DERET
Pokok Bahasan
• Barisan
• Deret
• Deret aritmetik
• Deret geometrik
• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
• Deret tak berhingga
• Nilai-nilai limit
• Deret konvergen dan deret divergen
• Uji konvergensi
Pokok Bahasan
• Barisan
• Deret
• Deret aritmetik
• Deret geometrik
• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
• Deret tak berhingga
• Nilai-nilai limit
• Deret konvergen dan deret divergen
• Uji konvergensi
Barisan
•
Barisan
– Suatu set kuantitas, u1, u2, u3, …, yang
dinyatakan dalam suatu urutan dan setiap sukunya terbentuk menurut pola tertentu, dengan kata lain ur = f (r)
– Barisan berhingga hanya mengandung suku-suku yang berhingga banyaknya
Pokok Bahasan
• Barisan • Deret
• Deret aritmetik
• Deret geometrik
• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
• Deret tak berhingga
• Nilai-nilai limit
• Deret konvergen dan deret divergen
• Uji konvergensi
Deret
•
Suatu deret dibentuk oleh jumlah dari
suku-suku suatu barisan
•
Jika
u
1, u
2, u
3, …
adalah barisan, maka
merupakan deret
1 12 1 2
3 1 2 3
1 2 3
n n
S u
S u u
S u u u
S u u u u
Pokok Bahasan
• Barisan
• Deret
• Deret aritmetik
• Deret geometrik
• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
• Deret tak berhingga
• Nilai-nilai limit
• Deret konvergen dan deret divergen
• Uji konvergensi
Deret Aritmetik (Deret Hitung)
• Suku ke-n suatu deret aritmetik didefinisikan sebagai:
• Dimana a adalah suku pertama dan d adalah beda.
• Jumlah dari n suku pertama deret aritmetik Sn
adalah:
(
1)
n
u
a
n
d
2 [ 1]
2n
n
Deret Aritmetik (Deret Hitung)
•
Rata-rata aritmetik
– Rata-rata aritmetik dua bilangan P dan Q adalah sebuah bilangan A sdrs
– Membentuk deret aritmetik, sehingga
– Rata-rata aritmetik dari dua bilangan adalah rata-rata kedua bilangan tersebut
P A Q
and so that
A P d Q A d A P Q A
2 giving
Deret Aritmetik (Deret Hitung)
•
Rata-rata aritmetik
– Penyisipan tiga rata-rata aritmetik, A, B, dan C, diantara dua bilangan P dan Q sdrs
– Membentuk deret aritmetik, maka
P A B C Q
4 so
4
Q P
Q P d d
4
2 3
4
Q P
A P
Q P
B P
Q P
C P
Pokok Bahasan
• Barisan
• Deret
• Deret aritmetik • Deret geometrik
• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
• Deret tak berhingga
• Nilai-nilai limit
• Deret konvergen dan deret divergen
• Uji konvergensi
Deret Geometrik (Deret Ukur)
•
Bentuk umum deret geometik dengan suku
ke-n
•
Dimana a adalah suku pertama dan r adalah
rasio
•
Jumlah n suku pertama deret geometrik Sn
1 n n
u
ar
(1
)
1
n
n
a
r
S
r
Deret Geometrik (Deret Ukur)
•
Rata-rata geometrik
– Rata-rata geometrik dari dua bilangan, P dan Q, adalah A sdrs
– Membentuk deret geometrik, sehingga
– Rata-rata geometrik dari dua bilangan adalah akar dari hasilkali kedua bilangan
P A Q
and so that
A Q A Q
r r
P A P A
2
giving
Deret Geometrik (Deret Ukur)
•
Rata-rata geometrik
– Penyisipan 3 rata-rata geometrik antara P dan Q sdrs membentuk deret geometrik
P A B C Q
4 4
so
Q Q
r r
P P
Pokok Bahasan
• Barisan
• Deret
• Deret aritmetik
• Deret geometrik
• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
• Deret tak berhingga
• Nilai-nilai limit
• Deret konvergen dan deret divergen
• Uji konvergensi
Deret Pangkat dari
Bilangan-bilangan Asli
•
Deret
•
Merupakan deret aritmetik dengan a=1
dan d=1, sehingga
1
1 2 3 4 5
n
r
n r
1
( 1)
(2 [ 1] )
2 2
n
r
n n n
r a n d
Deret Pangkat dari
Bilangan-bilangan Asli
•
Deret semisal
•
Dinotasikan
•
sehingga
2 2 2 2 2 2 2
1
1 2 3 4 5
n
r
n r
3 3 2
(r 1) r 3r 3r 1
3 3 2
1 1 1 1
( 1) 3 3 1
n n n n
r r r r
r r r r
Deret Pangkat dari
Bilangan-bilangan Asli
•
Jika dilanjutkan
3 3 3 3 3 2
1 1
( 1) ( 1) 1 3 3 and 1
n n
r r
r r n n n n n
2 3 2
1 1 1
( 1)
3 3 3 3 where
2
n n n
r r r
n n r r n n n n r
2 1( 1)(2 1) 6
n
r
n n n r
Deret Pangkat dari
Bilangan-bilangan Asli
•
Jumlah dari pangkat tiga-pangkat tiga
menggunakan identitas
2 3
1
( 1) 2
n
r
n n r
Pokok Bahasan
• Barisan
• Deret
• Deret aritmetik
• Deret geometrik
• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli • Deret tak berhingga
• Nilai-nilai limit
• Deret konvergen dan deret divergen
• Uji konvergensi
Deret Tak Berhingga
•
Deret tak berhingga
merupakan deret dengan
banyak sukunya tak
berhingga
•
Deret geometrik dengan
a=1 dan r=1/2 dengan
jumlah n suku pertama
1 1 1 1, , , ,
2 4 8
1 1 1
1 , , 2 4 8
1 1 1/ 2 1 1/ 2 2 1 1/ 2
n
n
n
S
Deret Tak Berhingga
•
Jika n sangat besar,
maka
1/
2nakan sangat
kecil dan mendekati nol
•
Dengan kata lain
•
Kita katakan limit Sn
seiring n mendekati tak
berhingga adalah 2
1
as so 0
2n
n
1
0 so 2(1 1/ 2 ) 2 2
n n
n S
2
n n
Lim S S
Deret Tak Berhingga
•
Terkadang deret tak
berhingga tidak
memiliki limit
•
Sebuah deret
aritmetik dengan a=1
dan d=2 :
1, 3, 5, 7,
2
1 3 5
7,
, 2
1
2
1 2
2
nS
n
n
n
n
2
as
n
so
S
n
n
n n
Lim S
S
Pokok Bahasan
• Barisan
• Deret
• Deret aritmetik
• Deret geometrik
• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
• Deret tak berhingga • Nilai-nilai limit
• Deret konvergen dan deret divergen
• Uji konvergensi
Nilai-nilai Limit
( ) ( ) n f n Lim g n Lim f nn ( ) 0 and Lim g nn ( ) 0
( ) and ( )
n n
Lim f n Lim g n
1
as n so 0
n
5 3 5 3/
dividing top and bottom by
2 7 2 7 /
5 0 2 0 5
n n
n n
Lim Lim n
Pokok Bahasan
• Barisan
• Deret
• Deret aritmetik
• Deret geometrik
• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
• Deret tak berhingga
• Nilai-nilai limit
• Deret konvergen dan deret divergen
• Uji konvergensi
Deret Konvergen dan Deret
Divergen
•
Suatu deret dimana jumlah (S
n) dari n
suku dari deret tersebut cenderung
mendekati suatu nilai tertentu, yaitu ketika,
disebut deret konvergen
•
Jika S
ntidak mendekati suatu nilai tertentu
ketika
, deret ini disebut deret
divergen
•
Uji konvergensi diperlukan jika sulit
mencari rumus untuk S
n
n
Pokok Bahasan
• Barisan
• Deret
• Deret aritmetik
• Deret geometrik
• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
• Deret tak berhingga
• Nilai-nilai limit
• Deret konvergen dan deret divergen • Uji konvergensi
Uji Konvergensi
•
Uji 1: Suatu deret tidak mungkin
konvergen terkecuali suku-sukunya
akhirnya mendekati nol; lebih tepatnya,
terkecuali
•
Jika
•
Maka
Sn
divergen jika
•
Pengecualian:
1 2 3
n n
S
u
u
u
u
n0
n
Lim u
n0
n
Lim u
1 1 1 1
1
2 3 4 n
S
n
1 0
n
Lim n
Uji Konvergensi
•
Uji 2: Uji Komparasi (
Comparasion Test
)
– Suatu deret yang terdiri dari suku-suku positif akan konvergen jika suku-sukunya lebih kecil daripada suku-suku padanannya dari suatu deret positif lain yang sudah diketahui
Uji Konvergensi
•
Uji 2:
– Konvergen jika p > 1
– Divergen jika p 1
1
1 1 1 1 1 1
1p 2p 3p 4p np r rp
1
1 1 1 1 1 1
1p 2p 3p 4p np r r p
Uji Konvergensi
• Uji 3: Uji rasio D’Alembert untuk suku
-suku
positif
•
Jika
merupakan deret dengan suku-suku positif
1 2 3 41
n r
r
u u u u u u
1 1 11, the series converges
1, the series diverges
1, the series may converge or diverge
Pokok Bahasan
• Barisan
• Deret
• Deret aritmetik
• Deret geometrik
• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
• Deret tak berhingga
• Nilai-nilai limit
• Deret konvergen dan deret divergen
• Uji konvergensi
Deret Secara Umum
Konvergensi Mutlak
•
Jika deret
konvergen, maka deret
sangat mungkin tidak konvergen
•
Jika
deret konvergen, maka
dipastikan konvegen
•
Jika
konvergen, maka deret
dikatakan
konvergen mutlak
•
Jika
tidak konvergen, tapi
Hasil Pembelajaran
• Menggunakan deret aritmetik dan deret geometrik
• Menggunakan deret pangkat dan bilangan-bilangan asli
• Menentukan nilai limit dari deret aritmetik dan deret geometrik
• Menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tak tentu yang sederhana
• Menerapkan berbagai uji konvergensi pada deret tak berhingga