsep-konsep, dan prosedur-prosedur dalam menentukan hasil, dan menggabungkan hasil tersebut untuk menentukan hasil yang lebih jauh.

Jastifikasi Menyajikan bukti yang berpedoman terhadap hasil atau sifat-sifat matematika yang diketahui.

Pemecahan masalah tidak

rutin

Menyelesaikan masalah dalam konteks matematik atau kehidupan sehari-hari dengan tujuan agar siswa terbiasa menghadapi masalah serupa, dan menerapkan fakta, konsep, dan prosedur dalam soal yang tidak biasa atau konteks kompleks

Dalam mengembangkan kemampuan penalaran matematis Baroody dan Coslick yang dirangkum oleh penulis mengemukakan tindakan-tindakan yang harus dilakukan oleh guru terhadap siswa, yaitu antara lain:

- Kesempatan secara teratur untuk berlatih menggunakan kemampuan penalaran dan membuat konjektur.

- Guru harus berupaya untuk mendorong siswa untuk menebak, usahakan jangan memberikan feedback negatif ke siswa seperti “Ah itukan hanya tebakan kamu saja”.

- Biarkan tebakan salah siswa menjadi proses pembelajaran, karena secara tidak langsung siswa akan belajar mensortir jawaban-jawaban yang salah dan berpikir kembali kemungkinan jawaban yang sesuai.

- Guru selayaknya menekankan pentingnya kemampuan penalaran induktif dan intuitif walaupun terkadang hasil jawaban mereka belum tentu benar. Tetapi kedua kemampuan tersebut akan melatih mereka kepada penalaran yang bersifat formal.

- Siswa sebaiknya dikenalkan dengan kegiatan memilah dan mengklasifikasikan, karena kegiatan ini dapat membantu siswa untuk berpikir logis. Salah satu cara mengenalkan kegiatan memilah dan mengklasifikasikan dapat menggunakan benda konret dan diagram venn. - Perkenalkan pola sebanyak-banyaknya dengan berbagai variasi kepada

siswa. Doronglah para siswa untuk menyalin, menemukan atau mengidentifikasi inti dari pola, serta membuat pola. Kegiatan ini dapat dilakukan dengan memberi label pada pola sehingga siswa lebih mudah untuk memahaminya.

- Pada penalaran deduktif, guru selayaknya mendorong siswa untuk merepresentasikan kembali soal-soal penalaran ke dalam bahasa mereka melalui benda-benda konkrit seperti gambar.

- Guru juga harus mendorong siswa untuk memecahkan masalah penalaran dengan cara proses eliminasi pada penalaran deduktif.

matematis dengan menggunakan rubrik pada beberapa indikator penalaran pada tabel 6.7 (sumber: Widyasari, 2013)

Tabel 6.7

Rubrik Kemampuan penalaran Matematis Komponen

Penalaran Skor Kriteria Penskoran

Analogi

0 Tidak menjawab.

1

Jawaban salah; siswa tidak dapat membangun analogi; siswa menganalogikan sesuatu tetapi sama sekali tidak berdasarkan keserupaan data atau proses.

2

Jawaban salah; siswa membangun sebuah analogi dan dapat mengidentifikasi keserupaan data atau proses tetapi tidak mendukung penganalogian secara sepenuhnya.

3

Jawaban hampir benar; siswa dapat membangun analogi tetapi tidak mendukung analogi sepenuhnya; jawaban benar tetapi tidak memberikan alasan

4

Jawaban benar; siswa dapat membangun analogi yang tepat tetapi tidak secara jelas mengemukakan alasan logis yang mendasari penganalogian tersebut.

5

Jawaban benar; siswa dapat membangun analogi yang tepat dan secara jelas mengemukakan alasan logis yang mendasari penganalogian tersebut yang didasarkan keserupaan data atau proses.

Melaksanakan perhitungan berdasarkan aturan atau rumus tertentu 0 Tidak menjawab. 1

Jawaban salah; siswa tidak dapat melakukan perhitungan; siswa melakukan perhitungan tetapi sama sekali tidak didukung aturan atau rumus yang berlaku.

2

Jawaban salah; siswa dapat melakukan perhitungan tetapi hanya didukung oleh sebagian aturan atau rumus yang berlaku.

3

Jawaban hampir benar; siswa dapat melakukan perhitungan tetapi didukung oleh sebagian aturan atau rumus yang berlaku; jawaban benar tetapi tidak memberikan alasan

4

Jawaban benar; siswa dapat melakukan perhitungan tetapi tidak secara jelas mengemukakan hubungan antara solusi yang diperoleh dengan aturan atau rumus yang digunakan.

5

Jawaban benar; siswa dapat melakukan perhitungan dan secara jelas mengemukakan hubungan antara solusi yang diperoleh dengan aturan atau rumus yang digunakan.

Pada sub bab ini kita akan mempelajari mengenai kemampuan komunikasi matematis. Alasan mengapa komunikasi masuk ke dalam kemampuan matematis adalah dikarenakan komunikasi merupakan bagian yang tidak terpisahkan dalam proses pembelajaran khususnya dalam bidang matematika. Menurut Baroody dan Coslick, terdapat dua alasan penting mengapa pembelajaran matematika berfokus kepada komunikasi.

Pada alasan yang pertama ini Baroody dan Cosllick berpendapat bahwa matematika bukan hanya sekedar alat bantu berfikir, alat menemukan pola, alat menyelesaikan masalah, atau alat membuat kesimpulan. Matematika juga merupakan alat yang sangat berharga untuk mengkomunikasikan berbagai gagasan dengan jelas, tepat, dan ringkas. Maka matematika bisa dianggap bahasa dalam kehidupan yang sangat nyata.

Alasan yang kedua adalah karena proses pembelajaran merupakan bagian yang tidak terpisahkan dari aktivitas sosial. Hal ini dikarenakan, dalam proses pembelajaran matematika terdapat proses diskusi, beragumentasi, berbagi ide, dan kegiatan komunikasi lainnya yang merupakan bagian dari aktivitas sosial.

Sejalan dengan Baroody dan Coslick, Turmudi dalam bukunya pada tahun 2009 menyatakan bahwa selain digunakan sebagai alat sharing ide atau gagasan, komunikasi juga merupakan sebagai alat untuk mengklasifikasikan pemahaman. Turmudi menambahkan dalam proses pembelajaran matematika, komunikasi membantu membangun makna dan kelengkapan gagasan yang membuat menjadi milik publik dalam hal ini menjadi milik seluruh siswa di dalam proses pembelajaran tersebut. Ketika proses diskusi terjadi, maka siswa belajar untuk menjelaskan apa yang ada dipikirannya, meyakinkan orang lain atas gagasannya, mendengarkan gagasan dan penjelasan orang lain, serta memberikan kesempatan bagi dirinya dan orang lain untuk mengembangkan pengetahuan dan pengalaman mereka. Melalui diskusi tersebut, maka para

menjastifikasi solusi yang mereka tawarkan. Proses ini juga melibatkan kemampuan-kemampuan matematis yang lainnya. Menurut Baroody dan Coslick, terdapat lima aspek yang dapat membantu dalam mengembangkan kemampuan komunikasi, yaitu representasi, mendengarkan, membaca, berdiskusi, dan menulis.

Hal ini sejalan dengan Turmudi yang menyatakan jika para siswa diberikan kesempatan, dorongan, dukungan untuk berbicara, menulis, membaca, dan mendengar memiliki keuntungan ganda, yaitu mereka berkomunikasi untuk belajar matematika serta mereka belajar berkomunikasi

secara matematika. Hal ini dikarenakan, “The power of mathematics is

often to change one thing into another, to change geometry

into language”. -Marcus du

Sautoy-matematika berisi simbol-simbol dan istilah-istilah yang terkadang merupakan hal yang tidak biasa didengar dan dilihat oleh siswa. Oleh sebab itu, pemberian bahasa matematika haruslah dilakukan secara bertahap dan tidak hanya berfokus terhadap menghafalkan istilah-istilah agar siswa tersebut memahaminya dan tidak mengganggap bahasa matematika menjadi suatu bahasa yang asing bagi mereka.

Terdapat beberapa ahli yang menyatakan komponen-komponen dalam kemampuan komunikasi matematis. Sumarmo (dalam Sumarmo, 2013) menganalisis dan merangkum komponen-komponen tersebut ke dalam indikator kemampuan komunikasi matematis yang meliputi:

 Menyatakan suatu situasi, gambar, diagram, atau benda nyata ke dalam bahasa, simbol, ide, atau model matematika.

Contoh:

Di suatu kelas yang terdiri dari 20 siswa terdapat 10 orang yang mengikuti kegiatan membaca, 9 orang mengikuti kegiatan melukis, dan 5 orang yang siswa akan belajar bagaimana menghubungkan gagasan mereka,

tidak mengikuti kedua-duanya. Berapa banyak siswa yang mengikuti kegiatan kedua-duanya? Pilihlah model matematika untuk menyatakan masalah tersebut! Mengapa memilih model tersebut?

 Menjelaskan ide, situasi, dan relasi matematika secara lisan atau tulisan. Contoh:

Berdasarkan gambar diatas, tentukan persegi panjang merah atau biru yang memiliki luas daerah yang lebih besar? Jelaskan alasanmu?

 Mendengarkan, berdiskusi, dan menulis tentang matematika.

Untuk komponen ini dapat dilakukan penilaian selama proses pembelajaran.

 Membaca suatu pemahaman dengan representasi yang berbeda. Komponen ini juga bisa dinilai selama proses pembelajaran.

 Membuat konjektur, menyusun argumen, merumusan definisi, dan generalisasi.

Contoh dapat dilihat pada bagian inidikator penalaran induktif.

 Mengungkapkan kembali suatu uraian atau paragraf matematika dalam bahasa sendiri.

Komponen ini bisa diberikan pada saat proses pembelajaran di kelas, salah satunya melalui jurnal. Agar siswa dapat mengadopsi matematika sebagai suatu bahasa dan menggunakan secara efektif, maka Baroody dan Coslick mengemukakan beberapa saran, yaitu:

- Gunakan pendekatan pengalaman-bahasa.

- Pemberian definisi dan notasi formal harus didasarkan pada pengetahuan informal siswa atau pengetahuan yang telah dimiliki sebelumnya.

- Guru harus memperhatikan bagaimana membandingkan dan membedakan antara bahasa matematika dengan bahasa sehari-hari.

Setelah kita mengetahui, pengertian dan komponen-komponen dari para ahli. Selanjutnya kita pelajari mengenai rubrik penilaian kemampuan komunikasi matematis siswa pada tabel 6.7 berikut:

Tabel 6.7

Rubrik Kemampuan Komunikasi Matematis Komponen

Komunikasi Skor Kriteria Penskoran

Menyatakan situasi matematika ke dalam model matematika 0 Tidak menjawab.

0-2 Mengidentifikasi unsur data yang diketahui dan ditanyakan serta menyatakannya dalam simbol matematika

0-2 Mengidentifikasi kaitan antar unsur data yang diketahui dann ditanyakan

0-3

Menyusun model matematika dalam bentuk gambar an atau ekspresi matematika dan menjelaskan konsep matematika yang terlibat

0-3 Menyelesaikan masalah model matematika disertai alasan

0-2 Menetapkan solusi yang relevan disertai alasan

Memberi penjelasan terhadap model matematika 0 Tidak menjawab.

0-3 Mengidentifikasi konsep dan proses matematika yang termuat dalam model matematika yang diberikan

0-2 Mengidentifikasikan kaitan antar konsep dan proses matematika yang termuat dalam model matematika

0-3 Memberi penjelasan terhadap kaitan antar konsep dan proses matematika yang termuat dalam model matematika

(sumber: Sumarmo, 2016) - Hubungkan bentuk-bentuk matematika ke dalam ekspresi sehari-hari

Pada awalnya kemampuan representasi matematis masuk ke dalam komponen kemampuan komunikasi matematis. Tetapi dikarenakan kemampuan representasi matematis dinilai luas maka kemampuan tersebut dipisahkan dari komunikasi. Oleh sebab itu, masih terdapat beberapa orang yang sulit membedakan antara komunikasi dan representasi. Hal ini dikarenakan terdapatnya komponen-komponen dari kedua kemampuan matematis itu yang saling overlaping atau tumpang tindih.

Baroody dan Coslick menyatakan bahwa representasi melibatkan penyajian kembali sebuah gagasan atau masalah dalam bentuk baru. Seperti mengubah suatu permasalahan yang berbentuk kalimat menjadi suatu model matematika (gambar, diagram, tabel, atau simbol matematika). NCTM mengistilahkan representasi mengacu pada proses dan produk, yaitu dengan cara mengubah suatu konsep atau hubungan matematis ke dalam beberapa bentuk dan bentuknya sendiri. Sebagai contoh, ketika seorang siswa menggambar suatu bangun datar atau ruang, maka siswa tersebut menggunakan kemampuan representasi, sedangkan gambar bangun tersebut adalah bentuk dari representasi. NCTM juga menambahkan bahwa istilah tersebut berlaku untuk proses dan produk yang dapat diamati baik secara eksternal maupun yang terjadi secara internal di dalam pikiran seseorang ketika melakukan aktivas matematika. Selain representasi internal dan eksternal tersebut, Goldin dan Shteingold (Dewanto dalam Aisyah, 2012) menambahkan satu jenis representasi yaitu

representasi bersama (sharing), yaitu merupakan bentuk konstruksi suatu simbol secara bersama-sama baik oleh siswa maupun guru. Walaupun beberapa ahli membagi representasi ke dalam beberapa

“Mathematics is the art of giving the same name to

different things” -Henri Poincare-Kemampuan Representasi Matematis

pada tahun 2011 menyatakan bahwa representasi pada hakekatnya bukan menunjukkan kepada produk atau hasil yang terwujud dalam bentuk konstruksi baru, tetapi juga proses berfikir yang dilakukan dalam menangkap dan memahami konsep, operasi, dan hubungan-hubungan matematik dari suatu konfigurasi. Jadi representasi bisa berlangasung dua tahap atau tiga tahap, yaitu melalui representasi internal yang merupakan proses berpikir kemudian dilanjutkan dengan representasi eksternal yang merupakan perwujudan untuk menggambarkan apa-apa yang dikerjakan secara internal.

Melalui kegiatan berepresentasi membantu siswa memahami konsep kunci dari konsep matematika. Representasi akan menolong siswa mengatur proses berfikirnya. Sehingga siswa dapat melihat bahwa konsep kunci tersebut membantu mereka lebih memahami makna dari suatu konsep, dan memudahkan mereka dalam memilih strategi. Proses ini melibatkan analisis yang matang, sehingga melalui representasi siswa dapat meningkatkan kemampuan berpikir matematis. Representasi akan menolong siswa mengatur proses berfikirnya. Menurut Dahlan dan Juandi menyatakan bahwa representasi berguna sesuai dengan taraf kognitinya, yaitu:

- Pada tingkatan SD, representasi berguna untuk membantu menyusun ide- ide matematika lebih konkrit.

- Pada siswa sekolah menengah, representasi berguna untuk menyelesaikan masalah atau memperjelas, atau memperluas ide-ide matematika. Mulai dari proses mengumpulkan fakta (data), menyusun tabel atau grafik, sampai pada pengembangan representasi simbolik (aljabar).

Proses-proses representasi yang diperoleh melalui pengalaman dalam hal ini menggunakan dan membandingkan beberapa bentuk representasi, siswa akan belajar bagaimana menghargai matematika dan lebih memahami the power of mathematics. Sehingga dapat meningkatkan kemampuan afektif siswa yang lain, seperti disposisi matematis.

Akan tetapi, pentingnya kemampuan representasi tidak diimbangi oleh proses pelaksaannya. Representasi-representasi sering diperoleh dan dipelajari bentuk akhirnya. Akibatnya siswa tidak memaknainya. Sebagai contoh siswa kesulitan memaknai bentuk-bentuk yang saling ekuivalen.

Contoh kasus:

Oleh sebab itu, pemberian bentuk representasi yang hanya berupa hapalan haruslah dihindari. Santon dan Thomas (Dewanto dalam Aisyah, 2012) mengemukakan komponen-komponen dalam kemampuan representasi matematis, seperti yang terlihat pada tabel 6.8 berikut ini:

Tabel 6.8

Indikator Kemampuan Representasi Matematis Komponen

(dimensi proses berpikir)

Representasi

Simbolik Grafis Numerik/Tabular

Berorientasi Prosedur Memanipulasi Simbol Menghitung dari bentuk grafik Menggunakan prosedur dari hasil

numerik Berorientasi Proses Menginterpretasi makna simbol Menggambarkan fungsi yang diberikan atau dihitung Memahami dan menerapkan dalam proses bentuk numerik Berorientasi Objek Beroperasi dengan simbol Beroperasi pada grafik Menginterpretasikan tabel Berorientasi Konsep

Mengaitkan prosedur dan proses yang dapat diterapkan pada berbagai representasi pada konsep yang relevan. Mengidentifikasikan dan mengopersikan pad objek konsep

Versatile (cakap)

Memiliki cukup pengetahuan untuk berorientasi dengan semua di atas, dan mampu mengidentifikasi dan menggunakan objek, proses dan prosedural yang sesuai, dalam berbagai representasi

Siswa dapat mengerjakan soal 23 x 45 = 45 x ... tetapi bila bentuknya menjadi 23 x 45 = . . . x 45 + 45 + 45 + 45 akan menyebabkan siswa tidak dapat mengerjakannya, padahal kedua bentuk tersebut adalah ekuivalen.

membagi lima representasi yang digunakan dalam pembelajaran matematika, yaitu:

- Real world object representation

Keterampilan mengubah masalah matematika ke dalam objek sehari-hari - Concrete representation

Keterampilan mengubah masalah matematika ke dalam bentuk konkrit - Arithmetic symbol representation

Keterampilan mengubah permasalahan matematika ke dalam bentuk rumus aritmatika

- Spoken-language representation

Keterampilan representasi mengubah karakteristik dan hubungan dalam matematika ke dalam bentuk verbal

- Picture or graphic representation.

Keterampilan mengubah permasalahan matematika ke dalam bentuk gambar atau grafik

Diantara kelimanya, tiga yang terakhir merupakan representasi yang lebih abstrak dan tingkat tinggi.

Dahlan dan Junadi juga mengemukakan secara umum bentuk-bentuk representasi yang dapat di bangun dari suatu masalah seperti yang terlihat pada tabel 6.9. Lebih lanjut, Jarnawi dan Junadi memberikan saran-saran mengenai kemampuan representasi yang didasarkan oleh penelitian yang telah mereka laksanakan. Saran-saran tersebut adalah sebagai berikut:

- Penting untuk memberikan kebebasan siswa dalam menuangkan ide mereka yang berkaitan dengan masalah matematik, sehingga mereka akan mengenal berbagai representasi suatu permasalahan.

- Pembelajaran matematika sekolah perlu memperhatikan keragaman berfikir siswa, serta siswa memahami aturan, dalil, dan rumus-rumus matematika dalam tingkat berfikirnya. Hal ini akan memberikan jembatan bagi siswa dalam mengkonstruksi dan memahami representasi suatu

masalah. Selain itu, mereka akan memahami bahwa representasi aljabar mempunyai bentuk-bentuk yang ekuivalen.

- Agar bentuk representasi siswa sangat beragam, perlu juga diberikan soal yang terbuka, sehingga memberikan kesempatan bagi siswa untuk memunculkan bentuk-bentuk representasinya

Tabel 6.9

Bentuk-Bentuk Representasi

Representasi Bentuk Operasional

Visual dalam Bentuk Gambar dan

Tabel

- Menyajikan kembali data atau informasi dari

representasi ke dalam bentuk tabel, diagram, grafik, dll. - Menggunakan representasi visual.

- Membuat gambar pola geometri. - Memperjelas bangun geometri

Ekspresi Matematika

atau Persamaan Matematika

- Membuat persamaan matematika atau model matematika dari representasi ke representasi lain. - Membuat konjektur dari pola yang ditemukan.

- Menyelesaikan masalah melalui persamaan matematika

Deskripsi atau Pernyataan

- Membuat situasi masalah dari masalah yang diberikan. - Menuliskan interpretasi dari representasi.

- Menuliskan solusi masalah melalui kalimat secara tertulis.

- Menggunakan langkah-langkah penyelesaian matematika dengan kata-kata

Boost Your Brain

Berdasarkan informasi-informasi sebelumnya mengenai komponen-komponen kemampuan representatif, cobalah buat permasalahan yang sesuai dengan komponen-komponen tersebut! Diskusikan dengan rekan di kelasmu!

Setelah kalian berdiskusi, coba sesuaikan dengan rubrik penilaian pada tabel 6.10, apakah rubrik tersebut mewakili komponen yang kalian telah buat. Jika tidak cobalah buat rubrik yang sesuai dengan komponen representasi yang telah kalian buat!

Tabel 6.10

Rubrik Kemampuan Representasi Matematis Skor Mengkomunikasikan atau Menjelaskan Menyatakan atau Menggambar Ekspresi Matematis atau Penemuan 0 Tidak ada jawaban kalaupun aada hanya memperlihatkan

ketidakpahaman

1 Hanya sedikit dari

penjelasan yang benar

Hanya sedikit dari gambar, diagram yang benar

Hanya sedikit dari model matematika yang benar

2

Penjelasan secara matematis masuk akal namun hanya sebagian lengkap dan benar

Melukiskan diagram namun kurang lengkap dan benar Menemukan model matematika dengan benar namun salah dalam mendapatkan solusi

3

Penjelasan secara matematis masuk akal dan benar, meskipun tidak tersusun secara logis atau terdapat sedikit kesalahan bahasa

Melukiskan diagram gambar secara lengkap tetapi ada sedikit kesalahan Menemukan model matematika dengan benar kemudian melakukan perhitungan atau mendapatkan solusi secara benar

4

Penjelasan secara matematis masuk akal dan jelas serta

tersusun secara logis

Melukiskan diagram gambar secara lengkap dan benar Menemukan model matematika dengan benar kemudian melakukan perhitungan atau mendapatkan solusi secara benar dan lengkap

(Sumber: Cai, Lane, dan Jacabscin dalam Fonna, 2013)

Kemampuan Koneksi Matematis

Sebelum kita mulai membahas apa yang dimaksud dengan kemampuan koneksi matematis. Coba kalian perhatikan gambar 6.4. Ada berapa gambar yang dapat kalian lihat? Gambar apa saja yang dapat kalian lihat?. Gambar 6.4 merupakan bentuk gambar yanga didasarkan pada teori Gestalt, dimana kita harus melihat dari keseluruhan bukan bagian-bagian tertentu saja. Begitu juga dengan matematika, kita harus melihat secara keseluruhan dan merupakan

Gambar 6.4 Gestalt

kesatuan yang tidak terpisahkan. Hal ini dikarenakan, ide-ide dalam matematika memiliki keterkaitan antara satu dengan yang lainnya atau dengan kata lain matematika merupakan bidang studi terpadu. Seperti ketika seorang guru akan mengenalkan perkalian maka siswa tersebut haruslah telah memahami penjumlahan. Atau ketika guru akan membantu siswa mengkonstruksi pengetahuannya mengenai mencari luas sebuah trapesium, maka guru dapat menghubungkan konsep luas jajaran genjang tersebut ke rumus luas trapesium.

Apabila seorang siswa dapat menghubungkan antara satu ide dengan ide matematika lainya, maka dapat dikatakan pemahaman siswa tersebut semakin dalam dan akan diingat kapanpun (NCTM, 2000). Proses menghubungkan antar ide tersebut membutuhkan kemampuan koneksi matematis. Hal ini sejalan dengan pernyataan Suherman yang disadur dari

matematis adalah kemampuan untuk mengaitkan konsep atau aturan matematika yang satu dengan yang lainnya, dengan bidang studi lainnya, atau dengan aplikasi pada kehidupan nyata.

Ada dua tipe khusus dalam koneksi matematis menurut NCTM (Lestari, 2013) yaitu modeling connection dan mathematical connection. Modeling connection merupakan hubungan antara

situasi masalah yang muncul di dalam dunia nyata atau dalam disiplin ilmu lain dengan representasi matematisnya, sedangkan mathematical connection adalah hubungan antara dua representasi yang ekuivalen, dan

“Mathematicians do not study objects, but relations

between objects” -Henri

Poincare-antara proses penyelesaian dari masing-masing representasi. Sehingga melalui kemampuan koneksi matematis siswa dapat mengembangkan kemampuan berpikir siswa, mengembangkan wawasannya, serta siswa akan lebih memahami kegunaan matematika.

Menurut Suherman (Lestari, 2013), komponen-kompenen kemampuan koneksi matematis adalah: mencari hubungan, memahami hubungan, menerapkan matematik, representasi ekuivalen, membuat peta konsep, keterkaitan berbagai algoritma dan operasi hitung, membuat alasan pengerjaan matematik. Sementara itu, Sumarmo dalam artikelnya pada tahun 2014 mengemukakan bahwa koneksi matematis disusun dalam indikator-indikator yang relevan, diantaranya;

 Mencari hubungan berbagai representasi konsep dan prosedur Contoh:

Jelaskan prosedur yang termuat dari segitiga siku-siku ABC dengan siku- siku di B berlaku AB2 _{+ BC}2 _{= AC}2

 Memahami hubungan dari satu prosedur ke prosedur lain dalam representasi yang ekuivalen.

Contoh:

Perhatikan gambar berikut ini!

Tuliskan apa hubungan antara y dengan segitiga ADB, dan x + 3 dengan segitiga ACD. Tuliskan alasannya!

 Memahami representasi ekuivalen suatu konsep Contoh:

Urutkan bilangan-bilangan berikut dari terkecil hingga terbesar 1

2,5% ; 0,05; 25

 Menerapkan hubungan antar topik matematika dengan topik bidang studi lain.

Contoh:

Suatu wilayah memiliki penduduk sebanyak 10.000 jiwapada tahun 2017. Jika pertumbuhan penduduk setiap tahunnya mengalami kenaikan sebesar 5%. Maka pada berapa banyak jiwa di wilayah tersebut pada tahun 2030?  Menggunakan matematika ke dalam bidang studi lain atau kehidupan

sehari-hari. Contoh:

Toko “Murah” menjual barang dengan diskon 30%. Jika kakak membeli baju dengan harga yang tertera di label Rp 100.000,00, maka berapa uang yang harus kakak bayarkan?

Setelah kalian mengetahui indikator-indikator kemampuan koneksi matematis, tentu kalian sadari bahwa dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan kemampuan koneksi matematis membutuhkan kemampuan matematis lainnya. Oleh sebab itu kemampuan koneksi dapat dikategorikan kemapuan tingkat tinggi bila banyaknya kemampuan matematis yang dibutuhkan dalam menyelesaikan permsalahan tersebut. Dalam penerapan di