Cointegration Analysis and ECM

Cointegration Analysis and ECM

Before discussing co-integration concept, we need to talk about other

relating concepts that are very important in understanding

co-integration.

Spurious Regression Phenomena.

Suppose there are 2 independent random walk models

y

_t

= y

_t-1

+ u

_t

; u

_t

~ N (0,1); u

_t

white noise

From earlier discussion, y

_t

and x

_t

are not stationer (Why?).

More over, y

_t

and x

_t

are not correlated (based on the way the

variables are generated). However, when we regress x

_t

on y

_t

we

will have the following result:

y

_t

= -13.2556 + 0.3376 x

_t

t: (-21.37) (7.61)

Comments on the regression results:

1. Based on t test, x

_t

influences y

_t

even though R

2

is small.

2. But, from the process of generating x

_t

and y

_t

they are

statistically independent; so no causality between x

_t

and y

_t

.

3. Therefore, we have to be very careful in regressing a

non-stationery time series on another non-stationary time series.

This regression may yield a spurious regression

4. According to Granger and Newold, if a regression has R

2

> d, it

is suspected that the regression is a spurious (non-sense)

Observe the following regression results obtained from

regressing GDP on M1 (money supply) using Canada

data:1971-I s/d 1988-IV:

1. ln M1_t = - 10.2571 + 1.5975 ln GDP_t t: (-12.94) (25.89) R2 = 0.9463; d = 0.3254 2. Δ ln M1_t = 0.095 + 0.5833 Δ ln GDP_t t: (2.4957) (1.8958) R2 = 0.0885; d = 1.739

Please comments on these results.

Stationerity Test

To analyze a time series regression, we need to test whether the

regressand and the regressors are stationer. That is why we need to

know several stationery tests. We have learned 2 (two) stationery

tests: graphical test and correlogram test. We need to learn more on

other stationery tests.

Unit Root Test

A. Basic Idea.

Observe the following AR(1) model: y_t = ρy_t-1 + u_t; -1 ≤ ρ ≤ 1; u_t: white noise. From previous lecture, if ρ = 1, then, the model is a random walk model and it is not stationer. Therefore, if ρ = 1

(statistically), then, y_t is not stationer.

B. Implementation

In implementation, the following model is to be used to test the existence of a unit root (ρ = 1):

y_t = ρy_t-1 + u_t

y_t - y_t-1 = (ρ - 1) y_t-1 + u_t Δy_t = δ y_t-1 + u_t

So, to test a unit root, do the following steps:

1. Regress y

_t-1

on

Δ

y

_t

2. Test the hypothesis that

ρ

= 1 or

δ

= 0

Dickey Fuller - (DF) Test

Dickey and Fuller indicate that the hypothesis of

δ

= 0 should not

use t test since

δ

is not distributed based on t distribution but based

on

τ

(tau) distribution and therefore

τ

test should be used. DF have

generated a table (a kind of t table ) to test the unit root.

DF use 3 different random walk models:

1.

Δ

y

t

=

δ

y

t-1

+ u

t

2.

Δ

y

_t

= b

₁

+

δ

y

_t-1

+ u

_t

Hypothesis H

₀

:

δ

= 0 ; y

_t

not stationer

H

₁

:

δ

< 0 ; y

_t

stationer.

(remark:

δ

never > 0 since

δ

=

ρ

- 1 and

ρ

≤

1)

Steps of Dickey Fuller Test:

1. Estimate model 1 or 2 or 3

2. Calculate

τ

statistics = (coefficient of y

_t-1

/ standard error).

3. If |

τ

| calculated >

τ

of DF table or MacKinon table, then

reject the hypothesis of

δ

= 0. in this case, y

_t

stationer.

4. Bila |

τ

| calculated <

τ

of DF table, then y

_t

is not stationer.

Ilustration:

(i). Δ GDPt = 0.00576 GDPt-1 τ = (5.798); R2 = 0.0152; d = 1.34 (ii). Δ GDPt = 28.2054 – 0.00136 GDPt-1 τ = (1.1576) (-0.2191) ; R2 = 0.00056; d = 1.35 (iii). Δ GDPt = 190.3857 + 1.4776t – 0.0603 GDPt-1 τ = (1.8389) (1.6109) (-1.6252)

DF Table

α = 1% α = 5% α = 10% Model 1 -2.5897 -1.9439 -1.6177 Model 2 -3.5064 -2.8947 -2.5842 Model 3 -4.0661 -3.6414 -3.1567

Model 1 tidak dianalisis karena estimasi dari

δ

positif. Padahal

δ

=

ρ

-1 dan nilai ini seharusnya negatif karena

ρ

≤

1. Ini berarti

bahwa model 1 menghasilkan estimate

ρ

> 1 yang tidak relevan.

Untuk model 2, |

τ

| = 0.2191 lebih kecil dari absolut nilai kritis Tabel

DF untuk model 2. Berarti berdasarkan tes DF pada model 2, GDP

tidak stasioner. Dengan cara yang sama, untuk model 3,

|

τ

| = 1.6252. Nilai ini lebih kecil dari absolut nilai kritis Tabel DF untuk

model 3. Artinya, berdasarkan tes DF pada model 3, GDP tidak

stasioner juga.

Augmented Dickey – Fuller (ADF) Test

Pada Tes DF diasumsikan bahwa residual tidak berkorelasi satu

sama lain (u

_t

uncorrelated

). Tetapi, bila u

_t

saling berkorelasi, Dickey

dan Fuller menciptakan tes lain yang lebih fleksibel (longgar

persyaratannya) yang disebut Tes Augmented Dickey-Fulller (ADF)

Misalkan kita menggunakan model

Δ

y

_t

= b

₁

+ b

₂

t

+

δ

y

_t-1

+ u

_t

Banyaknya variabel jeda yang digunakan ditentukan secara empiris. Idenya adalah menggunakan variabel jeda secukupnya agar error yang digunakan tidak saling berkorelasi. Pada intinya , tahapan Tes ADF hampir sama dengan Tes DF, yaitu masih mengetes apakah δ = 0. Tes ini masih menggunakan nilai kritis seperti pada Tabel DF. Sebagai ilustrasi, model (iv) diestimasi dan hasilnya sebagai berikut: Δ GDP_t =234.9729+1.8921t – 0.0786GDP_t-1+0.3557 ΔGDP_t-1

t = (2.3833) (2.1522) (-2.2152) (3.4647)

R2 = 0.1526; d= 2.0858

Dari hasil regresi, |τ| = 2.2152 lebih kecil dari nilai kritis yang ada pada Tabel DF model 3. Dengan demikian, berdasarkan Tes ADF, GDP juga tidak stasioner.

Komentar tentang Tes unit root

1. Ada beberapa tes unit root telah ditawarkan. Masing-masing

ada keterbatasannya. Kebanyakan tes ini berdasarkan pada

hipotesis bahwa time series yang dianalisis mempunyai unit

root yang berarti tidak stasioner. Hal yang membedakan antara

satu tes dengan lainnya adalah ukuran dan kekuatan tes.

2. Ukuran tes mengacu pada tingkat signifikasi yang digunakan;

biasanya 1%, 5% atau 10%. Bisa saja dari suatu tes

disimpulkan bahwa pada tingkat 5% series yang dianalisis tidak

stasioner. Tetapi bisa disimpulkan stasioner pada tingkat 10%.

Tingkat signifikansi mana yang kita pilih?

3. Kekuatan tes.

Beberapa tes termasuk Tes DF mempunyai kekuatan yang

rendah. Artinya, mereka cenderung menerima (tidak menolak)

hipotesis adanya unit root meskipun tidak ada.

o

Kekuatan tes tergantung pada rentangan waktu yang

digunakan. Misalnya saja, tes unit root yang

menggunakan 30 pengamatan dengan rentang waktu 25

tahun mungkin mempunyai kekuatan lebih bila

dibandingkan dengan tes yang menggunakan 100

pengamatan dengan rentang waktunya yang hanya 4

bulan.

o

Bila

ρ

∼

1 (dekat dengan 1) tetapi tidak persis 1, tes unit

root bisa menyatakan bahwa series yang dianalisis tidak

stasioner. Padahal seriesnya mungkin stasioner.

o

Jika mau mengetes data yang sudah di difference,

sebaiknya jangan menggunakan tes DF atau ADF

melainkan menggunakan Tes Dickey-Pantola karena tes

ini dapat mengetes keberadaan unit root yang lebih dari

satu.

4. Tes unit root ini tidak dapat menangkap adanya “structural breaks”

pada suatu time series.

Kointegrasi: Regresi time Series tidak stasioner pada

time series tidak stasioner lainnya.

Telah kita bicarakan bahwa bila kita meregresikan data timeseries dengan regressand serta regressornya tidak stasioner, maka regresi tersebut dapat mengakibatkan adanya regresi yang spurious (salah).

Akan kita analisis data PCE (Personal Consumption Expenditure) dan PDI (Personal Disposable Income), suatu data makro ekonomi AS dari 1970-I s/d 1991-IV (88 pengamatan). Telah dites bahwa data PCE dan PDI tersebut tidak stasioner.

Sekarang, kita akan meregresikan PCE pada PDI sebagai berikut: PCEt = b1 + b2 PDIt + ut; atau ut = PCEt – b1 - b2 PDIt

Berdasarkan suatu tes, ternyata u

_t

stasioner. Bila ini terjadi,

berarti ada fenomena baru karena meskipun PCE dan PDI tidak

stasioner, pada kombinasi liniernya, u

_t

, tren mereka telah saling

terhilangkan (saling ternetralkan). Dalam situasi seperti ini, kita

katakana bahwa PCE dan PDI saling

berkointegrasi

. Parameter

b

₂

disebut parameter kointegrasi; sedangkan regresinya disebut

regresi kointegrasi.

Berdasarkan teori ekonomi, dua variabel akan berkointegrasi bila

mereka mempunyai relasi jangka panjang atau keseimbangan

jangka panjang diantara mereka.

Secara umum, bila ada dua variabel timeseries yang

masing-masing merupakan series yang tidak stasioner, akan tetapi bila

kombinasi linier dari dua variabel tersebut merupakan time series

yang stasioner maka kedua timeseries tersebut dikatakan

berikointegrasi.

Lebih spesifik lagi, misalkan saja, x

_t

dan y

_t

masing-masing tidak

stasioner, tetapi z

_t

= x

_t

-

λ

y

_t

merupakan timeseries yang stasioner,

maka pada situasi seperti ini, x

_t

dan y

_t

dikatakan berkointegrasi

dan

λ

disebut parameter kointegrasi.

Komentar

1. Kontribusi yang sangat berharga dari konsep unit root dan

kointegrasi adalah adanya paksaan kepada kita agar

mengecek apakah residual dari suatu regresi stasioner atau

tidak.

2. Granger mengatakan bahwa Tes Kointegrasi dapat dipandang

sebagai tes pendahuluan (

pretest

) untuk menghindari adanya

regresi spurious.

Tes Kointegrasi

Ada beberapa Tes Kointegrasi yang disajikan pada beberapa

literatur. Namun, pada pembahasan saat ini akan disampaikan 2

tes saja yang sangat sederhana yaitu:

(i). Tes DF atau ADF

Tes Engle–Granger (EG) atau

Tes Augmented Engle–Granger (AEG)

Tes ini sebenarnya adalah modifikasi dari Tes DF atau Tes ADF yang intinya, tahapannya sebagai berikut:

1. Regresikan PCE pada PDI, hasilnya:

PCEt = -171.441 + 0.967 PDIt

t : (-7.481) (119.871)

R2 = 0.1422; d = 2.2775

2. Hitung residual ut dan regresikan Δut pada ut-1,

diperoleh: Δut = -0.2753 ut-1

t : (-3.7791)

3. Bandingkan nilai

τ

terhitung dengan Tabel Engle-Granger

(bukan Tabel Dickey-Fuller).

Nilai kritis

τ

dari tabel E-G pada 1% adalah –2.5899

sedangkan nilai

τ

terhitung adalah –3.7791. Ini berarti

bahwa |

τ

| terhitung > |

τ

| dari Tabel E-G

Akibatnya, u

_t

stasioner. Dengan demikian, variabel PCE dan

PDI berkointegrasi dan hasil regresi PCE pada PDI bukan

merupakan regresi yang spurious.

Interpretasi Model Regresi Kointegrasi PCE pada PDI:

1. Fungsi PCE

_t

= -171.4412 + 0.9672 PDI

_t

disebut sebagai

fungsi konsumsi jangka panjang.

2. Sedangkan slop PDI

_t

yang sebesar 0.9672 merupakan

MPC (Marginal Propensity to Consume) jangka panjang

atau MPC keseimbangan.

Tes CRDW

Tes ini didasarkan pada statistik Durbin-Watson yang dapat dengan mudah dihitung. Sargan dan Bhargava adalah pionir dari tes ini.

Tahapan tes

1. Hitung statistik Durbin-Watson, d.

Karena d=2(1-ρ), pada saat ρ mendekati 1 maka d hampir 0.

Oleh karenanya, hipotesis nol nya adalah H₀ : d = 0

2. Bandingkan nilai d terhitung dengan nilai d dari tabel. Dari tabel, diperoleh bahwa:

α 1% 5% 10%

3. Bila d terhitung > d tabel, tolak hipotes bahwa d = 0 atau

ρ

= 1

yang berarti u

_t

stasioner dan terjadi kointegrasi antara PCE dan

PDI.

Ternyata, d terhitung = 0.5316 > d tabel = 0.511 (1%).

Akibatnya, PCE dan PDI memang berkointegrasi atau ada

hubungan jangka panjang antara PCE dan PDI meskipun PCE

dan PDI masing-masing tidak stasioner.

Kointegrasi dan ECM (Error Correction Mechanism)

Pada diskusi terdahulu, kita telah tunjukkan bahwa PCE dan PDI

berkointegrasi; yaitu mereka mempunyai hubungan jangka panjang

atau keseimbangan jangka panjang.

Dalam jangka pendek, mungkin terjadi ketidak seimbangan. Oleh

karenanya, kita dapat menganggap persamaan:

u

_t

= PCE

_t

– b

₁

– b

₂

PDI

_t

Kesalahan keseimbangan ini akan digunakan untuk menghubungkan

antara perilaku PCE jangka pendeknya dan PCE jangka panjangnya.

Teknik Error Correction Mechanism (ECM) ini dikenalkan oleh

Sargan dan dipopulerkan oleh Engle dan Granger untuk mengoreksi

ketidakseimbangan.

Teori Representasi Granger

.

Bila variabel y dan x berkointegrasi, maka hubungan antara y dan x

dapat dinyatakan sebagai ECM.

Ilustrasi Konseptual

Perhatikan model berikut (Hubungan antara PCE dan PDI)

Δ

PCE

_t

= a

₀

+ a

₁

Δ

PDI

_t

+ a

₂

u

_t-1

+ e

_t

. . . (1)

dengan

u

_t-1

= PCE

_t-1

– b

₁

– b

₂

PDI

_t-1

,

u

_t-1

= error regresi kointegrasi lag 1

Persamaan ECM tersebut (persamaan (1)) menyatakan bahwa

Δ

PCE

tergantung pada

Δ

PDI dan tergantung juga pada error

keseimbangan, u

_t-1

.

Bila u

_t-1

> 0, maka modelnya tidak dalam keseimbangan. Misalkan

saja

Δ

PDI = 0 dan u

_t-1

> 0. Ini berarti bahwa PCE

t-1

diatas nilai

keseimbangannya yaitu a

₀

+ a

₁

PDI

_t-1

. Oleh karena itu, nilai a

₂

diharapkan berharga

negatif

. Dengan demikian, a

₂

u

_t-1

< 0 dan

akibatnya

Δ

PCE

_t-1

< 0 untuk mengembalikan ke kondisi

keseimbangan. Artinya bila PCE

_t

berada diatas nilai

keseimbangannya PCE

_t

akan mulai menurun pada periode

berikutnya untuk mengoreksi kesalahan keseimbangan. Dengan

cara yang sama, bila u

_t-1

< 0 maka PCE berada dibawah nilai

keseimbangan, dan a

₂

u

_t-1

> 0 yang mengakibatkan

Δ

PCE

_t

> 0 dan

akhirnya berakibat PCE meningkat pada periode t. Dengan

demikian, nilai absolut dari a

₂

menentukan berapa cepat

keseimbangan bisa kembali bila menyimpang. Pada tahap

implementasi, u

_t-1

diestimate dengan u

_t-1

= PCE

_t

- b

₁

– b

₂

PDI

_t

Ilustrasi Empiris

Δ PCEt = 11.6918 + 0.2906 Δ PDIt - 0.0867 ut-1

t: (5.3249) (4.1717) (-1.6003)

R2 = 0.1717; d = 1.9233

• Secara statistik, koefisien u_t-1 tidak signifikan. Maka kesalahan keseimbangan dapat dikatakan tidak mempengaruhi PCE yang berarti PCE menyesuaikan perubahan PDI pada periode yang sama.

• Perubahan jangka pendek PDI mempunyai dampak positif pada perubahan jangka pendek PCE.

• Dapat dikatakan bahwa MPC jangka pendek = 0.2906, sedangkan MPC jangka panjang = 0.9672. Lihat kembali hasil regesi berikut:

PCE_t = - 171.4412 + 0.9672 PDI_t

t: (-7.4808) (119.87)

Komentar S.G Hall tentang Kointegrasi

Konsep Kointegrasi, secara teori, memang penting dalam model ECM. Tetapi masih banyak masalah pada aplikasinya terutama mengenai pembentukan nilai kritis dan kinerja tes unit root pada saat sampelnya kecil. Alternatinya, memperhatikan korelogram masih merupakan teknik yang penting.