• Tidak ada hasil yang ditemukan

Matematika Industri 1 TIP – FP – UB

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Membagikan "Matematika Industri 1 TIP – FP – UB"

Copied!
35
0
0

Teks penuh

(1)

DERET

(2)

Pokok Bahasan

• Barisan

• Deret

• Deret aritmetik

• Deret geometrik

• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli

• Deret tak berhingga

• Nilai-nilai limit

• Deret konvergen dan deret divergen

• Uji konvergensi

(3)

Pokok Bahasan

• Barisan

• Deret

• Deret aritmetik

• Deret geometrik

• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli

• Deret tak berhingga

• Nilai-nilai limit

• Deret konvergen dan deret divergen

• Uji konvergensi

(4)

Barisan

Barisan

– Suatu set kuantitas, u1, u2, u3, …, yang

dinyatakan dalam suatu urutan dan setiap sukunya terbentuk menurut pola tertentu, dengan kata lain ur = f (r)

– Barisan berhingga hanya mengandung suku-suku yang berhingga banyaknya

(5)

Pokok Bahasan

• Barisan • Deret

• Deret aritmetik

• Deret geometrik

• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli

• Deret tak berhingga

• Nilai-nilai limit

• Deret konvergen dan deret divergen

• Uji konvergensi

(6)

Deret

Suatu deret dibentuk oleh jumlah dari

suku-suku suatu barisan

Jika

u

1

, u

2

, u

3

, …

adalah barisan, maka

merupakan deret

1 1

2 1 2

3 1 2 3

1 2 3

n n

S u

S u u

S u u u

S u u u u

 

  

(7)

Pokok Bahasan

• Barisan

• Deret

• Deret aritmetik

• Deret geometrik

• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli

• Deret tak berhingga

• Nilai-nilai limit

• Deret konvergen dan deret divergen

• Uji konvergensi

(8)

Deret Aritmetik (Deret Hitung)

• Suku ke-n suatu deret aritmetik didefinisikan sebagai:

• Dimana a adalah suku pertama dan d adalah beda.

• Jumlah dari n suku pertama deret aritmetik Sn

adalah:

(

1)

n

u

 

a

n

d

2 [ 1]

2

n

n

(9)

Deret Aritmetik (Deret Hitung)

Rata-rata aritmetik

– Rata-rata aritmetik dua bilangan P dan Q adalah sebuah bilangan A sdrs

– Membentuk deret aritmetik, sehingga

– Rata-rata aritmetik dari dua bilangan adalah rata-rata kedua bilangan tersebut

P  A Q

and so that

A P d Q  A d A  P Q A

2 giving

(10)

Deret Aritmetik (Deret Hitung)

Rata-rata aritmetik

– Penyisipan tiga rata-rata aritmetik, A, B, dan C, diantara dua bilangan P dan Q sdrs

– Membentuk deret aritmetik, maka

P    A B C Q

4 so

4

Q P

Q  P d d  

4

2 3

4

Q P

A P

Q P

B P

Q P

C P

  

  

(11)

Pokok Bahasan

• Barisan

• Deret

• Deret aritmetik • Deret geometrik

• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli

• Deret tak berhingga

• Nilai-nilai limit

• Deret konvergen dan deret divergen

• Uji konvergensi

(12)

Deret Geometrik (Deret Ukur)

Bentuk umum deret geometik dengan suku

ke-n

Dimana a adalah suku pertama dan r adalah

rasio

Jumlah n suku pertama deret geometrik Sn

1 n n

u

ar

(1

)

1

n

n

a

r

S

r

(13)

Deret Geometrik (Deret Ukur)

Rata-rata geometrik

– Rata-rata geometrik dari dua bilangan, P dan Q, adalah A sdrs

– Membentuk deret geometrik, sehingga

– Rata-rata geometrik dari dua bilangan adalah akar dari hasilkali kedua bilangan

P  A Q

and so that

A Q A Q

r r

PAPA

2

giving

(14)

Deret Geometrik (Deret Ukur)

Rata-rata geometrik

– Penyisipan 3 rata-rata geometrik antara P dan Q sdrs membentuk deret geometrik

P    A B C Q

4 4

so

Q Q

r r

P   P

(15)

Pokok Bahasan

• Barisan

• Deret

• Deret aritmetik

• Deret geometrik

• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli

• Deret tak berhingga

• Nilai-nilai limit

• Deret konvergen dan deret divergen

• Uji konvergensi

(16)

Deret Pangkat dari

Bilangan-bilangan Asli

Deret

Merupakan deret aritmetik dengan a=1

dan d=1, sehingga

1

1 2 3 4 5

n

r

n r

      

1

( 1)

(2 [ 1] )

2 2

n

r

n n n

r a n d

   

(17)

Deret Pangkat dari

Bilangan-bilangan Asli

Deret semisal

Dinotasikan

sehingga

2 2 2 2 2 2 2

1

1 2 3 4 5

n

r

n r

      

3 3 2

(r 1)  r  3r  3r 1

3 3 2

1 1 1 1

( 1) 3 3 1

n n n n

r r r r

r r r r

   

      

 

(18)

Deret Pangkat dari

Bilangan-bilangan Asli

Jika dilanjutkan

3 3 3 3 3 2

1 1

( 1) ( 1) 1 3 3 and 1

n n

r r

r r n n n n n

 

          

 

2 3 2

1 1 1

( 1)

3 3 3 3 where

2

n n n

r r r

n n r r n n n n r

         

2 1

( 1)(2 1) 6

n

r

n n n r

 

(19)

Deret Pangkat dari

Bilangan-bilangan Asli

Jumlah dari pangkat tiga-pangkat tiga

menggunakan identitas

2 3

1

( 1) 2

n

r

n n r

 

 

(20)

Pokok Bahasan

• Barisan

• Deret

• Deret aritmetik

• Deret geometrik

• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli • Deret tak berhingga

• Nilai-nilai limit

• Deret konvergen dan deret divergen

• Uji konvergensi

(21)

Deret Tak Berhingga

Deret tak berhingga

merupakan deret dengan

banyak sukunya tak

berhingga

Deret geometrik dengan

a=1 dan r=1/2 dengan

jumlah n suku pertama

1 1 1 1, , , ,

2 4 8

 

1 1 1

1 , , 2 4 8

1 1 1/ 2 1 1/ 2 2 1 1/ 2

n

n

n

S     

 

(22)

Deret Tak Berhingga

Jika n sangat besar,

maka

1

/

2n

akan sangat

kecil dan mendekati nol

Dengan kata lain

Kita katakan limit Sn

seiring n mendekati tak

berhingga adalah 2

1

as so 0

2n

n   

1

0 so 2(1 1/ 2 ) 2 2

n n

nS   

2

n n

Lim S S

(23)

Deret Tak Berhingga

Terkadang deret tak

berhingga tidak

memiliki limit

Sebuah deret

aritmetik dengan a=1

dan d=2 :

1, 3, 5, 7,

2

1 3 5

7,

, 2

1

2

1 2

2

n

S

n

n

n

n

   

2

as

n

 

so

S

n

n

 

n n

Lim S

S

(24)

Pokok Bahasan

• Barisan

• Deret

• Deret aritmetik

• Deret geometrik

• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli

• Deret tak berhingga • Nilai-nilai limit

• Deret konvergen dan deret divergen

• Uji konvergensi

(25)

Nilai-nilai Limit

( ) ( ) n f n Lim g n

 Lim f nn ( )  0 and Lim g nn ( )  0

( ) and ( )

n n

Lim f n Lim g n

     

1

as n so 0

n

  

5 3 5 3/

dividing top and bottom by

2 7 2 7 /

5 0 2 0 5

n n

n n

Lim Lim n

(26)

Pokok Bahasan

• Barisan

• Deret

• Deret aritmetik

• Deret geometrik

• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli

• Deret tak berhingga

• Nilai-nilai limit

• Deret konvergen dan deret divergen

• Uji konvergensi

(27)

Deret Konvergen dan Deret

Divergen

Suatu deret dimana jumlah (S

n

) dari n

suku dari deret tersebut cenderung

mendekati suatu nilai tertentu, yaitu ketika,

disebut deret konvergen

Jika S

n

tidak mendekati suatu nilai tertentu

ketika

, deret ini disebut deret

divergen

Uji konvergensi diperlukan jika sulit

mencari rumus untuk S

n

n

(28)

Pokok Bahasan

• Barisan

• Deret

• Deret aritmetik

• Deret geometrik

• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli

• Deret tak berhingga

• Nilai-nilai limit

• Deret konvergen dan deret divergen • Uji konvergensi

(29)

Uji Konvergensi

Uji 1: Suatu deret tidak mungkin

konvergen terkecuali suku-sukunya

akhirnya mendekati nol; lebih tepatnya,

terkecuali

Jika

Maka

Sn

divergen jika

Pengecualian:

1 2 3

n n

S

 

u

u

u

u

 

n

0

n

Lim u



 

n

0

n

Lim u



1 1 1 1

1

2 3 4 n

S

n

      1 0

n

Lim n

(30)

Uji Konvergensi

Uji 2: Uji Komparasi (

Comparasion Test

)

– Suatu deret yang terdiri dari suku-suku positif akan konvergen jika suku-sukunya lebih kecil daripada suku-suku padanannya dari suatu deret positif lain yang sudah diketahui

(31)

Uji Konvergensi

Uji 2:

– Konvergen jika p > 1

– Divergen jika p  1

1

1 1 1 1 1 1

1p 2p 3p 4p np r rp

      

1

1 1 1 1 1 1

1p 2p 3p 4p np r r p

(32)

Uji Konvergensi

• Uji 3: Uji rasio D’Alembert untuk suku

-suku

positif

Jika

merupakan deret dengan suku-suku positif

1 2 3 4

1

n r

r

u u u u u u

        

1 1 1

1, the series converges

1, the series diverges

1, the series may converge or diverge

(33)

Pokok Bahasan

• Barisan

• Deret

• Deret aritmetik

• Deret geometrik

• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli

• Deret tak berhingga

• Nilai-nilai limit

• Deret konvergen dan deret divergen

• Uji konvergensi

(34)

Deret Secara Umum

Konvergensi Mutlak

Jika deret

konvergen, maka deret

sangat mungkin tidak konvergen

Jika

deret konvergen, maka

dipastikan konvegen

Jika

konvergen, maka deret

dikatakan

konvergen mutlak

Jika

tidak konvergen, tapi

(35)

Hasil Pembelajaran

• Menggunakan deret aritmetik dan deret geometrik

• Menggunakan deret pangkat dan bilangan-bilangan asli

• Menentukan nilai limit dari deret aritmetik dan deret geometrik

• Menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tak tentu yang sederhana

• Menerapkan berbagai uji konvergensi pada deret tak berhingga

Referensi

Dokumen terkait

Malice turned triumphantly on SiNafay, but the matron mother of House Hun’ett still sat relaxed and unconcerned.. “Then why is she here?” Malice cried, her tone edged in

Berkaitan dengan perkembangan lembaga keuangan syariah itulah, keberadaan DSN beserta produk hukumnya mendapat legitimasi dari BI yang merupakan lembaga negara

The drying rate constants derived from fitting the experi- mental data with Page’s model were four times higher when the drying temperatures were increased from 40 ∘ C to 60 ∘ C

Tabel Top Brand Index Kategori Notebook/Laptop/Netbook..

Melihat hasil yang diperoleh dari percobaan ini, ternyata bahwa semua mencit hibrid hasil persilangan antara mencit betina C3H yang herfrekwensi tumor mamma tinggi

Menyusun daftar pertanyaan atas hal-hal yang belum dapat dipahami dari kegiatan mengmati dan membaca yang akan diajukan kepada guru berkaitan dengan materi Dampak pembakaran

Berbeda dengan steganografi yang tujuannya adalah menyembunyikan data ke dalam sebuah media yang lain, sehingga data tersebut tidak terlihat.. Pada aplikasi steganografi

Insidens INAD pada bayi baru lahir yaitu 34,8 infeksi per 100 pasien baru atau 50 infeksi per 1000 kelahiran dengan case fatality rate 27,4% dari seluruh kasus INAD (2) Infeksi