Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan VARIABEL RANDOM. Statistika dan Probabilitas

(1)

Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik

Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan

(2)

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Pengertian

27-Apr-15 Variabel Random

2

q 

Random variable (variabel acak)

q  suatu fungsi yang didefinisikan pada sample space

q 

Jenis

q  Discrete random variables

q  Continuous random variables

q 

Contoh

q  jumlah hari hujan selama 1 tahun à diskrit

(3)

Variabel Random

3

q 

Notasi

q  X à variabel random

q  x à nilai variabel random

q 

Fungsi

q  Suatu fungsi variabel random adalah variabel random pula

(4)

Variabel Random Diskrit

4

q 

X

= discrete random variables

q 

= x

₁

, x

₂

, x

₃

, …, x

_n

f

_X

(x

₁

)

f

_X

(x

₂

)

f

_X

(x

_n

)

f

_X

(x

₃

)

∑ f

_X

(x

_i

) = 1

probabilitas

(5)

x

₁

f

_X

(x

_i

)

x

_n

x

₁

x

₂

x

₃

…

x

_n₋₁

F

_X

(x

_i

)

x

_n

x

₂

x

₃

…

x

_n₋₁

1 distribusi probabilitas diskrit

distribusi probabilitas kumulatif

diskrit

probabilitas

x ≤ x

_i

(6)

( )

_∑

( )

≤ = x x X i X i x f x F Variabel Random 6

q

Distribusi probabilitas

suatu variabel random X untuk X = x

q

Distribusi probabilitas kumulatif

suatu variabel random X untuk X = x

27-Apr-15

( )

i = X

( )

i − X

(

i−1

)

X x F x F x

(7)

§

Frekuensi relatif

§

Probabilitas

( )

_∑

( )

≤ = x x X i X i x f x F

( )

_∑

= = i j x x_i x f _j F 1 1 − − = _i _i i x x x F F f

§

Frekuensi relatif kumulatif

( )

i = X

( )

i − X

(

i−1

)

X x F x F x

(8)

Variabel Random Kontinu

27-Apr-15 Variabel Random 8 q 

Probabilitas

( )

i f_x_i n n A = =

prob ni = jumlah data di klas ke-i

n = jumlah seluruh data

f_xi à estimasi prob (A)

histogram frekuensi à pendekatan distribusi probabilitas

frekuensi kumulatif à pendekatan distribusi probabilitas kumulatif

q 

Dengan demikian f

_xi

dapat dipandang sebagai nilai estimasi probabilitas

variabel random kontinu diperlakukan seolah-olah variabel random diskrit

(9)

prob(a

≤

X ≤ b)

x

a b

p

_X

(x)

P

_X

(x)

pdf = probability density function

P

_X

(b)

P

_X

(a)

1

0

luas = prob(a ≤ X ≤ b) luas = prob(X ≤ b) _{luas = 1}

cdf = cumulative probability

distribution function

P_X(x) =

prob(X ≤ x)

(10)

http://istiarto.staff.ugm.ac.id Variabel Random 10

p

_X

(x) = probability density function of a continuous random variable

P

_X

(x) = cumulative probability distribution function

27-Apr-15

( )

x

(

X x

)

P_X = prob ≤ dP_X

( )

x = p_X

( )

x dx

( )

_∫

( )

∞ − = x X X x p t t P d

(11)

Beberapa Sifat Probabilitas

11

( )

x x p_X ≥ ,0 ∀

( )

d =1

∫

+∞ ∞ − x x p_X

(

−∞

)

=0 X P

(

+∞

)

=1 X P

(

a X b

)

p

( )

t t P_X

( )

b P_X

( )

a b a X = − = ≤ ≤

_∫

d prob

(

)

( )

d

( )

0 prob X =c =

_∫

p t t =P_X c −P_X c = c c X

(

a≤ X ≤b

)

=prob

(

a< X ≤b

)

=prob

(

a≤ X <b

)

=prob

(

a< X <b

)

prob (1) (2) (3) (4) (5) (6)

(12)

Kala Ulang (Return Period)

12

(

X ≥a

)

=prob

(

X >a

)

prob

q 

Jadi dalam definisi kala ulang

a.  suatu kejadian yang menyamai atau melampaui suatu nilai tertentu

b.  suatu kejadian yang melampaui suatu nilai tertentu

q 

Kedua definisi,

a

dan

b

, adalah sama mengingat probabilitas suatu

kejadian (event) menyamai suatu nilai tertentu bernilai nol

(13)

Contoh #1

13

q  Diketahui suatu variabel random X memiliki fungsi kerapatan probabilitas (pdf)

sbb.

q  Gambarlah pdf tersebut

q  Tunjukkan bahwa prob(0 < X < 2) = 1

q  Hitunglah prob(X < 1.5)= P_X(1.5) q  Hitunglah prob(0.5 < X < 1.5)

( )

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < < = lain yang nilai untuk 0 2 0 untuk 2 x x x x p_X

(14)

Contoh #2

14

q  Pengolahan data annual series curah hujan harian maksimum, H mm, di suatu stasiun ARR

(Automatic Rainfall Recorder) menunjukkan bahwa sebaran probabilitas suatu besaran

curah hujan, p_H(h), dapat dinyatakan dengan suatu fungsi (pdf) sbb.

q  Gambarlah pdf tsb.

q  Carilah fungsi cdf berdasarkan pdf tsb.

q  Hitunglah prob(40 mm < H < 60 mm) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < < − < < = lain yang nilai untuk 0 100 50 untuk 100 3750 1 50 0 untuk 75 1 h h h h h p_H

(15)

Bivariate Distributions

15

q 

Pada bahasan sebelumnya, variabel random adalah variabel tunggal

(univariate distribution)

q 

Pada bahasan berikut ini, variabel random terdiri dari dua variabel

(bivariate distributions)

q  Apabila kita ingin mempelajari perilaku dua atau lebih variabel random, maka kita perlu menghitung probabilitas gabungan atau probabilitas bersama (joint probabilities)

(16)

Bivariate Distributions

16

q 

Probabilitas gabungan, probabilitas bersama

(

)

(

)

( )

∫ ∫

∞ + ∞ − ∞ + ∞ − = ≤ ∧ ≤ = s t t s p y Y x X y x P Y X Y X d d , prob , , ,

(

)

P

(

x y

)

y x y x p_X_,_Y , _X_,_Y , ∂ ∂ ∂ = pdf cdf

(17)

Bivariate Distributions

17

q 

Beberapa sifat bivariate distribution

(

,

)

0

, x y ≥

p_X _Y

(

,∞

)

, x

P_X _Y cdf variabel random X saja (univariate)

(

y

)

P_X_,_Y ∞, cdf variabel random Y saja (univariate)

(

,

)

1 ,Y +∞ +∞ = X P

(

,

)

_,

(

,

)

0 , −∞ y =P x −∞ = P_X _Y _X _Y

(18)

Distribusi Marginal

18

q 

Dua variabel random X dan Y

q  Ingin diketahui perilaku variabel X tanpa mempertimbangkan nilai variabel Y

q  Densitas marginal (pdf) dan distribusi kumulatif marginal (cdf)

( )

_∫

( )

+∞ ∞ − = p x t t x p_X _X_,_Y , d

( )

(

)

(

)

(

)

( )

_∫

( )

∫ ∫

∞ − ∞ − ∞ + ∞ − = = ≤ = ∞ ≤ ∧ ≤ = ∞ = x X x Y X X X s s p s t t s p x X Y x X x P x P d d d , prob prob , ,

(

x y

)

p

( )

x p_X_,_Y , → _X P_X_,_Y

(

x,y

)

→P_X

( )

x

pdf

cdf

(19)

Distribusi Marginal

19

q 

Dua variabel random X dan Y

q  Untuk variabel Y

( )

_∫

(

)

+∞ ∞ − = p s y s y p_Y _X_,_Y , d

( )

(

)

(

)

(

)

( )

_∫

( )

∫ ∫

∞ − ∞ − ∞ + ∞ − = = ≤ = ≤ ∧ ∞ ≤ = ∞ = y Y y Y X Y Y t t p t s t s p y Y y Y X y P y P d d d , prob prob , ,

(

x y

)

p

( )

y p_X_,_Y , → _Y P_X_,_Y

(

x,y

)

→P_Y

( )

y

pdf

_cdf

(20)

Distribusi Bersyarat (

Conditional Distributions

)

20

q 

Dua variabel random X dan Y

q  Ingin diketahui perilaku variabel X yang bergantung pada variabel Y

n  Distribusi X jika Y = y₀

(21)

Distribusi Bersyarat (

Conditional Distributions

)

21

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

( )

y p y x p y x p y p y x p y y x p x S y x p S y R x t t p t t x p S y x p Y Y X Y X Y Y X Y X R XY S Y S XY i Y X , dituliskan sering lebih yang , d dalam di dalam di dalam di prob d d , dalam di , 0 0 , 0 , , = = = = =

∫

(22)

Independence

22

q 

Variabel random X dan Y

q  X dan Y independence jika

q  Joint probabilities

n  Perkalian densitas marginal kedua variabel

( )

x y p

( )

x p y y x p X Y X Y X = fungsi bukan

(

x y

)

p

( )

x p

( )

y p_X_,_Y , = _X ⋅ _Y

(23)

Contoh

23 Temperatur udara, T°C 22-24 24-26 26-28 28-30 30-32 32-34 el emb ab an r el a tif , H % _{0 – 20} ₂ ₄ ₆ ₂ ₂ ₁ 20 – 40 4 8 12 30 6 9 40 – 60 5 15 30 60 30 20 60 - 80 3 7 9 25 17 11 80 - 100 1 0 2 12 8 3

Data jumlah hari yang memiliki temperatur udara rerata (T°C) dan kelembaban udara relatif (H%) di suatu stasiun klimatologi

(24)

Contoh

24

q 

Dari tabel temperatur udara dan kelembaban udara tsb.

q  pdf (gabungan)

q  pdf marginal dan cdf marginal temperatur udara rerata

q  pdf marginal dan cdf marginal kelembaban udara relatif

q  probabilitas temperatur udara berkisar pada 28°C s.d. 30°C

q  probabilitas temperatur udara berkisar pada 28°C s.d. 30°C pada saat kelembaban udara relatif 60% s.d. 80%

(25)