BAB II KAJIAN TEORI. tertentu (Martono, 1999). Sistem bilangan real dinotasikan dengan R. Untuk

BAB II KAJIAN TEORI

A. Sistem Bilangan Real

Sistem bilangan real Radalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu (Martono, 1999). Sistem bilangan real dinotasikan dengan R. Untuk lebih lanjut akan dimulai dengan mengangkat sifat dasar dari bilangan real. Definisi II.A.1

Sistem bilangan real Radalah suatu sistem aljabar yang terhadap operasi jumlahan (+) dan operasi perkalian ( . ) mempunyai sifat – sifat sebagai berikut

1. Rmerupakan grup komutatif terhadap operasi jumlahan (+) 2. R

 

0 merupakan grup komutatif terhadap operasi perkalian ( . ) 3. Untuk setiap x,y,zRberlaku x.(yz) x.yx.z

(Darmawijaya, 2006) Definisi II.A.2

Harga mutlak xRditulis x dan didefinisikan sebagai berikut: 𝑥 = 𝑥, 𝑥 ≥ 0

−𝑥, 𝑥 < 0 1. Untuk setiap bilangan real x berlaku

a. x 0 b. x  x

c.  x x x d. x2  x2  x2

2. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku a. x  y xyx2  y2

b. xy  yx 3. Jika a0, maka

a. x aaxax2 a2 b. x axaatau xax2 a2

4. Ketaksamaan segitiga. Untuk setiap bilangan real x dan yberlaku a. xy  x  y

b. xy  x  y c. x  y  x y d. x  y  xy

5. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku a. xy  x y b.  ,y0 y x y x (Martono, 1999) Contoh: Jika x 2 , buktikan 3 5 4 2 3 2 2 2      x x x x

Penyelesaian:

Karena penyebut bentuk pecahannya definit positif dengan



1



3 3 4 2 2 2       x x x , maka 3 1 4 2 1 2 _{ }  x x . Ini mengakibatkan 3 2 3 1 3 2 4 2 1 4 2 3 2 _{2 2} 2 2 2             x x x x x x x x x x

Untuk x 2, ditentukan batas dari x2 2x3.



1



4 3 2 2 2      x x x

Dengan menggunakan sifat nilai mutlak dan pertaksamaan, diperoleh 2  x 2 2 x 1 1 3    x



1



9 0 x 2 



1



4 5 4  2    x 5 3 2 4 5  2    x x 5 3 2 2 _{  } x x Dengan menggunakan hasil di atas,

3 5 5 . 3 1 3 2 3 1 4 2 3 2 2 2 2          x x x x x x .█

B. Himpunan

Himpunan merupakan konsep dasar dari semua cabang matematika. Setiap cabang matematika berkaitan erat dan termasuk di dalam (menjadi bagian) teori himpunan. Pada bagian ini akan dibahas mengenai himpunan terbatas, himpunan bilangan real, serta himpunan terbuka dan tertutup.

Himpunan adalah kumpulan obyek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Obyek – obyek dalam kumpulan itu dapat berupa benda konkrit atau benda abstrak, seperti: bilangan, abjad, orang, sungai, negara. Obyek – obyek ini disebut anggota atau elemen dari himpunan itu.

(Theresia, 1989) Contoh:

a. Kumpulan orang kaya

Kumpulan ini bukan suatu himpunan. Tetapi kumpulan orang yang kekayaannya melebihi satu trilyun rupiah adalah suatu himpunan.

b. Kumpulan negara – negara Asia Tenggara Kumpulan ini merupakan suatu himpunan.

1. Himpunan Terbatas

Di bawah ini akan dibahas lebih lanjut mengenai definisi urutan, himpunan terurut dan himpunan terbatas.

Definisi II.B.1.1

Diberikan himpunan S. Suatu urutan pada himpunan S adalah suatu relasi, yang dinyatakan dengan <, dengan dua sifat berikut:

i. Jika xSdan ySmaka satu dan hanya satu diantara tiga pernyataan berikut yang benar

y

x atau x yatau y x

ii. Jika x,y,zS, dan jika x ydan yz, maka xz

(Soemantri, 2000) Definisi II.B.1.2

Jika pada suatu himpunan S telah didefinisikan suatu urutan, maka S dinamakan himpunan terurut.

(Soemantri, 2000) Definisi II.B.1.3

a. Himpunan ARdan Adikatakan terbatas ke atas (upper bound) jika ada bilangan nyata k sehingga berlaku ak, untuk setiap aA; k disebut batas atas (upper bound) himpunan A. b. Himpunan ARdan Adikatakan terbatas ke bawah (lower

bound) jika ada bilangan nyata l sehingga berlaku l a, untuk setiap aA; l disebut batas bawah (lower bound) himpunan A. c. Himpunan ARdan Adikatakan terbatas (bounded) jika A

terbatas ke atas dan terbatas ke bawah.

(Darmawijaya, 2006) Contoh:

R

A dengan A



3,4,5,7,8



Apakah A terbatas?

Penyelesaian: A x A x p    

 8 , 8 terbatas ke atas. 8 merupakan batas atas A. A

x A x

q    

 3 , 3 terbatas ke bawah. 3 merupakan batas bawah A.

A

 terbatas.

Definisi II.B.1.4

Jika S suatu himpunan terurut, dan AS. Himpunan A terbatas ke atas dan terdapat suatu elemen pS _{yang memenuhi sifat – sifat} berikut

a. p adalah suatu batas atas A

b. jika u < p maka u bukan batas atas A

maka elemen p ini disebut batas atas terkecil atau supremum himpunan A dan diberikan notasipSupA

(Soemantri, 2000) Definisi II.B.1.5

Jika S suatu himpunan terurut, dan AS. Himpunan A terbatas ke bawah dan terdapat suatu elemen qSyang memenuhi sifat – sifat berikut:

Gambar II.1 Anggota Himpunan A

a. q adalah suatu bawah atas A

b. jika v > q maka v bukan bawah atas A

maka elemen q ini disebut batas atas terkecil atau infimum himpunan A dan diberikan notasi q = inf A.

Contoh:



1,2,5,8,9





F

F terbatas ke atas, karena 9R sehingga xF,x9 . Batas atas F tidak tunggal. pR,p9 merupakan batas atas F. Karena 9 merupakan batas atas paling kecil, maka 9 = Sup 𝐹.

F juga terbatas ke bawah, karena  1R sehingga xF,x1. Batas batas F juga tidak tunggal. qR,q1 merupakan batas bawah F. Karena –1 merupakan batas bawah paling besar, maka −1 = Inf 𝐹.

2. Himpunan Bilangan Real

Himpunan bilangan real yang memenuhi suatu pertaksamaan tertentu dikenal sebagai selang (interval) hingga dan selang tak hingga. Selang hingga adalah himpunan bagian dari R yang terbatas di atas dan di bawah, sedangkan selang tak hingga tidak terbatas di atas atau tidak terbatas di bawah. Di bawah ini diberikan definisi selang sebagai himpunan titik dan gambarnya pada garis bilangan.

a. (a,b)



xR:a xb



disebut selang terbuka b. [a,b]



xR:axb



disebut selang tertutup

c. (a,b]



xR:axb



disebut selang tertutup di kanan atau selang terbuka di kiri.

d. [a,b)



xR:axb



disebut selang tertutup di kiri atau selang terbuka di kanan.

Untuk selang tak hingga diperlukan lambang dan, yang memenuhi relasi urutan xuntuk setiap bilangan real x. Berdasarkan ini lambang digunakan untuk sesuatu yang lebih kecil dari setiap bilangan real (membesar tanpa batas) dan lambang digunakan untuk sesuatu yang lebih kecil dari setiap bilangan real (mengecil tanpa batas).

a. (a,){xR:xa}disebut selang terbuka

b. [a,){xR:xa}disebut selang tertutup di kiri atau terbuka di kanan

c. (,b){xR:xb} disebut selang terbuka

d. (,b]{xR:xb} disebut selang tertutup di kanan atau di terbuka di kiri

e. (,)R

(Martono, 1999)

3. Himpunan Terbuka dan Tertutup

Di bawah ini akan diberikan definisi ruang metrik, persekitaran, titik limit, titik interior, himpunan terbuka dan himpunan tertutup.

Definisi II.B.3.1

Ruang metrik



X ,d



adalah himpunan tak kosong X yang elemen – elemennya disebut titik yang diperlengkapi dengan fungsi bernilai real d yang didefinisikan pada XXsedemikian sehingga untuk setiap x, y dan z di dalam X, dipenuhi:

a. d

 

x,y 0;

b. d

 

x,y 0, jika dan hanya jika x y; c. d

   

x,y d y,x ;

d. d

     

x,y d x,z d z,y .

Fungsi d yang memenuhi keempat sifat di atas dinamakan jarak atau metrik pada X.

Definisi II.B.3.2

Diberikan



X ,d



_{ruang metrik. Jika} pX dan r 0, maka himpunan N_r

 

p 



xX:d

 

x,p r



disebut persekitaran (neighborhood) titik p dengan jari – jari r.

Definisi II.B.3.3

Diberikan



X ,d



ruang metrik, himpunan A X dan titik pX . a. p disebut titik limit (limit point, cluster point) himpunan A jika

b. p disebut titik dalam (interior point) himpunan A jika ada bilangan r0sehingga N_r

 

p  A.

(Soemantri, 2000) Definisi II.B.3.4

Diberikan ruang metrik



X ,d



.

a. Himpunan A X merupakan himpunan terbuka jika setiap anggota A merupakan titik dalam A.

b. Himpunan A X merupakan himpunan tertutup jika A memuat semua titik limitnya.

(Soemantri, 2000)

C. Fungsi

Sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai f (x) dari himpunan kedua. Pada bagian ini dibicarakan mengenai fungsi komposisi, fungsi aljabar, fungsi transenden dan fungsi terbatas.

(Varberg, dkk, 1993) Definisi II.C

Diberikan A,B Rfungsi f :AB _{adalah suatu aturan yang} mengaitkan setiap unsur xA dengan tepat satu unsur yB. Unsur y yang berkaitan dengan unsur x ini diberi lambang y f(x) yang terdefinisi pada himpunan A. Dalam hal ini x dinamakan peubah bebas, dan y yang nilainya bergantung dari x dinamakan peubah tak bebas.

Terdapat suatu fungsi y f(x),xA, maka daerah asal fungsi f adalah himpunan A, ditulis AD_f, dan daerah nilai fungsi f adalah himpunan

} : ) ( { f f f x x A D

R    . Unsur f(x)Bdinamakan nilai fungsi f di x. Jika diketahui hanya y  f(x), maka daerah asal dan daerah nilai fungsi f adalah Df {xR: f(x)R}dan Rf {f(x):xA Df}

1. Fungsi Komposisi Definisi II.C.1.1

Fungsi komposisi dari g dan f (f dilanjutkan g), ditulis g  f adalah suatu fungsi yang daerah asalnya himpunan bagian dari D_f dan aturannya ditentukan oleh (g f)(x)g(f(x)). Daerah asal dan daerah nilai fungsi g  f adalah D_g_f {xD_f : f(x)D_g}dan

} ), ( : { g f f g y R y g t t R R      R R f D f R x f(x)

Gambar II.2 Diagram Panah Fungsi

 

x f y  R R f R f D ) (x f x

(Martono,1999) 2. Fungsi Aljabar

Fungsi aljabar merupakan fungsi yang diperoleh dari berhingga operasi aljabar atas fungsi konstan yk dan fungsi kesatuan y x. Operasi aljabar yang dilakukan terhadap kedua fungsi tersebut adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pemangkatan dan penarikan akar ke-n, n = 2,3,....

(Martono, 1999) Fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi pecahan linear atau kuadrat, dan fungsi trigonometri semuanya merupakan fungsi aljabar.

3. Fungsi Transenden

Fungsi transenden merupakan fungsi yang tidak dapat dinyatakan sebagai sejumlah berhingga operasi aljabar atas fungsi konstan y = k dan fungsi kesatuan y = x. (Martono,1999) f D x ) (x f f g f R Dg R_g )) ( (f x g f g  f g D  f g R _    g f D R

Gambar II.3 Diagram Panah fungsi f

Fungsi transenden terdiri dari fungsi – fungsi berikut: a. Fungsi eksponensial, didefinisikan oleh x

a

y , untuk a0dan 1



a , xR.

Jika a = e, maka y ex _{fungsi tersebut yang disebut sebagai fungsi} eksponen natural.

b. Fungsi logaritma, dinyatakan oleh yalogxxay,a1& x > 0. Jika a = e, maka yelogxy lnx fungsi tersebut yang disebut sebagai fungsi logaritma natural.

c. Fungsi trigonometri 1) y f(x)sinx 2) y f(x)cosx 3) y f(x)tanx 4) y f(x)cotx 5) y f(x)cscx 6) y f(x)secx

d. Fungsi invers trigonometri 1) 2 2 , sin sin 1         x x y y x 2) 2 0 , cos cos 1       x x y y x 3) 2 2 , tan tan 1        x x y y x 4) 2 & 0 , sec sec 1        x x x y y x

e. Fungsi Hiperbolik 1) 2 sinh x x e e x    2) 2 cosh x x e e x    3) x x x cosh sinh tanh  4) x x x sinh cosh coth  5) 𝑠𝑒𝑐ℎ x cosh 1  6) csch 𝑥 x sinh 1  (Varberg, dkk, 2010) 4. Fungsi Terbatas Definisi II.C.4.1

Fungsi f dikatakan terbatas jika terdapat M > 0 sehingga f(x) M untuk setiap xDf

(Martono, 1999) Definisi II.C.4.2

Fungsi f dikatakan tidak terbatas jika untuk sebarang M > 0 terdapat f

D

Contoh:

a. Fungsi f(x)sinx terbatas karena f(x)  sinx 1untuk setiap

f D x . b. Fungsi x x

f( ) 1 tidak terbatas pada selang (0,)karena untuk

sebarang M 0, terdapat 0 2 1 0   M x sehingga M M M f x f          2 2 1 ) ( ₀ . D. Limit

Di bawah ini akan dijelaskan lebih lanjut mengenai limit fungsi di R,

2

R dan R . n

1. Limit Fungsi di R Definisi II.D.1.1

Diberikan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c, kecuali mungkin di c sendiri. Limit fungsi f di c adalah L (ditulis

L x f c

x ( )

lim atau f(x)L bila xc) jika  0 



        

 0 0 x c f(x) L .

Definisi II.D.1.2

Diberikan fungsi f terdefinisi pada selang (c,b), limit kanan fungsi f di c adalah L ( f x L c x    ( )

lim atau f(x)L bila xc) jika 0



  00xc  f(x)L .

Jika fungsi f terdefinisi pada selang (a,c), limit kanan fungsi f di c adalah L ( f x L

c

x  

) (

lim atau f(x)L _bila xc) jika  0             0 0 c x f(x) L . (Martono, 1999) Contoh: Diberikan fungsi 𝑓 𝑥 = 1 , 2 1 2 2     x x x x 1 , 5 2 3 1 _   x x x

Tentukan jika ada a. lim ( ) 1 x f x b. lim ( ) 1 x f x c. lim ( ) 1 f x x Penyelesaian a. lim ( ) 1 x f x = 3 2 5 2 3 1 lim 1     _x x x b. lim ( ) 1 x f x = 3 2 2 1 lim ₂ 2 1      _{x x} x x c. lim ( ) 1 f x x =lim ( ) 1 f x x , maka lim ( ) 1 f x x ada

Sifat – sifat Limit Fungsi a. Ketunggalan limit Jika f x L c x ( ) lim dan f x M c x ( ) lim , maka L = M

b. Operasi aljabar pada limit

Jika f x L c x ( ) lim dan g x M c x ( ) lim , maka a) f x g x L M c x ( ( ) ( ))  lim =lim f(x) c x +limxcg(x) b) f x g x L M c x ( ( ) ( ))  lim =lim f(x) c x - limxcg(x) c) f x g x LM c x ( ( ) ( )) lim =(lim f(x)) c x (limxcg(x)) d) , lim ( ) 0 ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim         _{g x} M g x x f M L x g x f c x c x c x c x

c. Limit fungsi sederhana

a) k k k c x , lim   konstanta, b) x c c x  lim , c) px q pc q p q c x ( ) : , lim     konstanta, d) limx2 c2, c x  e) c x c x 1 1 lim   f) x c c x  lim (Martono, 1999)

2. Limit Fungsi di R 2

Fungsi f adalah fungsi dua variabel dengan domain D maka dapat dikatakan bahwa limit dari f(x,y)L dan ditulis _{   }f

 

x y L

b a y

x,lim , , 

jika untuk setiap  0 terdapat  0 sedemikian sehingga

 

x y L 

f , _bilamana

 

x,y D dan 0

   

x,y  a,b  dengan

   



 

2



2 , ,y a b x a y b x      (Varberg, dkk, 2003) 3. Limit Fungsi di R n

Definisi yang diungkapkan untuk limit fungsi di R dan di R tersebut 2 sedemikian sehingga dapat diperluas untuk fungsi tiga peubah atau lebih. Secara umum, jika z f



x1,x2,x3,...,xn



adalah fungsi n-variabel dengan domain D maka dapat dikatakan bahwa limit dari



x x x x



L f ₁, ₂, ₃,..., _n  _{dan ditulis}    f x x xn L x x x x x x n n   ( , ,..., ) lim _{1 2} ,..., , ,..., ,2 1' 2' ' 1 , jika untuk  0, 0 sedemikian sehingga



x x x x



L  f ₁, ₂, ₃,..., _{n bilamana}



x₁,x₂,x₃,...,x_n



D_dan











  ' ' 3 ' 2 ' 1 2 1, ,..., , , ,.., 0 x x x_n x x x x_n (Varberg, dkk, 2003)

E. Kekontinuan

Bila suatu fungsi terdefinisi pada selang terbuka yang memuat suatu titik, kekontinuan fungsinya di titik itu dapat didefinisikan dengan limit fungsi. Di bawah ini akan dipaparkan kekontinuan di R, R dan 2 R . n

1. Kekontinuan di R Definisi II.E.1.1

Fungsi f terdefinisi pada satu interval terbuka yang memuat c. Dikatakan bahwa f kontinu di c jika lim f(x) f(c)

c

x  . Jadi fungsi f dikatakan kontinu disuatu titik c jika dan hanya jika:

a. lim f(x)

c

x ada

b. f(c)ada (yakni, c berada dalam daerah asal f ), dan c. lim f(x) f(c)

c

x 

(Varberg, dkk, 2010) Definisi II.E.1.2

Fungsi f adalah kontinu kanan pada a jika lim f(x) f(a)

a

x  

dan kontinu kiri pada b jika lim f(x) f(b)

a

x   . Fungsi f kontinu pada sebuah interval terbuka jika f kontinu pada setiap titik pada interval tersebut. Serta kontinu pada sebuah interval tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b), kontinu kanan pada a, dan kontinu kiri pada b.

2. Kekontinuan di R 2 DefinisiII.E.2.1

Fungsi f(x,y) dikatakan kontinu dititik (a,b)D,DR2jika

   x,ylima,b f(x,y) f(a,b). Fungsi f dikatakan kontinu pada domain D jika f kontinu di setiap titik (a,b) dalam D.

(Varberg, dkk, 2003) DefinisiII.E.2.2

Fungsi f(x,y) dikatakan kontinu pada suatu himpunan S, jika

) , (x y

f kontinu di setiap titik pada himpunan S.

(Varberg, dkk, 2003)

3. Kekontinuan di R n

Fungsi z  f



x1,x2,x3,...,xn



, kontinu di titik



, ,...,



,

' ' 2 ' 1 x x D x n  n R D jika _{   }



2' '



' 1 2 1 ,..., , ,..., , lim 2' ' ( , ,..., ) , ,..., ' 1 2 1 n n x x x x x x n n f x x x f x x x   . Fungsi f dikatakan

kontinu pada domain D jika f kontinu di setiap titik



2' '



' 1,x ,...,xn x _dalam D. (Varberg, dkk, 2003) B A S

F. Turunan

Pada bagian kali ini akan dibahas lebih lanjut mengenai turunan di R, turunan di R . n

1. Turunan di R Definisi II.F.1.1

Jika fungsi f terdefinisi pada suatu selang terbuka I yang memuat titik c, maka f dikatakan mempunyai turunan dititik c apabila limit

c x c f x f c x    ) ( ) (

lim ada, dan dalam hal ini nilai limit tersebut disebut turunan dari f di titik c. Jadi, untuk fungsi f yang mempunyai turunan di c dituliskan c x c f x f c f c x     ) ( ) ( lim ) ( ' . Dengan mengganti x dengan c + h, di peroleh h c f h c f c f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0     . (Martono, 1999) Definisi II.F.1.2

Jika fungsi f terdefinisi pada selang (a,c]. Turunan kiri dari fungsi f di titik c, ditulis f’(c) didefinisikan sebagai

c x c f x f c f c x    _   ) ( ) ( lim ) ( ' atau h c f h c f c f h ) ( ) ( lim ) ( 0 '       (Martono, 1999)

Definisi II.F.1.3

Jika fungsi f terdefinisi pada selang [c,b). Turunan kanan dari fungsi f di titik c, ditulis f' c( ) dan didefinisikan sebagai

c x c f x f c f c x    _   ) ( ) ( lim ) ( ' atau h c f h c f c f h ) ( ) ( lim ) ( 0 '       (Martono, 1999) Definisi II.F.1.4

Jika fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c, maka fungsi f terdiferensialkan di c f_'(c) f_'(c) (Martono, 1999) Contoh: Jika 𝑓 𝑥 = 2 , 2 4 2    x x x 2 , 2 3x x

, tentukan nilai f'

 

2 (jika ada)!

Penyelesaian: ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 4 4 lim 2 ) 2 2 . 3 ( 2 4 lim 2 ) 2 ( ) ( lim 2 2 2 2 2                  _{ }  _x x x x x x x x f x f x x x 1 ) 2 ( ) 2 ( lim ) 2 ( 8 4 4 lim ₂ 2 2 2 2 2          _{ }   _x x x x x x x 3 ) 2 ( 6 3 lim 2 ) 2 2 . 3 ( ) 2 3 ( lim 2 ) 2 ( ) ( lim 2 2 2               _{ }  _x x x x x f x f x x x Karena 2 ) 2 ( ) ( lim 2 ) 2 ( ) ( lim 2 2        _  _x f x f x f x f x x maka 2 ) 2 ( ) ( lim 2    _x f x f x

Teorema II.F.1.5

Jika f '

 

x ada maka f kontinu di c.

Bukti:

Jika f '

 

c ada berarti

c x c f x f c f c x     ) ( ) ( lim ) ( ' ada, maka c x c f c f x f c x c x ( ) ( ) '( ).lim  lim ) ( ) ( lim f x f c c x    Karena f x f c f c x     ( ) ( ) lim kontinu di c.█

a. Aturan pencarian turunan

Jika y f(x), turunan f dapat dinyatakan dengan tiga notasi (notasi Leibniz) yaitu f' x( ) atau D_xf(x)atau

dx dy . 1) f(x)k, dengan k konstanta  f'(x)0 2) f(x)x f'(x)1 3) f(x)xn  f'(x)nxn1

4) k suatu konstanta dan f fungsi yang terdeferensialkan, maka

   

kf ' x k.f'

 

x

f dan g adalah fungsi yang terdiferensialkan 5)



f g

  

' x  f'

 

x g'

 

x

7)

   

f.g ' x  f

       

x g' x g x f' x 8) ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( ' ₂ x g x g x f x g x f x g f         (Varberg, dkk, 2000) b. Turunan fungsi trigonometri

Di bawah ini diberikan turunan pertama untuk fungsi trigonometri. 1) f(x)sinx f'(x)cosx

2) f(x)cosx f'(x)sinx 3) f(x)tanx f'(x)sec2 x 4) f(x)cotx f'(x)csc2x 5) f(x)secx f'(x)secxtanx 6) f(x)cscx f'(x)cscxcotx

(Martono,1999) c. Turunan fungsi invers

Definisi II.F.1.c

Jika fungsi f kontinu dan satu – satu pada selang I D_f dengan aturan y  f(x),xIdan inversnya adalah x f 1(y),yR_f. Jika fungsi f terdiferensialkan pada I dengan f'(x)0pada I, maka fungsi f1 _{juga terdiferensialkan pada} R_f dan aturan

turunannya ditentukan oleh

) ( ' 1 ))' ( ( 1 x f y f  atau dy dx dx dy _ 1 (Martono, 1999)

d. Turunan fungsi komposisi Definisi II.F.1.d

Jika y f

 

u dan u g

 

x . Jika g terdiferensiasikan di x dan f terdiferensiasikan di u g

 

x , maka fungsi komposisi f g yang didefinisikan oleh (f g)(x) f(g(x)), adalah terdiferensiasikan di x dan (f g)'(x) f'(g(x))g'(x)atau

dx du du dy dx dy  . (Varberg, dkk, 2000)

e. Turunan fungsi logaritma

1) Turunan fungsi logaritma alami dapat dituliskan sebagai berikut:

x x f x x f( )ln  '( ) 1

2) Turunan fungsi logaritma dapat dituliskan sebagai berikut:

a x x f x x f a ln 1 . 1 ) ( ' log ) (   

f. Turunan fungsi eksponensial

1) Turunan fungsi eksponen alami dapat dituliskan sebagai berikut: x x e x f e x f( )  '( )

2) Turunan fungsi eksponen dapat dituliskan sebagai berikut:

1 , ln ) ( ' ) (x a  f x a a a f x x (Varberg, dkk, 2000)

g. Turunan tingkat tinggi

Operasi diferensiasi mengambil sebuah fungsi f dan menghasilkan sebuah fungsi baru f'. Jika f' didiferensiasi menghasilkan fungsi

' '

f (f dua aksen) dan disebut turunan kedua dari f. Dan boleh didiferensiasi yang menghasilkan f''' yang disebut turunan ketiga dari f. Turunan keempat dinyatakan dengan f (4), turunan kelima dinyatakan f (5)dan seterusnya.

(Varberg, dkk, 2000) Contoh: 8 7 4 2 ) (x  x3 x2  x f , maka 7 8 6 ) ( ' x  x2  x f 8 12 ) ( ' ' x  x f 12 ) ( ' ' ' x  f 0 ) 4 (  f

Karena turunan fungsi nol adalah nol, maka turunan keempat dan semua turunan tingkat yang lebih tinggi (higher-order derivative) dari f akan nol.

2. Turunan di n R

Sebuah fungsi bernilai real dengan dua peubah real (real valued function of two variables) yaitu fungsi f (Gambar II.5) yang menghubungkan setiap pasangan berurut

 

x,y pada suatu himpunan D dalam suatu

bidang dengan sebuah bilangan real (unik) dari f

 

x,y . Himpunan D disebut daerah asal (domain) suatu fungsi. Jika tidak dinyatakan secara spesifik, D dapat dinyatakan sebagai daerah asal alami (natural domain), yaitu himpunan seluruh titik

 

x,y pada suatu bidang dimana fungsi tersebut masuk akal dan menghasilkan nilai bilangan real. Daerah hasil (range) dari sebuah fungsi adalah himpunan dari nilai – nilainya. Jika

 

x y f

z , , maka x dan y disebut sebagai peubah bebas (independent variable) dan z sebagai peubah tak bebas (dependent variable). Seluruh hal diatas berlaku untuk fungsi – fungsi bernilai real dengan tiga peubah real (atau bahkan n peubah real).

(Varberg, dkk, 2003)

Definisi II.F.2.1

Jika f adalah fungsi dengan dua peubah x dan y. Jika y dijaga agar tetap konstan, misal y y₀ maka f(x,y₀)adalah fungsi dengan

(x,y) f (x,y)

(x,y)

f

Daerah asal Daerah hasil Gambar II.5 Fungsi f

peubah tunggal x. Turunannya di x x0 disebut turunan parsial f

terhadap x di (x₀,y₀)dan dinyatakan sebagai f(x₀,y₀). Jadi,

x y x f y x x f y x f x x        ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 0 0 0 0 0 0

Begitu juga turunan parsial f terhadap y di (x₀,y₀)dinyatakan dengan fy(x0,y0)dan dirumuskan dengan:

y y x f y x x f y x f y x        ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 0 0 0 0 0 0

Untuk menentukan f_x(x,y)dan f_y(x,y)dengan menggunakan aturan – aturan standar turunan, dan mensubstitusikan xx₀dan

0

y y .

(Varberg, dkk, 2003) Secara umum, jika f adalah suatu fungsi n peubah yaitu x1,x2,...,xn. Jika

n x

x ,...,2 dibuat konstan, misalnya

' ' 2 2,...,xn x ,...,xn x  , maka



' '



2 1,x ,...,xn x

f menjadi fungsi satu peubah x . Turunannya di ₁ x1  x1'

disebut turunan parsial f terhadap x di ₁



2' '



' 1,x ,...,xn x dan dinyatakan sebagai



₁', ₂',..., '



1 n x x x x f atau





1 2 1, ,..., x x x x f _n   . Jadi,







 



1 ' ' 2 ' 1 ' ' 2 1 ' 1 0 ' ' 2 ' 1 ,..., , ,..., , lim ,..., , 1 1 x x x x f x x x x f x x x f n n x n x       

Demikian pula, turunan parsial f terhadap x di ₂



2' '



' 1,x ,...,xn x dan dinyatakan sebagai



₁', '₂,..., '



2 n x x x x f atau





2 2 1, ,..., x x x x f _n   dan dituliskan sebagai







 



2 ' ' 2 ' 1 ' 2 ' 2 ' 1 0 ' ' 2 ' 1 ,..., , ,..., , lim ,..., , 2 2 x x x x f x x x x f x x x f n n x n x _      

Turunan parsial terhadap x₃,x₄,...,x_n didefinisikan dengan cara yang sama. Jadi, untuk turunan parsial f terhadap x di _n



' '



2 ' 1,x ,...,xn x dan dinyatakan sebagai f_x



x₁',x'₂,...,x'_n



n atau





n n x x x x f   ₁, ₂,..., . Dan dituliskan sebagai







 



n n n n x n x x x x x f x x x x f x x x f n n        ' ' 2 ' 1 ' ' 2 ' 1 0 ' ' 2 ' 1 ,..., , ,..., , lim ,..., , Contoh:

Jika z x2sin(xy2)tentukan x z   dan y z   Penyelesaian:

 



2



   

2 2 2 sin sin x x xy xy x x x z        

   

xy

 

xy x x xy x2cos 2 2 sin 2 .2   

 

2 2

 

2 2 sin . 2 . cos xy y x xy x  

 

2

 

2 2 2 sin . 2 cosxy x xy y x  

 

2 3

 

2 2 cos 2 2 . cos xy xy x y xy x y z _{ }  

Turunan parsial dari suatu fungsi x dan y, secara umum adalah sebuah fungsi lain dari dua peubah yang sama tersebut, maka turunan tersebut dapat didiferensialkan secara parsial terhadap x atau y, menghasilkan empat buah turunan parsial kedua (second partial derivative) dari f. 2 2 x f x f x f_xx               x y f x f y f f_{xy x y}                ( ) 2 2 2 y f y f y f_yy               y x f y f x f f_{yx y x}                ( ) 2 (Varberg, dkk, 2003) Contoh:

Tentukan empat turunan parsial kedua dari

2 3 sin ) , ( x y y x xe y x f y          Penyelesaian: 2 2 3 cos 1 ) , ( x y y x y e y x fx y        

2 3 2 cos 2 ) , ( x y y x y x xe y x f_y y _        2 2 sin 6 1 ) , ( xy y x y y x f_{xx }       3 3 4 2 2 cos 2 sin ) , ( x y x y x y x y x xe y x fyy y                y x y x y y x y x e y x f_xy( , ) y ₃ sin 1₂ cos _6 2               y x y x y y x y x e y x f_yx( , ) y ₃ sin 1₂ cos _6 2              

Turunan – turunan parsial ketiga atau lebih dapat didefinisikan secara analogis, dan notasi penulisannya juga serupa. Jika f adalah fungsi dengan dua peubah x dan y, maka turunan parsial ketiga f diperoleh dengan mendiferensiasikan f secara parsial, pertama terhadap x dan kemudian dua kali terhadap y, yang dapat dinyatakan dengan

xyy f x y f x y f y x f y y                                    2 3 2 (Varberg, dkk, 2003) G. Integral

Konsep integral tak tentu diperkenalkan sebagai kebalikan operasi pendiferensialan, yaitu sebagai bentuk yang paling umum dari anti – turunan. Integral tentu diperkenalkan sebagai limit jumlah Riemann sebagai generalisasi dari proses perhitungan luas daerah tertutup pada bidang datar.

Keterkaitan antara dua integral ini dikenal sebagai Teorema Dasar Kalkulus yang salah satunya adalah turunan dari bentuk integral tertentu dengan peubah di limit atasnya. Di bawah ini akan dijelaskan lebih lanjut mengenai integral tak tentu dan integral tentu.

1. Integral Tak Tentu Definisi II.G.1.1

F suatu anti turunan dari f pada selang I jika F'

 

x  f'

 

x untuk semua x dalam I.

(Varberg, dkk, 1993)

Teorema II.G.1.2

Jika f dan g dua fungsi sedemikian sehingga f'

 

x  g'

 

x untuk I

x

 ( I selang ), maka  suatu konstanta c sehingga

   

x g x c

f   , untuk xI. Bukti:

Ambil fungsi h yang didefinisikan pada selang I dengan definisi I x x g x f x h( ) ( ) ( ),  maka h'(x) f'(x)g'(x),xI

karena f'(x) g'(x) untuk xI berakibat

0 ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' x  f x g x  g x g x  h Jadi, h'(x)0,xI

c x g x f    ( ) ( ) I x c x g x f      ( ) ( ) , .█ Teorema II.G.1.3

Jika f merupakan anti turunan khusus dari f pada selang I maka setiap anti turunan dari f pada I diberikan oleh F

 

x c dengan c sembarang konstanta.

Bukti:

Ambil G sembarang anti turunan dari f pada I maka

 

x f x x I

G'  ( ),  ... (1)

Karena F merupakan anti turunan khusus dari f pada I maka

 

x f x x I

F'  ( ),  ... (2)

dari (1) dan (2) diperoleh:

 

x F x x I G'  '( ), 

Menurut teorema 7.a.2 terdapat konstanta c sedemikian sehingga

 

x F

 

x c.

G  

Karena G sembarang, berarti setiap anti turunan f diberikan oleh

 

x c.

F 

Jadi,



f

 

x dxF

 

x c dengan F'

 

x  f

 

x atau

 



F x



f

 

x dx

Teorema II.G.1.4

Jika n adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka



    c r x dx x n n 1 1 Bukti: Misal: f

 

x  xn dan

 

1 1    n x x F n diperoleh



f

 

xdxF

 

x c dibuktikan



f

 

xdxF

 

x c

maka akan ditunjukkan





) ( ) 1 ( 1 1 1 ) ) ( ( ) ( ) ) ( ( 1 x f n x n x n dx c n x d dx c x F d x f dx c x F d n n n                    berarti



f(x)dx F(x)c atau c n x dx x n n    



1₁ untuk n = 0 diperoleh xndx x dx x c xc   







0 ₀0 1₁ jadi,



dxxc.█

Untuk integral pada fungsi trigonometri adalah sebagai berikut: a.



sinxdxcosxc

b.



cosxdxsinxc c.



sec2 xdxtanxc

d.



csc2 xdxcotxc e.



secxtanxdxsecxc f.



cscxcotxdxcscxc Teorema II.G.1.5

Jika fungsi f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan misalkan k suatu konstanta, maka:

a.



kf(x)dxk



f(x)dx

b.





f(x)g(x)



dx



f(x)dx



g(x)dx Bukti:

f dan g mempunyai anti turunan.

c x

F( ) anti turunan dari f, jadi



f(x)dx F(x)c,



F(x) c



f(x)

d  

c x

G( ) anti turunan dari g, jadi



g(x)dxG(x)c,



G(x) c



g(x) d   a.



kf(x)dxk



f(x)dx

 











 



dx kc x kF d dx c x F k d  _  0 ) ( '  kF x

 



F x



f

 

x dx d x kf   ( ),

b.





f(x)g(x)



dx



f(x)dx



g(x)dx

 







 





 

 



dx c x G x F d dx c x G d c x F d  2    

 

x G x F'( ) ' 

 

x g x f   ( )

Dengan kata lain,

 







 





 



_

_



f(x)g x dx F x c  G x c  f(x)dx g(x)dx.█ Teorema II.G.1.6

Diberikan g fungsi yang dapat didiferensialkan dan daerah hasil (nilai) dari g adalah selang I. Jika f fungsi yang didefinisikan pada I dan F anti turunan dari f pada I, maka

 



g x

  



g x dx



F



g

 

x



c

f  



'

Bukti:

Karena F anti turunan dari f pada selang I maka F'



g

 

x



 f



g

 

x



dibuktikan



F



g

 

x



c



f



g

 

x

  



g x



dx d ' .  

 







F g x c



F



g

 

x

  



g x



dx d ' . '  

 



g x

  

g x f . ' 

Teorema II.G.1.7

Jika g suatu fungsi yang dapat terdiferensiasi dan f suatu bilangan

rasional yang bukan -1, maka



 



 





c r x g dx x g x g r r    



' ( )₁ 1 . Bukti:

Jika u = g (x) adalah fungsi yang dapat didiferensiasi dan r suatu bilangan rasional



r 1



maka,

u D u r u D r _x r x . 1 1          atau



 





g

 

x



g

 

x r x g D r r x . ' 1 1          .█ 2. Integral Tentu

Jika f didefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Fungsi ini bisa bernilai positif atau negatif pada interval tersebut dan bahkan tidak perlu kontinu. Misalkan suatu partisi P membagi interval [a,b] menjadi n interval bagian (tidak perlu sama panjang) dengan menggunakan titik – titik ax₀ x₁ x₂ ...x_n1 x_n b dan misalkan x_i x_i x_i1. Pada setiap bagian interval



xi1xi



, dengan mengambil sebuah titik sebarang titik x (mungkin saja titik ujung) yang disebut sebagai titik _i sampel untuk interval bagian ke-i.

(Varberg, dkk, 2010) P disebut norma (norm) P, menyatakan panjang interval-bagian yang

interval tertutup [a,b]. Jika



 

   n i i i P f x x 1 0

lim ada, dikatakan f

terintegrasikan pada [a,b]. Suatu jumlah Riemann ditafsirkan sebagai sebuah jumlah aljabar dari luas-luas.

Kemudian



b

a

dx x

f( ) disebut integral tentu (atau integral Riemann) f dari

a ke b, kemudian diberikan oleh





 

    n i i i P b a x x f dx x f 1 0 lim ) ( . Teorema II.G.2.1

Jika f kontinu (karenanya terintegrasikan) pada [a,b] dan diberikan F adalah sebarang anti – turunan dari f pada [a,b], maka,



x   a a F b F dx x f( ) ( ) ( )

 

1  2  3  4 5 6 6 1 A A A A A A x x f i i i          





Gambar II.6 Jumlah Riemann

y = f(x) x y 1 x 2 x _x4 3 x 5 x 6 x 0 x a x ₅ bx₆ 4 x 3 x 2 x 1 x

Bukti:

Karena fungsi F dan G kontinu pada interval tertutup [a,b], didapatkan F(a) = G(a) + c dan F(b) = G(b) + c. Jadi F(x) = G(x) + c pada interval tertutup [a,b].

Karena 



 b a dt t f a G( ) ( ) 0, maka F(a)G(a)c0cc. Karena itu,  







  



b a dt t f b G c c b G a F b F( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .█

a. Integral lipat dua atas persegi panjang

Jika R adalah sebuah persegi panjang dengan sisi – sisi sejajar dengan sumbu koordinat R{(x,y):a xb,c yd}. Bentuk partisi P dari R dalam pengertian membentuk garis – garis sejajar dengan sumbu x dan sumbu y (Gambar II.7).

Gambar II.7 Daerah R



 

x,y :a xb,c yd



 

x ,k yk c d a b x y z k R R

Pembuatan partisi ini membagi R menjadi persegi panjang yang lebih kecil sebanyak n, kemudian menotasikannya dengan R , k = _k 1,2,3,...,n. Misalkan xkdan ykadalah panjang sisi – sisi R dan k misalkan A_k x_ky_kadalah luasnya. Pada R ambil sebuah titik _k

contoh



x ,k y_k



dan bentuk jumlah Riemann



  n k k k k y A x f 1 ) , ( yang

berhubungan (jika f(x,y)0) dengan jumlah volume n kotak (Gambar II.8).

Dengan membuat partisi tersebut semakin kecil sedemikian rupa sehingga seluruh R juga mengecil, akan menuntun ke konsep yang _k dikehendaki. Dengan ketentuan tambahan bahwa aturan partisi P, dilambangkan dengan P adalah diagonal terpanjang dari sub persegi panjang dalam partisi tersebut.

(Varberg, dkk, 2003) Gambar II.8 Permukaan z = f (x,y)

) , (x y f z Volume = k k k y A x f( , ) c d a b x y z k R R

Definisi II.G.2.a

Jika f adalah fungsi dengan dua peubah yang didefinisikan pada sebuah persegi panjang tertutup R. Jika







   n k k k k P f x y A 1 0 , lim

ada, maka dikatakan bahwa f dapat terintegralkan di R. Disamping itu,



R

dA y x

f( , ) disebut integral lipat-dua (double

integral) dari f atas R, yang dapat dinyatakan dengan









  _  n k k k k P R A y x f dA y x f 1 0 , lim ) , ( (Varberg, dkk, 2003) Sifat – sifat integral lipat dua

Jika f (x,y) dan g (x,y) kontinu dan kR maka 1) Integral lipat dua bersifat linear, yaitu

i.







R R dA y x f k dA y x kf( , ) ( , ) ii.

















R R R dA y x g dA y x f dA y x g y x f( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2) Integral lipat dua bersifat aditif (penjumlahan) pada persegi panjang yang saling tumpang-tindih hanya pada sebuah ruas garis.







  2 1 ) , ( ) , ( ) , ( R R R dA y x f dA y x f dA y x f

3) Sifat perbandingan berlaku. Jika f(x,y) g(x,y)untuk seluruh (x,y) di R, maka





 R R dA y x g dA y x f( , ) ( , ) (Varberg,dkk, 2003) b. Integral lipat dua atas daerah bukan persegi panjang

Definisi II.G.2.b

Suatu himpunan S yang tertutup dan terbatas pada bidang. S dikelilingi dengan persegi panjang R dengan sisi – sisi sejajar sumbu – sumbu koordinatnya (Gambar II.9 & Gambar II.10). Andaikan f

 

x,y didefinisikan (atau didefinisikan ulang)

 

x,y 0

f pada bagian R diluar S (Gambar II.11). f dapat terintegralkan di S jika f dapat diintegralkan pada R dan dituliskan dengan







R S dA y x f dA y x f( , ) ( , ) . (Varberg, dkk, 2003) S R Gambar II.10

Kurva S Dikelilingi Persegi Panjang R

S

Gambar II.9 Kurva S tertutup

S z = f (x,y)

f (x,y) = 0

c. Perhitungan Integral lipat dua atas persegi panjang

Himpunan dengan batas – batas melengkung bisa menjadi sangat rumit. Untuk tujuan yang akan dicapai, akan cukup memadai jika menggunakan himpunan sederhana-x dan himpunan sederhana-y (dan gabungan terhingga dari himpunan – himpunan tersebut). Sebuah himpunan S dikatakan sederhana y jika himpunan tersebut sederhana pada arah y, artinya bahwa sebuah garis pada arah ini memotong S dalam selang tunggal (atau titik atau tidak sama sekali). Jadi, sebuah himpunan S disebut sederhana-y (y-simple) (Gambar II.12) jika terdapat fungsi ₁ dan fungsi ₂ pada [a,b] sedemikian rupa sehingga

 

 

 



x y x y x a x b



S  , :₁  ₂ ,  

Suatu himpunan S dikatakan sederhana-x (x-simple) (Gambar II.13) jika terdapat fungsi ₁ dan fungsi ₂ pada [c,d] sedemikian rupa sehingga

   

 



x y y x x c y d



S , :₁  ₂ ,   y 0 x

Gambar II.13 Kurva Sederhana-x

 

y x₁ d c

 

y x₂ S S y 0 x

Gambar II.12 Kurva Sederhana-y

 

x

y₂

 

x y₁

Jika akan menghitung integral lipat-dua dari fungsi f (x,y) atas sebuah himpunan sederhana-y S. Lingkupi S di dalam sebuah persegi panjang R (Gambar II.14) dan menbuat f (x,y) = 0 diluar S.

 

 





        b a d c R S dx dy y x f dA y x f dA y x f( , ) ( , ) ,

 

   

 

_          b a x x dx dy y x f 2 1 ,

Pada pengintegralan sebelah dalam, x dipertahankan tetap. Jadi pengintegralan dilakukan disepanjang garis vertikal tebal pada Gambar II.14 Pengintegralan ini menghasilkan luas A(x) dari suatu penampang melintang (cross section). Akhirnya, A(x) diintegralkan dari a ke b.

Jika himpunan S adalah sederhana-x (Gambar II.13), maka dengan cara yang sama akan menghasilkan rumus

 

   

 



_        d c x x S dx dy y x f dA y x f 2 1 , ) , (   S y 0 x

Gambar II.14 Kurva S sebagai Persegi Panjang

 

x y₂

 

x y ₁ a b R d c x

Jika himpunan S bukan sederhana-x maupun sederhana-y (Gambar II.15), maka biasanya himpunan tersebut dapat dilihat sebagai sebuah gabungan dari bagian – bagian yang mempunyai salah satu dari sifat – sifat lainnya. Dicontohkan lingkaran pada Gambar II.16 tidak sederhana-y S dan ₁ S . Integral – integral dari bagian – bagian ₂ lingkaran ini dapat ihitung dan kemudian dijumlahkan untuk memperoleh integral atas S.

(Varberg, dkk, 2003) d. Integral lipat dua dalam koordinat kutub

Kurva – kurva tertentu pada suatu bidang, seperti lingkaran, kardiodid, dan mawar lebih mudah dijelaskan dengan menggunakan

0 x

Gambar II.15 Kurva Bukan Sederhana-x atau Sederhana-y S

1

S

2

S

Gambar II.16 Gabungan Dua Himpunan Sederhana-y S dan₁ S 2

koordinat Cartesius (koordinat siku – siku). Sehingga dapat diharapkan bahwa integral lipat dua atas daerah yang tertutup oleh kurva-kurva seperti itu akan mudah dihitung dengan menggunakan koordinat kutub.

Misalkan R mempunyai bentuk seperti yang digambarkan pada Gambar II.17, yang disebut dengan persegi panjang kutub (polar rectangle). Misal z f

 

x,y menentukan sebuah permukaan atas R dan andaikan f kontinu dan tak negatif. Maka volume V benda padat di bawah permukaan ini dan di atas R (Gambar II.18) dapat dinyatakan dengan



 R dA y x f V ( , ) ... (1)

Di dalam koordinat kutub, persegi panjang kutub R mempunyai bentuk R



 

r, :arb,  



. Untuk menghitung volumenya yaitu menggunakan koordinat kutub.

R    b r  a r     0 Sumbu Kutub

Gambar II.17 Persegi Panjang Kutub

R x y z

 

, ) , (x y F r f z   Gambar II.18 z f(x,y)F

 

r,

R dibagi – bagi menjadi partisi – partisi yang lebih kecil berbentuk persegi panjang kutub R₁,R₂,....,R_ndengan menggunakan kisi kutub (polar grid), dan misalkan rkdan kmenyatakan dimensi potongan R_k (Gambar II.19). Luas A(Rk)dinyatakan dengan A(R_k)rkr_k_kdimana r adalah jari –jari rata – rata k R . _k

Jadi k k _{k k} n k k r r r F V 



    ) , ( 1 .

Saat menggunakan limit sebagai aturan pembagian partisi yang mendekati nol, maka akan memperoleh volume yang sebenarnya. Limit ini adalah sebuah integral lipat dua.

     drd f r r rdrd r F V R R ) sin , cos ( ) , (





  ... (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh

   r rdrd r f dA y x f R R ) sin , cos ( ) , (







Persamaan diatas diturunkan dengan asumsi bahwa f tak negatif, tetapi berlaku untuk fungsi – fungsi yang sangat umum, khususnya fungsi – fungsi kontinu dengan tanda sebarang.

(Varberg, dkk, 2003) R k r  k R 0 k  