Toori Bilangan (modul 03) | Dwipurnomoikipbu's Blog bab iii kongruensi

(1)

BAB III KONGRUENSI

3.1 Pengertian

Jika kita berbicara konsep kongruensi sebenarnya hal ini secara

tidak langsung sudah didapatkan pada pelajaran matematika Sekolah

Dasar, hanya saja istilah yang digunakan sedikit berbeda yaitu bilangan

jam atau bilangan bersisa. Cara yang dilakukan biasanya diperagakan

dengan menggunakan jam sebagi media dalam operasi yang berlaku, baik

jumlah maupun pengurangan. Dalam bilangan jam enaman, jika

dioperasikan dengan menggunakan jam maka bilangan bulat yang

digunakan adalah 0, 1, 2, 3, 4, dan 5. Sedangkan bilangan bulat lainnya

dapat direduksi yaitu dengan cara membagi bilanmgan tersebut dengan

6 dan bilangan yang digunakan adalah sisa dari pembagian tersebut.

Contoh:

14 dalam jam enaman dapat direduksi menjadi 2, karena 14 jika dibagi 6

bersisa 2.

bersisa 3.

bersisa 1.

dan seterusnya.

Berdasarkan proses reduksi dan operasi yang ada pada bilangan jam,

(2)

14

_

2 karena jika 14 dibagi 6 bersisa 2

21

_

61

_

Pernyataan di atas dapat pula dinyatakan dengan

14

_

2 karena 14 – 2 = 12 dan 12 habis dibagi 6

21

_

3 karena 21 – 3 = 18 dan 18 habis dibagi 6

61

_

1 karena 61 – 1 = 60 dan 60 habis dibagi 6.

Berdasarkan contoh di atas terlihat bahwa sesungguhnya konsep

kongruensi adalah pengkajian secara lebih mendalam tentang

keterbagian pada bilangan bulat dan sifat-sifatnya yang telah dipelajari

pada bab II, atau dapat pula dikatakan bahwa kongruensi adalah cara lain

untuk mengkaji keterbagian dalam bilangan bulat. Untuk jelasnya

perhatikan definisi dan teorema di bawah ini.

Definisi 3.1

Misal a, b, m

 Z dan m



0, maka a disebut kongruen dengan b modulo

m jika a-b habis dibagi oleh m, yaitu m│a – b. Pernyataan ini dinotasikan a



b (mod m).

Jika m ┼ (a-b) maka dinotasikan dengan a



∕ b (mod m).

Contoh:

7



2 ( mod 5), karena 5│(7-2)

34



4 ( mod 10), karena 10│(34-4)

17



1 ( mod 4), karena 4│(17-1)

(3)

11



∕ 4 (mod 9), karena 9 ┼ (11-4)

Dengan demikian sebenarnya istilah kongruensi sering muncul dalam

kehidupan di sekitar kita. Misalnya kerja kalender yang kita gunakan

dalam tahun Masehi menggunakan bilangan bulat modulo 7 karena dalam

satu minggu terdapat 7 hari, kerja arloji menggunakan bilangan bulat

modulo 12 karena waktu yang ada dalam jam yaitu jam 01.00 – 12.00.

Banyaknya bulan dalam satu tahun menggunakan bilangan bulat modulo

12, pasaran hari dalam satu minggu menggunakan bilangan bulat modulo

5 karena terdapat pasaran hari pon, wage, kliwon, legi, pahing dan masih

banyak lagi contoh-contoh penggunaan kongruensi yang secara tidak

langsung ada disekitar kita.

Dalil 3.1

Misal a,b,c,  Z, dan m  N, maka berlaku sifat-sifat simetris, refleksif,

dan transitip.

a. Refleksif

a



a (mod m)

b. Simetris

Jika a



b (mod m) maka b



a.(mod m)

c. Transitif

Jika a



b (mod m) maka b



c (mod m)m, maka a



c (mod m)

Bukti

a. Misal m



0, maka m│0.

(4)

Karena m │(a-a), hal ini menurut definisi a



a (mod m), untuk setiap

bilangan bulat a dan m



0.

Cara lain

a



a (mod m), sebab a-a = 0 dan m│0.

b. a



b (mod m), menurut definisi berarti m│a-b, sedangkan menurut

definisi keterbagian m│a-b, dapat dinyatakan sebagai (a-b) = tm,

untuk t  Z.

(a-b) = tm  -(a-b) = -tm

 (b-a) = (-t)m, -t  Z.

 m │(b-a) atau b



a (mod m)

c. a



b (mod m) berarti m │(b-a)

b



c (mod m) berarti m │(b-c)

Menurut dalil keterbagian

m │(b-a) dapat dinyatakan dengan a-b = t1m

m │(b-c) dapat dinyatakan dengan b-c = t2m

--- +

(a-c) = (t1+t2)m, untuk t1,t2  Z

Jadi m │(a-c) atau a ≡ c(mod m)

Teorema 3.1

Misal a,b,c,d  Z dan m  N, maka

1. Jika a



b (mod m) maka ac



bc (mod m)

Bukti

(5)

Menurut definisi keterbagian bilangan bulat berlaku

(a-b) = tm, t Z.

 (a-b)c = (tm)c.

 ac – bc = (tc)m

 ac – bc = xm, x Z.

Karena ac-bc = xm, berarti m │ (ac-bc) atau ac = bc (mod m)

2. Jika a



b (mod m) maka a+c



b+c (mod m)

Bukti

a



b (mod m) berarti m │(a-b)

Menurut definisi keterbagian bilangan bulat berlaku

(a-b) = tm, t Z.

 (a-b) + 0 = (tm)

 (a-b) + (c-c) = (tm)

 (a+c) – (b+c) = (tm)

Karena (a+c) – (b+c) = tm, berarti m │ (a+c) – (b-c) atau a+c = b+c

(mod m)

3. Jika a



b (mod m) dan c



d (mod m) maka a+c



b+d (mod m)

Bukti

a



c



d (mod m) berarti m │(c-d)

m │(c-d) dapat dinyatakan dengan c-d = t2m

(6)

(a+c) - (b+d) = (t1+t2)m, untuk t1,t2  Z

Jadi m │(a+c) - (b+d) atau a+c ≡ b+d (mod m)

4. Jika a



b (mod m) dan c



d (mod m) maka a-c



b-c (mod m)

Bukti

a



c



--- -

(a-c) - (b-d) = (t1-t2)m, untuk t1,t2  Z

Jadi m │(a-c) - (b-d) atau a-c ≡ b-d (mod m)

5. Jika a



b (mod m) dan d │m, d > 0, maka a



b (mod d)

Bukti

Karena a



b (mod m) maka m │m-b

Jika m │a-b dan d │m, berarti d │a-b , d > 0.

Karena d │a-b berati a



b (mod d)

6. Jika a



b (mod m) dan c



d (mod m) maka

ax + by = bx + dy (mod m), untuk x,y  Z.

Bukti

a



c



(7)

 (a-b)x = (t1m)x, x Z

 (c-d)y = (t2m)y, y Z

--- +

(a-b)x + (c-d)y = {(t1m)x+ (t2m)y}, x,y Z

atau (ax +cy) – (bx+dy) = {(t1x)+ (t2y)}m, {(t1x)+ (t2y)} Z

atau m │(ax +cy) – (bx+dy) = atau (ax +cy) ≡ (bx+dy) (mod m)

7. Jika a



b (mod m) dan c



d (mod m) maka ac = bd (mod m)

Bukti

a



c



 (a-b)c = (t1m)c, c Z atau (ac – bc) = (t1m)c, c Z

 (c-d)b = (t2m)b, b Z atau (cb – db) = (t2m)b, b Z

--- +

(ac-bd) = (t1m)c + (t2m)b, a,b Z.

 (ac-bd) = (t1c + t2b)m, (t1c + t2b) Z.

atau m │(ac – bd ) atau (ac) ≡ (bd) (mod m)

8. Jika a

_

b (mod m) maka an_{= b}n_{(mod m)}

Bukti

a



(8)

m │(b-a) dapat dinyatakan dengan a-b = tm

Selanjutnya kita mengetahui bahwa

an_{– b}n_{= (a-b)(a}n-1_{+ a}n-2_{b + a}n-3_b2_{+ ... + b}n-1₎

Karena a-b │ a-b , maka

a-b │ an_{– b}n _{, atau}

a-b │(a-b)(an-1_{+ a}n-2_{b + a}n-3_b2_{+ ... + b}n-1₎

Menurut dalil keterbagian:

Jika m │a-b dan a-b │ an_{– b}n _{, maka a-b}_│_an_{– b}n

Jadi a-b │ an_{– b}n _{atau a}n



_bn _{(mod m)}

Dalil 3.2

Andaikan f adalah suatu polinomial dengan koefisien-koefisien

bilangan bulat, Jika Jika a



b (mod m), maka f(a)



f(b) (mod m).

Bukti

Misal f(x) = tnxn + tn-1xn-1 + tn-2xn-2 + tn-3xn-3 + ... + t1x + to

Dengan tn, tn-1, tn-2, tn-3, t1x, to



Z.

Jika x = a maka f(a) = tnan + tn-1an-1 + tn-2an-2 + tn-3an-3 + ... + t1a + to

Jika x = b maka f(b) = tnbn + tn-1bn-1 + tn-2bn-2 + tn-3bn-3 + ... + t1b + to

--- -

f(a) – f(b) = tn(an - bn ) + tn-1(an-1 - bn-1 ) + tn-2(an-3 –bn-3) + ...

+ t1(a-b)

Dengan menggunakan sifat sebelumnya diperoleh

a



b (mod m) atau m │a-b sehingga m │t1(a-b)

a2



_b2_{(mod m) atau m}_│_a2_-b2_{sehingga m}_│_t

(9)

a3



3(a2-b2)

a4



4(a4-b4)

...

an



_bn_{(mod m) atau m}_│_an_-bn_{sehingga m}_│_t

n(an-bn)

Dengan menggunakan definisi keterbagian pada bilangan bulat maka:

m │tn(an-bn) + tn-1(an-1-bn-1) + tn-2(an-2-bn-2) + tn-3(an-3-bn-3) + ... + t1(a1-b1),

hal ini berarti

m │f(a) – f(b) atau f(a)



f(b) (mod m)

Perhatikan beberapa contoh berikut ini!

1. 41



1 (mod 8) hal ini berarti 8 │ (41-1) atau 8 │40. Dengan kasus

yang sama maka 8│ (1- 41) atau 8 │ - 40, sehingga 1



41 (mod 8).

2. Karena 0 habis dibagi oleh sebarang bilangan bulat m, dan 0 dapat

diperoleh dari hasil pengurangan sebarang dua bilangan yang sama,

maka dapat ditentukan

- 3│0



3 │5-5



5



5 (mod 3)

- 7│0



7 │9-9



7



7 (mod 9)

- 11│0



11 │20



20



20 (mod 9)

3. 25



11 (mod 7), karena 7 │25-11 atau 7 │14.

99



1 (mod 44), karena 44 │99-1 atau 44 │98

4. 26



1 (mod 5), karena 5 │26-1 atau 5│25

5 │25



5 │3.25



5 │10.25



5 │11.25



5 │100.25

Apakah 7 │2(30-2)

(10)

Apakah 2.30

_

2.2 (mod 7)

Apakah 10.30

_

10.2 (mod 7)

5. 26



1 (mod 5), karena 5 │26-1 atau 5│25

36



1 (mod 5), karena 5 │36-1 atau 5│35

Apakah 5 │26+36 atau 5│1+1

Apakah 5 │(26+36) – (1+1) atau apakah 5 │62 –2

6. 13



3 (mod 5), karena 5 │13 –3

7



2 (mod 5), karena 5 │7–2, Apakah 91



6 (mod 5)

Jika kita perhatikan contoh di atas nampak bahwa dalam kongruensi

berlaku sifat-sifat yang sama dalam pembagian bilangan bulat

3.2 Sistem Residu

Untuk membahas pengertian sistem residu, perlu diingat kembali

tentang algoritma pembagian. Menurut teorema algoritma pembagian

terdapat bilangan bulat q dan r sehingga untuk setiap bilangan bulat a

dan m berlaku hubungan a = qm +r, dengan 0 ≤ 0 < r. Selanjutnya

persamaan a = qm + r dapat dinyatakan dalm bentuk kongruensi a



q

(mod m) Akibatnya, setiap bilangan bulat a kongruen modulo m dengan

salah satu bilangan bulat berikut: 0, 1, 2, 3, ... , m-1. Dengan demikian

jelaslah bahwa tidak ada sepasangpun dari bilangan-bilangan 0, 1, 2,

3, ... , m-1 yang kongruen satu sama lain. Maka m buah bilangan

tersebut dapat membentuk suatu sistem residu lengkap modulo m.

Definisi 3.3

(11)

2. Misal A = { x1, x2, x3, ... , xm }, disebut suatu sistem residu modulo m

yanglengkap jika dan hanya jika untuk setiap y (0 y <m}terdapat

satu dan hanya satu xi sedemikian sehingga y



xi (mod m) atau xi



y

(mod m) y

Contoh

1. {6, 7, 8, 9, 10} adalah suatu sistem residu modulo 5 yang lengkap

sebab untuk setiap

y dan (0 y <5 ) terdapat hubungan

10

_

0(mod 5)

9

_

4 (mod 5)

8

_

3 (mo 5)

7

_

2(mod 5)

6

_

1(mod 5)

2. {-5, 10, 27} adalah bukan suatu sistem residu modulo 5 yang lengkap

sebab:

10

_

1(mod 3)

27

_

0 (mod 3)

-5



/

1 (mod 3)

3. {4, 25, 82, 107} adalah suatu sistem residu modulo 4 yang lengkap

sebab untuk setiap

y dan (0 y <4 ) terdapat hubungan

4



0(mod 4)

(12)

82

_

2 (mo 5)

107

_

3(mod 5)

6

_

1(mod 5)

Misal diberikan kongruensi 5

_

2 (mod 3).

Bilangan-bilangan bulat yang bersisa 2 jika dibagi 3 adalah

2, (2  3), (2 2.3), (2 3.3), (2 4.3), ... , (2 (m-1).3),

= 2, 5, 8, 11, 14, ....

= ..., -10, -7, -4, -1, 2, ...

Jika keduanya digabungan didapat himpunan

{ ...., -10, -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, ... }

disebut sebagai himpunan residu (kongruen) 2 modulo 3 yang

dilambangkan dengan [ 2 ], sehingga:

[ 2 ] = { ...., -10, -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, ... }

Untuk modulo 3 terdapat tiga himpunan residu, yaitu:

[ 0 ] = { ...., -12, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, .... }

[ 1 ] = { ...., -11, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 8 , ... }

[ 2 ] = { ...., -10, -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, ... }

Ketiga himpunan residu modulo 3 membentuk suatu klas residu modulo 3

yaitu

{ [ 0 ], [ 1 ], [ 2 ] }

Dengan demikian untuk sebarang m  Z dan m > 0, terdapat (m-1)

himpunan residu modulo m dan kelas residu modulo m yang mempunyai

(m-1) anggota, yaitu:

(13)

Dengan demikian untuk sebarang x,r

 Z dan 0

 r < m, maka

nilai-nilai x yang memenuhi hubungan x ≡ r (mod m) membentuk barisan

aritmatika sebagai berikut:

..., r-4m, 2-3m, r-2m, 2-m, r, r+m, r+2m, r+3m, ...

Dalil 3.2

Jika b ≡ c (mod m), maka (b,m) = (c,m)

Bukti.

Karena b ≡ c (mod m) berarti m │ b-c

Berdasarkan teorema sebelumnya dalam keterbagian, sehingga:

Bila (b,m) │m dan m │ b-c maka (b,m) │b-c

Bila (b,m) │b dan (b,m) │ b-c maka (b,m) │c.

Jadi bila (b,m) │m dan (b,m) │c maka (b,m) adalah pembagi persekutuan

m dan c.

Hal ini berarti (b,m)│(c,m). ...(1)

c



b (mod m) berarti m │c-b

Berdasarkan teorema sebelumnya dalam keterbagian, sehingga:

Bila (c,m) │m dan m │ c-b maka (c,m) │c-b

Bila (c,m) │c dan (c,m) │ c-b maka (c,m) │b.

Jadi bila (c,m) │m dan (c,m) │b maka (c,m) adalah pembagi persekutuan

m dan b.

Hal ini berarti (c,m)│(b,m). ...(2)

(14)

Definisi 3.4

Misal { x1, x2, x3, x4, ..., xk}, selanjutnya himpunan tersebut dinamakan

sistem residu modulo m yang tereduksi jika:

1. (xi,m) = 1

2. xi



/ xj (mod m) untuk setiap i



j.

3. Jika (y,m) = 1 maka y

_

xi (mod m) untuk i = 1,2,3, .... k, 0  y <

m

Contoh

1. {1,5} adalah suatu sistem residu modulo 6 yang tereduksi, karena

a. (1,6) = 1 dan (5,6) =1

b. 5

_

/ 1 (mod 6)

c. (7,6) =1 sehingga 7

_

1 (mod 6)

(11,6) = 1 sehingga 11

_

5 (mod 6)

(13,6) = 1 sehingga 13

_

7 (mod 6)

2. {17,19} juga merupakan suatu sistem residu modulo 6 tereduksi.

Sistem ini dapat diperoleh dari sistem residu modulo 6 yang lengkap ,

dengan mengambil atau membuang anggota-anggotanya yang tidak

relatip prima dengan 6.

{17, 30, 44, 91, -3, -14} adalah sistem residu lengkap modulo 6.

Anggota sistem yang tidak relatip prima dengan 6 adalah 30, 44, -3,

-14. Setelah bilangan yang tidak relatip prima dengan 6 dibuang

diperoleh 17 dan 91, sehingga (17,91) merupakan suatu sistem residu

(15)

Ambil sistem residu modulo 6 lengkap yang lain, misalny {24, 49, 74,

33, 58, 83}. Dari himpunan tersebut yang tidak relatip prima dengan 6

adalah 24, 74, 33, dan 58, sehingga yang relatip prima dengan 6

adalah 49 dan 83.

Dengan demikian terlihat bahwa {49, 83} merupakan suatu sistem

residu modulo 6 yang terduksi.

Berdasarkan contoh 2 di atas, jelaslah bahwa suatu sistem residu

tereduksi modulo m dapat diperoleh dengan cara menghapus beberapa

anggota sistem residu lengkap modulo m yang tidak relatip prima dengan

m. Selanjutnya dapat diperhatikan bahwa semua sistem residu tereduksi

modulo m akan mempunyai banyak anggota yang sama, yaitu suatu

bilangan yang biasanya disimbulkan dengan fungsi  -Euler.

Teorema 3.2

1. Bilangan  (m) merupakan banyaknya biangan bulat positip kurang

dari atau sama dengan m yang relatif prima denganm.

2. Diberikan (a,m) = 1

Jika r1, r2, r3, ... rn sebagai sistem residu lengkap modulo m, maka ar1,

ar2, ar3, ... arn juga merupakan sistem residu lengkap modulo n.

Bukti

Menurut teorem keterbagian

Jika (a,m) = 1 maka (ar,m) = 1

Banyaknya bilangan ar1, ar2, ar3, ... arn sama dengan r1, r2, r3, ... rn.

(16)

ari



/ arj (mod m), bila i



j.

Akan tetapi menurut teorema yang lain terlihat bahwa ari



arj (mod m),

dan (a,m) = 1.

Dengan demikian haruslah i = j.

Dalil 3.3

Jika (a,m) = 1, maka a (m)



_{1 (mod m)}

Contoh

1. Untuk m = 4,  (4) = 2

2. Untuk m = 25,  (25) = 20

3. Untuk m = 3,  (3) = 2

4. Untuk m = 10,  (10) = 4

5. Tentukan 0  x < 5 sedemikiam sehingga 9101



_{x (mod 5)}

Jawab.

Untuk m = 5, maka  (5) = 4 sehingga

94



_{x (mod 5)}



_{1 (mod 5)}

9101_{= 9}100_.9 1



₍₉4₎25_{.9 (mod 5)}



9 (mod 5)



4 (mod 5)

diperoleh x = 4.

6. Tentukan 0  x < 19 sedemikiam sehingga 43200



_{p (mod 19)}

Jawab.

Untuk m = 19, maka  (19) = 18 sehingga

4319



_{p (mod 5)}



_{1 (mod 19) karena (43,19) = 1}

(17)

_

1. 43.43 (mod 19)

_

1.5.5 (mod 19)

_

6 (mod 19)

diperoleh p = 6.

7. Carilah angka terakhir dari 2 500_.

Jawab

Untuk menentukan angka terakhir dari 2 500_{. maka persoalan di atas}

harus dipangang sebagai y

_

x (mod 10)

 y

_

x (mod 2) dan y

_

x (mod 5)

2

_

0 (mod 2), sehingga 2 500



_{0 (mod 2)}

 (5) = 4 dan 5 ┼ 2 maka 2 4



_{1 (mod 5)}

2 500



₍₂4₎125



_{1 (mod 5)}

2 500



_{0 (mod 2)}_→₂500



_{6 (mod 2)}

2 500



_{1 (mod 5)}_→₂500



_{6 (mod 5)}

2 500



_{6 (mod 2) dan 2}500



_{6 (mod 5), maka}

2 500



_{0 (mod 2.5) atau 2}500



_{6 (mod 10).}

Jadi angka terakhir dari 2 500 _{adalah 6.}

8. Carilah angka terakhir dari 3600_.

Jawab

Untuk menentukan angka terakhir dari 3 600_{. maka persoalan di atas}

harus dipangang sebagai y



x (mod 10)

 y



x (mod 2) dan y



x (mod 5)

3



1 (mod 2), sehingga 3 600



_{1 (mod 2)}

(18)

3 500



₍₃4₎150



_{1 (mod 5)}

3 600



_{1 (mod 2) dan 3}600



_{1 (mod 5)}

3 600



_{1 (mod 2.5) atau 3}600



_{1 (mod 10).}

(19)

4.3 Kongruensi Linear

Kongruensi mempunyai beberapa sifat yang sama dengan persamaan

dalam Aljabar. Dalam Aljabar, masalah utamanya adalah menentukan

akar-akar persamaan yang dinyatakan dalam bentuk f(x) = 0, f(x) adalah

polinomial. Demikian pula halnya dengan kongruensi, permasalahannya

adalah menentukan bilangan bulat x sehingga mememnuhi kongruensi

f(x)

_

0 (mod m)

Definisi

Jika r1, r2, r3, ... rm adalah suatu sistem residu lengkap modulo m.

Banyaknya selesaian dari kongruensi f(x)

_

0 (mod m) adalah banyaknya

ri sehingga f(ri)



0 (mod m)

Contoh:

1. f(x) = x3_{+ 5x – 4}



_{0 (mod 7)}

Jawab

Selesaiannya adalah x = 2, karena

f(2) = 23_{+ 5(2) – 4 = 14}



_{0 (mod 7)}

(20)

Untuk mendapatkan selesaian kongruensi di atas adalah dengan

mensubstitusi x dari 0, 1, 2, 3, ...., (m-1).

2. x3_{–2x + 6}



_{0 (mod 5)}

Jawab

Selesaiannya adalah x = 1 dan x = 2, sehingga dinyatakan dengan

x

_

1 (mod 5) dan x

_

2 (mod 5).

3. x2_{+ 5}



_{0 (mod 11)}

Jawab

Tidak mempunyai selesaian, karena tidak ada nilai x yang memenuhi

kongruensi tersebut.

Bentuk kongruensi yang paling sederhana adalah kongruensi yang

berderajat satu dan disebut dengan kongruensi linear. Jika dalam aljabar

kita mengenal persamaan linear yang berbentuk ax = b, a



0, maka

dalam teori bilangan dikenal kongruensi linear yang mempunyai bentuk

ax

_

b (mod m).

Definisi

Kongruensi sederhana berderajat satu atau yang disebut kongruensi linear

mempunyai bentuk umum ax

_

b (mod m), dengan a,b,m  Z , a



0,

(21)

Kongruensi sederhana berderajat satu atau yang disebut kongruensi linear

selesaian. Jika (a,m) = 1, maka kongruensi linear ax

_

b (mod m) hanya

mempunyai satu selesaian.

Bukti.

Kongruensi linear ax



b (mod m) mempunyai selesaian, berarti m │ax –

(22)

d

maka sebarang selesaiannya berbentuk x = xo + k. d

dimana seluruhnya memenuhi kongruensi dan seluruhnya mempunyai d

selesaian.

Hanya mempunyai 1 selesaian yaitu x



9 (mod 12)

2. 6x



9 (mod 15)

Jawab

Karena (6,15) = 3 atau 6 dan 15 tidak relatif prima dan 3│ 9, maka

kongruensi di atas mempunyai 3 selesaian (tidak tunggal).

(23)

x

_

9 (mod 15), x

_

9 (mod 15), dan x

_

14 (mod 15).

3. 12x

_

2 (mod 18)

Jawab

Karena (18,12) = 4 dan 4 ┼ 2, maka kongruensi 12x



2 (mod 18)

tidak mempunyai selesaian.

4. 144x



216 (mod 360)

Jawab

Karena (144,360) = 72 dan 72│ 216, maka kongruensi 144x



216

(mod 360) mempunyai 72 selesaian.

Selesaian tersebut adalah x



4 (mod 360), x



14 (mod 360), .... , x



359 (mod 360).

5. Bila kongruensi 144x



216 (mod 360) disederhanakan dengan

menghilangkan faktor d, maka kongruensi menjadi 2x



3 (mod 5).

Kongruensi 2x



3 (mod 5) hanya mempunyai satu selesaian yaitu x



4 (mod 5).

Pada kongruensi ax



b (mod m) jika nilai a,b, dan m besar, akan

memerlukan penyelesaian yang panjang, sehingga perlu disederhanakan

penyelesaian tersebut.

ax



b (mod m) ↔ m│ (ax –b) ↔ (ax-b) = my, y  Z.

ax – b = my ↔ my + b = ax ↔ my



- b (mod a) dan mempunyai

selesaian yo.

Sehingga dari bentuk my + b = ax dapat ditentukan bahwa myo + b

(24)

Atau dapat dinyatakan dalam bentuk:

Selesaian kongruensi linear di atas adalah

(25)

Selesaian kongruensi linear di atas adalah

x

_

-36 (mod 49)

x

_

13 (mod 25)

Cara di atas dapat diperluas untuk menentukan selesaian kongruensi

linear dengan

Menentukan yo dengan mencari zo

Menentukan wo dengan mencari wo

Menentukan vo dengan mencari wo, dan seterusnya.

Contoh

1. Selesaikan kongruensi 82x

_

19 (mod 625)

Jawab

82x

_

19 (mod 625)

625y

_

-19 (mod 82)

51y

_

-19 (mod 82)

82z

_

19 (mod 51)

31z

_

19 (mod 82)

51v

_

-19 (mod 31)

(26)

31w

_

19 (mod 20)

11w

_

19 (mod 20)

20r

_

-19 (mod 11)

9r

_

-19 (mod 11)

9r

_

3 (mod 11)

11s

_

-3 (mod 9)

2s

_

-3 (mod 9)

9t

_

3 (mod 2)

t

_

3 (mod 2)

---

Jadi to = 3, sehingga:

so = (9to-3)/2 = (27-3)/2 = 12

ro = (11so+3)/9 = (132+3)/9 = 15

wo = (20ro+19)/11 = (300+19)/11 = 29

vo = (31wo-19)/20 = (899-19)/20 = 44

zo = (51vo+19)/31 = (2244 +19)/31 = 73

yo = (82zo-19)/51 = (5986-19)/51 = 117

xo = (625yo+19)/82 = (73126+19)/82 = 892

Selesaian kongruensi di atas adalah

(27)

Teorema

Jika (a,m) = 1 maka kongruensi linear ax

_

b (mod m) mempunyai

selesaian x = a(m)-1_{b, dimana}__{(m) adalah banyaknya residu didalam}

sistem residu modulo m tereduksi.

Bukti.

Menurut teorem Euler jika (a,m) = 1 maka a(m)-1_{= 1.}

ax



b (mod m)

a. a(m)-1_.x



_{b a}(m)-1_{(mod m)}

a (m)



_{b a}(m)-1_{(mod m)}

Karena a (m)



_{1 (mod m) dan a}(m) _x



_{b a}(m)-1_{(mod m)}

Maka 1.x



b a(m)-1_{(mod m)}

x



b a(m)-1_{(mod m)}

x



a(m)-1_{b (mod m)}

Contoh

1. Selesaikan 5x



3 (mod 13)

Jawab

Karena (5,13) = 1

Maka kongruensi linear 5x



3 (mod 13) mempunyai selesaian

x



3.5 (13) –1_{(mod 13)}



3.5 12 –1_{(mod 13)}

(28)

_

3.(-1)5 _{5 (mod 13), karena 5}2



_{-1 (mod 13)}

_

11 (mod 13)

4.4 Kongruensi Simultan

Sering kita dituntut secara simultan untuk menentukan selesaian

yang memenuhi sejumlah kongruensi. Hal ini berarti dari beberapa

kongruensi linear yang akan ditentukan selesaiannya dan memenuhi

masing-masing kongruensi linear pembentuknya.

Contoh

1. Diberikan dua kongruensi (kongruensi simultan)

x

_

3 (mod 8)

x

_

7 (mod 10)

Karena x

_

3 (mod 8), maka x = 3 + 8t (tZ).

Selanjutnya x = 3 + 8t disubstitusikan ke x

_

7 (mod 10), maka

diperoleh

3 + 8t

_

7 (mod 10) dan didapat

8t

_

7-3 (mod 10)

8t

_

4 (mod 10)

Karena (8,10) = 2 dan 2 │4 atau 2 │7-3, maka kongruensi 8t



4 (mod

(29)

8t

_

4 (mod 10)

4t

_

2 (mod 5)

t

_

3 (mod 5)

Jadi t

_

3 (mod 5) atau t

_

8 (mod 10)

Dari t

_

3 (mod 5) atau t = 3 + 5r (r

Z) dan t



8 (mod 10) atau x =

3 + 8t

Selanjutnya dapat dicari nilai x sebagai berikut:

x = 3 + 8t

= 3 + 8(3+5r)

= 3 + 24 + 40r

= 27 + 40r atau x

_

27 (mod 40) atau x

_

27 (mod [8,10])

2. Diberikan kongruensi simultan

x

_

15 (mod 51)

x

_

7 (mod 42)

Selesaian

Karena (51,42) = 3 dan 15



/ 7 (mod 3) atau 3 ┼ 15 –7 , maka

kongruensi simultan di atas tidak mempunyai selesaian.

Teorema 3

Kongruensi simultan

x



a (mod m)

x



b (mod n)

dapat diselesaikan jika

(30)

x

_

xo (mod [m,n])

Menurut teorema sebelumnya mk



b-a (mod n) dapat diselesaikan jika d

│b-a, d = (m,n) atau dengan kata lain kondisi kongruensi a



b (mod

Dari teorema sebelumnya jika d = (m,n) maka ( d

Misalkan selesaian yang dimaksud adalah k = ko sehingga selesaian

(31)

k



ko (mod

1. Tentukan selesaian kongruensi linear di bawah ini

a. 3x



2 (mod 5)

2. Tentukan selesaian kongruensi simultan berikut ini.

(32)

10 x

_

14 (mod 8)

b. x

_

5 (mod 11)

x

_

3 (mod 23)

3. Selesaiakan kongruensi linear dengan metode myo + b = ax ↔ xo =

a b myo  :

a. 353x



19 ( mod 400)

b. 49x



5000 ( mod 999)

c. 589x



209 ( mod 817)