MATEMATIKA EKONOMI. Telkom University

MATEMATIKA EKONOMI

Diferensial parsial

Nilai ekstrim: maksimum dan minimum

Diferensial Parsial

y = f(x,z) = x3_+5z2_–4x2_z–6xz2_+8z–7 f_x(x,z) = 3x2_–8xz–6z2 f_z(x,z) = 10z–4x2_–12xz+8 dy = f_x(x,z) dx + f_z(x,z) dz = ( 3x2_–8xz–6z2 _{) dx + ( 10z–4x}2_{–12xz+8 ) dz} Keterangan:

a. Derivatif parsial: f_x(x,z) dan f_z(x,z)

b. Diferensial parsial: f_x(x,z) dx dan f_z(x,z) dz c. Diferensial total: dy = f_x(x,z) dx + f_z(x,z) dz

Nilai Ekstrim: Maksimum dan Minimum

 Fungsi y= f(x,z) akan mencapai titik ekstrim jk

f_x(x,z)=0 dan f_z(x,z)=0

 Maksimum bila f_xx(x,z)<0 dan f_zz(x,z)<0  Minimum bila f_xx(x,z)>0 dan f_zz(x,z)>0

Permintaan marjinal dan elastisitas permintaan parsial

Perusahaan dg 2 produk dan biaya produksi gabungan

Permintaan Marjinal

 Jika barang A dan barang B mempunyai hubungan

penggunaan, dengan fungsi permintaan

Q_da=f(P_a,P_b) dan Q_db=f(P_a,P_b)

 Permintaan marjinal

a. (∂Q_da/∂P_a) Perm. marj. A berkenaan dg P_a b. (∂Q_db/∂P_a) Perm. marj. B berkenaan dg P_a c. (∂Q_da/∂P_b) Perm. marj. A berkenaan dg P_b d. (∂Q_db/∂P_b) Perm. marj. B berkenaan dg P_b

Elastisitas Permintaan Parsial

Elastisitas harga permintaan

1. η_da= (∂Q_da/∂P_a)(P_a/Q_da) 2. η_db= (∂Q_db/∂P_b)(P_b/Q_db)

Elastisitas silang permintaan

1. η_ab=(∂Q_da/∂P_b)(P_b/Q_da) 2. η_ba= (∂Q_db/∂P_a)(P_a/Q_db)

Elastisitas Permintaan Parsial

Keterangan:

a. Jk η_ab,η_ba<0 untuk P_a dan P_b tertentu, mk brg A &

B saling melengkapi

Penurunan harga salah satu brg akn diikuti oleh kenaikan permintaan atas keduanya

b. Jk η_ab,η_ba>0 untuk P_a dan P_b tertentu, mk brg A &

B saling menggantikan

Penurunan harga salah satu brg akn diikuti oleh kenaikan permintaan atas brg tsb & penurunan permintaan atas brg lainnya

Contoh Soal

Fungsi permintaan akan brg A dan B masing-masing ditunjukkan oleh

Q_da(P_a)2_(P

b)3–1=0 dan Qdb(Pa)3Pb–1=0

Berapakah elastisitas permintaan masing-masing barang dan bagaimana hubungan antara kedua barang tersebut?

Jawab

Q_da(P_a)2_(P b)3–1 =0 Q_da(P_a)2_(P b)3 =1 Q_da =1/((P_a)2_(P b)3) =(P_a)-2_(P b)-3 Q_db(P_a)3_P b–1 =0 Q_db(P_a)3_P b =1 Q_db =1/((P_a)3_P b) =(P_a)-3_(P b)-1

Jawab

η_da = (∂Q_da/∂P_a)(P_a/Q_da) =(-2(P_a)-3_(P b))Pa/((Pa)-2(Pb)-3) =-2 Barang A elastis krn |η_da|>1 η_db = (∂Q_db/∂P_b)(P_b/Q_db) =(-(P_a)-3_(P b)-2)Pb/((Pa)-3(Pb)-1) =-1 Barang B uniter krn |η_da|=1 η_ab =(∂Q_da/∂P_b)(P_b/Q_da) =(-3(P_a)-2_(P b)-4)Pb/((Pa)-2(Pb)-3) =-3 η_ba = (∂Q_db/∂P_a)(P_a/Q_db) =(-3(P_a)-4_(P b)-1)Pa/((Pa)-3(Pb)-1) =-3

Karena η_ab,η_ba<0, mk brg A & B saling melengkapi

Perusahaan dg 2 Produk dan Biaya

Produksi Gabungan

 Perusahaan menghasilkan dua macam produk  Biaya keduanya merupakan biaya produksi

gabungan

 Keuntungan maksimum dihitung menggunakan

Perusahaan dg 2 Produk dan Biaya

Produksi Gabungan

 Penerimaan dr memproduksi A: R_a=Q_aP_a=f(Q_a)  Penerimaan dr memproduksi B: R_b=Q_bP_b=f(Q_b)  Penerimaan total : TR=R_a+R_b=f(Q_a)+f(Q_b)  Biaya total : TC=f(Q_a,Q_b)  Fungsi keuntungan : π=TR-TC  π maksimum bila π‘=0, yaitu

∂ π/∂Q_a=0 dan ∂ π/∂Q_b=0 ………(i)

Dari (i), Q_a dan Q_b dapat diperoleh. Selanjutnya nilai π maksimum dapat dihitung.

Contoh Soal

Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yg memproduksi dua macam barang ditunjukkan

TC=(Q_a)2_+3(Q

b)2+QaQb

Hasil jual masing-masing barang per unit adalah P_a=7 sedangkan P_b=20.

a. Hitunglah berapa unit masing-masing yg hrs

diproduksi agar keuntungannya maksimum!

Jawab

a. Q maksimum R_a= Q_aP_a= 7Q_a dan R_b= Q_bP_b= 20Q_b TR= R_a+R_b= 7Q_a+20Q_b π = TR–TC = (7Q_a+20Q_b)–((Q_a)2_+3(Q b)2+QaQb) = 7Q_a+20Q_b–(Q_a)2_–3(Q b)2–QaQb

Jawab

Agar π maksimum, π’=0

i. ∂ π/∂Q_a=0 mk 7–2Q_a–Q_b=0 ii. ∂ π/∂Q_b=0 mk 20–6Q_b–Q_a=0

Dari (i) dan (ii) diperoleh Q_a=2 dan Q_b=3

b.

π maksimum

π =7Q_a+20Q_b–(Q_a)2_–3(Q

b)2–QaQb

= 7.2+20.3–22_–3.32_–2.3

Optimisasi Bersyarat

Metode Lagrange Metode Kuhn Tucker

Metode Lagrange

 Penghitungan nilai ekstrim sebuah fungsi yang

menghadapi kendala berupa sebuah fungsi lain.

 Membentuk sebuah fungsi baru, yaitu fungsi

Fungsi Lagrange

 Misalkan hendak dioptimumkan:

z=f(x,y)

 Dengan syarat harus terpenuhi:

u=g(x,y)

 Maka fungsi Lagrangenya:

Optimisasi Fungsi Lagrange

 Nilai ekstrim dapat dicari dengan memformulasikan

derivatif-parsial pertamanya sama dengan 0:

F_x(x,y,λ)=f_x+λg_x=0 F_y(x,y,λ)=f_y+λg_y=0

 Nilai ekstrim tersebut:

 Maksimum bila F_xx<0 dan F_yy<0.  Minimum bila F_xx>0 dan F_yy>0.

Contoh Soal

Jawab

 Fungsi Lagrange

F(x,y,λ) = xy+λ(x+2y-10) = xy+λx+λ2y-λ10

 Syarat agar F(x,y,λ) optimum, F’(x,y,λ)=0

F_x(x,y,λ)=y+λ=0 diperoleh λ=-y F_y(x,y,λ)=x+2λ=0 diperoleh λ=-x/2 Sehingga diperoleh 2y=x

 Substitusi 2y=x terhadap fungsi kendala x+2y=10,

diperoleh y=2,5 dan x=5.

LATIHAN

 Tentukan nilai ekstrim z dari fungsi z = 2x + 2y

dengan syarat x2 _{+ y}2 _{= 8. Jelaskan jenis nilai}

Jawab

1. Kondisi Kuhn-Tucker

a. f_x(x,y)-λg_x(x,y)=0 yaitu 2x–y–λ=0 b. f_y(x,y)-λg_y(x,y)=0 yaitu –x+4y–λ=0

c. λg(x,y)=0 λ(x+y–8)=0

2. Uji (1.c)

a. Jk λ=0

Dari (1.a): 2x–y–λ=0 2x–y–0=0 2x=y

Dari (1.b): –x+4y–λ=0 –x+4y–0=0 x=4y

Jawab

b. Jk g(x,y)=0 atau y=8–x

Dari (1.a): 2x–y–λ=0

2x–(8–x )–λ=0 2x–8+x–λ=0 3x–8= λ ………(i) Dari (1.b): –x+4y–λ=0 –x+4(8–x)–λ=0 –x+32–4x–λ=0 –5x+32=λ ……..………..(ii)

Subsitusi & eliminasi pers (i) dan (ii), shg diperoleh x=5 dan λ =7 Dengan demikian y=8–x=3 dan f(5,3)=52_{–(5)(3)+2(3)}2 ₌₂₈

 Fungsi f(x,y)=x2–xy+2y2 dapat diminumkan oleh x=5 dan

y=3 karena kendala x+y≥8 terpenuhi oleh kedua nilai x dan y tsb.

Utilitas marjinal parsial dan keseimbangan konsumsi Produk marjinal parsial dan keseimbangan produksi

Utilitas Marjinal Parsial

 Misalkan konsumen hanya mengkonsumsi brg X dan

Y, mk fungsi kepuasan konsumen (utilitas) adalah: U=f(x,y)

 Utilitas marjinal parsial

1. ∂ U/∂x=0 utilitas marjinal berkenaan dg brg X 2. ∂ U/∂y=0 utilitas marjinal berkenaan dg brg Y

Keseimbangan Konsumsi

 Definisi: suatu keadaan atau tingkat kombinasi

konsumsi bbrp mcm brg yg memberikan kepuasan optimum

 Tingkat kombinasi konsumsi yg memberikan

kepuasan optimum atau keseimbangan konsumsi dpt dicari dg Metode Lagrange atau Kuhn-Tucker

 Fungsi utilitas U=f(x,y) dimaksimumkan terhadap

fungsi anggaran M=xP_x+yP_y dengan M adalah pendapatan konsumen

Keseimbangan Konsumsi

 Fungsi Lagrange:

F(x,y)=f(x,y)+λ(xP_x+yP_y–M)

 Agar F maksimum

F_x(x,y)=0 yaitu f_x(x,y)+λP_x=0 …………(1) F_y(x,y)=0 yaitu f_y(x,y)+λP_y=0 …………(2)

Keseimbangan Konsumsi

 Selanjutnya perhatikan:

Utilitas total: U=f(x,y)

Utilitas marjinal: MU=U’=f’(x,y)

i. Utilitas marjinal barang X: MU_x=f_x(x,y) ii. Utilitas marjinal barang Y: MU_y=f_y(x,y)

 Menurut (1) dan (2), keseimbangan konsumsi tercapai

apabila:

(f_x(x,y))/P_x = (f_y(x,y))/P_y MU_x/P_x = MU_y/P_y

Contoh Soal

Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsi brg X dan Y dicerminkan oleh fungsi utilitas U=x2_y3_{. jumlah}

pendapatan konsumen Rp.1.000,00, harga X dan Y per unit masing-masing 25 rupiah dan 50 rupiah.

a. Bentuklah fungsi utilitas marjinal untuk masing-masing

barang!

b. Berapa utilitas marjinal tersebut jika konsumen

mengkonsumsi 14 unit X dan dan 13 unit Y?

c. Jelaskan apakah dg mengkonsumsi 14 unit X dan 13

Jawab

a. U=x2y3

MU_x= 2xy3

MU_y= 2x2_y2

b. Jika x=14 dan y=13

Mu_x = 2(14)(13)3 =61.516 Mu_y = 3(14)2₍₁₃₎2 =99.372 c. Kepuasan konsumen MU_x/P_x =61.516/25 =2.460,64 MU_y/P_y =99.372/50 =1.987,44 Karena MU_x/P_x≠MU_y/P_y maka tidak terjadi

Latihan



Hana akan membeli kasur dan lemari untuk

perlengkapan asrama mahasiswa dengan

harga Rp 1.5jt per kasur dan Rp 500rb per

lemari. Misalkan fungsi utilitas U = 2k

3

_l

3

_(k

kasur dan l lemari), tentukan:

a. Fungsi utilitas marjinal untuk kedua barang!

b. Utilitas marjinal untuk pembelian 10 kasur dan 5

lemari!

c. Apakah kepuasan konsumen optimum dengan

Latihan

 Jika diketahui fungsi utilitas U = 4xy – x2 -3y2 dan

harga barang x = 2, harga barang y = 3 serta pendapatan konsumen adalah 45. Tentukan nilai x dan y yang dapat memaksimumkan utilitas? Berapa besar utilitas tersebut

Produk Marjinal Parsial

 Jika untuk memproduksi suatu brg dianggap hanya

ada 2 mcm masukan variabel (katakanlah K dan L), mk fungsi produksinya dinyatakan dengan:

P=f(k,l)

 Produk marjinal parsial:

 ∂ P/∂k adl produk marjinal berkenaan dg masukan K

Keseimbangan Produksi

 Definisi: suatu keadaan atau tingkat penggunaan

kombinasi faktor-faktor produksi scr optimum.

 Tingkat kombinasi penggunaan masukan yg

optimum dpt dicari dg Metode Lagrange

 Fungsi produksi P=f(k,l) dimaksimumkan terhadap

fungsi anggaran M=kP_k+lP_l dengan M adalah total anggaran untuk membeli masukan K dan L

Keseimbangan Produksi

 Fungsi tujuan yg hendak dioptimumkan: P=f(k,l)  Fungsi kendala yg dihadapi: M=kP_k+lP_l

 Fungsi baru Lagrange:

F(k,l)=f(k,l)+λ(kP_k+lP_l–M)

 Syarat yg diperlukan agar F(k,l) maksimum:

F_k(k,l)=0 yaitu f_k(k,l)+λP_k=0 ………..(1) F_l(k,l)=0 yaitu f_l(k,l)+λP_l=0 ………..(2)

Dari (1) dan (2) nilai k dan l bisa didapat. Selanjutnya P maksimum bisa diperoleh.

Contoh Soal

Seorang produsen mencadangkan Rp.96,00 untuk membeli masukan K dan masukan L. harga per unit masukan K adalah Rp.4,00 dan masukan L adalah Rp.3,00. Fungsi produksinya P=12kl.

a. Berapa unit masing-masing masukan seharusnya ia

gunakan agar produksinya optimum?

b. Berapa unit keluaran yg dihasilkan dengan

Jawab

 Fungsi tujuan yg hendak dioptimumkan: P=12kl  Fungsi kendala yg dihadapi: 96=4k+3l

 Fungsi baru Lagrange:

F(k,l)=12kl+λ(4k+3l–96)

 Agar F(k,l) maksimum:

F_x(k,l)=0 yaitu 12l–4λ=0 ………..(1)

Jawab

 Dari (1) dan (2), diperoleh 3l=4k  Subsitusi pers tsb ke fungsi kendala:

96 =4k+3l

=4k+4k

=8k

Diperoleh k=12 dan l=16

Metode Kuhn Tucker

 Optimisasi fungsi terhadap sebuah fungsi

pertidaksamaan.

 Bentuk permasalahan:

 Maksimumkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala

g(x,y)≤0

 Minimumkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala

Prosedur Kuhn Tucker (1)

1. Rumuskan permasalahan:

 Maksimumkan f(x,y) terhadap g(x,y)≤0

 Minimumkan f(x,y) terhadap g(x,y)≥0

2. Tetapkan kondisi Kuhn-Tucker:

a. f_x(x,y)-λg_x(x,y)=0 b. f_y(x,y)-λg_y(x,y)=0

Prosedur Kuhn Tucker (2)

3. Ujilah (2c) untuk λ=0 dan g(x,y)=0 guna

menentukan mana yang memenuhi persamaan (2a), persamaan (2b), dan pertidaksamaan kendala g(x,y).

4. Nilai-nilai x dan y yang memenuhi ketiga kondisi

tersebut merupakan nilai-nilai yang mengoptimumkan fungsi tujuan f(x,y).

Contoh Soal