Modul ke: Fakultas EKONOMI. Viciwati STl MSi. BISNIS. Program Studi Manajemen dan Akuntansi

SESI 6 MATEMATIKA

SESI 6 MATEMATIKA

Modul ke:

SESI 6 MATEMATIKA

SESI 6 MATEMATIKA

BISNIS

BISNIS

Fakultas P St di Viciwati STl MSi. EKONOMI BISNIS Program Studi Manajemen dan Akuntansi

DESKRIPSI MATA KULIAH DESKRIPSIMATAKULIAH

• Matakuliah ini merupakan alat untuk

menyederhanakan penyajian dan pemahaman menyederhanakan penyajian dan pemahaman masalah dengan menggunakan bahasa

matematik,suatu masalah dapat menjadi lebih sederhana untuk disajikan,dipahami, dianalisa dan dipecahkan.

KOMPETENSI

• Mahasiswa mampu menerapkan konsep konsep matematika dalam bidang ekonomi.

REFERENSI REFERENSI

• Dumairy.1999.MatematikaTerapanUntuk

Bisnis dan Ekonomi Yogyakarta BPFE UGM BisnisdanEkonomi, Yogyakarta,BPFEUGM

METODEPEMBELAJARAN 1. Masingmasingmahasiswadiwajibkanmembawa bukuyangsamadenganbukuyangdipakaiolehdosen supayatransferilmubisaberjalanlebihbaik. 2. Mahasiswadiharapkansiapuntukberpartisipasiaktif dalamkuliahdandiharapkanjugauntuksecara

mandiri aktif menemukan (discover) pengetahuan. mandiriaktifmenemukan(discover)pengetahuan. 3. Diluarkelas,mahasiswadiharapkanaktifberdiskusi dengantemantemannya. 4 M h i di jibk ik h il 4. Mahasiswadiwajibkanmempresentasikanhasil diskusimengenaimaterisesuaidenganpembagian kelompok. 5. Dosenakanmemberikankuismendadakdiawalatau akhirkuliah.

6 Mahasiswa diwajibkan membuat seluruh tugas yang 6. Mahasiswadiwajibkanmembuatseluruhtugasyang

Sesi MATERI KULIAH

MATERI PERKULIAHAN

1 Pengantar, Kontrak Perkuliahan/Silabus .Kegunaan Matematika secara umum, Sistem Himpunan dan sistem Bilangang

2 Deret Hitung dan Ukur dalam Ekonomi dan Bisnis

3 Penerapan Deret dalam Kehidupan (Model Bunga Mejemuk dan 3 Penerapan Deret dalam Kehidupan (Model Bunga Mejemuk dan

Pertumbuhan penduduk

4 Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis 4 Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis

5 Penerapan Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis (Keseimbangan pasar, pajak dan subsidi)

6 Penerapan Fungsi Linier dalam Ekonomi dan Bisnis (BEP dan fungsi konsumsi)

8 MIDTEST

9 Penerapan Fungsi Non Linier dalam Ekonomi dan Bisnis

10 Fungsi Diferensial Sederhana dan Majemuk

11 Penerapan Fungsi Diferensial dalam Ekonomi dan Bisnis

12 Fungsi Integral Tak Tentu dan Tentu

( )

13 Penerapan Integral (surplus produsen dan konsumen)

14 Fungsi Kaidah Matriks (Determinan dan Inverse) 14 Fungsi Kaidah Matriks (Determinan dan Inverse)

15 Fungsi Persamaan Optimalisasi (linier programming) 15 Fungsi Persamaan Optimalisasi (linier programming) 16 U A S

PENILAIAN PENILAIAN • UTS/MidTes Æ 20% / i l Æ % • UAS/FinalTes Æ 30% • PresentasiMateriberupateori,contohsoal, danjawaban Æ 40% • Kehadiran Æ 10%

PENUGASANDANOUTPUT Tugas Presentasi Kelompok

• Kelompok yang bertugas presentasi membuat :Kelompok yangbertugas presentasi membuat : • Rangkuman materi untuk setiap topicbahasan

yangberisi: y g

• Teori

• Contoh Soal dan Jawaban

• Bahan presentasi dalam bentuk powerpoint

• Dikumpulkan dalam bentuk hardcopy (cetak) danDikumpulkan dalam bentuk hardcopy (cetak)dan

softcopy (melalui email:vicihalo73@yahoo.com)

TATATERTIBPERKULIAHAN

• Perkuliahan dimulai tepat waktu sesuaiPerkuliahandimulaitepatwaktu sesuai denganjadwalataukesepakatankelas. • Toleransi keterlambatan 15 menit

• Toleransiketerlambatan15menit. • Apabilamahasiswaterlambattetap di b l hk k k ik i diperbolehkanmasuk untukmengikuti perkuliahannamundianggaptidakhadir l (b l ) d l i tanpaalasan(bolos)dalampresensi.

• Apabiladosenterlambatmakamahasiswa yangdatangsebelumnyamendapatkanpoint bonus5. • Jumlahkehadiranminimal75% daritatap muka(tatapmukaminimal12kalidan maksimal14kali). • Apabilamahasiswa tidakdapatmemenuhi makatidakakanmendapatkannilaip (walaupunmengikutiseluruhperkuliahan).

B l (tid k k t iji ) Æ k i l 3 • Bolos(tidakmasuktanpaijin)Æ maksimal3 kali • Tidakmasukkarenasakitatauijin menggunakansuratÆ tidakdianggapbolos • Apabiladosentidakdapathadir maka perkuliahantetapadadengandiberikantugas yangdikerjakanolehmahasiswa.Bagi mahasiswayangmasuk(menandatangani daftarhadir)sertamengumpulkantugasakan diberipointbonus10

• .Ketentuaniniberlakuapabiladosensudah tidakhadirlebihdari25%tatapmukaminimal (tatapmukaminimal12kalidanmaksimal14 kali). • Menggunakankemejaataukaosberkerah,gg j , bercelanapanjangataurok,bersepatu,dan tidakmengenakantopiselamaperkuliahang p p berlangsung

• Dosenwajibmenyerahkannilaiakhir sesuaij y dengantanggalpengumumannilaidikalender akademik.Apabilaadapertanyaanmengenaip p y g nilai,dilayanisampaidengan1(satu)minggu setelahtanggaltersebut.gg • Pengajuanujiansusulan,baikUTSmaupun UAS hanya dilayani apabila mahasiswa

UAS,hanyadilayaniapabilamahasiswa

mengajukansuratpermohonanyangdisetujui oleh Ketua Jurusan S1 Manajemen FE UMB

olehKetuaJurusanS 1ManajemenFEUMB. Alasantidakdapatmengikutiujianyang

diterima adalah: diterimaadalah:

kit ( l i i t k t d kt t • sakit(melampirisuratketerangandokteratau buktimondokdirumahsakit) • keluargasakitkeras/meninggaldunia(surat keterangandaripengurusRT) • INFORMASITAMBAHAN

Bila ada pertanyaan dapat menghubungi: Bilaadapertanyaandapatmenghubungi:

Viciwati

021 93638396 021.93638396

Pendahuluan Pendahuluan

Dalamkehidupanseharihari,tentunyakita tidak akan pernah terlepas dari kegiatan

tidakakanpernahterlepasdarikegiatan ekonomi. B b i il h i il h d l k i Beberapaistilahistilahdalamperekonomian keuanganperludipahamidiantaranyabunga l di k l b j k tunggal,diskontotunggal,bungamajemuk, systemkreditcicilan,dananuitas.

Sebelum membicarakan tentang bahasan Sebelum membicarakan tentang bahasan

bunga tunggal, bunga majemuk dan

seterusnya akan diberikan defenisi seterusnya akan diberikan defenisi matematika dan pembahasan tentang prinsip prinsip matematika yang digunakan dalam prinsip matematika yang digunakan dalam ekonomi dan bisnis.

DEFENISIMATEMATIKA

• ASALKATA

A l k t MATHEIN ti l j i t

• Asalkata:MATHEINartinyamempelajariatau belajar.Denganmempelajarimatematika,

seseoran akan terbiasa men at r jalan seseorangakanterbiasamengaturjalan pemikirannyadgnsistematis. • Berpikirmatematis:Seseorangyghendak menempuhjarak2milakanMEMILIHnaik mobildaripadajalankaki,kecualijika waktunyabanyakterluangatausedang berolahraga.

• Untuk dapat mengenderai mobil harusUntukdapatmengenderaimobil,harus

belajarmenyupir.Untukdapatsupirmobil

yang baik dia perlu pengetahuan matematika yangbaik,diaperlupengetahuanmatematika. Matematika,merupakansarana=pendekatan untuk suatu analisa Dengan mempelajari

untuksuatuanalisa.Denganmempelajari matematika,membawaseseorangkepada kesimpulan dalam waktu yang singkat

DEFENISIEKONOMI

• EKONOMI ATAU ECONOMIC BERASAL DARI • EKONOMIATAUECONOMICBERASALDARI

BAHASAYUNANIYAITUKATA“OIKOSATAU OIKU” DAN “NOMOS”

OIKU DAN NOMOS

• OIKOS=HOUSE,NOMOS=LAWATAUCUSTOM. • EKONOMIBERARTIILMUSOSIALYANG

MEMPELAJARITENTANGPRODUKSI,

DISTRIBUSIDANKOMSUMSIBARANGDAN PELAYANANNYA.

PENGGOLONGANDANJENISANALISA

PADAILMUEKONOMI

JENISANALISAPADAILMUEKONOMI 1. ILMU DESKRITIF. 1.ILMUDESKRITIF. GAMBARANTENTANGSUATUKONDISIATAU KEADAAN DENGAN SEBENARNYA

KEADAANDENGANSEBENARNYA.

CONTOH:TURUNNILAIKURSRUPIATERHADAP USDOLLAR.

2.TEORIILMUEKONOMI.(TEORIEKONOMI). DIDASARKANPADAKONDISINYATAYANG

TERJADIPADAMASYARAKATTERUTAMASIFAT SIFATHUBUNGANEKONOMI.

CONTOH : PERMINTAAN BARANG AKAN NAIK, CONTOH:PERMINTAANBARANGAKANNAIK, HARGAAKANTURUN,SEBALIKNYA

PERMINTAAN AKAN TURUN, HARGA AKAN PERMINTAANAKANTURUN,HARGAAKAN NAIK.

3 TEORI EKONOMI APLIKASI 3.TEORIEKONOMIAPLIKASI.

MENGANALISADANMENELAAHTENTANG

HAL HAL YANG PERLU DILAKUKAN MENGENAI HALHALYANGPERLUDILAKUKANMENGENAI SUATUKEJADIANDALAMPEREKONOMIAN.

Ekonomi dan Matematika Ekonom

i

EkonomidanMatematikaEkonom

i

Analisis ekonomi tidak berbeda jika Analisis ekonomi tidak berbeda jika menggunakan pendekatan matematis dibanding dengan tanpa pendekatan dibanding dengan tanpa pendekatan matematis.Bedanya/keuntungannya:

a Dengan pendekatan matematis persoalan a. Dengan pendekatan matematis,persoalan

atau pokok bahasan menjadi sederhana.

b D d k i b i

b. Dengan pendekatan matematis,berarti mengaktifkan logika dengan asumsi

i

Dapat memakai sebanyak n variabel dalam Dapatmemakaisebanyaknvariabeldalam menggambarkansesuatu(hubunganantar i b l) variabel) MisQ_d =f(Pr,Inc,Pi,…),dimana: Pr=hargakomoditiyangbersangkutan Inc = pendapatan Inc pendapatan, Pi=hargakomoditisubstitusi

Kelemahannya pendekatan matematis: a. Bahasa matematis tidak selalu mudah

dimengerti oleh ahli ekonomi sehingga sering

d e ge t o e a e o o se gga se g

menimbulkan kesukaran.

Contoh Y = f(X) dalam ilmu ekonomi bagaimana Contoh Y=f(X),dalam ilmu ekonomi bagaimana mengartikan persamaan matematis

tersebut,misal dalam:permintaan,produksi,

pendapatan nasional,dan lainlainsehingga ahli ekonomi sulit memetik keuntungan dari

matematika matematika.

S hli k i iliki a. Seorang ahli ekonomi yangmemiliki pengetahuan dasar matematika,ada

kecenderungan:

1. Membatasi diri dengan hanya memecahkan 1. Membatasi diri dengan hanya memecahkan

persoalan secara matematis

2 Membuat beberapa asumsi yang kurang tepat 2. Membuat beberapa asumsi yangkurang tepat

demi memudahkan pendekatan matematis atau statistis Artinya lebih banyak berbicara

statistis.Artinya,lebih banyak berbicara

matematika dan statistika dari pada prinsip/ teori ekonomi

Kesimpulan dari bahasa adalah: Kesimpulandaribahasaadalah: 1.Matematikamerupakanpendekatanbagiilmu ekonomi ekonomi. 2.Pendekatanmatematismerupakan“modeof i ” i b iki transportation”yaitumembawapemikiran kepadakesimpulandengansingkat(model)

PRINSIPPRINSIP MATEMATIKA YANG PRINSIP PRINSIPMATEMATIKAYANG DIGUNAKANDALAMEKONOMIDANBISNIS D l il ik dik lk k Dalamilmumatematika,dikenalkankonsep barisandanderetaritmetikadangeometri. Konsepdaribarisandanderettersebutdalam bidangekonomiantaralaindigunakandalam membahastentang:modelperkembangan usaha,modelpertumbuhanpenduduk,bunga majemuk,nilaimasadatangdarianuitas,dan cadangan,nilaisekarangdarianuitas,dan penyisihanpinjaman

• Jikaperkembanganvariablevariabletertentu dalamkegiatanusaha(misalnya:produksi, biaya,pendapatan,penggunaantenaga kerja,penanamanmodal)berpolaseperti barisanaritmetika,makaprinsipprinsip barisanaritmetikadapatdigunakanuntuk menganalisaperkembanganvariabel tersebut. • Penerapanderetukuryangpaling konvensionaldibidangekonomiadalahdalam halpenghitunganpertumbuhan penduduk,karenapendudukduniatumbuh mengikutipoladeretukur.

Definisi Himpunan

DefinisiHimpunan

• Konsep himpunan adalah suatu konsep yang paling

mendasar bagi Ilmu Matematika modern pada

d di bid il k i d bi i d

umumnya dan di bidang ilmu ekonomi dan bisnis pada khususnya.

• Dalam bidang ekonomi dan bisnis terutama dalam

hal pembentukan model kita harus menggunakan hal pembentukan model kita harus menggunakan sehimpunan atau sekelompok data observasi dari lapanganapa ga

HIMPUNAN

HIMPUNAN

Pengertian Himpunan

Himpunan adalah Kumpulan benda atau objek yang didefinisikan (diterangkan) dengan jelas

Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C, D, p g g p y …,Z dan objek-objek dari himpunan itu ditulis diantara dua kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma

Yang dimaksud diterangkan dengan jelas adalah benda atau Yang dimaksud diterangkan dengan jelas adalah benda atau

objeknya jelas mana yang merupakan anggota dan mana yang bukan anggota dari himpunan itu

Contoh:

A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10 A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

Soal : Nyatakan himpunan berikut dalam bentuk notasi pembentuk himpunan

pembentuk himpunan

1. B adalah bilangan Asli yang lebih dari 3 dan kurang atau sama dengan 15

atau sama dengan 15

2. C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama dengan 5 t t i k d i 10

3. D adalah bilangan ganjil kurang dari 20 -5 tetapi kurang dari 10

J b

1. B = { x | 3 < x  15 , x  A} Jawaban :

2. C = { x | -5  x < 10 , x  B } 3. D = { x | x < 20 , x  A }

Contoh soal : Nyatakan soal di atas dengan cara mendaftar anggotanya Jawaban: Ja aba = { 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 } 1. B = { x | 3 < x  15 , x  A} = { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 2. C = { x | -5  x < 10 , x  B } { , , , , , , , , , , , , , , } = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 } 3. D = { x | x < 20 , x  A } { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 }

Keanggotaan Suatu Himpunan Contoh: Co to A = { 1, 3, 5, 7, 9 } B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } 1  A 1  B 2  B 2  A 3  A 3  B 5  A 5  B 7 A 7  B 4  B 4  A 6  B 6  A 8  B 8  A 7  A 7  B 9  A 9  B 8  B 8  A 10  B 10  A 12  B 12  A

Banyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(A) = 5 Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(B) = 6

Catatan: Lambang  dibaca “elemen” atau anggota

Lambang  dibaca “bukan elemen” atau bukan anggota

Lambang n(A) n(B) disebut bilangan kardinal Lambang n(A), n(B) disebut bilangan kardinal

HIMPUNAN KOSONG

DEFINISI:

Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dilambangkan dengan { } atau ‡

dan dilambangkan dengan { } atau ‡ Contoh :

D={x|xorangyangtingginyalebihdari5m}

F = { x | x bilangan prima antara 7 dan 11 }

Pada contoh di atas adakah saat ini orang yang tingginya lebih dari 5 meter dan adakah bilangan prima diantara 7 dan 11 ? (coba pikir)

Himpunan Lepas

Definisi:

D hi tid k k dik t k li l jik k d

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang sama

Contoh : L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 } G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 } Coba kalian perhatikan, adakah anggota himpunan L dan G yang sama ? Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yang sama maka himpunan L dan G adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi L // G

dan G adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi L // G Himpunan Tidak Saling Lepas

Definisi:

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan tidak saling lepas

(berpotongan) jika kedua himpunan itu mempunyai anggota yang sama

Contoh : Contoh :

P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }

Himpunan P dan himpunan Q tidak saling lepas karena mempunyai

Q

Himpunan Semesta

Definisi :

Himpunan Semesta adalah himpunan yang memuat semua objek p p y g j yang dibicarakan Contoh : A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} B = { -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 } C = { 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 } D = { 2,3,5,7,11 } E = { 0, 2, 4, 6 } C = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }

Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C, D, dan E

1. Apakah setiap anggota himpunan D ada di dalam himpunan A, B, dan C ?p p gg p p , , 2. Apakah setiap anggota himpunan E ada di dalam himpunan A, B, dan C ?

Setiap anggota himpunan D yaitu 2,3,5,7,11 ada di dalam Himpunan A, B, C. Oleh karena itu Himpunan A,B,C adalah Himpunan Semesta dari Himpunan Dp , , p p

Setiap anggota Himpunan E yaitu 0,2,4,6 ada di dalam himpunan B dan C, tetapi angka 0 tidak ada di dalam himpunan A. Oleh karena itu Himpunan B dan C

merupakan Himpunan semesta dari himpunan E dan Himpunan A bukan himpunan merupakan Himpunan semesta dari himpunan E, dan Himpunan A bukan himpunan semesta dari himpunan E

HIMPUNAN BAGIAN

Definisi:

A adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggota A adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B dilambangkan

dengan A  B Contoh:

S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

A { 0 1 2 3 4 5 6 7 } B { 1 2 3 4 } C { 6 7 8 9 } A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ; B = { 1, 2, 3, 4 } ; C = { 6, 7, 8, 9 }

a. Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A ? b Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A ? b. Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?

Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C

a. Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota a. Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota

himpunan A maka himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A, jadi B  A

b K d t hi C it 8 d 9 tid k t d t di

b. Karena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9 tidak terdapat di dalam himpunan A maka himpunan C bukan himpunan bagian dari himpunan A, jadi C ΠA

Rumus Banyaknya Himpunan Bagian

Jika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) maka banyaknya Jika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah sebanyak 2n(A)

Contoh:

Tentukan banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan berikut 1. A = { a, b, c }

2. B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

3. C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Jawab:

1. n(A) = 3 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari A adalah 23_{= 2 x 2 x 2 = 8}

2. n(B) = 5 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari B adalah 25_{= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32}

3. n(C) = 7 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari C adalah 27 _{= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128}

Himpunan Sama Definisi:

Dua himpunan dikatakan sama apabila setiap anggota kedua himpunan itu sama bentuk dan jumlahnya

Contoh : Contoh :

A = { a, I, u, e, o } ; B = { u, a, I, o, e }

Kedua himpunan A dan B anggota-anggotanya sama yaitu a,I,u,e, dan o maka himpunan A = B

Himpunan Ekuivalen Definisi:

Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlah anggota kedua himpunan itu sama tetapi bendanya ada yang tidak samap y y g

Contoh :

P = { a, I, u, e, o } ; Q = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Kedua himpunan P dan Q anggota-anggotanya tidak sama tetapi jumlah anggotanya sama maka himpunan P Ekuivalen dengan Q, jadi ( P ~ Q )

Irisan Dua Himpunan (Interseksi)

Definisi:

Irisan himpunan A dan B ditulis A ˆ B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B

Contoh:

Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P ˆ Q P ˆ Q = { d, e }

Jawab :

Gabungan Dua Himpunan ( Union)

Definisi:

Gabungan himpunan A dan B ditulis A ‰ B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A atau menjadi anggota himpunan B

Contoh: Contoh:

Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P ‰ Q

Komplemen

(Complement)

Komplemen

(Complement)

• Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang

terdiri dari unsurunsur yang terdapat dalam

^

A

`

A' /

himpunan semesta U tapi tidak merupakan unsur dari himpunan A.

’  k A_'

^

x _/ x  A

`

• Notasi : A’ atau , maka U

Gabungan

(Union)

Gabungan

(Union)

• Gabungan dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan dimana unsurunsurnya adalah unsur yang berada di A atau di B atau dikeduanya.

U

A

B

B

A ‰

Irisan

(Intersection)

Irisan

(Intersection)

• Irisan dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang unsurunsurnya dimiliki oleh A dan juga dimiliki oleh B secara bersamaan.

U

A

B

B

A ˆ

Selisih Himpunan

(Set Difference)

SelisihHimpunan

(SetDifference)

• Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang semua unsurunsurnya termasuk di A tetapi tidak termasuk di B.

U

A

B

B

A 

Diagram Venn

Langkah-langkah menggambar diagram venna g a a g a e gga ba d ag a e

1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan

2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-samagg p y g 3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah

4. Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi anggota bersama tadi

5. Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan 6. Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam 6. Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam

lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu

7. Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkap

Contoh:

Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }eta u S { 0, , ,3, ,5,6, ,8,9, 0, , , 3, }

A = { 1,2,3,4,5,6 } B = { 2,4,6,8,10 } C = { 3,6,9,12 }

Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas Jawab:

A

S

6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A,B,C

0

3 1 5 9

12

7 3 dan 6 adalah anggota yg

dimiliki oleh himpunan A dan C 6 2 4 8 10 12 C ₁₄ 2,4, 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan B

8 10

B 11

Contoh 2:

Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 orang gemar menari dan 10 orang gemar keduanya.

a. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis? b. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari? b da be apa o a g s s a ya g a ya ge a e a

c. Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya? Jawab:

N(S) 32 Mi l A { i l ki }

N(S) = 32 Misalnya : A = {siswa gemar melukis} n(A) = 21 B = {siswa gemar menari} _{n(B) = 16}

A ˆ B = {siswa gemar keduanya} n(A ˆ B) = 10

Perhatikan Diagram Venn berikut

a Ada 11 siswa yang hanya gemar melukis

10

A B

11 6

S a. Ada 11 siswa yang hanya gemar melukis

b. Ada 6 siswa yang hanya gemar menari c Ada 5 siswa yang tidak gemar keduanya

5

Contoh 3:

Diketahui : S = { x | 10 { | < x  20, x ,  B }} M = { x | x > 15, x  S }

N = { x | x > 12, x  S } Gambarlah diagram vennya Gambarlah diagram vennya

Jawab : S = { x | 10 < x  20, x  B } = { 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 }

M = { x | x { | > 15, x ,  S } = { 16,17,18,19,20}} { , , , , }

N = { x | x > 12, x  S } = { 13,14,15,16,17,18,19,20} M ˆ N = { 16,17,18,19,20 }

S

Diagram Vennya adalah sbb:

16 17 18 19 20 M N 13 11 ₁₃ 14 ₁₅ 12

Contoh 4:

Dari 60 siswa terdapat 20 orang suka bakso, 46 orang suka siomay dan 5 orang tidak suka keduanya.

o a g t da su a edua ya

a. Ada berapa orang siswa yang suka bakso dan siomay? b. Ada berapa orang siswa yang hanya suka bakso?

c. Ada berapa orang siswa yang hanya suka siomay? c da be apa o a g s s a ya g a ya su a s o ay

Jawab: N(S) = 60

Misalnya : A = {siswa suka bakso} n(A) = 20 B = {siswa suka siomay} _{n(B) = 46}

(A ˆB)c ₌ {_{tidak suka keduanya} n((A} ˆ_{B)c) = 5}

Maka A ˆB = {suka keduanya} _n(A ˆ_{B) = x} {siswa suka bakso saja} = 20 - x

{siswa suka siomay saja} = 46 - x

n(S) = (20 – x)+x+(46-x)+5 60 = 71 - x

{siswa suka siomay saja} 46 x

Perhatikan Diagram Venn berikut S

X = 71 – 60 = 11

a. Yang suka keduanya adalah x = 11 orang

b. Yang suka bakso saja adalah

x

A _{20 - x 46 - x B}

5

b. Yang suka bakso saja adalah 20-x = 20-11= 9 orang

c. Yang suka siomay saja adalah 46-x = 46-11= 35 orang

Latihan 1

Dari survei terhadap 270 orang didapatkan hasil sbb :

64 suka donat, 94 suka bolu, 58 suka kacang, 26 suka donat dan bolu, 28 suka donat dan kacang,

22 k b l d k 14 k k ti j i

22 suka bolu dan kacang, 14 suka ketiga jenis makanan tersebut.

Berapa orang tidak suka makan semua jenis Berapa orang tidak suka makan semua jenis makanan yang disebutkan di atas ?

Penyelesaian

Penyelesaian

A = {orang yang suka donat} B = {orang yang suka bolu}

C = {orang yang suka kacang }

|A B C| = |A| + |B| + |C| – |A  B| – |A  C| – |B  C| |A  B  C| |B  C| + |A  B  C| = 64 + 94 + 58 – 26 – 28 – 22 + 14 = 154 = 154

Jadi mereka yang tidak suka ketiga jenis makanan tersebut ada sebanyak 270 – 154 = 116 orang jenis sayur

Penyelesaian

Penyelesaian

64 suka donat, 94 suka bolu 58 suka kacang, DONAT BOLU

26 suka donat & bolu, 28 suka donat & kacang, 22 suka bolu & kacang

14 suka ketiga jenis makanan

b= 12

c = 60 a = 24

14 suka ketiga jenis makanan tsb a + b + d + e = 64 b + c + e + f = 94 e = 14 d = 14 _{f = 8} b + c + e + f = 94 d + e + f + g = 58 b + e = 26 d + e = 28 g = 22 d + e = 28 e + f = 22 e = 14 KACANG

Latihan 2

Latihan 2

y Gambarkan sebuah diagram venn untukGambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika :p p g j

U = {1,2,3,4,5,6,7,8 } A = {2,3,5,7}{ } B = {1,3,4,7,8 } Kemudian selesaikan : (a) A – B (c) A ŀ B (e) A ŀ B (b) B – A (d) A U B (f) B ŀ 

Himpunan Bilangan

HimpunanBilangan

y Himpunan bilangan yang pertama kita kenal adalah himpunan bilangan bulat positif (himpunan bilangan asli/bilangan alam), yaitu ,1,2,3,... Notasinya adalah N.

asli/bilangan alam), yaitu , , ,3,... Notasinya adalah N.

y Himpunan N tertutup terhadap operasioperasi perkalian dan pertambahan. Artinya bila kita lakukan operasioperasi tersebut pada himpunan bilangan asli maka hasilnya juga merupakan bilangan asli. Tetapi untuk operasi penguranganp g p p p g g dan pembagian tidaklah demikian. Jadi N tidak tertutup terhadap operasi pengurangan dan pembagian. Artinya bila kita operasikan operasi tersebut terhadap himpunan bilangan kita operasikan operasi tersebut terhadap himpunan bilangan asli maka akan menimbulkan himpunan bilangan baru.

a – b akan menghasilkan bil asli bila a > b

Beberapa operasi himpunan diantaranya :

Operasi Himpunan (Set Operation)

Beberapaoperasihimpunandiantaranya: 1.

OperasiHimpunan(SetOperation)

A B B A ‰ ‰ A B B A ˆ ˆ 2. 3. A B B A ˆ ˆ B C  A B A C A ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ A ‰ B' A'ˆB' 4. 5 A ‰ B A ˆB A ˆ B' A'‰B'  A ' ' A 5. 6   A B B A  z 

Himpunan Bilangan

Adapun operasi penambahan dan perkalian pada bil asli tunduk pada hukumhukum berikut:

HimpunanBilangan

1. a+b = b+a ; hukum komutasi penjumlahan 1.a b b a;hukumkomutasipenjumlahan

2.(a+b)+c=a+(b+c); hukumasosiasi penjumlahan

3 b b h k k t i k li

3.axb=bxa;hukumkomutasiperkalian

K bil

Himpunan Bilangan

li k i

• Karena bilangan asli tertutup untuk operasi

pengurangan dan pembagian, maka para

matematikawan menciptakan bilangan nol bilangan

HimpunanBilangan

matematikawan menciptakan bilangan nol, bilangan bulat negatif dan bilangan pecahan.

• Bilangan pecahan dapat ditulis dalam bentuk desimal. Desimalnya selalu berakhir atau berulang.

Desimalnya selalu berakhir atau berulang. Misal: ½ = 0,5 13/11 = 1 1818181818 13/11 = 1.1818181818... 2/7 = 0,285714285714... (285714 berulang) 11/13 = 0 846153846153 (846153 berulang) 11/13 = 0,846153846153... (846153 berulang)

Himpunan Bilangan

• Gabungan bilangan bulat dan bilangan pecahan disebut bilangan rasional. Ternyata

HimpunanBilangan

pecahan disebut bilangan rasional. Ternyata bilangan rasional juga tidak mampu untuk memenuhi akan bilangan matematika. Maka memenuhi akan bilangan matematika. Maka

pada tahun 500 SM, Phytagoras

memperkenalkan suatu bilangan yang disebut memperkenalkan suatu bilangan yang disebut bilangan Irrasional. Misal: ₂ = 1 414213562 Misal: = 1,414213562... = 3,141592654... 2 S e = 2,718281828...

• Bilangan riil adalah bilangan yang mungkinBilanganriiladalahbilanganyangmungkin bulat,mungkinpecahandanmungkin

irrasional irrasional.

Sk

Hi

Bil

SkemaHimpunanBilangan

_{BilanganKompleks}

BilanganNyata(Riil) BilanganKhayal BilanganIrrasional BilanganRasional

Bilangan Bulat Bilangan Pecahan BilanganBulat BilanganPecahan Positif Nol Negatif

Pangkat Akar dan

Pangkat, Akar dan

Logaritma

Logaritma

• Pangkat

K id h k t bil

– Kaidahpemangkatanbilangan

– Kaidahperkalianbilanganberpangkat Kaidah pembagian bilangan berpangkat – Kaidahpembagianbilanganberpangkat • Akar

Kaidah pengakaran bilangan – Kaidahpengakaranbilangan

– Kaidahpenjumlahanbilanganterakar – Kaidah perkalian bilangan terakar

– Kaidahperkalianbilanganterakar – Kaidahpembagianbilanganterakar • LogaritmaLogaritma

 BasisLogaritma

 Kaidahkaidah LogaritmaKaidah kaidahLogaritma

P k t

• Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu Pangkat

Pangkatdarisebuahbilanganialahsuatu indeksyangmenunjukkanbanyaknya

perkalian bilangan yang sama secara perkalianbilanganyangsamasecara berurutan.

• Notasi xa _{: bahwa x harus dikalikan dengan x}

• Notasixa_{:bahwaxharusdikalikandenganx}

itusendirisecaraberturutturutsebanyaka kali

KaidahPemangkatanBilangan

a a x x ¸· ¨§

 

6. ) 0 ( 1 . 1 0 _a y x y x x x ¸¸¹ · ¨¨© § z

 

dimana 8 0 0 3 7. . 2 1 b c a x ab b a a c x x x x x x b 1 . 4 dimana 8. 0 0 . 3 a a x a c x x  5 b b a a a X x x . 5 x X

Kaidahperkalianbilanganberpangkat

˜

b ab a

_x

_x

x

729

3

3

3

3

:

contoh

2

˜

4 24 6

 

˜

a a a

_y

_xy

x

225

15

)

5

3

(

5

3

:

contoh

2

˜

2

˜

2 2

Kaidahpembagianbilanganberpangkat

: b ab a _{x x} x 9 1 3 3 3 : 3 : contoh : 2 4 2 4 2   x x x 9 · § a : ¸¸¹ · ¨¨© § a a y x y x 25 9 5 3 5 : 3 : contoh 2 2 2 ¸ ¹ · ¨ © §

Ak Akar

• Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakanAkarmerupakanbentuklainuntukmenyatakan bilanganberpangkat. • Akardarisebuahbilanganialahbasis(x)yangg ( ) y g memenuhibilangantersebutberkenaandengan pangkatakarnya(a). • Bentukumum:

m

x

x

m

a a

_jika

Kaidahpengakaranbilangan

b b

1

1 a b b

_x

_x

.

1

b b b b

_x

a

_x

3

.

2

b b b

x

x

y

x

xy

˜

.

3

b b b

y

x

y

x

.

4

y

y

Kaidahpenjumlahan(pengurangan)

bilanganterakar

• Bilanganbilanganterakarhanyadapat ditambahkanataudikurangkanapabilaakar akarnya sejenis akarnyasejenis. b a b a b

_x

a

_n

_x

_m

_n

_x

m

r

(

r

)

Kaidahperkalianbilanganterakar

bil dil k k d h P k li bil bil kali hasil dari akar adalah erakar bilangan t -bilangan kali Hasil sama. berpangkat akarnya -akar apabila dilakukan dapat hanya Perkalian a. bilanganny -bilangan b b b _{x ˜ y xy} kali hasil ialah akarnya baru -pangkat an; bersangkut bilangan dari baru pangkat akar adalah bilangan sebuah dari ganda Akar bc a c a b x x . sebelumnya akar -akar dari pangkat

Kaidahpembagianbilanganterakar

` Hasil bagi bilangan ` Hasilbagibilangan bilanganterakaradalah akardarihasilbagi

b

bilanganbilangannya. Pembagianhanyadapat dil k k bil k

b

b

_x

x

dilakukanapabilaakar akarnyaberpangkat sama

b

b

y

y

sama.

y

y

Logaritma

Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan dari

k t d / t k

proses pemangkatan dan/atau pengakaran.

a m x m m xa a x_log Logaritma Bentuk akar Bentuk pangkat Bentuk a m x m m x log

Suku-suku pada ruas kanan menunjukkan bilangan yang dicari atau hendak dihitung pada masing-masing bentuk

BasisLogaritma

• Logaritma dapat dihitung untuk basis berapapun.

g

Logaritmadapatdihitunguntukbasisberapapun. • Biasanyaberupabilanganpositifdantidaksama dengansatu.g • Basislogaritmayangpalinglazimdipakaiadalah10 (commonlogarithm)/(logaritmabriggs)g g gg

• log_m berarti10 log_m,log₂₄ berarti10 log₂₄

• Logaritmaberbasisbilangane(2,72)disebutbilangang g ( , ) g logaritmaalam(naturallogarithm)ataulogaritma

Napier

KaidahkaidahLogaritma

n m

mn

x x x x

x_{log 1 6 log log  log}

1 n m m n m mn x x x x x _  log log log 7. 0 1 log . 2 log log log . 6 1 log . 1 x m a x n m n m x a

x_{log 8. log ˜ log 1}

. 3 log log log 7. 0 1 log . 2 x n m m a m x n m x x a x _{˜ ˜} l 5 1 log log log 9. log log . 4 m m x x_log . 5

PenyelesaianPersamaandenganLogaritma

• Logaritma dapat digunakan untuk mencariLogaritmadapatdigunakanuntukmencari

bilanganyangbelumdiketahui(bilangananu) dalamsebuahpersamaan,khususnya persamaaneksponensialdanpersamaan logaritmik. • Persamaanlogaritmikialahpersamaanyang bilangananunyaberupabilanganlogaritma, b i h sebagaicontoh: log(3x+298)=3

Latihan

• Dengan melogaritmakan kedua ruas hitunglahDenganmelogaritmakankeduaruas,hitunglah xuntuk3x+1 =27

• Selesaikan x untuk log (3x + 298) =3 • Selesaikanxuntuklog(3x+298)=3

Terima Kasih

Terima Kasih