CGANT- University of Jember
2
Department of Mathematics Education - University of Jember
3
Department of Information System - University of Jember aminatussolehah93@gmail.com; hestyarin@gmail.com; d.dafik@unej.ac.id
Abstract
Let G be a simple, undirected and connected graph. An independent set or stable set is a set of vertices in a graph in which no two of vertices are adjacent. A set Dof vertices of graph G is called a dominating set if every vertex u ∈ V (G) − D is adjacent to some vertex v ∈ D. A set S of vertices in a graph G is an independent dominating set of G if S is an independent set and every vertex not in S is adjacent to a vertex in S. A minimum independent dominating set is an independent set of smallest possible size for a given graph G. This size is called the independence number of G, and denoted i(G). Operation Graph is a technical to get a new graph types by performing the operation of two or more graphs. Power Graph is a operation graph where let the graph G and H, notation of the power graph is (GH).
Keywords: r-dynamic coloring, r-dynamic chromatic number, graph operations.
Pendahuluan
Teori graf adalah bagian dari matematika diskrit yang banyak digunakan sebagai alat bantu untuk menggambarkan suatu persoalan agar lebih mudah di-mengerti dan diselesaikan. Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler, seorang matematikawan berkebangsaan Swiss pada tahun 1736 melalui tulisannya yang berisi upaya pemecahan masalah Jembatan Konigsberg yang sa-ngat sulit dipecahkan pada masa itu. Meskipun pada awalnya graf dicip-takan untuk diterapkan dalam penyelesaian kasus, namun graf telah mengalami perkembangan yang sangat luas didalam teori graf itu sendiri.
Graf G adalah pasangan himpunan (V, E) dimana V adalah himpunan tidak kosong dari elemen yang disebut titik (vertex), dan E adalah himpunan sisi (boleh kosong) dari pasangan tidak terurut dua titik (v1, v2) dimana v1, v2∈ V ,
yang disebut sisi (edges). V disebut himpunan titik dari G, dan E disebut himpunan sisi dari G. Seringkali kita menuliskan V (G) adalah himpunan titik dari graf G dan E(G) adalah himpunan sisi dari graf G. Jadi sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi satu buah pun, tetapi Vertexnya harus ada minimal satu. Graf yang hanya mempunyai satu buah titik tanpa sebuah sisi pun dinamakan graf trivial [4].
Banyaknya titik (order ) pada suatu graf G dapat dinotasikan dengan |V (G)| dan banyaknya sisi (size) yang dinotasikan dengan |E(G)|. Secara umum graf dapat digambarkan dengan suatu diagram dimana verteks yang ditunjukkan sebagai titik yang dinotasikan dengan vi, i= 1, 2, 3... dan sisi yang digambarkan
dengan sebuah garis lurus atau dengan garis lengkung yang menghubungkan dua verteks vi, vj dan dinotasikan ek, k = 1, 2, 3, ..., q. Dengan kata lain titik pada
graf dapat dinomori dengan huruf, dengan bilangan asli, atau dengan menggu-nakan huruf dan angka (bilangan asli). Misalkan vi dan vj adalah titik pada
suatu graf, maka sisi yang menghubungkan titik vi dan vj dinyatakan dengan
pasangan (vi, vj) atau dengan lambang e1, e2, e3, ..., en [2].
Salah satu teori yang dikembangkan dalam teori graf adalah independent dominating set. Independent dominating set dipelajari sejak tahun 1960 yang ke-mudian berkembang pada berbagai aplikasi. Independent dominating set meru-pakan suatu konsep penentuan titik seminimal mungkin pada graf dengan ke-tentuan titik sebagai Independent dominating set menjangkau titik yang ada di sekitarnya dan tidak adjacent. Kardinalitas terkecil dari Independent dominat-ing set disebut Independent domination number yang dinotasikan dengan i(G). Saat ini independent dominating set tidak hanya diterapkan pada graf khusus saja, tetapi juga diterapkan pada hasil operasi graf. Operasi graf merupakan op-erasi terhadap dua buah graf atau lebih sehingga menghasilkan graf baru. Pada penelitian ini, peneliti akan mengembangkan teori independent dominating set pada hasil operasi graf eksponensial.
Menurut Haynes dan Henning dalam Agustin dan Dafik (2014) [1], him-punan D dari titik graf sederhana G dinamakan dominating set jika setiap titik u∈ V (G) − D adjacent ke beberapa titik v ∈ D. Kardinalitas terkecil dari dom-inating set disebut domination number yang dinotasikan dengan γ (G). Domi-nating set D dengan |D| = γ (G) dinamakan minimum dominating set. Menu-rut Haynes dan Henning (2002) [3], batas atas dari domination number adalah banyaknya titik di graf. Ketika paling sedikit satu titik yang dibutuhkan untuk himpunan dominasi di graf, maka 1 ≤ γ (G) ≤ n untuk setiap graf ber-order n. Nilai dari domination number selalu γ (G) ≤ |V (G)|.
Lemma 1 Untuk sebarang graf G, maka: ⌈1+△(G)p ⌉ ≤ γ(G) ≤ p − △(G)
Bukti. Misalkan S adalah sebuah dominating set dari G. Untuk batas bawah-nya, setiap titik dapat sebagai dominating set dan mempunyai ∆(G) ke titik yang lain. Berakibat, γ(G) ≥ ⌈1+∆(G)p ⌉. Untuk batas atasnya, misalkan v adalah titik dengan derajat maksimum (∆(G)) dan N [v] merupakan titik yang adjacent dengan v. Maka v sebagai dominating set dari N [v] dan titik-titik di V − N [v] merupakan dominating set mereka sendiri. Berakibat, V − N [v] merupakan dominating set dengan kardinalitas p − ∆(G), sehingga γ(G) ≤ p − ∆(G). Maka ⌈1+∆(G)p ⌉ ≤ γ(G) ≤ p − ∆(G).
Hasil Penelitian
Dari hasil penelitian ini diperoleh 3 teorema yaitu independent domination num-ber pada graf G. Penelitian berikut akan menunjukkan bahwa jumlah domina-tion number akan mencapai batas bawah dari γ(G).
3 Teorema 1 Untuk n ≥ 2 dan m ≥ 3, independent domination number dari perpangkatan graf PBtm n adalah i(PBtm n ) = ( n −1 2 , untuk n ganjil n 2, untuk n genap
Bukti. Graf eksponensial PBtm
n adalah graf terhubung dengan himpunan titik
V(PBtm
n ) = {Ai; 1 ≤ i ≤ n} ∪ {xij; 1 ≤ i ≤ n − 1; 1 ≤ j ≤ m}, dan himpunan
sisi E(PBtm
n ) = {Ai Ai+1; 1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ {Ai xij; 1 ≤ i ≤ n − 1; 1 ≤ j ≤ m} ∪
{Ai+1 xi,j; 1 ≤ i ≤ n − 1; 1 ≤ j ≤ m}. Sehingga p = |V (PnBtm)| = nm + n − m,
q= |E(PBtm
n )| = 2nm + 2m + n − 1, dan ∆(PnBtm) = 2m + 2.
Berdasarkan teorema 1, yaitu γ ≥ ⌈1+∆(G)p ⌉ sehingga γ(PBtm
n ) ≥ ⌈nm+n−m1+2m+2 ⌉
= ⌈nm2m+3+n−m⌉ =n−12 untuk n ganjil. Selanjutnya dipilih himpunan titik domina-tor dari PBtm
n yaitu D = {Ai, i ∈ genap} yang mendominasi titik lainnya yang
ditunjukkan pada sisi berikut {(Ai xij), (Ai xi,j)} maka setiap titik di (PBtm
n )
adjacent dengan D = {Ai, i genap}, sehingga γ(PBtm
n ) ≤ |D| = n−12 . Oleh karena γ(PBtm n ) ≥ n−12 dan γ(PBt m n ) ≤ n−12 , maka γ(PBt m n ) = n−12 . Himpunan
D memuat {Ai} elemen yaitu D = {Ai, i genap}. Jika nilai-nilai i dimasukan,
akan didapat elemen D = {A2, A4, A8, ..., Ai; i genap}, karena pada sisi yang
berhubungan antara A sendiri adalah {AiAi+1} maka A2 tidak mungkin
berte-tangga dengan A4 serta A4 tidak mungkin bertetangga dengan A8 dan
seterus-nya. Sehingga {Ai, igenap} untuk setiap i pada elemen dari D tidak bertetangga
maka D adalah himpunan yang independent. Dengan demikian didapatkan nilai i(PBtm
n ) = γ(PnBtm) = n−12 . 2
Berdasarkan teorema 1, yaitu γ ≥ ⌈1+∆(G)p ⌉ sehingga γ(PBtm
n ) ≥ ⌈nm+n−m1+2m+2 ⌉ =
⌈nm2m+3+n−m⌉ = n2 untuk n genap. Selanjutnya dipilih himpunan titik dominator dari PBtm
n yaitu D = {Ai, i ∈ genap} yang mendominasi titik lainnya yang
ditunjukkan pada sisi berikut {(Aixij), (Aixi,j)} maka setiap titik di (PnBtm)
ad-jacent dengan D = {Ai, i genap}, sehinnga γ(PBtm
n ) ≤ |D| = n2. Oleh karena γ(PBtm n ) ≥ n2 dan γ(PBt m n ) ≤ n2, maka γ(PBt m n ) = n2. Himpunan D memuat {Ai}
elemen yaitu D = {Ai, igenap; 1 ≤ i ≤ n2}. Jika nilai-nilai i dimasukan, akan
di-dapat elemen D = {A2, A4, A8, ..., Aigenap}, karena pada sisi yang berhubungan
antara {A} sendiri adalah {AiAi+1} maka {A2} tidak mungkin bertetangga
maka A2 tidak mungkin bertetangga dengan A4 serta A4 tidak mungkin
berte-tangga dengan A8 dan seterusnya. Sehingga {Ai, i genap} untuk setiap i pada
elemen dari D tidak bertetangga maka D adalah himpunan yang independent. Dengan demikian didapatkan nilai i(PBtm
n ) = γ(PnBtm) = n2. 2
3 Teorema 2 Untuk n = 3 dan m ≥ 3, independent domination number dari perpangkatan graf LBtm
3 adalah i(LBt
m
3 ) = n.
Bukti. Graf eksponensial LBtm
3 adalah graf terhubung dengan himpunan titik
V(LBtm
3 ) = {Ai, Bi; 1 ≤ i ≤ 3} ∪ {xij, zij; 1 ≤ i ≤ 2; 1 ≤ j ≤ m} ∪ {yij; 1 ≤ i ≤
3; 1 ≤ j ≤ m}, dan himpunan sisi E(LBtm
n ) = {AiAi+1; 1 ≤ i ≤ 2}∪{BiBi+1; 1 ≤
i≤ 2} ∪ {AiBi; 1 ≤ i ≤ 3} ∪ {Aixij; 1 ≤ i ≤ 2; 1 ≤ j ≤ m} ∪ {Ai+1xij; 1 ≤ i ≤
2; 1 ≤ j ≤ m} ∪ {Aiyi,j; 1 ≤ i ≤ 3; 1 ≤ j ≤ m} ∪ {Biyi,j1 ≤ i ≤ 3; 1 ≤ j ≤
m} ∪ {Bixi,j; 1 ≤ i ≤ 2; 1 ≤ j ≤ m} ∪ {Bi+1zi,j; 1 ≤ i ≤ 2; 1 ≤ j ≤ m}. Sehingga
p= |V (LBtm 3 )| = 7m + 6, q = |E(LBt m 3 )| = 14m + 7, dan ∆(LBt m 3 ) = 3m + 3.
Berdasarkan teorema 1, yaitu γ ≥ ⌈1+∆(G)p ⌉ sehingga γ(LBtm
3 ) ≥ ⌈1+3m+37m+6 ⌉
= ⌈7m+63m+4⌉ = n. Selanjutnya dipilih himpunan titik dominator dari LBtm
3 yaitu
D = {Ai, i ∈ganjil} ∪ {Bi, i ∈genap} yang mendominasi titik lainnya yang
di-tunjukkan pada sisi berikut {(AiAi+1), (BiBi+1), (Aixij), (Ai+1xij), (Aiyi,j),
(Biyi,j), (Bixi,j), (Bi+1zi,j)} maka setiap titik di G(LBt3 m) adjacent dengan D =
{Ai, i∈ganjil} ∪ {Bi, i∈genap} ∈ D sehingga γ(LBt3 m) ≤ |D| = n. Oleh karena
γ(LBtm 3 ) ≥ n dan γ(LBt m 3 ) ≤ n, maka γ(LBt m 3 ) = n. Himpunan D memuat Ai; Bi
elemen yaitu D = {Ai, i∈ganjil} ∪ {Bi, i∈genap}. Jika nilai-nilai i dimasukan,
akan didapat elemen D = {A1, B2, A3, B4, ..., An; Bn}, karena pada sisi yang
berhubungan antara A dan B sendiri adalah {Ai, Bi} maka {A1} tidak mungkin
bertetangga dengan {B2}. Sehingga D = {Ai, i∈ganjil} ∪ {Bi, i∈genap} untuk
setiap i pada elemen dari D tidak bertetangga maka D adalah himpunan yang independent. Dengan demikian didapatkan nilai i(LBtm
3 ) = γ(LBt
m
3 ) = n. 2
3 Teorema 3 Untuk n ≥ 4, n genap dan m ≥ 3, independent domination num-ber dari perpangkatan graf CBtm
n adalah i(CBt
m
n ) = n2.
Bukti. Graf eksponensial CBtm
n adalah graf terhubung dengan himpunan titik
V(CBtm
n ) = {xi, yi,j; 1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ m}, dan himpunan sisi E(CBtm
n ) =
{xixi+1; 1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ {xnx1} ∪ {xiyi,j; 1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ m} ∪ {xi+1yi,j; 1 ≤
i≤ n−1; 1 ≤ j ≤ m}∪{x1yn,j; ; 1 ≤ j ≤ m}. Sehingga p = |V (CBtm
n )| = nm+n,
q= |E(CBtm
n )| = 2nm + n, dan ∆(CnBtm) = 2m + 2.
Berdasarkan Teorema 1, yaitu γ ≥ ⌈1+∆(G)p ⌉ sehingga γ(CBtm
n ) ≥ ⌈1+2nm+nnm+n ⌉
= n2 untuk n genap. Selanjutnya dipilih himpunan titik dominator dari CBtm
yaitu D = {xi, i ∈genap} yang mendominasi titik lainnya yang ditunjukkan
pada sisi berikut {(xiyi,j), (xi+1yi,j)} maka setiap titik di CnBtm adjacent dengan
D = {xi, i ∈genap}, sehingga γ(CBtm n ) ≤ |D| = n2. Oleh karena γ(CBt m n ) ≥ n 2 dan γ(CBt m n ) ≤ n2, maka γ(CBt m
n ) = n2. Himpunan D memuat xi
ele-men yaitu D = {xi, i ∈genap}. Jika nilai-nilai i dimasukan, akan didapat
elemen D = {x2, x4, x8, ..., xn
2}, karena pada sisi yang berhubungan antara x sendiri adalah {(xixi+1), (xnxi)} maka x2 tidak mungkin bertetangga dengan
x4. Sehingga {xi, igenap} untuk setiap i pada elemen dari D tidak bertetangga
maka D adalah himpunan yang independent. Dengan demikian didapatkan nilai i(CBtm
n ) = γ(CnBtm) = n2. 2
Kesimpulan
Berdasarkan hasil dari pembahasan pada bagian sebelumnya, dapat dis-impulkan bahwa: 1. i(PBtm n ) = ( n−1 2 , untuk n ganjil n 2, untuk n genap 2. i(LBtm n ) = n 3. i(CBtm n ) = n2
Open Problem 1 Berdasarkan hasil penelitian mengenai independent dom-inating number pada beberapa graf operasi, maka peneliti memberikan saran kepada pembaca agar dapat mengembangkan teori independent domination set pada hasil operasi dari graf eksponensial untuk sebarang graf khusus yang men-capai pada batas bawah domination number.
References
[1] Agustin, I. H. dan Dafik. 2014. On The Domination Number of Some Families of Special Graphs.Prosiding Seminar Matematika dan Pendidikan Matematika Universitas Jember, 1 (1).
[2] Douglas. W. B. 1996. Introduction to Graph Theory. New Jersey: Prentice-Hall.
[3] Haynes, T.W and Henning, M.A.2002. Total Domination Good Vertices in Graphs. Australasian Journal of Combinatorics, 26: 305-315.
[4] Munir, R. 2009.Matematika Diskrit Edisi 3. Bandung: Informatika Ban-dung.
