5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real
Sifat aljabar dan sifat urutan bilangan real telah dibahas sebelumnya. Selanjutnya, akan dijelaskan sifat kelengkapan bilangan real. Bilangan rasional ℚ juga memenuhi sifat aljabar dan terurut. Sebelum membahas tentang sifat kelengkapan bilangan real, terlebih dahulu diberikan pengantar tentang himpunan terbatas.
Definisi 19.
Misalkan S himpunan bagian dari ℝ, dan S tak kosong.
a. Himpunan S disebut terbatas di atas apabila terdapat suatu bilangan u dengan u ∈ ℝ sedemikian sehingga s ≤ u untuk semua s ∈ S. Seluruh bilangan real u tersebut selanjutnya disebut dengan batas atas dari himpunan S.
b. Himpunan S disebut terbatas di bawah apabila terdapat suatu bilangan w dengan w ∈ ℝ sedemikian sehingga w ≤ s untuk semua s ∈ S. Seluruh bilangan real w tersebut selanjutnya disebut dengan batas bawah dari himpunan S.
c. Suatu himpunan, misalkan himpunan S, dikatakan terbatas apabila S terbatas di atas dan terbatas di bawah. Suatu himpunan S dikatakan tidak terbatas apabila S tidak terbatas di atas atau tidak terbatas di bawah. Contoh 12
a. Himpunan S = {x < 2 | x ∈ ℝ} terbatas di atas karena terdapat 2, 3, dan bilangan real lainnya yang lebih besar dari 2 yang merupakan batas atas dari himpunan S. Namun demikian jelas S tidak terbatas di bawah. Karena S terbatas di atas tetapi tidak terbatas di bawah, maka S adalah suatu himpunan yang tidak terbatas.
b. Himpunan A = {1, 2, 3} merupakan himpunan terbatas. Karena A terbatas di atas dan terbatas di bawah. A terbatas di atas karena terdapat 4, 5, dan bilangan real lainnya yang merupakan batas atas dari himpunan A.
Demikian pula A terbatas di bawah karena terdapat 0, -1, dan bilangan real lainnya yang merupakan batas bawah dari himpunan A.
Apabila suatu himpunan memiliki satu batas atas maka himpunan tersebut memiliki tak berhingga batas atas. Misalkan u adalah batas atas dari S maka bilangan u + 1, u + 2, ..., juga merupakan batas atas dari S. Sama halnya dengan batas bawah.
Gambar 2 Definisi 20.
Misalkan S himpunan bagian dari ℝ, dan S tak kosong.
a. Jika S terbatas di atas maka suatu batas atas u dari S disebut supremum (batas atas terkecil) dari S, jika ia memenuhi kondisi berikut:
1. u adalah suatu batas atas dari S, dan
2. jika v sebarang batas atas dari S, maka u ≤ v.
b. Jika S terbatas di bawah maka suatu batas bawah w dari S disebut infimum (batas bawah terbesar) dari S, jika ia memenuhi kondisi berikut: 1. w adalah suatu batas bawah dari S, dan
2. jika t sebarang batas bawah dari S, maka t ≤ w.
Berdasarkan Definisi 20, secara sederhana dapat dikatakan bahwa u adalah supremum (batas atas terkecil) dari S apabila u lebih kecil dari setiap batas atas yang lain dari S. Demikian pula, w infimum (batas bawah terbesar) dari S apabila w lebih besar dari setiap batas bawah yang lain dari S.
Apabila suatu subhimpunan dari ℝ memiliki supremum, maka supremumnya tunggal. Misalkan u1 dan u2 adalah supremum dari S. Jika u1 < u2 maka
hipotesis yang menyatakan bahwa u2 adalah supremum mengakibatkan u1
tidak mungkin merupakan batas atas dari S. Dengan cara yang sama dapat dilihat juga bahwa kondisi u2 < u1 juga tidak mungkin. Dengan demikian
haruslah u1 = u2. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan pula bahwa
infimum dari S juga adalah tunggal. Apabila supremum atau infimum dari himpunan S ada, maka supremum dari S ditulis dengan sup S dan infimum dari S ditulis inf S.
Selanjutnya, apabila u’ adalah sebarang batas atas dari S, maka sup S ≤ u’. Hal ini karena sup S merupakan batas atas terkecil dari S. Tidak semua himpunan bagian dari ℝ memiliki supremum, demikian pula tidak semua himpunan bagian dari ℝ memiliki infimum. Secara umum, ada empat kemungkinan yang dapat dikatakan dari suatu himpunan S, dengan S adalah himpunan bagian dari ℝ, yaitu
1. S mempunyai supremum dan infimum
2. S mempunyai supremum tetapi tidak mempunyai infimum 3. S mempunyai infimum tetapi tidak mempunyai supremum 4. S tidak mempunyai supremum maupun infimum.
Lemma 1.
Suatu bilangan u adalah supremum dari suatu himpunan bagian tak kosong S dari ℝ jika dan hanya jika u memenuhi kondisi berikut:
1. s ≤ u, untuk setiap s ∈ S
2. jika v < u, maka terdapat s’ s ∈ S sedemikian sehingga v < s’ Lemma 2.
Suatu batas atas u dari himpunan bagian tak kosong S di ℝ adalah supremum dari S jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0, terdapat sε ∈ S sedemikian
Jika u adalah batas atas dari S yang memenuhi kondisi yang diberikan dan jika v < u, maka dapat diambil ε = u – v. Untuk ε > 0 maka terdapat sε ∈ S
sedemikian sehingga v = u – ε < sε. Akibatnya, v bukanlah batas atas dari S.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa u = sup S.
Sebaliknya, misalkan u = sup S dan ε > 0. Karena u – ε < u maka u – ε bukanlah batas atas dari S. Oleh karena itu, beberapa elemen sε dari S
haruslah lebih besar dari u – ε, dalam hal ini u – ε < sε. Perhatikan Gambar 3
berikut:
Gambar 3. u = Sup S
Penting untuk diperhatikan bahwa supremum dari suatu himpunan bisa saja merupakan elemen dari himpunan tersebut atau bisa saja bukan merupakan elemen dari himpunan yang dimaksud. Perhatikan Contoh 13 berikut:
Contoh 13.
a. Jika himpunan tak kosong S1 mempunyai elemen hingga, maka dapat
ditunjukkan bahwa S1 memiliki suatu elemen terbesar u dan elemen
terkecil w. Maka u = sup S1 dan w = inf S1, dan keduanya merupakan
elemen dari S1.
b. Himpunan S2 = {x | 0 ≤ x ≤ 1+, jelas mempunyai 1 sebagai batas atas. Akan
dibuktikan bahwa 1 adalah supremum. Jika v < 1 maka terdapat s’ ∈ S2
sedemikian sehingga v < s’. Selanjutnya, karena v bukan batas atas dari S2
dan karena v adalah sebarang bilangan dengan v < 1, maka dapat disimpulkan bahwa sup S2 = 1. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan
bahwa inf S2 = 0. Perhatikan bahwa sup S2 dan inf S2, keduanya adalah
elemen dari S2.
c. Himpunan S3 = {x | 0 < x < 1}, jelas memiliki 1 sebagai batas atasnya.
ditunjukkan bahwa sup S3 = 1. Dalam kasus ini, sup S3 bukanlah
merupakan elemen dari S3. Dengan cara yang sama, inf S3 = 0 juga tidak
termuat dalam S3.
Definisi 21 (Sifat kelengkapan bilangan real ℝ)
Setiap himpunan bagian tak kosong dari bilangan real ℝ yang terbatas di atas juga akan memiliki sebuah supremum di ℝ. Setiap himpunan bagian tak kosong dari bilangan real ℝ yang terbatas di bawah juga akan memiliki sebuah infimum di ℝ.
Dengan sifat kelengkapan sebagaimana yang terlihat dalam Definisi 21, himpunan bilangan real ℝ dapat dinyatakan sebagai sebuah garis yang selanjutnya dikenal dengan garis bilangan real. Sifat kelengkapan menjamin bahwa setiap titik pada garis bilangan yang dimaksud menyatakan sebuah bilangan real. Demikian pula sebaliknya, setiap bilangan real menempati sebuah titik pada garis yang dimaksud. Perhatikan bahwa meskipun bilangan rasional ℚ memenuhi sifat aljabar dan sifat terurut, akan tetapi himpunan bilangan rasional ℚ secara umum tidak memenuhi sifat kelengkapan. Dalam hal ini, himpunan bilangan rasional ℚ tidak dapat dinyatakan dalam sebuah garis. Apabila dipaksakan, garis yang dimaksud akan terputus-putus dibeberapa bagian. Pada Teorema 5 telah ditunjukkan bahwa bilangan r diantara 1 dan 2 yang memenuhi r2 = 2 bukanlah merupakan bilangan
rasional, sehingga garis yang dimaksud akan terputus diantara 1 dan 2.
6. Interval
Telah dijelaskan sebelumnya bahwa supremum dan infimum dari suatu himpunan tidak mesti merupakan elemen dari himpunan yang dimaksud. Misalkan S1 mempunyai supremum, sup S1 = u, dengan u ∈ S1, maka u
merupakan elemen terbesar dari S1 dan selanjutnya u disebut maksimum dari
mempunyai infimum, inf S1 = w, dengan w ∈ S1, maka w merupakan elemen
terkecil dari S1 dan selanjutnya w disebut minimum dari S1, ditulis w = min S1.
Contoh 14
a. Misalkan A = {1, 2, 3}.
sup A = 3 dan 3 ∈ A, sehingga 3 = maks A. inf A = 1 dan 1 ∈ A, sehingga 1 = min A. b. Misalkan B = { x ∈ ℝ | 0 ≤ x < 1}
sup B = 1 tetapi 1 ∉ B sehingga 1 bukan maksimum dari B. inf b = 0 dan 0 ∈ B, sehingga 0 = min B.
c. Misalkan C = { x ∈ ℝ | x > 0}
Jelas C tidak memiliki maksimum maupun minimum. inf C = 0 tetapi 0 ∉ C sehingga 0 bukan minimum dari C.
Misalkan I adalah suatu interval di ℝ. Jika dua bilangan x dan y terdapat di I dengan x < y, maka suatu bilangan t yang terletak diantara x dan y, dalam hal ini x < t < y juga terdapat di I. Dengan kata lain, jika x dan y adalah suatu interval dengan x dan y elemen I, maka interval [x, y] juga berada di I.
Sebuah interval ada yang terbatas dan ada pula yang tidak terbatas. Notasi untuk interval di ℝ yang terbatas adalah:
1. (a, b) = {x | a < x < b} → interval terbuka
2. ,a, b- = *x | a ≤ x ≤ b+ → interval tertutup (himpunan kompak di ℝ) 3. ,a, b) = *x | a ≤ x < b+ → interval setengah terbuka
4. (a, b- = *x | a < x ≤ b+ → interval setengah terbuka
Sedangkan notasi untuk interval di ℝ yang tidak terbatas (selain ℝ itu sendiri) adalah:
1. (a, ∞) = *x | x > a+ → interval terbuka 2. ,a, ∞) = *x | x ≥ a+ → interval tertutup 3. (-∞, b) = *x | x < b+ → interval terbuka 4. (-∞, b- = *x | x ≤ b+ → interval tertutup
