Saluran Transmisi
1 Sudaryatno Sudirham
Saluran transmisi merupakan koridor yang harus dilalui dalam penyaluran energi listrik. Walaupun rangkaian ekivalen cukup sederhana, terdapat empat hal yang harus diperhatikan yaitu:
Resistansi konduktor,
Imbas tegangan di satu konduktor oleh arus yang mengalir di konduktor yang lain,
Arus kapasitif karena adanya medan listrik antar konduktor,
Arus bocor pada isolator.
biasanya diabaikan karena cukup kecil dibandingkan dengan arus konduktor. Namun arus bocor menjadi sangat penting dalam permasalahan isolator Saluran transmisi yang akan kita bahas adalah saluran udara,
dengan konduktor terbuka yang berarti memenfaatkan udara sebagai bahan isolasi
2
Sebelum mulai membahas saluran transmisi itu sendiri, perlu kita ingat besaran-besarn fisis udara yang akan masuk dalam
perhitungan-perhitungan saluran transmisi, yaitu:
Permeabilitas: permeabilitas magnetik udara dianggap sama dengan permeabilitas ruang hampa:
H/m 10 4 7 0 0µ ≈µ = π× − µ = µ r
Permitivitas: permitivitas elektrik udara dianggap sama dengan permitivitas ruang hampa:
F/m 36 109 0 π ≈ ε ε = ε r − 3
Resistansi Seri
4Beberapa jenis konduktor:
Aluminium: AAL (all aluminium coductor) Aloy aluminium: AAAL (all aluminium alloy conductor)Dengan penguatan kawat baja: ACSR (aluminium conductor steel reinforced)
Data mengenai ukuran, konstruksi, resistansi [ΩΩΩΩper km], radius [cm],
GMR [cm] (Geometric Mean Radius) kemampuan mengalirkan arus [A] dapat kita peroleh namun untuk sementara kita tidak membahasnya dalam paparan ini.
Untuk arus searah, resistansi konduktor diformulasikan:
resistivitas bahan [ΩΩΩΩ.m] panjang konduktor [m] luas penampang [m2] A l Rdc ρ = [ΩΩΩΩ]
C
20
pada
aga
untuk temb
m
10
77
,
1
C
20
pada
aluminium
untuk
m.
10
83
,
2
o 8 o 8Ω
×
=
Ω
×
=
ρ
− −Pada saluran transmisi kita memperhatikan dua hal berikut :
Arus yang mengalir adalah arus bolak-balik, yang menimbulkan efek kulit (skin effect), yaitu kecenderungan arus mengalir di pinngiran penampang konduktor.
Konduktor saluran transmisi berupa pilinan konduktor sehingga panjang sesungguhnya konduktor lebih besar dari panjang lateral konduktor.
7
Induktansi Seri
8
Tinjau satu konduktor lurus berjari-jari r0, dengan panjang l, yang dialiri arus i. Menurut hukum Ampere,
medan magnet di sekitar konduktor ini adalah:
∫Hdl=i 9 Untuk udara: µ=µ0µr≈µ0=4π×10−7H/m r i B π µ = 2
Fluksi di luar konduktor yang melingkupi konduktor sampai di titik P yang berjarak DkPdari konduktor adalah
i r0 x H 0 ln 2 0 r D il Bldr kP D r luar P π µ = = λ
∫
kP D 0 r k P jarak konduktor-k sampai titik Pr
0: radius konduktorFluksi Sendiri
HluarHdalam
Namun arus mengalir di seluruh penampang konduktor walaupun kerapatan arus di pusat konduktor mungkin berbeda dengan kerapatan arus di dekat permukaannya. Oleh karena itu, selain di sekitar konduktor terdapat juga medan magnet di dalam konduktor.
Untuk menyederhanakan perhitungan, maka medan magnet di sekitar konduktor dan di dalam konduktor disatukan dengan mencari apa yang disebut GMR (Geometric Mean Radius).
GMR merupakan radius konduktor pengganti yang kita bayangkan merupakan konduktor ber-rongga berdinding tipis berjari-jari r′ (yaitu GMR) dan arus mengalir di dinding konduktor berrongga ini. Dengan GMR ini, fluksi di dalam konduktor telah tercakup dalam perhitungan.
r′ 0 r
r
D
il
P′
π
µ
=
λ′
ln
12
10 Atau per satuan panjang:r
D
i
P′
π
µ
=
λ
ln
12
Oleh karena itu fluksi lingkup total pada konduktor adalah:Selain fluksi yang ditimbulkan oleh arus yang mengalir padanya, suatu konduktor juga dilingkupi oleh fluksi yang ditimbulkan oleh arus yang
mengalir di konduktor lain yang berdekatan dengannya.
Fluksi sendiri Fluksi bersama
Fluksi Bersama
Tinjau satu kelompok n konduktor yang masing-masing dialiri arus ii.Kelompok konduktor ini merupakan satu sistem saluran dengan:
0
2
1
+
i
+
⋅
⋅⋅
+
i
n
=
i
Konduktor ke-k memiliki fluksi lingkup total:
⋅⋅ ⋅ ⋅ 1 i i⋅2 ⋅ n i 2 k D ⋅⋅ ⋅ ⋅ k i
kn
kk
k
k
k
=
λ
+
λ
+
⋅
⋅⋅
+
λ
+
⋅
⋅⋅
+
λ
λ
1
1
Tinjau satu kelompok n konduktor dan kita hitung fluksi lingkup sampai suatu titik P:
Sampai di titik P konduktor ke-k memiliki fluksi lingkup total: [m] -ke konduktor GMR : [m] -ke konduktor radius : /m] [ -ke konduktor resistansi : k r k r k R k k k ′ Ω P ⋅⋅ ⋅ ⋅ 1 i i⋅2 ⋅ n i nP D 2 k D ⋅⋅ ⋅ ⋅ k i kn nP n k kP k k P k P k D D i r D i D D i D D i ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 2 2 2 1 1 1 π µ + ⋅⋅ ⋅ + ′ π µ + ⋅⋅ ⋅ + π µ + π µ = λ Fluksi lingkup sendiri
Untuk mencakup seluruh fluksi, titik P kita letakkan pada posisi semakin jauh, sampai tak hingga.
13
Dengan posisi titik P semakin jauh maka:
D D D D D1P≈ 2P⋅⋅⋅≈ kP⋅⋅⋅≈ kn=
(
i1+i2+⋅⋅⋅+in)
lnD=0 danDengan demikian fluksi lingkup konduktor-k menjadi
kn n k k k k k D i r i D i D i 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2 1 1 π µ + ⋅⋅ ⋅ + ′ π µ + ⋅⋅ ⋅ + π µ + π µ = λ fluksi sendiri konduktor k
fluksi karena arus di konduktor yang lain
fluksi karena arus di konduktor yang lain
14
Kalau kita batasi tinjauan pada sistem empat konduktor (3 fasa dan 1 netral), relasi fluksi lingkup setiap konduktor adalah:
+ + + ′ π µ = λ AN N AC C AB B A A A D i D i D i r i ln1 ln 1 ln 1 ln 1 2 + + ′ + π µ = λ BN N BC C B B AB A B D i D i r i D i ln 1 ln1 ln 1 ln 1 2 + ′ + + π µ = λ CN N C C AC B AC A C D i r i D i D i ln 1 ln 1 ln1 ln 1 2 ′ + + + π µ = λ N N CN C BN B AN A N r i D i D i D i ln 1 ln 1 ln 1 ln1 2 15
Impedansi Seri
16 • • • LAB LBC RC A I B I C I • LAA LBB LCC LNN LCN LAC LBN LAN N I RA RB RN A B C N N′ C′ B′ A′ Dengan adanya fluksi lingkup di setiap konduktor maka selain resistansi, setiap konduktor juga mengandung induktansi. Untuk saluran 4 konduktor (3 konduktor fasa dan 1 netral) dengan panjang tertentu kita memiliki rangkaianekivalen seperti berikut:
(
A AA)
A ABB ACC ANN A AR
j
L
j
L
j
L
j
L
V
′=
+
ω
I
+
ω
I
+
ω
I
+
ω
I
(
B BB)
B AB A BCC BN N B BR
j
L
j
L
j
L
j
L
V
′=
+
ω
I
+
ω
I
+
ω
I
+
ω
I
(
C CC)
C AC A BC B CN N C CR
j
L
j
L
j
L
j
L
V
′=
+
ω
I
+
ω
I
+
ω
I
+
ω
I
(
N NN)
N AN A BN B CNC N NR
j
L
j
L
j
L
j
L
V
′=
+
ω
I
+
ω
I
+
ω
I
+
ω
I
• • • LAB LBC RC A I B I C I • LAA LBB LCC LNN LCN LAC LBN LAN N I RA RB RN A B C N N′ C′ B′ A′ N A AN N N A A′−
V
′=
V
−
V
′ ′V
Jika konduktor N digunakan sebagai referensi, maka:
N B BN N N B B′
−
V
′=
V
−
V
′ ′V
N C CN N N C C′−
V
′=
V
−
V
′′V
C AC AN B AB AN A A AN A A N AN C AC B AB A A A A A A D D j D D j r D j R D j D j D j r j R I I I I I I I I I V ln 2 ln 2 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 π µ ω + π µ ω + ′ π µ ω + = π µ ω + π µ ω + π µ ω + ′ π µ ω + = ′ C N CN N B N BN N A N AN N C CN B BN A AN N N N N N R D r j R D r j R D r j D j D j D j r j R I I I I I I I V − ′ ω + − ′ ω + − ′ ω = ω + ω + ω + ′ ω + = ′ ln ln ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln π µ + π µ + π µ + ′ π µ = λ AN N AC C AB B A A A D i D i D i r i ln 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 Karena maka ′ + + + π µ = λ N N CN C BN B AN A N r i D i D i D i ln 1 ln 1 ln 1 ln1 2 Karena maka N A AN C N AC CN AN N B N AB BN AN N A N A AN N A N N A A r D D D j R r D D D j R r r D j R R ′ ′ ′ ′ − = ′ π µ ω + + ′ π µ ω + + ′ ′ π µ ω + + = − V V I I I V V ln 2 ln 2 ln 2 2 Jadi: 19 • • • LAB LBC RC A I B I C I • LAA LBB LCC LNN LCN LAC LBN LAN N I RA RB RN A B C N N′ C′ B′ A′ C N AC CN AN N B N AB BN AN N A N A AN N A N A AN r D D D j R r D D D j R r r D j R R I I I V V ′ π µ ω + + ′ π µ ω + + ′ ′ π µ ω + + = − ′′ ln 2 ln 2 ln 2 2 Impedansi bersama ZmB
Impedansi sendiri ZsA Impedansi bersama ZmC
C N BC CN BN N B N B BN N B A N BA AN BN N N B BN r D D D j R r r D j R R r D D D j R I I I V V ′ π µ ω + + ′ ′ π µ ω + + + ′ π µ ω + = − ′′ ln 2 ln 2 ln 2 2 Impedansi sendiri ZsB
Impedansi bersama ZmA Impedansi bersama ZmC
C N C CN N C B N CB BN CN N A N AB BN AN N N C CN r r D j R R r D D D j R r D D D j R I I I V V ′ ′ π µ ω + + + ′ π µ ω + + ′ π µ ω + = − ′′ 2 ln 2 ln 2 ln 2 Impedansi sendiri ZsC Impedansi bersama ZmA Impedansi bersama ZmB
20 • • • LAB LBC RC A I B I C I • LAA LBB LCC LNN LCN LAC LBN LAN N I RA RB RN A B C N N′ C′ B′ A′
Dalam bentuk matriks
= − ′ ′ ′ C B A sC mB mA mC sB mA mC mB sA A B A C B A Z Z Z Z Z Z Z Z Z I I I V V V V V V
[
ABC]
ABC ABC ABC V Z I V~ −~′ = ~Matriks komponen simetris: V~012−V~012′ =
[
Z012]
~I012[
Z012] [ ] [
=T−1ZABC][ ]
T Ω/m21
CONTOH:
Satu seksi saluran sepanjangl dengan konfigurasi segitiga sama sisi dan penghantar netral di titik pusat segitigaB A C N D DAB= D DBC= D DCA= 3 D D D DAN= BN= CN= R R R RA= B= C= r r r rA′=B′=C′=′ r r r rA=B=C= = − ′ ′ ′ C B A sC mB mA mC sB mA mC mB sA C B A C B A Z Z Z Z Z Z Z Z Z l l I I I V V V V V V 1 1 Dinyatakan per satuan panjang 22 /m ln 2 2 Ω ′ ′ π µ ω + + = = = = N N s sC sB sA rr D j R R Z Z Z Z /m 3 ln 2 3 ln 2 3 / ln 2 ln 2 2 Ω ′ π µ ω + = = = = ′ π µ ω + = ′ π µ ω + = ′ π µ ω + = N N m mC mB mA N N N N N AB BN AN N mA r D j R Z Z Z Z r D j R r D D j R r D D D j R Z
[
] [ ] [
][ ]
= − − + = = − 2 1 0 1 012 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z m s m s m s ABC T T( )
3 4 2 0 27 ln 2 3 3 ln 2 2 ln 2 2 N N N N N N m s r r D j R R r D j R r r D j R R Z Z Z ′ ′ π µ ω + + = ′ π µ ω + + ′ ′ π µ ω + + = + = r D j R r D j R r r D j R R Z Z Z Z N N N N m s ′ π µ ω + = ′ π µ ω − − ′ ′ π µ ω + + = − = = 3 ln 2 3 ln 2 ln 2 2 2 1Transposisi
A A′ B C N B′ C′ 3 / l 3 / l l/3 1 AN D 2 AN D 3 AN D R R R RA= B= C= : Misalkan rA′=rB′=rC′=r′ ( )1 3( )2 3( )3 3 AN AN AN AN AN AN N A AN V V l V V l V V l V V − ′′= − ′′ + − ′′ + − ′′
(
)
C N AB CA AC CN AN CN AN CN AN N B N CA BC AB BN AN BN AN BN AN N A N A AN AN AN N A N A AN r D D D D D D D D D j R r D D D D D D D D D j R r r D D D j R R l I I I V V ′ π µ ω + + ′ π µ ω + + ′ ′ π µ ω + + = − ′′ 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 2 3 2 1 2 1 ln 2 3 3 1 ln 2 3 3 1 ln 2 3 3 3 1 1 25 Jika didefinisikan 3 3 3 2 1 AN AN dan e AB BC CA AN x D D D D D D D D = =(
)
C N AB CA AC CN AN CN AN CN AN N B N CA BC AB BN AN BN AN BN AN N A N A AN AN AN N A N A AN r D D D D D D D D D j R r D D D D D D D D D j R r r D D D j R R l I I I V V ′ π µ ω + + ′ π µ ω + + ′ ′ π µ ω + + = − ′′ 3 / 1 3 3 2 2 1 1 3 / 1 3 3 2 2 1 1 3 / 1 2 3 2 1 2 1 ln 2 ln 2 ln 2 1 maka:(
)
C N e x N B N e x N A N A x N A N A AN r D D j R r D D j R r r D j R R lV V I I I ′ π µ ω + + ′ π µ ω + + ′ ′ π µ ω + + = − ′′ 2 3 / 1 2 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 N x N s r r D j R R Z ′′ π µ ω + + = ln 2 2 eN x N m r D D j R Z ′ π µ ω + = ln 2 2( )
/m ln 2 3 2 3 2 6 0 π ′′ Ω µ ω + + = + = N e x N m s r r D D j R R Z Z Z /m ln 2 2 1 π ′ Ω µ ω + = − = = r D j R Z Z Z Z e m s 26CONTOH: Tentukan impedansi urutan positif saluran tansmisi:
4,082 m 4,082 m 230 KV L-L I rated 900 A r = 1,35 cm r’ = gmr = 1,073 cm R = 0,088 Ω/ km /km 3877 , 0 088 , 0 01073 , 0 143 , 5 ln 2 10 4 ) 314 ( 88 , 0 ln 2 Z 314 100 : Hz 50 frekuensi Untuk H/km 10 4 H/m 10 4 : udara Untuk m 143 , 5 164 , 8 082 , 4 082 , 4 4 1 4 7 3 Ω + = π × π + = ′ π µ ω + = = π = ω × π = × π = µ = × × = − − − j j r D j R D e e 27
Admitansi
28Jika konduktor lurus kita anggap tak hingga panjangnya dan mengandung muatan dengan kerapatanρρρρ, maka geometri untuk penerapan hukum Gauss menjadi sederhana. Bidang equipotensial di
sekitar konduktor akan berbentuk silindris. Displacement dan kuat medan listrik di suatu titik berjarak x dari konduktor adalah
x
E
xπε
ρ
=
2
Beda potensial antara titik A yang berjarak xAdari konduktor dan
titik B yang berjarak xBdari konduktor
adalah A B x x x x AB
x
x
dx
x
Edx
v
B A B Aln
2
2
πε
ρ
=
πε
ρ
=
=
∫
∫
A xA B xBx
D
x=
π
ρ
2
Tinjau konduktor a dengan radius rabermuatanρρρρa
dan dua konduktor lain i dan j yang tidak bermuatan
i Dik
j k, rk , ρk
Djk
Ini adalah beda potensial konduktor i dan j yang diakibatkan oleh adanya muatan di konduktor a
ik jk k k jk ik k k kj ik ij
D
D
r
D
D
r
v
v
v
k k kln
2
ln
ln
2
πε
ρ
=
+
πε
ρ
=
+
=
ρ ρ ρ ik jk k ijD
D
v
kln
2
πε
ρ
=
ρIni menjadi formula umum
Dab a, ra , ρa Dac Dbc c, rc , ρc b, rb , ρb c b a ab ab ab ab v v v v = ρ + ρ + ρ ac bc c ab D D v c ln 2πε ρ = ρ aa ba a ab D D v a ln 2πε ρ = ρ ab bb b ab D D v b ln 2πε ρ = ρ ρ + ρ + ρ πε = ac bc c ab b b a ab a ab D D D r r D v ln ln ln 2 1
Tinjau sistem 3 konduktor a, b, c
ik jk k ij
D
D
v
kln
2
πε
ρ
=
ρFormula umum: Merupakan superposisi dari
vaboleh pengaruhρρρρa, ρρρρb, ρρρρc
seandainya konduktora dan b tidak bermuatan. 31 ba ca a bc D D v a ln 2πε ρ = ρ bb cb b bc D D v b ln 2πε ρ = ρ bc cc c bc D D v c ln 2πε ρ = ρ ρ + ρ + ρ πε = bc c c b bc b ab ac a bc D r r D D D v ln ln ln 2 1 Dab a, ra , ρa Dac Dbc c, rc , ρc b, rb , ρb c b a bc bc bc bc
v
v
v
v
=
ρ+
ρ+
ρsistem 3 konduktor a, b, c
ik jk k ijD
D
v
kln
2
πε
ρ
=
ρ Formula umum: 32 Dab a, ra , ρa Dac Dbc c, rc , ρc b, rb , ρb c b a ca ca ca ca v v v v = ρ + ρ + ρ ca aa a ca D D v a ln 2πε ρ = ρ cb ab b ca D D v b ln 2πε ρ = ρ cc ac c ca D D v c ln 2πε ρ = ρ ρ + ρ + ρ πε = c ac c bc ab b ca aa a ca r D D D D D v ln ln ln 2 1sistem 3 konduktor a, b, c
ik jk k ijD
D
v
kln
2
πε
ρ
=
ρ Formula umum: 33Tinjau sistem empat konduktor a, b, c, n.
n c b a an an an an an
v
v
v
v
v
=
ρ+
ρ+
ρ+
ρ c, rc , ρc b, rb , ρb a, ra , ρa n, rn , ρn aa na a an D D v a ln 2πε ρ = ρ ab nb b an D D v b ln 2πε ρ = ρ ac nc c an D D v c ln 2πε ρ = ρ an nn n an D D v n ln 2πε ρ = ρ ρ + ρ + ρ + ρ πε = an n n ac cn c ab bn b a an a an D r D D D D r D v ln ln ln ln 2 1 ik jk k ijD
D
v
kln
2
πε
ρ
=
ρ Formula umum: 34 n c b a in in in in inv
v
v
v
v
=
ρ+
ρ+
ρ+
ρ c, rc , ρc b, rb , ρb a, ra , ρa n, rn , ρn ρ + ρ + ρ + ρ πε = an n n ac cn c ab bn b a an a an D r D D D D r D v ln ln ln ln 2 1 ρ + ρ + ρ + ρ πε = bn n n bc cn c b bn b ba an a bn D r D D r D D D v ln ln ln ln 2 1 ρ + ρ + ρ + ρ πε = cn n n c cn c cb bn b ca an a cn D r r D D D D D v ln ln ln ln 2 1 0 ln ln ln ln 2 1 = ρ + ρ + ρ + ρ πε = nn nn n cn cn c bn bn b an an a nn D D D D D D D D vsistem empat konduktor a, b, c, n.
n
c
b
a
i
=
,
,
,
c, rc , ρc b, rb , ρb a, ra , ρa n, rn , ρn ρ + ρ + ρ + ρ πε = an n n ac cn c ab bn b a an a an D r D D D D r D v ln ln ln ln 2 1 ρ + ρ + ρ + ρ πε = bn n n bc cn c b bn b ba an a bn D r D D r D D D v ln ln ln ln 2 1 ρ + ρ + ρ + ρ πε = cn n n c cn c cb bn b ca an a cn D r r D D D D D v ln ln ln ln 2 1sistem empat konduktor a, b, c, n.
ρρρρ
ndapat di-ganti melalui konservasi muatan
0 = ρ + ρ + ρ + ρa b c n ρn=−
(
ρa+ρb+ρc)
c, rc , ρc b, rb , ρb a, ra , ρa n, rn , ρn ρ + ρ + ρ πε = n ac cn an c n ab bn an b n a an a an r D D D r D D D r r D v ln ln ln 2 1 2 ρ + ρ + ρ πε = n bc cn bn c n b bn b n ba bn an a bn r D D D r r D r D D D v ln ln ln 2 1 2 ρ + ρ + ρ πε = n c cn c n cb bn cn b n ca an cn a cn r r D r D D D r D D D v 2 ln ln ln 2 1
sistem empat konduktor a, b, c, n.
37
Yang dapat dituliskan dalam bentuk matriks
ρ ρ ρ πε πε πε πε πε πε πε πε πε = c b a n c cn n cb bn cn n ca an cn n bc cn bn n b bn n ba an bn n ac cn an n ab bn an n a an c b a r r D r D D D r D D D r D D D r r D r D D D r D D D r D D D r r D v v v ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 2 2 2 ρ ρ ρ = c b a cc cb ca bc bb ba ac ab aa c b a f f f f f f f f f v v v
[ ]
abc abc abcF
ρ
v
~
~
=
c b a j i r D D D f n ij jn in ij , , , ln 2 1 = πε =Ini menjadi formula umum
38
Untuk tegangan sinus keadaan mantap:
= c b a cc cb ca bc bb ba ac ab aa c b a f f f f f f f f f ρ ρ ρ V V V = − c b a cc cb ca bc bb ba ac ab aa c b a f f f f f f f f f V V V ρ ρ ρ 1
[ ]
abc abc[
abc]
abcabc
F
V
C
V
ρ
~
~
~
=
-1=
[
C
abc] [ ]
=
F
abc-1F/m
[
Y
abc]
=
j C
ω
[
abc]
Kita ingat untuk kapasitorQ = C V
admitansi
39[
Y
abc]
=
j C
ω
[
abc]
Admitansi
[
Cabc] [ ]
=Fabc-1 F/mInversi matriks ini menyulitkan kita untuk menghitung langsung
[
C
abc]
maupun
[
Y
abc]
Yang lebih mudah kita peroleh langsung dari rangkaian adalah
[ ]
=
cc cb ca bc bb ba ac ab aa abcf
f
f
f
f
f
f
f
f
F
Oleh karena itu kita mencari
[ ] [ ] [ ][ ]
F
012=
T
−1F
abcT
yang akan memberikan[
] [ ]
1 012 012=
F
−C
[
Y
012]
=
j
ω
[
C
012]
40Contoh:
Satu seksi saluran sepanjangl dengan konfigurasi segitiga sama sisi dan penghantar netral di titik pusat segitigab a c N D Dab= D Dbc= D Dca= 3 D D D Dan= bn= cn=
r
r
r
r
a=
b=
c=
[ ]
F
abc=
?
[ ]
F
012=
?
[
C
012]
=
?
D D D Dab= bc= ca=[ ]
= πε = s m m m s m m m s n n n n n n n n n abc f f f f f f f f f r r D Dr D Dr D Dr D r r D Dr D Dr D Dr D r r D 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 3 / ( ln ) 3 / ( ln ) 3 / ( ln ) 3 / ( ln ) 3 / ( ln ) 3 / ( ln ) 3 / ( ln ) 3 / ( ln ) 3 / ( ln 2 1 F c b a j i r D D D f n ij jn in ij , , , ln 2 1 = πε = formula umumr
r
D
f
n s3
ln
2
1
2πε
=
n mr
D
f
3
ln
2
1
πε
=
Kita ingat matriks simetris[ ] [ ] [ ][ ]
=
=
− 2 1 0 1 0120
0
0
0
0
0
f
f
f
abcT
F
T
F
di manar
r
D
f
f
f
n m s27
ln
2
1
2
4 0=
+
=
πε
r
D
f
f
f
s mln
2
1
1=
−
=
πε
r
D
f
f
f
s mln
2
1
2=
−
=
πε
[ ]
F
012 yang merupakan matriks simetris dengan mudah memberikan[
] [ ]
=
=
=
− 2 1 0 2 1 0 1 012 0120
0
0
0
0
0
/
1
0
0
0
/
1
0
0
0
/
1
C
C
C
f
f
f
F
C
(
4 3)
027
/
ln
2
nrr
D
C
=
πε
(
D
r
)
C
/
ln
2
1=
πε
(
)
r
D
C
/
ln
2
2=
πε
(
4 3)
027
/
ln
2
nrr
D
Y
=
πεω
(
D
r
)
Y
/
ln
2
1=
πεω
(
)
r
D
Y
/
ln
2
2=
πεω
43Transposisi
44[ ]
= s cb m m s m m m s abc f f f f f f f f f F( ) ( ) ( )
[
]
j i f f j i f f f f f f ij m ij s ij ij ij ij ≠ = = = + + = jika jika 3 1 3 2 1 A B C N 3 / l 3 / l l/3 3 / 1 3 3 2 3 2 2 2 1 3 3 2 3 2 2 2 1 ln 2 1 ln 2 1 3 1 πε = πε × = n an an an n an an an s r r D D D r r D D D f 3 / 1 3 3 3 2 2 1 1 3 3 3 2 2 1 1 ln 2 1 ln 2 1 3 1 πε = πε × = n ca bc ab an cn cn bn bn an n ca bc ab an cn cn bn bn an m r D D D D D D D D D r D D D D D D D D D f c b a j i r D D D f n ij jn in ij , , , ln 2 1 = πε = formula umum 45 Telah didefinisikan 3 3 3 2 1an an dan e ab bcca an x D D D D D D D D = = n e x m r D D f 2 ln 2 1 πε = n x s rr D f 2 ln 2 1 πε = 3 2 6 0 ln 2 1 2 n e x m s rr D D f f f πε = + = r D f f f f e m s ln 2 1 2 1= = − = πε F/m ) / ln( 2 1 3 2 6 0 0 n e x Drr D f C = = πε F/m ) / ln( 2 1 1 2 1 r D f C C e πε = = = S/m 0 0=jωC Y S/m 1 1=jωC Y 46Konstanta Propagasi
Impedansi Karakteristik
Rangkaian Ekivalen
Impedansi : ΩΩΩΩ/ m Admitansi : S / mYang kita peroleh dalam perhitungan impedansi dan admitansi suatu saluran transmisi adalah nilai per satuan panjang.
Impedansi dan admitansi ini terdistribusi sepanjang saluran transmisi.
Setiap meternya misalnya, mengandung impedansi dan admitansi.
Hal ini berarti, jika saluran transmisi digunakan untuk menyalurkan energi, di setiap perubahan posisi sepanjang saluran akan terjadi
Tinjau saluran transmisi (dua konduktor) ujung kirim ujung terima suatu posisi x dihitung dari ujung terima x
Pertanyaan: Jika tegangan dan arus di ujung terima diketahui, berapakah tegangan dan arus di posisi
berjarak x dari ujung terima?
Persamaan Tegangan dan Arus Saluran Transmisi
s V Tegangan ujung kirim r V Teganganujung terima r I Arus di ujung terima 49
Tinjau jarak sempit∆∆∆∆x pada posisi x dari ujung kirim
r V s V x r I x I x V x ∆ x x+∆ I x x+∆ V x x Y∆ V x x Z∆I panjang satuan per admitansi : panjang satuan per impedansi : Y Z
Dalam jarak sempit ini terdapat tegangan jatuh
dan arus antar kedua konduktor sebesar ∆Ix=Y∆xVx sehingga x x ZxI V = ∆ ∆ x x x x V Z xI V+∆ = + ∆ x x x x Z x I V V = ∆ − ∆ + atau x x x x I Y xI I+∆ = − ∆ x x x x Y x I I I − = ∆ − ∆ + atau
dalam jarak∆∆∆∆x ini terdapat impedansi dan admitansi sebesar:
x Z∆ dan Y∆x 50 x x Z dx d I V = dxx Y x d V I − = dx d Z dx dVx= Ix 2 2 dx d Y dx d Ix=− Vx 2 2 x x ZY dx d V V = 2 2 x x YZ dx d I I =− 2 2 dan persamaan orde ke-dua substitusi dx d dx dIx dan Vx
Inilah persamaan tegangan dan arus saluran transmisi. Dalam dua persamaan orde ke-dua ini faktor YZ muncul di keduanya.
ZY
=
γ2 atau γ= ZY
Jika∆∆∆∆x →→→→0, kita tuliskan persamaan orde pertama:
konstanta propagasi Dengan harapan akan memperoleh kemudahan solusi, didefinisikan:
51
Konstanta Propagasi
52ZY
=
γ
Konstanta Propagasi:
Karena Z maupun Y adalah bilangan-bilangan kompleks, makaγγγγ
juga bilangan kompleks:
β + α = γ j
Konstanta redaman Konstanta fasa menyebabkan
penurunan amplitudo gelombang karena desipasi daya sepanjang
transmisi. Nilaiααααterkait dengan resistansi
saluran
menyebabkan perubahan fasa dan bentuk gelombang terkait dengan perubahan induktansi dan kapasitansi sepanjang
saluran
CONTOH:
Dari suatu saluran transmisi telah dihitung impedansi dan admitansi per satuan panjang:/km 4654 , 0 088 , 0 + Ω = j Z dan Y=j3,524 µS/km Hitung konstanta propagasiγγγγ.
km per 10 ) 2863 , 1 1205 , 0 ( 84,6 1,292 10 3 , 169 67 , 1 10 90 524 , 3 3 , 79 474 , 0 10 524 , 3 ) 4654 , 0 088 , 0 ( 10 ) 10 524 , 3 )( 4654 , 0 088 , 0 ( 3 o 3 -o 3 o o 3 3 6 − − − − − × + = ∠ × = ∠ = ∠ × ∠ = × + = × + = = γ j j j j j ZY S/km 10 524 3 S/km 524 , 3 µ = × −6 =j j, Y Penyelesaian:
Dengan konstanta propagasi γ2=ZY x x ZY dx d V V = 2 2 Persamaan tegangan orde ke-2:
persaman tersebut menjadi
x x dx d V V 2 2 2 γ = 2 0 2 2 = γ − x x dx d V V Persaman karakteristik: s2−γ2=0→s=±γ Solusi: x x x=K1eγ+K2e−γ V r x V V=
yang untuk x = 0, yaitu di ujung kirim:
2 1 K K r= + V x x Z dx d I V = x K ex K e x dx d = γγ− γ−γ 1 1 V = γ− γ 2 1 K K ZIr 2 1 K K Zr= − γ I
Solusi Persamaan Tegangan
Persamaan tegangan orde ke-1:
55 2 1 K K r= + V 2 1 K K Zr= − γ I 1 2K Zr r+ γ = I V 1 2 K Zr r = γ + I V 2 2K Zr r− γ = I V 2 2 K Zr r = γ − I V ) sinh( ) cosh( 2 2 2 2 2 1 x Z x e e Z e e e Z e Z e K e K r r x x r x x r x r r x r r x x x γ γ + γ = − γ + + = γ − + γ + = + = γ − γ γ − γ γ − γ γ − γ I V I V I V I V V maka ) sinh( ) cosh( x= r γx+Zγ r γx ⇒V V I 56
Persamaan tegangan orde pertama x Zxmenjadi dx d I V = ) cosh( ) sinh( 2 2 x Z x e e Z e e Z dx d r r x x r x x r x x γ + γ γ = γ + γ γ + γ − γ = = γ −γ γ −γ I V I V I V
atau sinh(x) cosh(x)
Z r r
x γ + γ
γ
= V I
I
Dengan demikian kita mempunyai sepasang persamaan untuk tegangan dan arus, yaitu:
) sinh( ) cosh(x Z r x r x=V γ +γI γ V ) cosh( ) sinh(x x Z r r x γ + γ γ = V I I 57
Impedansi
Karakteristik
58 ) sinh( ) cosh(x Z r x r x=V γ +γI γ V sinh(x) cosh(x) Z r r x γ + γ γ = V I IKita perhatikan persamaan tegangan dan arus:
tegangan arus
Ini harus merupakan admitansi arus tegangan arus
Ini harus merupakan impedansi
Maka didefinisikanlah: Impedansi Karakteristik
Impedansi Karakteristik
Y
Z
ZY
Z
Z
Z
c=
γ
=
=
Perhatikan: Z adalah impedansi per satuan panjang Y adalah admitansi per satuan panjang Zcadalah impedansi karakteristik
CONTOH:
Dari suatu saluran transmisi telah dihitung impedansi dan admitansi per satuan panjang:/km 4654 , 0 088 , 0 + Ω = j Z dan Y=j3,524 µS/km Hitung Impedansi Karakteristik.
S/km 10 524 3 S/km 524 , 3 µ = × −6 =j j, Y Ω − ∠ = ∠ ∠ × = × + = = − 35 , 5 6 , 366 90 3,524 3 , 79 584 , 1 10 10 524 , 3 4654 , 0 088 , 0 o o o 3 6 j j Y Z Zc Penyelesaian: Ω = Ω = Ω = = : Catatan 2 S Y Z Zc
Apabila d adalah jarak antara ujung kirim dan ujung terima, maka tegangan dan arus di ujung kirim dapat kita peroleh
dengan mengantikan x dengan d pada relasi di atas:
) sinh( ) cosh(d Zcr d r s=V γ + I γ V
)
cosh(
)
sinh(
d
d
Z
c r r s=
γ
+
I
γ
V
I
Dengan menggunakan impedansi karakteristik Zcsepasang
persamaan untuk tegangan dan arus, menjadi:
) sinh( ) cosh(x Zcr x r x=V γ + I γ V
)
cosh(
)
sinh(
x
x
Z
c r r x=
γ
+
I
γ
V
I
61Rangkaian Ekivalen
62Rangkaian Ekivalen
63 Apabila kita hanya ingin mengetahui keadaan di ujung terima danujung kirim suatu saluran transmissi, persamaan yang telah kita peroleh telah cukup untuk melakukan perhitungan
Namun karena saluran transmisi terhubung dengan peralatan lain (transformator misalnya) maka kita perlu menyatakan saluran
transmisi dalam sebuah
Kita tinjau rangkaian ekivalenππππseperti berikut:
Pada rangkaian ekivalen, impedansi dan admitansi yang terdistribusi sepanjang saluran dimodelkan sebagai impedansi dan admitansi tergumpal Ztdan Yt.
r V s V r I 2 e Y t Z 2 t Y s I r t r t t r t r t r s Z Y Z Y Z I V V I V V + + = + + = 2 1 2 r t t r t r t r t t t r t r s t r t r s Y Z Y Z Y Z Y Z Y Y Y Y I V I V V I V V I I + + + = + + + + = + + = 2 1 4 2 1 2 2 2 2 2
Rangkaian Ekivalen
ππππ
64 Aplikasi hukum Kirchhoff pada rangkaian ini memberikan:Dengan demikian untuk rangkaian ekivalenππππkita peroleh persamaan:
r t r t t s Z Y Z I V V + + = 2 1 tt r r t t t s Y Z Y Z Y V I I + + + = 2 1 4 2 ) sinh( ) cosh(d Zcr d r s=V γ + I γ V
Jika kita perbandingkan persamaan tegangan ini dengan persamaan tegangan sebelumnya, yaitu
dan Zt=Zcsinh( dγ) ) cosh( 2 1+ZtYt= γd ) sinh( 1 ) cosh( 1 ) cosh( 2 1 ) cosh( 2 d Z d Z d Y d Y Z c t t t t γ − γ = − γ = → − γ =
γ
=
2
tanh
2
d
Z
Y
c tZtdan Ytadalah “nilai tergumpal” impedansi dan admitansi saluran
kita dapatkan γ = γ = 2 tanh ) sinh( 1 2 d d Z Yt c
Jadi dalam rangkaian ekivalenππππ
r V s V r I 2 t Y t Z 2 t Y s I ) sinh( d Z Zt= c γ
γ
=
2
tanh
2
d
Z
Y
c tkirim
ujung
dan
terima
ujung
jarak
=
d
tik
karakteris
impedansi
=
cZ
Catatan Tentang Fungsi Hiperbolik Kompleks
Kita mengetahui bahwa
2 sinh x x e e x − − = Jika
x
=
a
+
jb
maka: 2 2 ) sinh( ) ( ) (a jb ajb a jb a jb e e e e e e jb a − − + − + − = − = + b j b e b j bejb=cos + sin dan −jb=cos − sin Kita dapat menuliskan
sehingga b a j b a b e e j b e e b j b e b j b e jb a a a a a a a sin cosh cos sinh sin 2 ) ( cos 2 ) ( 2 ) sin (cos ) sin (cos ) sinh( + = + + − = − − + = + − − −
Dengan cara yang sama kita dapatkan b a j b a jb
a ) cosh cos sinh sin
cosh( + = + Sedangkan ) cosh( ) sinh( ) tanh( jb a jb a jb a + + = +
Sebuah catatan perlu diberikan mengenai fungsi hiperbolik kompleks
67
Sistem Tiga Fasa Seimbang
68
Diagram fasor sumber tiga fasa
Sumber terhubung Y
Keadaan Seimbang
B
A
C
N
V
ANV
BNV
CN−
+
+
−
−
+
Diagram fasor tegangan120
o120
oIm
Re
CN V BN V o o o 240 120 0 − ∠ = − ∠ = ∠ = CN CN BN BN AN AN V V V V V V CN BN AN V V V = = 69Beban Terhubung Y,
Vff N A B C Z = R + j X Z = R + j X Z = R + j X N I AI
BI
CI
70Beban Terhubung
∆∆∆∆
,
Vff A B C Z = R + j X Z = R + j X Z = R + j X AI
BI
CI
Dalam sistem tiga fasa kita berhadapan dengan paling sedikit 6 peubah sinyal, yaitu 3 tegangan dan 3 arus.
Dalam keadaan seimbang: 3 3 * * 3f f f AA S =VI =VI S3f=3VfIf=VLLIL 3 f C B A=V =V =V V IA=IB=IC=IL IN =0 C B A=ϕ =ϕ ϕ = ϕ 3 f LL CA BC AB=V =V =V =V V ϕ = ϕ = ϕ = ϕ = ϕ = ϕ = sin 3 sin 3 cos cos 3 cos 3 cos 3 3 3 3 L LL f f f f L LL f f f f I V I V S Q I V I V S P jQ P S3f= 3f+ 3f A B C Jaringan X Jaringan Y A I B I C I CA V AB V BC V A V VBVC N I
Sistem Tiga Fasa Tak Seimbang
Komponen Simetris
73
Sistem tiga fasa tidak selalu dalam keadaan seimbang. Pada waktu-waktu tertentu, misalnya pada waktu terjadi hubung singkat satu fasa ke tanah, sistem menjadi tidak seimbang.
Analisis sistem tiga fasa tidak seimbang, dilakukan dengan memanfaatkan komponen simetris.
Pada 1918, C.L. Fortesque memaparkan dalam papernya, bahwa tegangan (ataupun arus) dalam sistem tak seimbang dapat dinyatakan sebagai jumlah dari tegangan-tegangan (atau arus-arus) yang seimbang. Tegangan-tegangan (atau arus-arus-arus) yang
seimbang ini disebut komponen simetris.
Dengan menggunakan komponen simetris, tegangan dan arus tiga fasa yang dalam keadaan tak seimbang di-transformasikan ke dalam
komponen-komponen simetris. Setelah analisis dilaksanakan pada setiap komponen simetris, dilakukan transformasi balik dan kita
dapatkan solusi dari keadaan tak seimbang.
74
Hanya ada 3 kemungkinan fasor seimbang yang bisa menjadi komponen simetris yaitu:
o o o 240 120 0 − ∠ = − ∠ = ∠ = f C f B f A V V V V V V o o o 240 120 0 + ∠ = + ∠ = ∠ = f C f B f A V V V V V V θ ∠ = θ ∠ = θ ∠ = f C f B f A V V V V V V C B A V V V = =
Urutan Positif Urutan Negatif Urutan Nol
120o 120o VA VB VC Im Re 120o 120o VA VC VB Im Re VA= VB= VC Im Re A B C Jaringan X Jaringan Y A I B I C I A V VBVC N I 75
Operator a
o120
1
∠
=
a
Re 120o 120o Im A aV A a V2 A VBadingkan dengan operator j yang sudah kita kenal
o
90
1
1
=
∠
−
=
j
Im Re A V A jV A j V2 A j V3 Operator a 76Uraian fasor
yang tak seimbang ke dalam
komponen-komponen simetris dengan menggunakan operator
a
C B A
