Sebelum mulai membahas saluran transmisi itu sendiri, perlu kita ingat besaran-besarn fisis udara yang akan masuk dalam perhitungan-perhitungan saluran transmisi, yaitu: Permeabilitas: permeabilitas magnetik udara dianggap sama dengan permeabilitas ruang

(1)

Saluran Transmisi

1 Sudaryatno Sudirham

Saluran transmisi merupakan koridor yang harus dilalui dalam penyaluran energi listrik. Walaupun rangkaian ekivalen cukup sederhana, terdapat empat hal yang harus diperhatikan yaitu:

Resistansi konduktor,

Imbas tegangan di satu konduktor oleh arus yang mengalir di konduktor yang lain,

Arus kapasitif karena adanya medan listrik antar konduktor,

Arus bocor pada isolator.

biasanya diabaikan karena cukup kecil dibandingkan dengan arus konduktor. Namun arus bocor menjadi sangat penting dalam permasalahan isolator Saluran transmisi yang akan kita bahas adalah saluran udara,

dengan konduktor terbuka yang berarti memenfaatkan udara sebagai bahan isolasi

2

Sebelum mulai membahas saluran transmisi itu sendiri, perlu kita ingat besaran-besarn fisis udara yang akan masuk dalam

perhitungan-perhitungan saluran transmisi, yaitu:

Permeabilitas: permeabilitas magnetik udara dianggap sama dengan permeabilitas ruang hampa:

H/m 10

4 7

0 0µ ≈µ = π× − µ

=

µ r

Permitivitas: permitivitas elektrik udara dianggap sama dengan permitivitas ruang hampa:

F/m 36 109 0

π ≈ ε ε =

ε r −

3

Resistansi Seri

4

Beberapa jenis konduktor:

Aluminium: AAL (all aluminium coductor) Aloy aluminium:AAAL(all aluminium alloy conductor)

Dengan penguatan kawat baja:ACSR(aluminium conductor steel reinforced)

Data mengenai ukuran, konstruksi, resistansi [ΩΩΩΩper km], radius [cm],

GMR [cm] (Geometric Mean Radius) kemampuan mengalirkan arus [A] dapat kita peroleh namun untuk sementara kita tidak membahasnya dalam paparan ini.

Untuk arus searah, resistansi konduktor diformulasikan: resistivitas bahan [ΩΩΩΩ.m] panjang konduktor [m] luas penampang [m2_]

A l Rdc

ρ = [ΩΩΩΩ]

C

20 pada

aga

untuk temb

m

10

77 ,

1 C

20 pada

aluminium

untuk

m.

10

83 ,

2

o 8

Ω

×

=

Ω

×

=

ρ

− −

(2)

Pada saluran transmisi kita memperhatikan dua hal berikut :

Arus yang mengalir adalah arus bolak-balik, yang menimbulkan efek kulit (skin effect), yaitu kecenderungan arus mengalir di pinngiran penampang konduktor.

Konduktor saluran transmisi berupa pilinan konduktor sehingga panjang sesungguhnya konduktor lebih besar dari panjang lateral konduktor.

7

Induktansi Seri

8

Tinjau satu konduktor lurus berjari-jarir0, dengan panjangl, yang dialiri arusi. Menurut hukum Ampere,

medan magnet di sekitar konduktor ini adalah:

∫Hdl=i

9 Untuk udara: µ=µ0µr≈µ0=4π×10−7H/m

r i B

π µ =

2

Fluksi di luar konduktor yang melingkupi konduktor sampai di titikP yang berjarakDkPdari konduktor adalah

i

r0

x H

0 ln 2 0

r D il Bldr kP

D

r luar

P

π µ = =

λ

_∫

kP

D

0

r k P

jarak konduktor-k sampai titik P

r

0: radius konduktor

Fluksi Sendiri

Hluar

Hdalam

Namun arus mengalirdi seluruh penampang konduktor walaupun kerapatan arus di pusat konduktor mungkin berbeda dengan kerapatan arus di dekat permukaannya. Oleh karena itu, selaindi sekitar konduktorterdapat juga medan magnet di dalam konduktor.

Untuk menyederhanakan perhitungan, maka medan magnet di sekitar konduktordandi dalam konduktordisatukan dengan mencari apa yang disebutGMR(Geometric Mean Radius).

GMRmerupakan radius konduktor pengganti yang kita bayangkan merupakan konduktor ber-rongga berdinding tipis berjari-jarir′(yaituGMR) dan arus mengalirdi dinding konduktor berrongga ini. DenganGMRini, fluksi di dalam konduktor telah tercakup dalam perhitungan.

r′

0

r

D

il

P

′

π

µ

=

λ′

_ln

1

2

10 Atau per satuan panjang:

r

D

i

P

′

π

µ

=

λ

_ln

1

2

Oleh karena itu fluksi lingkup total pada konduktor adalah:

Selain fluksi yang ditimbulkan oleh arus yang mengalir padanya, suatu konduktor juga dilingkupi oleh fluksi yang ditimbulkan oleh arus yang

mengalir di konduktor lain yang berdekatan dengannya.

Fluksi sendiri Fluksi bersama

Fluksi Bersama

Tinjau satu kelompoknkonduktor yang masing-masing dialiri arusii.

Kelompok konduktor ini merupakan satu sistem saluran dengan:

0

2

1 +

i

+

⋅

⋅⋅

+

i

n

=

i

Konduktor ke-k memiliki fluksi lingkup total: ⋅⋅

⋅ ⋅ 1

i i⋅2 ⋅

n

i

2 k

D

⋅⋅ ⋅

⋅

k

i

kn

kk

k

=

λ

+

λ

+

⋅

⋅⋅

+

λ

+

⋅

⋅⋅

+

λ

1

(3)

Tinjau satu kelompoknkonduktor dan kita hitung fluksi lingkup sampai suatu titik P:

Sampai di titik P konduktor ke-k memiliki fluksi lingkup total: [m] -ke konduktor GMR :

[m] -ke konduktor radius :

/m] [ -ke konduktor resistansi :

k r

k R

k k k

′

Ω

P

⋅⋅ ⋅ ⋅ 1

i i⋅2 ⋅

n

i

nP

D

2 k

D

⋅⋅ ⋅

⋅

k

i

kn nP n

k kP k

k P

k P k

D D i r D i D D i D D i

ln 2 ln 2 ln 2 ln

2 2

1 1 1

π µ + ⋅⋅ ⋅ + ′ π µ + ⋅⋅ ⋅ + π µ + π µ = λ

Fluksi lingkup sendiri

Untuk mencakup seluruh fluksi, titikPkita letakkan pada posisi semakin jauh, sampai tak hingga.

13

Dengan posisi titikPsemakin jauh maka:

D D D D

D1P≈ 2P⋅⋅⋅≈ kP⋅⋅⋅≈ kn=

(

i1+i2+⋅⋅⋅+in

)

lnD=0 dan

Dengan demikian fluksi lingkup konduktor-k menjadi

kn n

k k

k k k

D i r i D i D

i 1

ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln

2 2

2 1 1

π µ + ⋅⋅ ⋅ + ′ π µ + ⋅⋅ ⋅ + π µ + π µ = λ

fluksi sendiri konduktor k

fluksi karena arus di konduktor yang lain

14

Kalau kita batasi tinjauan pada sistem empat konduktor (3 fasa dan 1 netral), relasi fluksi lingkup setiap konduktor adalah:

    

  

+ + + ′ π µ = λ

AN N AC C AB B A A A

D i D i D i r

i ln1 ln 1 ln 1 ln 1 2

   

 

+ + ′ + π µ = λ

BN N BC C B B AB A B

D i D i r i D

i ln 1 ln1 ln 1 ln 1 2

    

  

+ ′ + + π µ = λ

CN N C C AC B AC A C

D i r i D i D

i ln 1 ln 1 ln1 ln 1 2

    

  

′ + + + π µ = λ

N N CN C BN B AN A N

r i D i D i D

i ln 1 ln 1 ln 1 ln1 2

15

Impedansi Seri

16

• • • LAB

LBC

RC A

I

B

I

C

I

• LAA

LBB

LCC

LNN

LCN

LAC

LBN

LAN N

I

RA

RB

RN

A B C

N N′

C′

B′

A′

Dengan adanya fluksi lingkup di setiap konduktor maka selain resistansi, setiap konduktor juga mengandung induktansi. Untuk saluran 4 konduktor (3 konduktor fasa dan 1 netral) dengan panjang tertentu kita memiliki rangkaian

ekivalen seperti berikut:

(

A AA

)

A ABB ACC ANN

A

R

j

L

j

L

j

L

j

L

V

_′

=

+

ω

I

+

ω

I

+

ω

I

+

ω

I

(

B BB

)

B AB A BCC BN N

B

R

j

L

j

L

j

L

j

L

V

_′

=

+

ω

I

+

ω

I

+

ω

I

+

ω

I

(

C CC

)

C AC A BC B CN N

C

R

j

L

j

L

j

L

j

L

V

_′

=

+

ω

I

+

ω

I

+

ω

I

+

ω

I

(

N NN

)

N AN A BN B CNC

N

R

j

L

j

L

j

L

j

L

V

_′

=

+

ω

I

+

ω

I

+

ω

I

+

ω

I

• • • LAB

LBC

RC A

I

B

I

C

I

• LAA

LBB

LCC

LNN

LCN

LAC

LBN

LAN N

I

RA

RB

RN

A B C

N N′

C′

B′

A′

N A AN N N A

A′

−

V

′

=

V

−

V

′ ′

V

Jika konduktorNdigunakan sebagai referensi, maka:

N B BN N N B

B′

−

V

′

=

V

−

V

′′

V

N C CN N N C

(4)

C

Karena maka



Karena maka

N Jadi:

19

Impedansi bersama ZmB

Impedansi sendiri ZsA

Impedansi bersama ZmC

C

Impedansi sendiriZsB

Impedansi bersama ZmA Impedansi bersama ZmC

C

Impedansi sendiri ZsC

Impedansi bersama ZmA Impedansi bersama ZmB

20

Dalam bentuk matriks

 ABC

ABC V Z I

V~ −~′ = ~

Matriks komponen simetris: V~₀₁₂−V~₀₁₂′ =

[

Z₀₁₂

]

~I₀₁₂

[

Z012

] [ ] [

=T−1ZABC

][ ]

T Ω/m

21

CONTOH:

Satu seksi saluran sepanjangl dengan konfigurasi segitiga sama sisi dan penghantar netral di titik pusat segitiga

B

Dinyatakan per satuan panjang

22

012

0

(5)

A

Jika didefinisikan 3 3

3

maka:

(

)

C

CONTOH: Tentukan impedansi urutan positif saluran tansmisi:

4,082 m 4,082 m 3877 , 0 088 , 0

01073 , 0

143 , 314 (

314 100 : Hz 50 frekuensi Untuk

H/km udara Untuk

m 143 , 5 164 , 8 082 , 4 082 ,

Admitansi

28

Jika konduktor lurus kita anggap tak hingga panjangnya dan mengandung muatan dengan kerapatanρρρρ, maka geometri untuk penerapan hukum Gauss menjadi sederhana. Bidangequipotensialdi

sekitar konduktor akan berbentuk silindris. Displacement dan kuat medan listrik di suatu titik berjarakxdari konduktor adalah

x

E

x

_πε

ρ

=

2

Beda potensial antara titik A yang berjarakxAdari konduktor dan

titik B yang berjarakxBdari konduktor

adalah

A

Edx

v

B

Tinjau konduktoradengan radius rabermuatanρρρρa

dan dua konduktor lain idanj yang tidak bermuatan

i Dik

j k, rk , ρk

Djk

Ini adalah beda potensial konduktori danj yang diakibatkan oleh adanya muatan di konduktora

ik

(6)

Dab

Tinjau sistem 3 konduktor

a, b, c

ik

Formula umum: Merupakan superposisi dari

vaboleh pengaruhρρρρa, ρρρρb, ρρρρc

seandainya konduktoradan

btidak bermuatan.

31

sistem 3 konduktor

a, b, c

ik Formula umum:

32

sistem 3 konduktor

a, b, c

ik Formula umum:

33

Tinjau sistem empat konduktor

a, b, c, n.

n Formula umum:

34

sistem empat konduktor

a, b, c, n.

n

sistem empat konduktor

a, b, c, n.

ρρρρ

n

dapat di-ganti melalui konservasi muatan

(7)

c, rc , ρc

sistem empat konduktor

a, b, c, n.

37

Yang dapat dituliskan dalam bentuk matriks



Ini menjadi formula umum

38

Untuk tegangan sinus keadaan mantap:

 Kita ingat untuk kapasitor

Q = C V

admitansi

39

[

Y

abc

]

=

j C

ω

[

abc

]

Admitansi

[

C

abc

] [ ]

=

F

abc-1

F/m

Inversi matriks ini menyulitkan kita untuk menghitung langsung

[

C

abc

]

maupun

[

Y

abc

]

Yang lebih mudah kita peroleh langsung dari rangkaian adalah

[ ]

abc

f

Oleh karena itu kita mencari

[ ] [ ] [ ][ ]

F

₀₁₂

=

T

−1

F

_abc

T

yang akan memberikan

[

] [ ]

1

012

=

F

−

C

[

Y

012

]

=

j

ω

[

C

012

]

40

Contoh:

Satu seksi saluran sepanjangl dengan konfigurasi segitiga sama sisi dan penghantar netral di titik pusat segitiga

b

abc

f formula umum

r

Kita ingat matriks simetris

[ ] [ ] [ ][ ]

012

0

di mana

(8)

[ ]

F

012 yang merupakan matriks simetris dengan mudah memberikan

[

] [ ]













=













=

−

2 1 0

2 1 0 1 012 012

0

0 /

1

0

0 /

1

0

0 /

1 C

C

f

F

C

(

4 3

)

0

27 /

ln

2

n

rr

D

C

=

πε

(

D

r

)

C

/

ln

2

1

=

πε

₍

₎

r

D

C

/

ln

2

=

πε

(

4 3

)

0

27 /

ln

2

n

rr

D

Y

=

πεω

(

D

r

)

Y

/

ln

2

1

=

πεω

₍

₎

r

D

Y

/

ln

2

=

πεω

43

Transposisi

44

[ ]

  

 

  

  =

s cb m

m s m

m m s

abc

f f f

F

( ) ( ) ( )

[

]

j i f f

f f f f

ij m

ij s

ij ij ij ij

≠ =

= =

+ + =

jika

jika 3 1

3 2 1 A

B C N

3 / l 3

/

l l/3

3 / 1

3 3

2 3 2

2 2

1 3

3 2

2 2

1 _ln

2 1 ln

2 1 3 1

    

  

πε = πε

× =

n an an an

n an an an s

r r

D D D

r r

D D D f

3 / 1

3 3 3 2 2 1 1

ln 2

1

ln 2

1 3 1

    

  

πε =

πε × =

n ca bc ab

an cn cn bn bn an

n ca bc ab

an cn cn bn bn an m

r D D D

D D D D D D

r D D D

D D D D D D f

c b a j i

r D

D D f

n ij

jn in ij

, , ,

ln 2

1

= πε = formula umum

45

Telah didefinisikan 3 3

3 2

1an an dan e ab bcca an

x D D D D D D D

D = =

n e

x m

r D

D f

2 ln 2

1 πε = n x s

rr D f

2 ln 2

1 πε =

3 2

6

0 ln

2 1 2

n e

x m

s

rr D

D f

f f

πε = + =

r D f f f

f e

m

s ln

2 1 2

1= = − = _πε

F/m ) / ln(

2 1

3 2 6 0 0

n e x Drr

D f

C = = πε

F/m ) / ln(

2 1

1 2 1

r D f C C

e πε = = =

S/m 0 0=jωC Y

S/m 1 1=jωC Y

46

Konstanta Propagasi

Impedansi Karakteristik

Rangkaian Ekivalen

Impedansi : ΩΩΩΩ/ m Admitansi : S / m

Yang kita peroleh dalam perhitungan impedansi dan admitansi suatu saluran transmisi adalah nilai per satuan panjang.

Impedansi dan admitansi ini terdistribusi sepanjang saluran transmisi.

Setiap meternya misalnya, mengandung impedansi dan admitansi.

Hal ini berarti, jika saluran transmisi digunakan untuk menyalurkan energi, di setiap perubahan posisi sepanjang saluran akan terjadi

(9)

Tinjau saluran transmisi (dua konduktor)

ujung kirim

ujung terima suatu posisix

dihitung dari ujung terima

x

Pertanyaan: Jika tegangan dan arus di ujung terima diketahui, berapakah tegangan dan arus di posisi

berjarakx dari ujung terima?

Persamaan Tegangan dan Arus Saluran Transmisi

s V Tegangan

ujung kirim

r V Tegangan_ujung

terima r

I Arus di ujung terima

49

Tinjau jarak sempit∆∆∆∆x pada posisixdari ujung kirim

r V s

V

x

r I x I

x V

x

∆

x x+∆ I

x x+∆ V

x

x Y∆ V

x

x Z∆I

panjang satuan per admitansi :

panjang satuan per impedansi :

Y Z

Dalam jarak sempit ini terdapat tegangan jatuh

dan arus antar kedua konduktor sebesar ∆Ix=Y∆xVx sehingga x x ZxI V = ∆ ∆

x x x

x V Z xI

V+∆ = + ∆

x x x

x _Z

x I

V V

= ∆

− ∆ + atau

x x x

x I Y xI

I+∆ = − ∆

x x x

x _Y

x I

I I

− = ∆

− ∆ + atau

dalam jarak∆∆∆∆xini terdapat impedansi dan admitansi sebesar:

x Z∆ dan Y∆x

50

x

x _Z

dx d

I V

= _dxx Y x

d

V I

− =

dx d Z dx dVx₌ Ix

2 2

dx d Y dx d Ix₌₋ Vx

2 2

x x _ZY

dx d

V V ₌

2 2

x

x _YZ

dx d

I I ₌₋

2 2 dan persamaan

orde ke-dua

substitusi

dx d dx dIx_danVx

Inilah persamaan tegangan dan arus saluran transmisi. Dalam dua persamaan orde ke-dua ini faktorYZmuncul di keduanya.

ZY =

γ2 atau γ= ZY

Jika∆∆∆∆x →→→→0, kita tuliskan persamaan orde pertama:

konstanta propagasi Dengan harapan akan memperoleh kemudahan solusi, didefinisikan:

51

Konstanta Propagasi

52

ZY

=

γ

Konstanta Propagasi:

KarenaZmaupunY adalah bilangan-bilangan kompleks, makaγγγγ juga bilangan kompleks:

β + α =

γ j

Konstanta redaman Konstanta fasa menyebabkan

penurunan amplitudo gelombang karena desipasi daya sepanjang

transmisi. Nilaiααααterkait dengan resistansi

saluran

menyebabkan perubahan fasa dan bentuk gelombang terkait dengan perubahan induktansi dan kapasitansi sepanjang

saluran

CONTOH:

Dari suatu saluran transmisi telah dihitung impedansi

dan admitansi per satuan panjang: /km 4654 , 0 088 ,

0 + Ω

= j

Z dan Y=j3,524 µS/km Hitung konstanta propagasiγγγγ.

km per 10 ) 2863 , 1 1205 , 0 ( 84,6 1,292 10

3 , 169 67 , 1 10 90 524 , 3 3 , 79 474 , 0 10

524 , 3 ) 4654 , 0 088 , 0 ( 10

) 10 524 , 3 )( 4654 , 0 088 , 0 (

3 o

3

-o 3 o o 3

3

6

− − −

−

× + = ∠ × =

∠ = ∠ × ∠ =

× + =

× +

= = γ

j j j

j j ZY

S/km 10 524 3 S/km 524 ,

3 _µ ₌ _× −6

=j j,

(10)

Dengan konstanta propagasi γ2=ZY

x x _ZY

dx d

V V ₌

2 2 Persamaan tegangan orde ke-2:

persaman tersebut menjadi

x x

dx d

V

V 2

2 2

γ

= 2 0

2 2

= γ

− x

x

dx d

V V

Persaman karakteristik: s2−γ2=0→s=±γ

Solusi: x x

x=K1eγ+K2e−γ

V

r

x V

V=

yang untukx = 0, yaitu di ujung kirim:

2 1 K K

r= +

V

x

x _Z

dx d

I

V ₌ x _K _ex _K _e x

dx

d ₌ _γγ₋ _γ−γ 1 1

V ₌ _γ₋ _γ

2

1 K

K ZIr

2 1 K K Zr₌ ₋

γ

I

Solusi Persamaan Tegangan

Persamaan tegangan orde ke-1:

55

2 1 K K

r= +

V

2 1 K K Zr₌ ₋

γ

I

1

2K Zr r+ _γ =

I V

1

2 K

Zr r

= γ + I V

2

2K Zr r− _γ =

I V

2

2 K

Zr r

= γ − I V

) sinh( ) cosh(

2 2

2 1

x Z x

e e Z e e

e Z

e K e K

r r

x x r x x

r

x r r x r r x x x

γ γ + γ =

− γ + + =

γ − + γ + = + =

γ − γ γ − γ

γ − γ

I V

I V I V V

maka

) sinh( ) cosh(

x= r γx+Z_γ r γx

⇒V V I

56

Persamaan tegangan orde pertama x _Z_xmenjadi dx

d

I V

=

) cosh( ) sinh(

2 2

x Z x

e e Z e e Z dx d

r r

x x r x x

r x x

γ + γ γ =

γ + γ γ + γ − γ =

= γ −γ γ −γ

I V

atau _sinh(_x₎ _cosh(_x₎

Z r r

x γ + γ

γ

= V I

I

Dengan demikian kita mempunyai sepasang persamaan untuk tegangan dan arus, yaitu:

) sinh( )

cosh(x Z _r x

r

x=V γ +_γI γ

V

) cosh( )

sinh(x x

Z r r

x γ + γ

γ

= V I

I

57

Impedansi

Karakteristik

58

) sinh( )

cosh(x Z r x

r

x=V γ +_γI γ

V sinh(x) cosh(x)

Z r r

x γ + γ

γ

= V I

I

Kita perhatikan persamaan tegangan dan arus:

tegangan arus

Ini harus merupakan admitansi arus tegangan arus

Ini harus merupakan impedansi

Maka didefinisikanlah: Impedansi Karakteristik

Impedansi Karakteristik

Y

Z

ZY

Z

c

=

_γ

=

Perhatikan: Z adalah impedansiper satuan panjang Y adalah admitansiper satuan panjang Zcadalahimpedansi karakteristik

CONTOH:

0 + Ω

= j

Z dan Y=j3,524 µS/km Hitung Impedansi Karakteristik.

S/km 10 524 3 S/km 524 ,

3 µ = × −6

=j j,

Y

Ω − ∠ =

∠ ∠ × = × + =

= ₋

35 , 5 6 , 366

90 3,524

3 , 79 584 , 1 10 10 524 , 3

4654 , 0 088 , 0

o

o o 3

6

j j Y Z Zc Penyelesaian:

    

  

Ω = Ω = Ω = = :

Catatan 2

(11)

Apabiladadalah jarak antara ujung kirim dan ujung terima, maka tegangan dan arus di ujung kirim dapat kita peroleh

dengan mengantikanx dengandpada relasi di atas:

) sinh( )

cosh(d Zcr d

r

s=V γ + I γ

V

)

cosh(

)

sinh(

d

Z

c r

r

s

=

γ

+

I

γ

V

I

Dengan menggunakan impedansi karakteristikZcsepasang

persamaan untuk tegangan dan arus, menjadi:

) sinh( )

cosh(x Zcr x

r

x=V γ + I γ

V

)

cosh(

)

sinh(

x

Z

c r

r

x

=

γ

+

I

γ

V

I

61

Rangkaian Ekivalen

62

Rangkaian Ekivalen

63 Apabila kita hanya ingin mengetahui keadaan di ujung terima dan

ujung kirim suatu saluran transmissi, persamaan yang telah kita peroleh telah cukup untuk melakukan perhitungan

Namun karena saluran transmisi terhubung dengan peralatan lain (transformator misalnya) maka kita perlu menyatakan saluran

transmisi dalam sebuah

Kita tinjau rangkaian ekivalenππππseperti berikut:

Pada rangkaian ekivalen, impedansi dan admitansi yang terdistribusi sepanjang saluran dimodelkan sebagai impedansi dan admitansitergumpal ZtdanYt.

r V s

V

r I

2

e

Y

t

Z

2

t

Y

s I

r t r t t

r t r t r s

Z Y Z

Y Z

I V

V I V V

+      ₊ =

    

 ₊

+ =

2 1

2

r t t r t

r t r t t t r t r

s t r t r s

Y Z Y Z Y

Z Y Z Y Y

Y Y

I V

I V V

I

V V I I

     ₊ +         + =

   

 

+      ₊ + + =

+ + =

2 1 4

2 1 2 2

2 2

2

Rangkaian Ekivalen

ππππ

64 Aplikasi hukum Kirchhoff pada rangkaian ini memberikan:

Dengan demikian untuk rangkaian ekivalenππππkita peroleh persamaan:

r t r t t

s Z

Y Z

I V

V  +

    ₊ =

2

1 tt _r

r t t t s

Y Z Y Z

Y V I

I 

     + +        

+ =

2 1 4

2

) sinh( )

cosh(d Zcr d

r

s=V γ + I γ

V

Jika kita perbandingkan persamaan tegangan ini dengan persamaan tegangan sebelumnya, yaitu

dan Zt=Zcsinh( dγ ) )

cosh( 2 1₊ZtYt₌ _γd

) sinh(

1 ) cosh(

1 ) cosh( 2

d Z

d Y

d Y Z

c t t t t

γ − γ =

− γ = →

− γ =













γ

=

2 tanh

2 d

Z

Y

c t

ZtdanYtadalah “nilai tergumpal” impedansi dan admitansi saluran

kita dapatkan

     γ =

γ =

2 tanh

) sinh(

1 2

d d Z Yt c

Jadi dalam rangkaian ekivalenππππ

r V s

V

r I

2

t

Y

t

Z

2

t

Y

s I

)

sinh( d

Z

t

=

c

γ













γ

=

2 tanh

2 d

Z

Y

c t

kirim

ujung

dan

terima

ujung

jarak

=

d

tik

karakteris

impedansi

=

c

(12)

Catatan Tentang Fungsi Hiperbolik Kompleks

Kita mengetahui bahwa

2 sinh

x x

e e x

− − = Jika

x

=

a

+

jb

maka:

2 2

) sinh(

) ( )

(a jb ajb a jb a jb

e e e e e e jb a

− − +

−

+ ₋

= − = +

b j b e b j b

ejb₌_cos ₊ _sin _dan−jb₌_cos ₋ _sin Kita dapat menuliskan

sehingga

b a j b a

b e e j b e e

b j b e b j b e jb a

a a a a

a a

sin cosh cos sinh

sin 2

) ( cos 2

) (

2

) sin (cos ) sin (cos ) sinh(

+ =

+ + − =

− − + = +

− −

−

Dengan cara yang sama kita dapatkan

b a j b a jb

a ) cosh cos sinh sin

cosh( + = +

Sedangkan

) cosh(

) sinh( ) tanh(

jb a

jb a jb a

+ + = +

Sebuah catatan perlu diberikan mengenai fungsi hiperbolik kompleks

67

Sistem Tiga Fasa Seimbang

68

Diagram fasor sumber tiga fasa

Sumber terhubung Y

Keadaan Seimbang

B

A

C

N

VAN

V

BN

V

CN

−

+

₋

−

+

Diagram fasor tegangan

120

o

120

o

Im

Re

CN V

BN V

o o o

240 120 0

− ∠ =

∠ =

CN CN

BN BN

AN AN

V V

CN BN

AN V V

V = =

69

Beban Terhubung

Y,

Vff

N A

B

C

Z = R + j X

N I

A

I

B

I

C

I

70

Beban Terhubung

∆∆∆∆

,

Vff

A

B

C

Z = R + j X

A

I

B

I

C

I

Dalam sistem tiga fasa kita berhadapan dengan paling sedikit 6 peubah sinyal, yaitu 3 tegangan dan 3 arus.

Dalam keadaan seimbang:

3

3 * *

3f f f AA

S =VI =VI S3f=3VfIf=VLLIL 3

f C B A=V =V =V

V IA=IB=IC=IL IN =0

C B A=ϕ =ϕ ϕ = ϕ 3

f LL CA BC

AB=V =V =V =V

V

ϕ = ϕ = ϕ =

sin 3 sin 3 cos

cos 3 cos 3 cos

3 3

L LL f f f f

I V I V S Q

I V I V S P jQ P S3f= 3f+ 3f A

B

C

Jaringan X

Jaringan Y

A

I

B

I

C

I

CA

V

AB

V

BC

V

A

V VB VC

N

(13)

Sistem Tiga Fasa Tak Seimbang

Komponen Simetris

73

Sistem tiga fasa tidak selalu dalam keadaan seimbang. Pada waktu-waktu tertentu, misalnya pada waktu terjadi hubung singkat satu fasa ke tanah, sistem menjadi tidak seimbang.

Analisis sistem tiga fasa tidak seimbang, dilakukan dengan memanfaatkan komponen simetris.

Pada 1918, C.L. Fortesque memaparkan dalam papernya, bahwa tegangan (ataupun arus) dalam sistem tak seimbang dapat dinyatakan sebagai jumlah dari tegangan-tegangan (atau arus-arus) yang seimbang. Tegangan-tegangan (atau arus-arus-arus) yang

seimbang ini disebutkomponen simetris.

Dengan menggunakankomponen simetris, tegangan dan arus tiga fasa yang dalam keadaan tak seimbang di-transformasikan ke dalam

komponen-komponen simetris. Setelah analisis dilaksanakan pada setiap komponen simetris, dilakukan transformasi balik dan kita

dapatkan solusi dari keadaan tak seimbang.

74

Hanya ada 3 kemungkinan fasor seimbang yang bisa menjadi komponen simetris yaitu:

o o o

240 120 0

− ∠ =

∠ =

f C

f B

f A

V V V

o o o

240 120 0

+ ∠ =

∠ =

f C

f B

f A

V V V

θ ∠ =

f C

f B

f A

V V V

C B A V V

V = =

Urutan Positif Urutan Negatif Urutan Nol

120o

120o VA VB VC

Im

Re

120o

120o VA VC VB Im

Re

VA= VB= VC Im

Re

A

B

C

Jaringan X

Jaringan Y

A

I

B

I

C

I

A

V VBVC N

I

75

Operator

a

o

120

1 ∠

=

a

Re 120o

120o

Im A

aV

A

a V2

A V

Badingkan dengan operator jyang sudah kita kenal

o

90

1

1 =

∠

−

=

j

Im

Re A V A

jV

A

j V2

A

j V3

Operator a

76

Uraian fasor

yang tak seimbang ke dalam

komponen-komponen simetris dengan menggunakan operator

a

C B A

V

,

2 2 1 0 2 1 0

2 1 2 0 2 1 0

2 1 0 2 1 0

V V V V V V V

a a

C C C C

B B B B

A A A A

+ + = + + =

Urutan nol Urutan positif

Urutan negatif

0 1 1 2 1+ V+ V=

V a a V2+aV2+a2V2=0 0

3V

V V VA+ B+ C=

(

)

/3 0 VA VB VC

V= + +

Im

Re 0 V

120o

Im

1 V 1 V

a

1 2_V

a

120o

Im

Re

2 2

V

a

2 V 2 V

a

2 2 1 0

2 1 2 0

2 1 0

V V V V

a a

C B A

+ + =

+

(

2

) (

1 2

)

2

0 1 1

3V V V

V V

VA+ B+ C= + +a+a + +a+a

0 0

(

)

/3

0 VA VB VC

V = + +

2 1 0 2 2 4 1 3 0 2 2

2 2 1 0 2 2 1 3 0

2 1 0

V V V V V V V

V V V V

a a a a a a

C B A

+ + = + + =

+ + =

+

(

2

)

0 1

(

2

)

2 2_V ₁ _V ₃_V ₁ _V V

VA+aB+a C= +a+a + + +a+a V1=

(

VA+aVB+a2VC

)

/3

+

2 1 2 0 2 3 1 2 0

2 1 0 2 2 3 1 4 0 2 2

2 1 0

V V V V V V V

V V V V

+ + = + + =

+ + =

a a a a a a

C B A

(

2

) (

0 2

)

1 2 2_V _V ₁ _V ₁ _V ₃_V

VA+a B+aC= +a+a + +a+a + V2=

(

VA+a2VB+aVC

)

/3

(14)

Contoh:

Carilah komponen simetris dari tiga fasor arus tak seimbang berikut ini.

0

120 (

120 3

3 ) 60 sin 60 (cos 3 180 3 240 (

Transformasi fasor tak seimbang ke dalam komponen simetrisnya dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai:



Dengan cara yang sama, kita peroleh untuk arus:

[ ]

012 seimbang

Fasor tak seimbang Fasor komponen simetris komponen

simetris

Komponen simetris

Fasor tak seimbang ditulis

ditulis

Fasor tak seimbang

komponen simetris

Inversi matriks [T]

Karena fasor tak seimbang ditransformasi ke dalam komponen simetrisnya maka impedansi harus disesuaikan. Sesuai dengan konsep Impedansi di

kawasan fasor, kita dapat menuliskan relasi :

[ ]

V

ABC

[

Z

ABC

]

[ ]

I

ABC

~

₌

81 Ini adalah matriks impedansi 3××××3 yang memberikan induktansi sendiri dan induktansi bersama antar fasa

[ ]

012

relasi komponen simetris

C

Contoh:

•

TentukanZ012



012

m

ABC

X

Impedansi urutan nol Impedansi urutan positif Impedansi urutan negatif

) 2 ( 0 jXs Xm

Z = + Z1=j(Xs−Xm) Z2=j(Xs−Xm)

Impedansi urutan nol Impedansi urutan positif Impedansi urutan negatif

0

Masing-masing dipecahkan dengan tatacara rangkaian seimbang. Transformasi balik memberikan pemecahan rangkaian tak seimbang.

(15)

Rangkaian ekivalen diturunkan dari sistem dua konduktor

Untuk aplikasi pada sistem tiga fasa kita menggunakan komponen simetris.

Masing-masing komponen dalam komponen simetris merupakan fasa-fasa seimbang sehingga masing-masing komponen dapat di analisis menggunakan rangkaian ekivalen

satu fasa.

Dengan demikian masing-masing komponen memiliki rangkaian ekivalen, yaitu rangkaian ekivalen urutan positif, urutan negatif, dan urutan nol.

85

0 r

V 0

s

V

r

I

2 0

t Y

0

t Z

2 0

t Y

0

s

I

1

r

V

1

s

V

1

r

I

2 1

t Y

1

t

Z

2 1

t Y

1

s

I

2

r

V

2 s V

2

r

I

2 2

t Y

2

t

Z

2 2

t Y

2

s

I

Rangkaian Urutan Nol Rangkaian Urutan Positif

Rangkaian Urutan Negatif 00

0 00 0 Z Y Y

Z = = Z1=Z11 Y1=Y11

22 2 22 2 Z Y Y

Z = =

]

[

dan

]

[

matriks

diagonal

dalam

nilai

adalah

dan

Y

Z

012

Y

012

Z

ii ii

86

0 0

0

=

Z

Y

γ

1

=

Z

1

Y

1

γ

2

=

Z

2

Y

2

Konstanta propagasi urutan adalah

Impedansi karakteristik urutan adalah

0 0 0

Y

Z

c

=

1 1 1

Y

Z

c

=

2 2 2

Y

Z

c

=

)

sinh(

)

sinh(

)

sinh(

2 2 2

1 1 1

0 0 0

d

Z

d

Z

d

Z

c t

γ

=

γ

=

γ

=

     γ =

2 tanh 2

2 2 2

1 1 1

0 0 0

d Z Y

c t

c t Impedansi dan Admitansi ekivalen urutan adalah

87

Dalam analisis sistem tenaga, sering dilakukan asumsi bahwa sistem beroperasi dalamkeadaan seimbang.

Dengan asumsi ini maka hanya rangkaian urutan positif yang diperlukan, dan denganmengambilfasaa, rangkaian ekivalen satu

fasa menjadi

a

I

Z

jX R

a a_′

a

v 2 Y

a

v′ 2 Y

n n_′

88

CONTOH:

0 + Ω

= j

Z dan Y=j3,524 µS/km dan telah dihitung pula impedansi karakteristik serta faktor redaman

o 35 , 5 6 , 366 ∠− =

c

Z

km

per

10 )

2863

,

1 1205

,

0 (

+

×

−3

=

γ

j

Tentukan elemen-elemen rangkaian ekivalen jika panjang saluran transmisi 100 km.

Impedansi dan admitansi ekivalen saluran adalah:

     γ = γ

=

2 tanh 1 2 dan )

sinh( d

Z Y d Z Z

c t c

t Penyelesaian:

(

)

Ω + =

× × + −

∠ =

γ =

−

41 , 46 76 , 8

100 10 ) 2863 , 1 1205 , 0 ( sinh 35 , 5 6 , 366

) sinh(

3 o

j

j d

Z Zt c

o 35 , 5 6 , 366 ∠− =

c

Z

γ

=

(

0 ,

1205

+

j

1 ,

2863

)

×

10

−3

per

km

d=100 km Dengan:

mS 1764 , 0 1764 , 0 0000262 , 0

2 100 10 ) 2863 , 1 1205 , 0 ( tanh 35 , 5 6 , 366

1

2 tanh 1 2

3

o

j j

j d

Z Y

c t

≈ + =

    

 

 ₊ _× _×

− ∠ =

     γ =

(16)

Contoh:

Tentukan admitansi urutan positifY1saluran tansmisi:

4,082 m 4,082 m

230 KV L-L I rated 900 A

r = 1,35 cm

r’ = gmr = 1,073 cm

R = 0,088 Ω/ km

) 0135 , 0 / 143 , 5 ln(

) 2 ( ) / ln(

) 2 ( 1 1

1= ω = ω= ω πε= ω πε

j r D j f j C j Y

e m 143 , 5 164 , 8 082 , 4 082 , 4

3 _× _× ₌

=

e

D

F/km 36

1 F/m 36 10 : udara Untuk

9

µ π = π =

ε −

314

100 :

Hz

50 frekuensi

Pada

ω

=

π

=

S/km 935 , 2 ) 0135 , 0 / 143 , 5 ln(

) 36 / 1 )( 2 ( 314

1=j π π =j µ

Y

91

Daya Pada Komponen Simetris

92

∗ ∗

∗₊ ₊

= AA BB CC

f

S3 VI VI VI

93 Secara umum relasi daya

kompleks 3 fasa adalah:

Dalam bentuk matriks jumlah

perkalian ini dinyatakan sebagai:

[

]

   

 

   

  =

∗ ∗ ∗

C B A

C B A f

S

I I I V V V 3 A

B

C

Jaringan X

Jaringan Y

A

I

B

I

C

I

A

V VBVC N

I

maka :

∗

=

ABCt ABC

f

S

3

V

~

I

Jika fasor tegangan dinyatakan dalam bentuk vektor kolom:

  

 

  

  =

C B A

ABC V V V V~

94 dan fasor arus dinyatakan dalam

bentuk vektor kolom:













=

C B A

ABC

I

~

[

]













=

∗ ∗ ∗

C B A

C B A f

S

I

V

3

dituliskan secara kompak:

[ ]

012

~

V

T

V

ABC

=

karena

[ ]

{

}

{

[ ]

}

[ ] [ ]

*

012 * 012

* 012 012 3

~

I

T

V

I

T

V

T

I

V

t t

t ABC ABCt f

S

=

∗

[ ]

012

~

I

T

I

ABC

=

maka

dan

[ ] [ ]

    

    

=

    

    

=

    

    

    

    

= ∗

1 0 0

0 1 0

0 0 1 3 3 0 0

0 3 0

0 0 3

1 1

1 1 1 1 1

1 1 1

2 2 2 2

a a

a a a a

a a

tT

T

sehingga *

012 012 3

~

3 V

t

I

f

S

=

atau

S

₃f

=

3 [

V

₀

I

₀∗

+

V

₁

I

₁∗

+

V

₂

I

∗₂

]

Contoh:

Tentukan daya kompleks 3 fasa dalam keadaan tak seimbang dimana fasor tegangan fasa dan arus saluran diberikan dalam bentuk matriks sbb:

    

    

− =

0 100 100 ~

ABC

V

    

    

− − =

10 10 10

~ j

ABC

I

Perhatikan bahwa:

    

    

=

C B A

ABC

V V V

V~ dan

    

    

=

C B A

ABC

I I I I

~

[

]

[

]

1000

0 1000

1000

10

0

100

10

0

100

100 ~

3

j

I

S

ABC

T ABC f

−

=

+

−

=













−

=













−

=

∗ ∗