Surakarta

- 1 - | ISSN: 1234-5678 Jurusan Fisika FMIPA UNESA

Solusi Analitik Persamaan Dirac Untuk Potensial Rosen Morse

Hiperbolik Terdeformasi-q Pada Kasus Pseudospin Simetri Bagian

Radial Menggunakan Metode Iterasi Asimtotik

SUBUR PRAMONO1)_{, SUPARMI}2,*)_{, CARI}3)_{,BETA NUR PRATIWI}4)

1) _{Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana Universitas Sebelas Maret. Jl. Ir. Sutami 36A Kentingan} Surakarta,

E-mail: suburpramono.26@gmail.com

2) _{Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana Universitas Sebelas Maret. Jl. Ir. Sutami 36A Kentingan,} Surakarta

E-mail: soeparmi@staf.uns.ac.id *)_{PENULIS KORESPONDEN}

TEL: 085755232959; TEL: 085728251413

ABSTRAK: Persamaan Dirac untuk potensial Rosen Morse Hiperbolik terdeformasi-q pada kasus pseudospin simetri bagian radial diselesaikan dengan menggunakan Metode Iterasi Asimtotik atau Asymptotic Iteration Method (AIM). Untuk pendekatan sentrifugal digunakan dengan pendekatan Pekeris. Penyelesaian persamaan Dirac dengan menggunakan metode Iterasi Asimtotik dilakukan dengan mereduksi persamaan differensial orde kedua menjadi persamaan differensial tipe Hipergeometri dengan cara substitusi variabel sehingga diperoleh persamaan energi relativistik. Energi relativistik sistem dihitung menggunakan software matlab 2013. Penelitian ini dibatasi untuk kasus pseudospin simetri bagian radial.

Kata Kunci: Persamaan Dirac, Rosen Morse Hiperbolik terdeformasi q, Metode Iterasi Asimtotik, Pendekatan Pekeris, Pseudospin Simetri.

PENDAHULUAN

Persamaan Dirac merupakan persamaan gelombang relativistik yang dirumuskan oleh fisikawan berkebangsaan inggris, P.A.M. Dirac pada tahun 1928. Persamaan ini memiliki fungsi yang sama sebagaimana persamaan gelombang yang dirumuskan oleh Erwin Schrödinger, yaitu untuk menemukan solusi fungsi gelombang sistem kuantum yang dapat mendeskripsikan eksistensi suatu partikel pada skala mikroskopik pada kondisi tertentu. Karena persamaan Dirac adalah persamaan gelombang yang sudah mengikutsertakan keadaan relativistik dari partikel dimana v~c, sehingga hasil yang diperoleh dari penyelesaian persamaan Dirac merupakan fungsi gelombang sistem kuantum relativistik dan spektrum energi relativistik(Atkins, 1974). Persamaan Dirac mendeskripsikan tentang perilaku gerak partikel yang memiliki spin 12 untuk

potensial shape invariance sentral maupun non sentral(Greiner, 2000).

Penyelesaian persamaan Dirac secara langsung dari sistem partikel yang dipengaruhi oleh potensial yang energi potensialnya adalah fungsi posisi adalah dengan cara mereduksi persamaan Dirac menjadi persamaan differensial orde kedua sehingga didapatkan persamaan energi dan fungsi gelombang(Suparmi, 2011).

Pada beberapa tahun akhir ini banyak peneliti yang telah melakukan penelitian terkait persamaan Dirac dengan beberapa potensial dan metode. Beberapa potensial yang telah digunakan dalam penelitian tersebut adalah Hulthen(Soylu, et al, 2007; Suparmi, et al, 2014), Non-sentral Rosen Morse Trigonometri(Suparmi, et al, 2014), Eckart (Soylu, et al, 2008; Resita, et al, 2015), Maning Rosen Trigonometri(Resita, et al, 2015), Pöschl-Teller hiperbolik terdeformasi-q dan non-sentral Scarf trigonometri(Kurniawan, et al, 2015), Coulomb plus NAD(Bakkeshizadeh, 2012),

- 2 - | ISSN: 1234-5678 Jurusan Fisika FMIPA UNESA dan lain-lain. Metode yang telah digunakan oleh mereka adalah supersymmetry quantum mechanics(Suparmi dan Cari, 2014), polinomial Romanovski(Suparmi, et al, 2014) Nikivorov-Uvarov(Bakkeshizadeh, et al, 2012; Sameer, 2009)), iterasi asimtotik (Soylu et al, 2007, 2008; Kurniawan et al, 2015; Kocak, et al, 2012; Das, 2014; Debnath, 2012). Pada paper ini digunakan metode iterasi asimtoik untuk menentukan energi relativistik dan fungsi gelombang persamaan dirac bagian radial pada kasus pseudospin simetri yang dipengaruhi oleh potensial Rosen Morse Hiperbolik terdeformasi-q. Dalam paper ini dibatasi pada kondisi selisih potensial vektor dengan potensial skalar adalah potensial yang mepengaruhi sistem.

METODE PENELITIAN

Metode Iterasi Asimtotik

Metode iterasi asimtotik merupakan suatu metode alternatif yang akurat dan efisien untuk menentukan nilai energi eigen dan fungsi eigen suatu potensial jenis hiperbolik yang dapat diselesaikan secara analitik. Metode iterasi asimtotik juga memeberikan solusi untukmasalah yang dapat diselesaikan secara eksak (Das, 2014).

Metode Iterasi Asimtotik digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial linier orde kedua homogen yaitu

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n n

y x 



x y x s x y x (1) Dimana



₀( )x 0dan tanda prime

menunjukkan turunan terhadap x. Parameter lain yaitu n diartikan sebagai bilangan kuantum radial. Variabel



₀( )x dans x₀( )adalah variabel yang cukup mudah

untuk diturunkan. Untuk memperoleh suatu solusi umum dari persamaan (1), kita harus mendifferensialkan persamaan (1) tersebut terhadap x, sehingga kita peroleh

1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n y x 



x y x s x y x (2) dimana 2 1( )x 0 ( )x s x0( ) 0( )x



_



 _{ }



(3) 1( ) 0 ( ) 0( ) 0( ) s x s x s x



x (4) Dengan ₀( )x 0 dan

s x

0

( )

merupakan fungsi dari C (koefisien persamaan differensial) Metode iterasi

asimtotik dan dapat diaplikasikan secara langsung pada beberapa permasalahan jika sebuah fungsi gelombang diketahui terlebih dahulu dan memenuhi kondisi batas nol (0) dan tak hingga (∞)[13].

Persamaan (2) dapat diiterasikan dengan mudah sampai (k+1) dan (k+2), k = 1, 2, 3, ... sehingga diperoleh 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k n k n k n y  x 



_ x y x s _ x y x (5) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k n k n k n y  x 



x y x s x y x (6) Dimana 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k x k x sk x x k x  _ _ _{  }  _ (7) 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k s x s _ x s x



_ x (8) Yang mana disebut recurrence relation. Dari rasio (k + 1) dan (k + 2), kita dapatkan

(k 2) (k 1) (k 1) 1 1 1 ( ) ln ( ) ( ) (z) (z) ( ) ( ) (z) (z) (z) ( ) ( ) (z) n n n k k n k k k n k y z d y z dz y z s y z f z s y z f z                 _         _{ }      (9)

Untuk nilai k yang cukup besar, maka

1 1 (z) (z) ( ) (z) (z) k k k k s s z









_  (10)

Yang mana adalah aspek metode iterasi asimtotik, kemudian kita subtitusikan

(k 1) 1 (z) ln ( ) (z) k n k d y z dz





       (11) (k 1) 1 (z) ln ( ) (z) k n k d y z



dz



      





(12)









(k 1) 1 1 1 1 0 (z) ( ) exp (z) (z) exp ( ) (z) k n k k y z C dz C z dz              _{ }     





(13)  





1 0 ( ) ( ) ( ) exp ( ) (z) n y z  z f z C



 z  dz (14)











1



1 1 2 1 0 2 2 2 1 ( ) exp ( ) d exp (z ) 2 ( ) z n z z y z z z C C z dz dz        _   _  







(15) 1 1 ( ) (z) (z) (z) (z) 0 1, 2, 3, ... k z k sk k sk k  _ _      (16)

Dimana n merepresentasikan bilangan quantum radial [5].

Persamaan (2) merupakan persamaan differensial orde kedua homogen linier yang

- 3 - | ISSN: 1234-5678 Jurusan Fisika FMIPA UNESA mana dapat diselesaikan dengan membandingkan terlebih dahulu dengan persamaan differensial orde kedua berikut(Kocak, 2012): 1 2 2 1 ( ) 2 ( ) ( ) 1 1 N N N N az t wz y z y z y z bz z bz         _  _       (17) Dimana

(

n)

2

3

( )

,

( )

2

n

t

N

N









 

 









(18) dan

(2

1)

2

(

2)

t

b

a

N

b











(19)

Fungsi gelombang dari persamaan (2), dapat ditentukan mengikuti persamaan (Kocak, 2012): 2 2 2 1 ( ) ( 1)n (N 2) ( )n ( , ; ; N ) n n y z   C   F nn bz  (20)

HASIL DAN PEMBAHASAN Penentuan Energi Relativistik

Persamaan Dirac untuk sebuah partikel tunggal dengan massa M yang diengaruhi oleh potensial vektor V(r) dan potensial skalar S(r) dapat diberikan sebagai (dalam satuan ℏ = 𝑐 = 1)  





.p M S r( ) ( )r E V r( ) ( )r            (21)

Dimana pdan E adalah operator momentuum dan energi relativistik toal dari sistem, secara berturut-turut. Operator momentum sudut total ˆJ dan operator matriksspin-orbit _Jˆ_{ }



_{ˆ. 1L}ˆ_



komut dengan Hamiltonian Dirac hanya untuk potensial yg simetris secara spherical. dan

adalah matriks Dirac 4



4 yaitu

0 0 , , 0 0 i i I p i I            _{ } _{ }      (22) Dimana I adalah matriks identitas 2



2 dan

, , i x y z



_ adalah matrik Pauli 2



2:

0 1 0 1 0 , , 1 0 0 0 1 x y z i i  _ _  _ _  _ _        (23) Spinor Dirac dapat dituliskan menyesuaikan dengan kondisi upper (besar)

n

f _ dan lower (kecil) g_nsebagai ( ) ( , ) 1 ( ) ( ) ( , ) n jm n n n n jm F r Y f r g r iG r Y               _{ } _ _   _{ } (24)

Dimana

Y

_jm

( , )

 

dan Y_jm( , )

 

adalah

harmonik bolaspin dan pseudospin. n adalah bilangan kuantum radial dan m

adalah proyeksi momentum anguler pada sumbu z. Bilangan kuantum anguler orbital dan mengacu pada bilangan kuantum spin dan pseudospin. Untuk pemberian bilangan kuantum spin orbital



  1, 2,...,

momentum anguler total 1

2 j   , momentum anguler orbital dan momentum anguler pseudo-orbital 1 1 2 2     , dan 1 1 2 2     berturut-turut. Dengan

mensubtitusikan persamaan (24) ke dalam persamaan (21) maka kita dapat memperoleh secara langsung dua pasangan persamaan differensial biasa untuk bagian radial dari fungsi iegen Dirac sebagai berikut:   ( ) ( ) ( ) n n n d F r M E V r S r G dr r      _  _{    }       (25) dan   ( ) ( ) ( ) n n n d G r M E V r S r F dr r      _  _{    }       (26) Dengan megeliminasi G_ndalam persamaan (20) dan F_ndalam (21), kita peroleh persamaan differensial orde kedua untuk komponen lower dan upper dari persamaan gelombang Dirac sebagai berikut (Soylu, 2007): 2 2 2 ( 1) ( ( ))( ( )) ( ) 0 ( ) ( ) n n n n d M E r M E r dr r G r d d dr dr r M E r         _  _{      }      _              (27) dan 2 2 2 ( 1) ( ( ))( ( )) ( ) 0 ( ) ( ) n n n n d M E r M E r dr r F r d d dr dr r M E r         _  _{      }      _              (28) Dimana ( )r V r( ) S r( )    dan ( )r V r( )S r( )

Analisis Persamaan Dirac untuk

Potensial Rosen Morse Hiperbolik Terdeformasi q pada Kasus Spin Simetri Bagian Radial

Persamaan Dirac untuk kasus pseudospin simetri ditandai dengan d 0

dr

 _

dan



( )

r



C

_ps= konstan, karena penjumlahan potensial vektor V(r) dengan potensial skalar S(r) adalah konstan, dan selisih keduanya sama dengan potensial yang mempengaruhi sistem, yang dalam studi ini adalah potensial Rosen Morse Hiperbolik terdeformasi-q. Dengan

- 4 - | ISSN: 1234-5678 Jurusan Fisika FMIPA UNESA memperhatikan batasan pada kasus ini, maka persamaan (27) dapat dituliskan kembali ke dalam bentuk

2 2 2 ( 1) ( n ( ))( n ps) n( ) 0 d M E r M E C G r dr r       _  _{     }  _     (29) dan, bila ( )r adalah potensial Rosen Morse Hiperbolik terdeformasi q, yang didefinisikan sebagai 0 1 2

( )

tanh

cosh

_q q

V

V r

V

r

r









 



_





_





(30)

Dimana



adalah screening parameter, yang menentukan rentang potensial Rosen Morse (Soylu, 2008). Sehingga persamaan (29) dapat dituliskan kembali sebagai

  2 2 2 0 1 2 ( 1) ( ) ( ) 0 tanh ( ) cosh n n ps n q n ps q d M E M E C dr r G r V V r M E C r          _  _{   }      _            _{ }        (31)

Persamaan (31) tidak dapat diselesaikan secara langsung, dalam kasus ini kita menggunakan pendekatan untuk kasus sentrifugal dengan menggunakan pendekatan Pekeris sebagaimana yang diusulkan oleh Sameer (2009), namun dalam studi ini pendekatan Pekeris yang digunakan adalah sebagai berikut:

2 2 2 0 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 r r r r e e e c c c r r qe qe          _{   }     _  _{   }  _  _   (32) dimana         2 0 1 2 2 2 1 exp( 2 ) 8 1 3 2 , 2 1 exp( 2 ) 1 exp( 2 ) 1 exp( 2 ) 2 exp(2 ) 1 3 3 2 , 2 2 1 exp( 2 ) 4 exp(2 ) 1 3 2 2 1 exp( 2 ) e e e e e e e e e e e e e e e e e q r r c r r q r q r q r c r r r r q r r c r r r q r   _                         _{ }                                          _{ }         (33)

Dengan mengubah bentuk centrifugal term ke dalam fungsi hiperbolik pada persamaan (32) dan (33), kemudian disubtitusikan ke persamaan (31) maka diperoleh bentuk persamaan

    2 2 2 2 2 ( ) 2 tanh 1 ( ) ( ) n q n n d G r r G r E G r dr                 (34) Dengan





 





 





2 1 2 0 2 1 2 2 1 2 2 2 0 2 2 2 2 2 1 4 ps ps ps c c E c M E C M E q q c c V M E C q q c V M E C                  _ _   _    _            _  _                    (35)

Dengan substitusi variabel

z

r

q

1

2

tanh







pada persamaan (31)

dengan

   

z

, didapatkan   2 2 ( ) ( ) (1 ) (1 2 ) 1 2 2 ( ) 0 4 4(1 ) n n n G z G z z z z z z E E G z q z z                        _ _{ } _      (36)

Persamaan (33) meimiliki dua buah titik regular singular di z = 0 dan z = 1 yang mana solusi umum untuk fungsi U adalah

( ) (1 ) ( )

r

n n

G_ z z z g z (37)

Setelah melalui beberapa trik matematis, didapatkan persamaan differensial tipe Hipergeometri kemudian dapat diubah ke dalam persamaan diffferensial orde kedua

   





 _{   } (1 ) ( ) 2 1 2 2 2 ( ) 1 1 ( ) 0 r r r n n n z z g z z g z g z q                              (38)























2 2 2 2 1 ( ) ( ) (1 ) 1 1 ( ) (1 ) r r r n n n z g z g z z z q g z z z                               (39)

Persamaan (39) dapat diselesaikan menggunakan metode iterasi asimtotik, dimana telah ditentukan sebelumnya

2

4



2



E (40)

dan

2

4



 2



E (41)

Dengan membandingkan persamaan (39) dengan persamaan (1), maka didapatkan

0( )z



dan s z₀( ), kemudian dapat dihitung

nilai



_k( )z dan s z_k( )dengan menggunakan

persamaan (7) dan (8).



 



) 1 ( 1 2 2 2 2 ) ( 0 z z z z      









(42)







 





) 1 ( 1 ) ( 1 0 z z z S q         









(43)



 





 



1 2 2 2 2 1 2 1 ( ) (1 ) (1 ) 2 1 2 1 (1 ) A A z z z z z z z            _  _{ }  _  _  _          _    (44)



 



1( ) 2 2 (1 ) 2 1 2 1 (1 ) (1 ) A A S z z z A A z z z z        _            _   _     (45)

- 5 - | ISSN: 1234-5678 Jurusan Fisika FMIPA UNESA Dengan mensubtitusikan persamaan (42-45) ke persamaan (16), diperoleh



















0 1 1 0 0 1 2 2 2 1 2 3 3 2 2 0 1 0 1 2 0 2 3 s s s s s s                                             (46) Dan seterusnya dengan

 



0





2 2 2 1 4 ps n e V M E C c r q q                 (47) Dari persamaan (41) dapat digeneralisasikan manjadi



 

2



( 1) ( 1) n nr nr            (48) Atau 2 2 2 1 4 1 2 2 n nr     _     _   (49)

Dengan n_r 0,1, 2,... adalah bilangan

kuantum radial, dengan mensubtitusikan persamaan (40) dan (41) ke persamaan (49) maka diperoleh energi eigen yaitu









2 2 1 2 1 2 0 4 2 1 4 1 2 2 2 1 2 ps n r c n r c c M E C M E n c q q n         _{ }  _{ }       _ _    _{ } _   _  _{  }    _ _    (50) Dimana

 



2

1

0,1, 2,...

c e r

r

n









(51) Penghitungan energi relativistik sistem menggunakan software matlab R2013a dilakukan dengan mensubtitusikan beberapa nilai parameter, diantaranya adalah

M



5

,

C

_ps



0

, 2,V0 5,

1 3,

V  r2dan



0, 005. Berdasarkan

tabel 1 energi relativistik sistem nilainya akan semakin besar seiring dengan meningkatnya bilangan kuantum radial. Keadaan yang demikian mengisyaratkan akan berlakunya transisi atomik dari keadaan dasar menuju keadaan tereksitasi dengan cara mengabsorbsi energi dari interaksi dengan partikel lain (misalnya foton). Untuk lebih jelasnya dapat dilihat gambar 1, 2 dan gambar 3 yang mengilustrasikan kurva fungsi energi terhadap bilangan kuantum radial. Hal ini juga berlaku sebaliknya, partikel yang berada dalam keadaan tereksitasi akan melepaskan energi dengan memancarkan radiasi sinar gamma sehingga ia berpindah menuju keadaan dasar.

Sebagaimana merujuk pada teori hole (Greiner, 2000), terkait adanya partikel dan antipartikel yang dicirikan dengan energi positif untuk partikel dan energi negatif untuk anti parikel. Dari gambar tabel 1 Juga tampak bahwa semakin tinggi nilai

parameter deformasi sistem, maka energi sistem akan semakin kecil.

Tabel 1. Energi Relativistik untuk Potensial Rosen Morse Hiperbolik Terdeformasi-q



= 0,005 V₀ = 5, V₁ =3, M = 5,

C

_ps = 0; l = 2 nr E q=0,5 E q=1 E q=1,5 0 4,974052671 4,897159591 4,819020073 1 4,974056613 4,897163154 4,819023399 2 4,974061429 4,89716799 4,819028251 3 4,97406637 4,897172993 4,819033312 4 4,974071351 4,897178044 4,819038434

Gambar 1. Kurva Spektrum Energi Relativistik untuk q=0,5 4,97405 4,974055 4,97406 4,974065 4,97407 4,974075 0 2 4 6 Ene rgi R el at iv ist ik

- 2 - | ISSN: 1234-5678 Jurusan Fisika FMIPA UNESA Gambar 2. Kurva Spektrum Energi

Relativistik untuk q=1

Gambar 3. Kurva Spektrum Energi Relativistik untuk q=1,5

Untuk fungsi

( )

r

n

g

z

pada persamaan (37) dapat diselesaikan menggunakan persamaan (20) sehingga

( )

r

n

g

z

dapat dituliskan kembali ke dalam bentuk:

      

1 1 2 1



2 1



,2 2 1,2 1,



r r r r n n n n r r g z   B  F n    n  z (52)

Yang mana nilai

1

2









(53) Dan 1 2 2   







(54)

Persamaan fungsi gelombang G_n( )z untuk nilai n_r adalah sebagai berikut:

      2 1  ( ) (1 ) 1 1 2 1 , 2 2 1, 2 1, r r r n n n r r n G z z z B F n n z                   (55) dimana B’ adalah konstanta normalisasi. Sehingga fungsi gelombang bagian lower untuk keadaan dasar n_r 0

1 tanh 1 tanh ( ) 2 2 q q n r r G z B                      (56) Dan untuk n_r 1  

1 tanh 1 tanh 1 tanh

( ) 2 1 2 2 2 q q q n r r r G z B      _                          (57) KESIMPULAN

Persamaan Dirac untuk potensial Rosen-Morse hiperbolik terdeformasi-q pada kasus pseudospin simetri bagian radial dapat diselesaikan menggunakan metode iterasi asimtotik. Energi relativistik sistem dihitung menggunakan software matlab 2013. Dari kurva tampak bahwa semakin besar nilai n maka energi sistem semakin besar.

UCAPAN TERIMA KASIH

Penelitian ini didukung oleh Hibah Penelitian Utama (PUT UNS) 2015 dari DIKTI

dengan Nomor kontrak No.

698/UN27.11/PN/2015.

DAFTAR RUJUKAN

Atkis, P.W., 1974. Quanta: A Handbook of Concepts, Oxford: Oxford Universiy Press. Bakkeshizadeh, S., Vahidi, S. 2012. Solution of the Dirac equation for the Coulomb potential plus NAD potential by using the Nikiforov-Uvarov Method. Advance Studies Theoretical Physics, Vol. 6. no. 15, pp. 733-742.

Das, T. 2014. Exact Solutions of the Klein-Gordon Equation for q-Deformed Manning-Rosen Potential via Asymptotic Iteration Method. arXiv:1409.1457v1 [quant-ph]. pp. 1-11.

Debnath, S., Biswass, B. 2012. Analytical Solution of the Klein-Gordon Equation for Rosen Morse Potential via Asymptotic Iteration Method. Electronical Journal of Theoretical Physics. EJTP 9, No. 26. pp. 191-198.

Greiner, W., 2000. Relativistic Quantum Mechanics Third Edition. New York: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. Kocak, G., Bayrak, O., Boztosun, I. 2012.

Supersymmetric solution of Schrodinger equation by using the asymptotic iteration method. Annalen der Physik. (Berlin) 524, No. 6-7. DOI:10.1002/andp. 201200028, pp. 353-359.

Kurniawan, A., Suparmi, A., Cari, C. 2015. Approximate analytical solution of the Dirac equation with q-deformed hyperbolic Pöschl-Teller potential and trigonometric Scarf II non-central

4,897155 4,89716 4,897165 4,89717 4,897175 4,89718 0 2 4 6 Ene rgi R el at iv ist ik

Bilangan Kuantum Radial n_r

4,819015 4,81902 4,819025 4,81903 4,819035 4,81904 0 2 4 6 Ene rgi R el at iv ist ik

- 3 - | ISSN: 1234-5678 Jurusan Fisika FMIPA UNESA potential. Chinese Physics B Vol. 24, No. 3, DOI: 10.1088/1674-1056/24/3/030302. Resita, Suparmi, Cari. 2015. Solution of Dirac equation for Eckart potential and trigonometric Manning-Rosen potential using asymptotic iteration method. Chinese Physics B, Vol. 24. No. 11, DOI:10.1088/16741056/24/11/110301. Sameer, M. Ikhdair. 2009. Approximate solution of the Dirac equation for the Rosen Morse potential including the

spin-orbit centrifugal term.

arXive:0912.0619v1 [quantum-ph] 3 Dec. pp. 1-23.

Soylu, A., Bayrak, O.,Boztosun, I. 2007. An approximate solution of Dirac-Hulthen problem with pseudospin and spin symmetry for any



state. Journal of Mathematical Physics. 082302, pp. 48. Soylu, A. Bayrak, O., Boztosun, I. 2008.



state solutions of the Dirac equation for the Eckart potential with pseudospin and spin symmetry. Journal of Physics A: Mathematical and Theoritical 41 doi: 10.1088/1751-8113/41/6/065308, 065308, pp. 8.

Suparmi. 2011. Mekanika Kuantum II. Surakarta: Jurusan Fisika Fakultas MIPA Universitas Sebelas Maret Surakarta. Suparmi dan Cari. 2014. Bouns state solution

of Dirac equation for Generalized Pöschl-Teller plus trigonometric Pöschl-teller Non-central potential using SUSY Quantum Mechanics. J. Math. Fund. Sci., Vol. 46, No. 3. Pp. 205-223

Suparmi, A., Cari, C., Anggraini, L.M. 2014. Bound state solution of Dirac equation for Hulthen plus trigonometric Rosen Morse non-central potential using Romanovski polynomial. AIP Conference Proceedings Vol. 1615, 111, doi: 10.1063/1.4895871.