STATISTIK DISKRIPTIF
Seorang manajer bank ingin mengetahui nasabah dar banknya berkisar umur berapa, ketika mengambil atau menabung berapa jumlah uang yang ditarik atau ditabung?
3.1 Ukuran Pemusatan Untuk Data Tidak Berkelompok.
Salah satu ukuran untuk menggambarkan sekelompok data adalah ukuran pemusatan (central of tendency).
Ukuran pemusatan (central of tendency) memberikan informasi mengenai pusat atau nilai tengah dari sekelompok angka.
Contoh.
Data Tidak Berkelompok: Umur Pembeli HP
28 23 27 30 24
35 29 21 25 18
21 31 19 22 44
17 24 29 42 31
24 41 34 24 27
32 28 25 25 35
Ukuran pemusatan dapat menyediakan informasi umur rata-rata manajer UKM; umur manajer UKM yang terletak ditengah atau umur yang paling sering muncul.
Ukuran pemusatan untuk data tidak berkelompok: a) The Mode (Modus)
b) The Median (Nilai tengah) c) The Mean (Rata-rata)
The mode.
The mode adalah nilai yang sering muncul dalam sejumlah data tertentu. Cara mengetahui the mode:
Mengurutkan data
Steam and Leaf
Data Tidak Berkelompok: Umur Pembeli HP
28 23 27 30 24
35 29 21 25 18
21 31 19 22 44
17 24 29 42 31
24 41 34 24 27
32 28 25 25 35
Data Tidak Berkelompok: Umur Pembeli HP
28 23 27 30 24
35 29 21 25 18
21 31 19 22 44
17 24 29 42 31
24 41 34 24 27
32 28 25 25 35
25 17 24 29 22
Mengurutkan data
28 23 27 30 24 35 29 21 25 18 32 28 25 25 35 25 17 24 29 22 24 41 34
24 27 21 31 19 22 44 17 24 29 42 31 Setelah diurutkan menjadi:
17 17 18 19 21 21 22 22 23 24 24 24 24 24 25 25 25 25 27 27 28 28 29 29 29 30 31 31 32 34 35 35 41 42 44
17 17 18 19 21 21 22 22 23 24 24 24 24 24
25 25 25 25 27 27 28 28 29 29 29 30 31 31 32 34
35 35 41 42 44
Steam and Leaf
Stea
m Leaf
2 3
3 9
4 7 9
5 5 6 9
6 0 7 7 8 8
7 0 2 4 5 5 6 7 7 8 9
8 1 1 2 3 3 6 8 9
9 1 1 2 4 7
Umur Manajer UKM
86 77 91 60 55
76 92 47 88 67
23 59 72 75 83
77 68 82 97 89
81 75 74 39 67
79 83 70 78 91
LATIHAN:
Data Tidak Berkelompok: Umur Manajer Perusahaan42 26 32 34 57
30 58 37 50 30
53 40 30 47 49
50 40 32 31 40
52 28 23 35 25
30 36 58 26 50
55 30 43 64 52
49 33 43 46 32
61 31 30 40 60
74 37 29 43 54
Data Tidak Berkelompok: Umur Pembeli HP
28 23 27 30 24
35 29 21 25 18
21 31 19 22 44
17 24 29 42 31
24 41 34 24 27
32 28 25 25 35
The Median.
The median adalah nilai tengah dari sejumlah angka yang telah diurutkan.
Jika jumlah angka dari sejumlah angka tersebut adalah ganjil, maka mediannya adalah angka yang dtengah
Jika jumlah angka dari sejumlah angka tersebut adalah genap, maka mediannya adalah dua angka yang dtengah dibagi 2
Contoh:
Angka berjumlah ganjil
28 23 27 30 24 35 29 21 25 18 35 29 21 25 18. Urutkan menjadi:
18 18 21 21 23 24 25 25 27 28 29 29 30 35 35. Nilai median =25
Angka berjumlah genap
28 23 27 30 24 35 29 21 27 18 35 29 21 25 18 12. urutkan menjadi 12 18 18 21 21 23 24 25 27 27 28 29 29 30 35 35. Nilai median = (25+27)/2 = 26
The Mean.
a) The arithmetic mean (average) (μ) untuk populasi dan ( ) untuk sampel adalah penjumlahan seluruh angka dibagi dengan jumlah angka.
o Populaton mean = μ = σ��=���
�
o Sampel mean = �ഥ = σ��=���
Contoh.
Ada 5 kecelakaan pada hari rabu di beberapa kota. Korbannya 24,13,19,26, dan 11 pasien.
The population mean = (24 + 13 + 19 + 26 + 11)/5 = 18,6
Ada angka 57,86,42,38,90 dan 66, maka jika angka ini merupakan sampel, maka sample mean=
Sample mean = (57+86+42+38+90+66)/6 = 63,167
3.2 Penghitungan The Mean untuk Data Berkelompok.
Kelompok data tidak memberikan informasi mengenai nilai individu. The mean untuk data berkelompok =
Contoh.
o
μ
data berkelompok
=
σ ��
σ �
Umur Frekuensi10-15 6
15-20 22
20-25 35
25-30 29
30-35 16
35-40 8
40-45 4
Umur Frekuensi Nilai Tengah fM
10-15 6 12,5 75
15-20 22 17,5 385
20-25 35 22,5 787.5
25-30 29 27,5 797.5
30-35 16 32,5 520
35-40 8 37,5 300
40-45 4 42,5 170
45-50 2 47,5 95
122 3,130
o
μ
data berkelompok
=
σ ��
σ �
b) The Weighted mean (μ)
μ =
����+����+����+⋯+������+��+��+⋯+��
μ =
σ ������
Contoh.
Sorang mahasiswa memperoleh nilai dar 3 matakuliah yang memiliki bobot 3 sks, 2sks,dan 3 sksk dengan nilai A, B, B. Nilai rata-rata mahasiswa tersebut:
μ =
�∗�+�∗�+�∗�
�+�+�
= 3,375
c) The Geometric mean (μ)
Geometric mean menghitung rata-rata dengan memperhatikan tingkat pertumbuhan kumulatif dari waktu ke waktu
Contoh.
Periode Harga Saham
0 500
1 600
2 550
R1= (600-500)/500 = 0,2 R1= (550-600)/600 = -0,083
Arithmetic mean = (0,2-0,083)/2 = 0,05833 RG = [(1+0,2)(1-0,083)]0.5-1 = 0,04883
3.3 Ukuran Variabilitas Untuk Data Tidak Berkelompok.
Ukuran pemusatan menggambarkan pusat atau dari sejumlah data atau porsi inti (data terpusat) dari sekelompok data.
Peneliiti menggunakan ukuran lain yakni variabilitas yang menggambarkan sebaran/dispersi dari sejumlah data.
Contoh.
Variabilitas untuk data:
a) Tidak Berkelompok diukur dengan range, mean absolute deviation, variance, dan standard deviation
b) Berkelompok diukur dengan variance dan standard deviation
Range (jangkauan).
Range adalah selisih antara nilai terbesar dengan terkecil dari suatu jumlah data tertentu.
Contoh.
Jangkauan = 3.240.000 – 540.000 = 2.700.000Harga Tanah/meter
Kota 2012
A Rp 540.000
B 600.000
C 750.000
D 1.300.000
E 1.400.000
F 2.200.000
G 2.800.000
Mean Absolute Deviation (MAD).
MAD adalah rata-rata nilai deviasi/penyimpangan absolut dari the mean.
Variance dan Standard Deviation.
Populasi.
Variance adalah rata-rata nilai deviasi/penyimpangan dari the arithmetic mean yang dikuadratkan. Standard Deviation adalah akar dati variance.
Contoh.
Umur Manajer
(Xi) Mean Deviation from the mean (Xi – μ)
(Xi-μ)
2
5
μ = 65/5 = 13
-8 64
9 -4 16
16 3 9
17 4 16
18 5 25
∑Xi = 65 ∑(X – μ)=0 ∑(Xi-μ)2
=130 Variance = 130/5 = 26
Standard Deviation = √ 26 = 5.1
σ2=σ ሺ�−�ሻ�
�
σ=
√
σ ሺ�−�ሻ�Sample.
Sample varance (S2) dan sample SD (S). Penggunaan
sample variance
dan standard deviation
merupkan estimasi daripopulation
variance dan standard deviation
.Perbedaan population dan sample varance dan standard deviation terletak pada simbol variance dan standard deviation dan pembaginya. Untuk populasi, pembaginya adalah n dan untuk sample, pembaginya adalah n-1. Pembagi n-1 untuk sample varance dan standard deviation akan memberikan hasil estimasi bagi nilai populasi.
Contoh.
Dekan mengambil 8 orang mahasiswa sebagai sample untuk diukur tingkat IQ dengan hasil sbb:
Makna Standard Deviation.
Aturan ini menyatakan bahwa sebagian besar (hampir semua) nilai-nilai dari sejumlah data berada pada batasan standard deviation dengan syarat sejumlah data tersebut berdistrbusi normal.
Aturan empirisnya menggunakan 3 standard deviation: a). 1σ; b). 2σ; dan c). 3σ
Contoh.
Jarak dari Rata-Rata Persentase Nilai yang berada dalam jarak
μ ± 1σ 68%
μ ± 2σ 95%
μ ± 3σ 99,7%
DATA UMUR ARTIS REMAJA
b) Teorema Chebyshev
Teorema ini berlaku untuk semua distribusi tanpa melihat bentuk. Oleh karena dapat dberlakukan ke semua distribusi, maka teorema ini lebh konservatif daripada aturan empiris.
Teorema inii menyatakan bahwa dalam k standard deviation dari mean, maka minimal proporsi data adalah sebesar
(1-1/k
2)
Oleh karena rumus tersebut digunakan untuk menghitung proporsi dalam teorema chebyshev, maka setiap nilai k > 1 dapat digunakan.
Contoh.
jika k=2,5, maka minimal 84% nilai data-data terletak dalam
μ ±
2.5σ
1-1/k
2= 1-1/2.5
2= 0.84
TEOREMA CHEBYSHEV
Jumlah SD
Jarak dari Rata-Rata
Minimum Proporsi Data dalam Jarak (1-1/k2)
k=2 μ ± 2σ 1-1/22 =75%
k=3 μ ± 3σ 1-1/32 =89%
Z =
�− �
�
Z Score.
Z Score adalah luas
standard deviation
dari nilai x datas atau dibawahMean
.Jika Z score negatif berarti data nilai x berada dibawah mean dan jika Z score positf berarti nilai x berada diatas mean.
Contoh.
Mean = 50 dan standard deviation = 10, maka ahli statistik ingin menentukan Z score untuk nilai 70. Nilai X=70 adalah 20 unit diatas mean.
Z = (70-50)/10 = 2. Nilai 70 terletak pada 2σ diatas mean, maka 95% dari data nilai berada antara 30 sampai 70, tapi 5% data nilai berada diluar jangkauan tersebut (dibawah 30 dan atau datas 70)
-2σ +2σ
95
%
2.5%
2.5%
-2σ +2σ
2.5% 2.5%
