Mengkonstruksi Model distribusi kontak pada Transmisi Penyebaran Virus pada 2 lokasi dengan strain yang berbeda

Mengkonstruksi Model distribusi kontak pada Transmisi Penyebaran

Virus pada 2 lokasi dengan strain yang berbeda

Hariyanto1, Basuki Widodo2, I.Nyoman Budiantara3, C.A.Nidom4. 1

Mathematics Departement of ITS and Doctorte Student in Airlangga University, 2

Mathematics Departement in ITS,3 Statistics Departement in ITS, 4

Airlangga University. 1

hariyanto_its@yahoo.co.id,2b_widodo@matematika.its.ac.id

ABSTRAK

Transmisi penyebaran penyakit pada multi-lokasi dapat terjadi karena mobilitas individual yang bergerak dinamis pada lokasi yang sama maupun pada lokasi yang berbeda (antar lokasi) dan transmisi penyakit dapat terjadi karena kontak individual pada masing-masing lokasi, Konstnstantin B.Blyyuss,2005 telah mengembangkan model transmisi penyebaran penyakit pada 2 lokasi dengan strain yang sama dan lebih menekankan pada model distribusi terinfeksi dengan fungsi transmisi linear sebagai bentuk penyebaran penyakit.

Pada makalah ini mengembangkan model penyebaran penyakit pada 2 lokasi dengan strain yang berbeda pada setiap lokasi, penyebaran pada setiap lokasi maupun antar lokasi dikonstruksi dalam bentuk model distribusi kontak dan analisa model dilakukan berkaitan dengan perubahan subpopulasi yang atrack terhadap sistem yang kompak terbatas dan disipasif, persistensi dari virus terhadap bilangan reproduksi dasar..

Kata Kunci : Pemodelan Epidemik, Model Spasial, Bilangan reproduksi dasar, Persistensi.

PENDAHULUAN Latarbelakang.

Pemodelan matematika dari penyebaran virus multistrain multi species dibangun oleh B. J. Caburn dkk,2011 pada satu lokasi, model berbentuk sistem persamaan differensial biasa dengan mengamati penyebaran virus pada babi diharapkan dapat berperan sebagai tempat terjadinya koalisi dari virus H1N1dan H5N1, demikian pula yang dilakukan oleh J. M. Hyman dkk,2004 telah membangun model penyebaran geografik dari virus H1N1 untuk 59 kota diseluruh dunia dengan hongkong sebagai pusat penyebaran, analisa yang dilakukan dapat diketahui bahwa penyebaran virus di kota-kota lainnya berkorelasi terhadap pusat penyebaran.

K.B. Blyuss dkk,2005 dalam penelitiannya menunjukkan bahwa pergerakan individual dianggap sebagai partikel yang bergerak bebas,model dibangun berdasarkan individual yang bergerak didalam lokasi maupun antar lokasi, model yang diperoleh berbentuk sistem persamaan integro differensial parsial, S. Ruan dkk,2006 mengembangkan model

yang dibuat oleh K.B. Blyuss dkk dengan membagi bentuk model dalam 2 bagian yaitu model distribusi kontak dan model distribusi terinfeksi.

Berdasarkan pada kenyataan bahwa penyebaran virus dapat terjadi pada lokasi yang berbeda dengan strain yang berbeda, misalnya penyebaran virus influenza avian H5N1 secara global yang terjadi di Indonesiaberpotensi terjadinya koalisi dengan virus manusia, beberapa penelitian di laboratorium telah dilakukan antara lain koalisi antara H5N1 unggas A/Chicken/South Kalimantan/UT6028/06(SK06 H5N1) dan H3N2 A/Tokyo/UT-SK-1/Tok07.H3N2 menghasilkan virus dengan patogen

tinggi(C.A.Nidom,2012).

Rumusan masalah

1. Bagaimana melakukan pengamatan terhadap penyebaran berbagai virus yang terjadi pada wilayah yang lebih luas sehingga terjadi koalisi pada beberapa lokasi jika wilayah dibagi dalam lokasi-lokasi ?.

2. Bagaimana mengetahui reproduksi dasar terhadap virus-virus tersebut pada penyebaran lokal maupun global serta keterkaitannya dengan persistensi virus terhadap sistem?

Tujuan dan Manfaat.

Tujuan dari kajian ini adalah:

1. Membangun Model Matematika dari penyebaran virus-virus yang berada pada 2 lokasi yang berbeda sebagai suatu model sistem distribusi kontak yang terdiri dari subsistem-subsistem.

2. Melakukan analisis terhadap persistensi masing-masing model subsistem dari model sistem dan keterkaitannya dengan bilangan reproduksi dasar.

Manfaat yang dapat diperoleh dari kajian ini adalah:

1. Dapat memberikan informasi lebih awal melalui kajian berbentuk analisis pada Model Matematika yang dibangun terhadap peluang terjadinya koalisi.

2. Reproduksi dasar atau Reproduksi efektif pada penelitian ini berbentuk besaran yang diukur berdasarkan pada transmisi virus untuk yang kedua dan berkorelasi sangat signifikan terhadap phatogenitas atau virulence dari virus, analisis yang dilakukan dapat memberikan informasi dalam pengambilan kebijakan terhadap kesehatan masyarakat.

PEMBAHASAN

Pembahasan pada makalah ini dibagi dalam 2 tahap yaitu mengkonstruksi model matematika berdasarkan model kompartemen pada gambar 1 dan melakukan analisa terhadap model.

Mengkonstruksi Model Matematika.

Populasi berada dalam 2 lokasi yaitu lokasi Ω1 dengan ukuran L1dan lokasi Ω2 dengan ukuran L₂dan masing-masing lokasi populasi dibagi dalam subpopulasi-subpopulasi

antara lain Susceptible,Ekspose, Terinfeksi dan Recovered pada lokasi 1 dengan densitas spasial S₁(x,t),E₁(x,t),I₁(x,t)dan R( tx, ) serta Susceptible,Terinfeksi pada lokasi 2

dengan densitas spasial S₁(x,t),I₁(x,t).seperti pada gambar 1.

Diasumsikan bahwa transmisi virus terjadi setelah terjadinya kontak dengan individual terinfeksi dan pergerakan spasial didalam lokasi dapat dilakukan oleh setiap individual pada subpopulasi sedangkan pergerakan diantara lokasi hanya dilakukan oleh individual subpopulasi Susceptible dan Ekspose. Parameter yang digunakan dalam bentuk konstan antara lain :

α : rate transmisi untuk virus dengan strain2 pada lokasi 2

β: rate transmisi untuk virus dengan strain1 pada lokasi 1

μ: lama waktu terjadinya Ekspose atau periode Ekspose.

ρ: lama waktu terjadinya infeksi setelah dilakukan treatmen atau periode infeksi. 2 S 2 I 1 S 1 E I₁ 1 R Lokasi 1:Ω₁ Lokasi 2:Ω₂

Model Sistem Distribusi Kontak penyebaran virus pada 2 lokasi dengan strain berbeda dapat dinyatakan sebagai berikut:

∫

∫

Ω − − Ω − − = ∂ ∂ 1 1 2 1 1 1 1 ) , ( ) ( ) , ( ) (y x I x t dx I K y x S x t dx K S t S _{β α}

∫

∫

∫

Ω − − Ω − − + Ω − = ∂ ∂ 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( E dx t x E x y K I dy t y S y x K I dx t x I x y K S t E μ α β β 1 1 1 I E t I _{μ ρ} − = ∂ ∂ 1 1 I t R _ρ = ∂ ∂

∫

∫

Ω + − − Ω − − = ∂ ∂ 1 2 2 1 2 2 2 2 ) , ( ) ( ) , ( ) (x y I y t dy I K x y S y t dy I K S t S _{α β δ} 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( I dx t x E x y K I dx t x S x y K I dy t y I x y K S t I δ α α α − Ω − + Ω − + Ω − = ∂ ∂

∫

∫

∫

Dengan syarat awal

σ = = ₁₀ 1(x,0) S S ,I₁(x,0)=I₁₀, E₁(x,0)=E₁₀, R₁(x,0)=R₁₀ σ = = 20 2(x,0) S S ,I2(x,0)=I20, , Syarat batas , 0 ) ( ) 0 ( 1 1 = ∂ ∂ = ∂ ∂ L x S x S , 0 ) ( ) 0 ( 1 1 = ∂ ∂ = ∂ ∂ L x E x E , 0 ) ( ) 0 ( 1 1 = ∂ ∂ = ∂ ∂ L x I x I , 0 ) ( ) 0 ( 1 1 = ∂ ∂ = ∂ ∂ L x R x R , 0 ) ( ) 0 ( 2 2 = ∂ ∂ = ∂ ∂ L x S x S , 0 ) ( ) 0 ( 2 2 = ∂ ∂ = ∂ ∂ L x I x I

Total populasi pada lokasi 1: N₁(t)=S₁(t)+E₁(t)+I₁(t)+R₁(t)

Analisa Model. Perhatikan bentuk

∫

Ω

−x I x t dx y

K( ) ₁( , ) menunjukkan populasi terinfeksi yang bergerak

dari posisi x menuju y sehingga terdapat 2 kemungkinan individual I₁(x,t)bergerak

untuk melakukan kontak yaitu bergerak pada lokasi 1 atau bergerak melakukan kontak dengan populasi pada lokasi 2,jika Ω₁ dan Ω₂ merupakan domain terbatas maka pergerakan subpopulasi secara lokal maupun diantara lokasi bergantung pada status dari masing-masing subpopulasi, misalkan fungsi densitas Kernel dinyatakan sebagai fungsi Laplace K(x,t)=e−αxdan I1(x,t)bergerak pada lokasi 1 maka

∫

Ω − dx t x I x y K( ) ₁( , ) =

∫

Ω − 1 1(x,t)dx I x e α = dx t t x I x e t x I x e L ∂ ∂ Ω − − − −

∫

( , ) 0 ) , ( { 1 1 1 1 1 α α α

∫

ΩK(y−x)I1(x,t)dx= { ( , ) (0, )}, 1 0 ) , ( { 1 1 1 1 1 1 1 I L t I t L e t x I x e L =− − − − − α α α α diperoleh − 1( 1, )− 1(0, )<0⇒ 1_{I L t I t} L e α , ) , ( ) , 0 ( 1 1 1 1 t L I t I L e−α < I1(L1,t)>I1(0,t) ) , 0 [ ∞ ∈ ∀t misalkan k t L I t I = ) , ( ) , 0 ( 1 1 1

bilangan pecah rasional maka e−αL1 <k _{yang berarti fungsi} densitas Kernel sebagai fungsi bobot dari pergerakan lokasi maupun antar lokasi dapat dinyatakan dalam bentuk proporsional yang mempunyai nilai diantara

1 ) , ( 0<K x t < ∀x∈Ωdan )∀t∈[0,∞ Asumsi. 1.

∫

Ω = 1 ) , (x t dx K 2. ( ) ( , ) ₁( , ), 1 1 1 y t dy I x t I y x K

∫

Ω =

− ε ∀ yx, ∈Ω₁ dan 0<ε₁ <1 menyatakan pergerakan

lokal, khusus untuk pergerakan antar lokasi dari individual I₁(x,t)tidak dilakukan dan

3. ( ) ( , ) ₁( , ), 2 2 2 y t dy S x t S y x K

∫

Ω − =ε

yaitu pergerakan antar lokasi S₂(y,t)dari posisi

2

Ω ∈

y menuju x∈Ω₁ maka individual S₂(y,t) akan menjadi bagian S₁(x,t) pada lokasi 1.

Demikian pula untuk ( ) ( , ) ( , )

1 1 1 y t dy G x t E y x K

∫

Ω − =ε yaitu pergerakan antar lokasi

) , (

1 y t

E dari posisi y∈Ω1menuju x∈Ω2 maka individual E1(y,t)akan berada pada lokasi 2.yang hanya melakukan kontak dengan individual terinfeksi pada lokasi 2.

Dengan demikian model system dapat direduksi menjadi

2 2 2 1 1 1 1 S I I S t S _{β ε α ε} − − = ∂ ∂ 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 E G I S I I S t E _{β ε β ε α ε μ} − − + = ∂ ∂ 1 1 1 I E t I _{μ ρ} − = ∂ ∂ 1 1 I t R _ρ = ∂ ∂ 2 1 2 1 2 1 2 2 I S I I S t S _{α ε β ε δ} + − − = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 I G I S I I S t I _{α ε α ε α ε δ} − + + = ∂ ∂

Dengan syarat awal

σ = = 10 1(x,0) S S ,I₁(x,0)=I₁₀, E₁(x,0)=E₁₀, R₁(x,0)=R₁₀ σ = = 20 2(x,0) S S ,I2(x,0)=I20. Syarat batas , 0 ) ( ) 0 ( 1 1 = ∂ ∂ = ∂ ∂ L x S x S , 0 ) ( ) 0 ( 1 1 = ∂ ∂ = ∂ ∂ L x E x E , 0 ) ( ) 0 ( 1 1 = ∂ ∂ = ∂ ∂ L x I x I , 0 ) ( ) 0 ( 1 1 = ∂ ∂ = ∂ ∂ L x R x R , 0 ) ( ) 0 ( 2 2 = ∂ ∂ = ∂ ∂ L x S x S , 0 ) ( ) 0 ( 2 2 = ∂ ∂ = ∂ ∂ L x I x I ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( _{1 1 1 1} 1 t S t E t I t R t N = + + +

) ( ) ( ) ( _{2 2} 2 t S t I t N = + Perhatikan N₁(t)=S₁(t)+E₁(t)+I₁(t)+R₁(t)→ dt dR dt dI dt dE dt dS dt dN_{1 1 1 1 1} + + + = atau dx t R dx t I dx t E dx t t x S dt dN

∫

∫

∫

∫

Ω ∂ ∂ + Ω ∂ ∂ + Ω ∂ ∂ + Ω ∂ ∂ = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ) → dx t t x R t t x I t t x E t t x S dt dN ) ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ( 1 1 1 1 1 1 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + Ω ∂ ∂ =

_∫

dx G I S I S I dt dN )} ( { _{2 2 2 2 2} 1 1 2 1 1 β ε −α ε + ε Ω =

_∫

maka dx dy t y S y x K I Lim dt dN Sup Lim t t ( ) { ( ) ( , ) } 2 2 1 1 1

∫

∫

Ω Ω ∞ → ∞ → ≤ β − dx dy t y S y x K I Lim dt dN Sup Lim t t ( ) { ( ) ( , ) } 2 2 1 1 1

∫

∫

Ω Ω →∞ ∞ → ≤ β − atau dx I Lim dt dN Sup Lim t t

∫

Ω →∞ ∞ → ≤ 1 1 1 ) ( → E I dx dt dN Sup Lim t ( ) ( ) 1 1 1 1

∫

Ω ∞ ∞ ∞ → ≤ −λ Jika didefinisikan βμσ ρ λ λ − = − − = − =

∫

Ω ), ) ( 1 ( 1 1 1 1 1 1 S Exp K x y Rdy E dan terdapat

bilangan ε >0 sedemikian hingga LimE Mε

t→∞ 1 <1− dan Limt→∞ I1 >ε maka

dx M dt dN Sup Lim t ( ) (1 ) 1 1

∫

Ω ∞ → ≤ − ε −λε atau ( ) 1{1 ( )} 1 ≤ −ε +λ ∞ → _dt L M dN Sup Lim t

Yang berarti bahwa ( ) 1.

1 L dt dN Sup Lim

t→∞ ≤ Jadi dapat diperoleh bahwa subsistem dari

lokasi 1 atracks terhadap himpunan kompak terbatas S₁,E₁,I₁,R₁.Demikian pula dapat

ditunjukkan bahwa subsistem pada lokasi 2 atrack terhadap himpunan kompak terbatas

.

, ₂

2 I

S

Dari penjelasan tersebut diatas maka dapat disusun theorema sebagai berikut :

Theorema1.

ε

> ∞ → I1 Lim

t maka subsistem dari lokasi 1 atracks terhadap himpunan kompak terbatas

1 1 1 1,E ,I ,R

S .

Untuk pembahasan berikutnya akan ditunjukkan bahwa masing-masing virus pada lokasi 1 maupun 2 persisten terhadap sistem, perhatikan definisi berikut ini

Dianggap bahwa pergerakan dari individual pada subpopulasi pada masing-masing lokasi berbentuk semiflow maka dapat didefinisikan

Definisi 1(Horst R.Thieme,2005).

Virus dikatakan sangat persisten secara seragam jika terdapat ε >0sedemikian hingga

ε

≥ ∞

→ Inf(I1(x,t) Lim

t untuk semua penyelesaian dari sistem persamaan distribusi kontak

dengan I1(x,0)>0.

Definisi 1((Horst R.Thieme,2005).

Virus dikatakan kurang persisten secara seragam jika terdapat ε >0 sedemikian hingga

ε

≥ ∞

→ Sup(I1(x,t) Lim

t untuk semua penyelesaian dari sistem persamaan distribusi kontak

dengan I1(x,0)>0.

Jika perubahan pada setiap subpopulasi pada model hanya memperhatikan terjadinya transmisi virus sebagai akibat dari kontak individual tanpa memperhatikan pergerakan individual pada lokasi maupun diantara lokasi maka model sistem distribusi kontak dapat direduksi menjadi model distribusi kontak pada lokasi 1terreduksi berbentuk

1 1 1 1 I S t S _{β ε} − = ∂ ∂ 1 1 2 1 1 1 1 1 E S I I S t E _{β ε β ε μ} − + = ∂ ∂ 1 1 1 I E t I _{μ ρ} − = ∂ ∂ 1 1 I t R _ρ = ∂ ∂

dengan syarat awal

σ = = 10 1(x,0) S S ,I1(x,0)=I10, E1(x,0)=E10, R1(x,0)=R10 Syarat batas , 0 ) ( ) 0 ( 1 1 = ∂ ∂ = ∂ ∂ L x S x S , 0 ) ( ) 0 ( 1 1 = ∂ ∂ = ∂ ∂ L x E x E

, 0 ) ( ) 0 ( 1 1 = ∂ ∂ = ∂ ∂ L x I x I , 0 ) ( ) 0 ( 1 1 = ∂ ∂ = ∂ ∂ L x R x R ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( _{1 1 1 1} 1 t S t E t I t R t N = + + +

Bilangan reproduksi dasar

ρ βμ

= 0

R maka dapat dikonstruksi

βμσ ρ

λ= sedemikian

rupa sehingga model dapat direduksi menjadi

1 1 1 1 I S t S _ε − = ∂ ∂ 1 1 2 1 1 1 1 1 E S I I S t E − + = ∂ ∂ _{ε ε} 1 1 1 I E t I _λ − = ∂ ∂ 1 1 I t R _λ = ∂ ∂

Dengan syarat awal 1 ) 0 , ( ₁₀ 1 x = S = S ,I₁(x,0)=I₁₀, E₁(x,0)=E₁₀, R₁(x,0)=R₁₀ Syarat batas , 0 ) ( ) 0 ( 1 1 = ∂ ∂ = ∂ ∂ L x S x S , 0 ) ( ) 0 ( 1 1 = ∂ ∂ = ∂ ∂ L x E x E , 0 ) ( ) 0 ( 1 1 = ∂ ∂ = ∂ ∂ L x I x I , 0 ) ( ) 0 ( 1 1 = ∂ ∂ = ∂ ∂ L x R x R ) , ( ) , ( ) , ( ) ( 1=S1 t +E1 x t +I1 x t +R1 x t

Jika (S₁,E₁,I₁,R₁) merupakan penyelesaian dari model tersebut diatas maka dapat

dikonstruksi secara epidemiologi bahwa subpopulasi terinfeksi terjadi karena :

1. Perubahan individual pada subpopulasi ekspose yang melampaui batas masa latent ( periode perubahan ekspose menjadi terinfeksi ).

2. Perubahan individual pada subpopulasi terinfeksi berubah menjadi subpopulasi recovered karena adanya treatment ( recovered dikonstruksi tetap ).

Dengan demikian subpopulasi –subpopulasi pada sistem dapat dinyatakan dalam bentuk

∫

Ω − − = 1 1 1 ( ) ( , ) ) 1 ( ) , (x t Exp K x y R y t dy S λ − =

) , ( ) 0 , ( ) , ( ) , ( _{1 !} 1 x t R x t I x E x t

I =− + + dan subpopulasi tersebut berlaku jika memenuhi

persamaan 1 ₁. I t R _λ = ∂ ∂

Dari pembahasan tersebut diatas dapat disusun theorema sebagai berikut

Theorema2.

Jika 1R₀ > maka virus pada lokasi 1 kurang persisten secara seragam terhadap sistem. Bukti.

Akan ditunjukkan bahwa virus pada lokasi1 kurang persisten terhadap sistem, misalkan

vurus tersebut tidak persisten maka <ε

∞ → I1(x,t) Lim t untuk bilangan ε >0 )) , ( ) , ( ) , ( ( 1 ) , ( 1 1 1 1 x t I x t E x t S x t R = − + + → )) , ( ) , ( ) , ( ( 1 ) , ( _{1 1 1} 1 x t Lim I x t E x t S x t R Lim t t→∞ < − →∞ + + atau R x t < −Mε ∞ 1 ) , ( 1 ) , ( 1 ) , ( 1 1 x t S x t E = − atau E₁∞(x,t)<1−Exp(−1ε₁R₁∞(x,t)) λ → ), ) 1 ( ( 1 ) , ( 1 1 λ ε ε M Exp t x E∞ < − − − LimI₁(x,t) R₁ (x,t) I₁ (x,0) E₁ (x,t) t ∞ ∞ ∞ ∞ → <− + + → ) ) 1 ( ( 1 ) 0 , ( 1 ) , ( 1 1 1 _λ ε ε ε I x Exp M M t x I Lim t − − − + + − < ∞ →

Dari persamaan 4 pada model diperoleh ∞ ∞ → ∞ → ∂ = ≥ ∂ 1 1 1 ) ( ) ( LimInf I I t R Inf Lim t

t λ λ atau λLimt→∞ Inf(I1)≥Mε +I1(x,0)→

≥ ∞ → Inf(I1) Lim t ( ( ,0)) 1 1 x I Mε+

λ = ))σR0(Mε +I1(x,0 sehingga dapat diperoleh bahwa

untuk 1R0 > ternyata I1(x,t)→∞ untuk t→∞,pada hal Lim_→∞ I1(x,t)<ε

t

Kontradiksi sehingga untuk R0 >1 virus pada lokasi 1 kurang persisten terhadap sistem. Perhatikan model distribusi kontak pada lokasi2 terreduksi,

2 2 1 2 2 I I S t S _{α ε δ} + − = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 I G I S I I S t I _{α ε α ε α ε δ} − + + = ∂ ∂

Dengan syarat awal

σ

= = 20 2(x,0) S

Syarat batas , 0 ) ( ) 0 ( 2 2 = ∂ ∂ = ∂ ∂ L x S x S , 0 ) ( ) 0 ( 2 2 = ∂ ∂ = ∂ ∂ L x I x I ) , ( ) , ( 1=S2 x t +I2 x t

Pada model tersebut berlaku theorema beikut ini.

Theorema3.

Jika 1R₀ > maka virus pada lokasi 2 kurang persisten secara seragam terhadap sistem. Bukti.

Untuk menunjukkan bahwa virus pada lokasi 2 kurang persisten terhadap sistem dimisalkan virus tidak persisten sehingga I₂∞ <ε.

Dari persamaan 1 diperoleh LimS2(x,t) LimI1(x,t)

t t→∞ ≤α →∞ δ atau S2 (x,t) I2 (x,t) ∞ ∞ _≤ α δ

Dari persamaan 2 diperoleh ∞ ∞

∞ → ∂ > − ∂ 2 2 2 ) ( I I t I Inf Lim t α δ atau ( ), 2 2 δ α − > ∂ ∂ ∞ ∞ → _I t I Inf Lim t jika δ α = 0 R maka ( ₀ 1), 2 2 − > ∂ ∂ ∞ ∞ → _I R t I Inf Lim

t δ artinya untuk t→∞diperoleh →∞

∞ 2

I dan

kontradiksi bahwa I₂∞ <ε.. Jadi untuk R₀ >1 virus pada lokasi 2 kurang persisten terhadap sistem.

KESIMPULAN.

Dari kajian tersebut dapat disimpulkan bahwa penyebaran dari virus-virus pada lokasi local maupun global tidak berpotensi terjadinya pendemik.

DAFTAR PUSTAKA

J. M. Hyman, T. LaForce.2004. Modelling The spread of Influenza Among Cities. in Computational and Applied Mathematics Program. (Center for Nonlinear Studies, Los Alamos National Laboratory ).Los Alamos Report. p. 215-240.

K.B. Blyuss.2005. On a model of spatial spread of epidemics with long - distance travel. Physics Letters A 345. p. 129-136.

Strains. BMC Journal 11. p.1-10.