InfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012

Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012

104

PENERAPAN METODE BESARAN PIVOT

DALAM PENURUNAN RUMUS TAKSIRAN INTERVAL

DARI KOEFISIEN REGRESI LINEAR SEDERHANA

Oleh : Nar Herrhyanto

Jurusan Pendidikan Matematika, FPMIPA, UPI

Abstrak

Regresi merupakan bentuk hubungan antara variabel bebas X dan variabel respon Y yang dinyatakan dalam sebuah persamaan matematik. Persamaan matematik tsb selanjutnya akan merupakan sebuah persamaan regresi. Persamaan regresi linear yang sebenarnya berbentuk Y = α + βX + ε. Dari koefisien regresi α dan β, maka β merupakan koefisien regresi yang berpengaruh terhadap perubahan variabel respon Y.

Karena nilai β ini biasanya tidak diketahui, maka nilainya akan ditaksir berdasarkan data sampel. Dalam hal ini, penaksiran β yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah penaksiran interval. Dengan kata lain, bagaimana bentuk rumus taksiran interval dari β ini. Sehingga dalam makalah ini akan dijelaskan bagaimana penurunan rumus taksiran interval dari β. Dalam statistika matematik ada sebuah metode yang digunakan dalam penaksiran interval ini, yaitu metode besaran pivot.

Kata Kunci : Regresi Linear Sederhana, Taksiran Interval Koefisien Regresi, Besaran Pivot

Pendahuluan

Dalam kehidupan sehari-hari banyak data yang diperoleh atau dikumpulkan dengan melibatkan variabel. Apabila ada dua variabel, yaitu variabel bebas dan variabel respon, maka dapat diketahui hubungan antara kedua variabel tsb. Variabel bebas adalah variabel yang nilainya sudah diketahui dan biasanya dinyatakan dengan X. Variabel respon adalah variabel yang nilainya ditentukan berdasarkan variabel bebas, dan biasanya dinyatakan dengan Y. Dari kedua variabel tsb, dapat diketahui bentuk hubungan antara keduanya yang dinyatakan dengan sebuah persamaan matematik. Bentuk hubungan tsb sering disebut sebagai regresi.

Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012

105

Regresi ada dua macam, yaitu regresi linear dan regresi non linear. Penentuan regresi linear atau non linear ini bisa diketahui melalui metode tangan bebas. Dalam metode tangan bebas ini didasarkan pada diagram pencar, yaitu diagram yang dibentuk berdasarkan data berpasangan (x,y) dan berupa sekumpulan titik-titk yang terpencar dimana-mana. Apabila letak sekumpulan titik-titik itu sekitar garis lurus, maka regresi yang diperoleh berbentuk linear. Apabila letak sekumpulan titik-titik itu membentuk sebuah kurva, maka regresi yang diperoleh berbentuk non linear. Dalam hal ini akan dibahas regresi yang berbentuk linear saja. Regresi linearnya juga merupakan regresi linear sederhana, yaitu regresi yang melibatkan satu variabel bebas X dan satu variabel respon Y.

Persamaan regresi yang sebenarnya berbentuk Y = α + βX + ε. Dari koefisien regresi α dan β, maka β merupakan koefisien regresi yang berpengaruh terhadap perubahan variabel respon Y. Artinya β merupakan koefisien yang menyatakan perubahan variabel respon Y, apabila variabel bebas X berubah sebesar satu satuan. Karena nilai β ini biasanya tidak diketahui, maka nilainya akan ditaksir berdasarkan data sampel.

Dalam statistika dibahas penyelesaian suatu masalah, mulai dari pengumpulan data sampai penarikan kesimpulan. Salah satu cara yang digunakan untuk menarik kesimpulan adalah berhubungan dengan penaksiran parameter. Penaksiran parameter adalah penentuan sebuah nilai atau nilai-nilai yang dihitung dari sampel acak sebagai pengganti dari sebuah parameter yang nilainya tidak diketahui. Penentuan nilai dari sampel acak ini disesuaikan dengan parameternya. Penaksiran interval merupakan cara untuk menentukan nilai-nilai yang berbentuk interval berdasarkan data sampel, dimana nilai-nilai tsb sebagai pengganti dari nilai parameter yang tidak diketahui. Dalam penentuan taksiran interval tsb harus dicari dahulu taksiran titik dari parameter yang bersesuaiannya. Dalam statistika yang membahas rumus-rumusnya secara teoritis (disebut statistika matematik) ada sebuah metode yang digunakan untuk menentukan taksiran interval dari sebuah parameter, yaitu metode besaran pivot.

Permasalahan

Dalam statistika ada dua cara untuk mempelajarinya, yaitu menggunakan rumus-rumusnya dan menurunkan rumus-rumusnya. Orang yang mempelajari statistika, selain menggunakan rumus yang ada sebaiknya harus dipelajari juga bagaimana rumus-rumus itu diturunkan. Untuk menurunkan rumus dalam statistika diperlukan materi prasyarat, sehingga masalah ini merupakan masalah teoritis. Sehubungan dengan masalah teoritis ini, maka penulis

Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012

106

berusaha untuk menurunkan rumus-rumus yang terdapat dalam statistika khususnya dalam regresi. Salah satu masalah yang terdapat dalam regresi adalah taksiran interval dari koefisien regresi dalam regresi linear sederhana. Sehingga permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah bagaimana penurunan rumus taksiran interval untuk koefisien regresi linear sederhana dengan menggunakan metode besaran pivot?

Pembahasan

Menurut Herrhyanto (2003:156) dan (2010:52), langkah-langkah yang diperlukan untuk menentukan taksiran interval sebuah parameter dari sebuah distribusi dengan menggunakan metode besaran pivot sbb:

1. Tentukan taksiran titik dari parameter itu. Dalam hal ini, tentunya dicari penaksir tak bias bagi parameter itu.

2. Tentukan distribusi dari penaksir tak bias itu (kalau diperlukan).

3. Tentukan besaran pivot, yaitu besaran yang mengandung penaksir dan parameter sedemikian hingga distribusinya tidak bergantung pada parameternya.

4. Tentukan distribusi dari besaran pivot.

5. Besaran pivot itu disubstitusikan kedalam bentuk umum dari taksiran interval dengan derajat keyakinan sebesar (1 – α), yaitu :

P(a < besaran pivot < b) = 1 – α 6. Ubah bentuk dalam langkah kelima kedalam bentuk:

P(c < parameter < d) = 1 - α Berikut ini akan dijelaskan langkah-langkah di atas.

1. Penaksir Titik Parameter yang Tak Bias

Persamaan regresi linear sederhana mempunyai bentuk Y = α + βX + ε dan

persamaan regresi taksirannya berbentuk

Y

X

  









. Karena Y berdistribusi

N(α + βx ; σ2_{), maka fungsi kepadatan peluang dari Y berbentuk:}





_



















_

_



y

x

y

y

f

;

2

1

exp

.

2

1

)

(

₂ 2 2











Dalam hal ini akan ditentukan penaksir dari α dan β dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum.

Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012 107 L(α,β,σ2_{;y1,y2,…,yn) =}















_

_

2 1 1 2 2

₂

1

exp

.

2

1

x

y











x ₂

_





2



2





2



2

_



2

1

exp

.

2

1

x

y











x … x

_





₂









2

_



2

₂

1

exp

.

2

1

n n

x

y











=

_

_















_













 n i i i n

x

y

1 2 2 2

₂

1

exp

.

2

1

_

_







ln L(α,β,σ2_{;y1,y2,…,yn) =}  



 



       n i i i x y n 1 2 2 2 ₂ 1 . 2 1 ln .















 



 



    n i i i n y x y y y L 1 2 2 1 2 ) 1 ( . 2 . 2 1 ,..., , ; , , ln















 



 



 n i i i x y 1 2 1

_

_



























 n i i i i n

y

x

x

y

y

y

L

1 2 2 1 2

)

(

.

2

.

2

1

,...,

,

;

,

,

ln















 



 



 n i i i i x x y 1 2 ( ) 1

_

_



Syarat : a. ln



, , ; 1, 2,...,



0 2    n y y y L









1 0 1 2  _     _{ }    n i i i x y







0 1         _{ }    n i i i x y





. . 0 1 1          n i i n i i x n y





        n i i n i i x n y 1 1 . .





Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012 108 b.

ln



,

,

2

;

₁

,

₂

,...,





0





n

y

y

y

L









1 ( ) 0 1 2  _      _{ }    i n i i i x x y







( ) 0 1         _{ }    i n i i i x x y





. . 0 1 2 1 1            n i i n i n i i i iy x x x





          n i i n i n i i i iy x x x 1 2 1 1 . .





Jadi diperoleh dua persamaan normal, yaitu:

 _   _     n i i n i i x n y 1 1 . .





     _      n i i n i n i i i iy x x x 1 2 1 1 . .





Dengan menggunakan Aturan Cramer diperoleh :







_





_























































       n i n i i i n i i i n i i n i i n i i

x

x

n

y

x

x

x

y

1 2 1 2 1 1 1 2 1

.



                                      n i n i i i n i i n i i n i i i x x n y x y x n 1 2 1 2 1 1 1 . .



Jadi penaksir kemungkinan maksimum bagi α dan β adalah:





































































       n i n i i i n i i i n i i n i i n i i

X

X

n

Y

X

X

X

Y

1 2 1 2 1 1 1 2 1

.



 _  _                              n i n i i i n i i n i i n i i i X X n Y X Y X n 1 2 1 2 1 1 1 . .



Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012

109

Atau bisa juga diperoleh:

        n i i n i i x n y 1 1 . .





        n i i n i i x n y n 1 1 1 . 1

_

_

x

y

.

 









x

y

.

 









Jadi penaksir bagi α berbentuk:

Y

.

X

 









Dan penaksir 



nya bisa ditulis sbb:

 _  _                              n i n i i i n i i n i i n i i i X X n Y X Y X n 1 2 1 2 1 1 1 . .



        n i i n i i i X n X Y X n Y X 1 2 2 1 . . .



Kemudian akan diperiksa bahwa





harus merupakan penaksir tak bias bagi β.

Dari penaksir





akan diuraikan bentuk pada pembilang maupun penyebutnya

satu persatu. 













   n i i n i i i n i i i

Y

X

Y

X

Y

X

n

Y

X

1 1 1

.

.

.

=









 n i i i i

Y

X

Y

X

1

.

=





i n i i

Y

X

X

.

1







Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012 110  2 2 1 2 2 1 2

.

.

.

2

.

X

X

n

X

n

X

n

X

n i i n i i













  = 2 1 1 2

.

.

.

2

X

X

n

X

X

n i i n i i









  =











 n i i i

X

X

X

X

1 2 2

.

.

2

=





2 1





 n i i

X

X

Sehingga:









        n i i n i i i X X Y X X 1 2 1 .































               n i i n n n i i n i i X X Y X X X X Y X X X X Y X X 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 ...



n nY c Y c Y c      ... 2 2 1 1



Dengan : (i)

















 n i i

X

X

X

X

c

1 2 1 1 (ii)

















 n i i

X

X

X

X

c

1 2 2 2 (iii)

















 n i i n n

X

X

X

X

c

1 2

Karena Y1,Y2,…,Yn adalah sampel acak berukuran n yang berasal dari populasi

berdistribusi N(α + βXi ; σ2_{), maka:}

) ... (c1Y1 c2Y2 cnYn E E         



E(c₁Y₁)E(c₂Y₂)...E(c_nY_n) c₁.E(Y₁)c₂.E(Y₂)...c_n.E(Y_n)

Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012 111 c₁(







X₁)c₂(







X₂)...c_n(







X_n) 



(c₁c₂...c_n)



(c₁X₁c₂X₂...c_nX_n) Dengan :  c1 + c2 + … + cn =















 n i i

X

X

X

X

1 2 1 ₊















 n i i

X

X

X

X

1 2 2 _{+ … +}















 n i i n

X

X

X

X

1 2 =

















  n i i n i i

X

X

X

X

1 2 1 =









 n i i

X

X

1 2

0

c1 + c2 + … + cn = 0  c1X1 + c2X2 + … + cnXn =















 n i i

X

X

X

X

X

1 2 1 1 +















 n i i

X

X

X

X

X

1 2 2 2 + … +















 n i i n n

X

X

X

X

X

1 2 =

















  n i i n i i i

X

X

X

X

X

1 2 1

















    n i n i i i n i n i i i

X

n

X

X

X

X

X

X

1 2 1 2 1 1 2

.

.

.

2

.











  n i i n i i

X

n

X

X

n

X

1 2 2 1 2 2

.

.

c1X1 + c2X2 + … + cnXn = 1 Jadi :











 







     0 ) 1 ( ) 0 ( E Sehingga 

Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012

112 2. Distribusi dari Penaksir Tak Bias

Dalam hal ini, penentuan distribusi dari penaksir





digunakan teknik fungsi

pembangkit momen.

Dari uraian sebelumnya diperoleh :

n nY c Y c Y c      ... 2 2 1 1



Dengan :









i

n

X

X

X

X

c

n i i i i

;

1

,

2

,

3

,...,

1 2













Karena Y1,Y2,…,Yn adalah sampel acak berukuran n yang berasal dari populasi

berdistribusi N(α + βXi ; σ2_{), maka fungsi pembangkit momen dari Yi adalah :}

MYi(t) = exp[(α + βXi)t + ½ σ2_t2_{] ;}

_t





Fungsi pembangkit momen dari





adalah: )] [exp( ) (   



 t E t M

= E[exp{t(c1Y1 + c2Y2 + … + cnYn)}]

= E[exp(tc1Y1) . exp(tc2Y2) . … . exp(tcnYn)] = E[exp(tc1Y1)] . E[exp(tc2Y2)] . … . E[exp(tcnYn)] = MY1(c1t). MY2(c2t). … . MYn(cnt).

= {exp[(α + βX1)t + ½ σ2_(c1t)2_{] }. {exp[(α + βX2)t + ½ σ}2_(c2t)2_{] }} . … . {exp[(α + βXn)t + ½ σ2_(cnt)2_{] }} =



















  n i n i i i i

c

t

t

c

X

1 1 2 2 2

.

)

2

/

1

(

)

(

exp







Akan diuraikan bentuk yang ada pada pangkatnya.



















   n i n i n i i i i i i

c

t

c

t

t

c

X

X

1 1 1

.

.

.

)

(

















  n i n i i i i

t

c

X

c

t

1 1

.

.

.





Karena dari uraian sebelumnya sudah diperoleh hasil bahwa

 

 n i i

c

1

0

dan





 n i i i

X

c

1

1

, maka:



















 n i i i

t

t

t

t

t

c

X

1

.

.

0

)

1

(

.

)

0

(

.

)

(













Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012 113 











 n i i n

c

c

c

c

1 2 2 2 2 1 2

...

=









2 1 2 1 2















  n i i n i i

X

X

X

X













  n i n i i i

X

X

c

1 1 2 2

1

Jadi :





               _n i i X X t t t M 1 2 2 2 1 . ). 2 / 1 ( . exp ) (





 =





             2 1 2 2 ). 2 / 1 ( . exp t X X t _n i i





Ternyata bentuk di atas merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi normal dengan mean = β dan varians =





   n i i X X 1 2 2



. Sehingga





             n i i X X N usi berdistrib 1 2 2 ;







. 3. Besaran Pivot

Misalkan besaran pivotnya adalah:





      n i i e X X S T 1 2 2





Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012

114 4. Distribusi dari Besaran Pivot

Besaran pivot di atas bisa dituliskan kembali sbb:





      n i i e X X S T 1 2 2









.( 2) ). 2 ( . ₂ 2 1 2 2         n S n X X T e n i i













2

1

.

).

2

(

2 2 1 2 2













 

n

S

n

X

X

T

e n i i









2





n

V

W

T

Berikut ini akan diuraikan bentuk W dan V. 













  n i i

X

X

W

1 2 2







Penentuan distribusi dari W akan digunakan teknik fungsi pembangkit momen. Karena





             n i i X X N usi berdistrib 1 2 2 ;







, maka fungsi pembangkit

Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012 115





               2 1 2 2 ). 2 / 1 ( . exp ) ( t X X t t M _n i i







Fungsi pembangkit momen dari W adalah: MW(t) = E[exp(tW)] =





_

















































































































  n i i

X

X

t

E

1 2 2

exp







=









_

















































































   n i i n i i

X

X

t

X

X

t

E

1 2 2 1 2 2

.

.

exp









=









_





















































































































   n i i n i i

X

X

t

E

X

X

t

1 2 2 1 2 2

.

exp

.

.

exp









=









_





















































































































   n i i n i i

X

X

t

M

X

X

t

1 2 2 1 2 2

.

.

exp









Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012 116 =

















_                                                n i i n i i n i i n i i X X t X X X X t X X t 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 (1/2). . . exp . . exp       MW(t) = exp (½ t2₎

Ternyata bentuk di atas merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi normal baku. Sehingga W berdistribusi N(0;1).  ₂ 2

).

2

(



e

S

n

V

















 





  n i i i e

Y

Y

n

S

1 2 2

2

1















_

_





   n i i i

X

Y

n

1 2

.

2

1

_

_

Dari uraian sebelumnya diperoleh

Y

.

X

 









sehingga :  _              n i i i e Y Y X X n S 1 2 2 . . 2 1

_

_







_









_







  n i i i e

Y

Y

X

X

S

n

1 2 2

).

2

(



2 1

)

.

(

)

.

(

)

(

)

.

(

)

.

(



_

























_





      n i i i i i

X

X

X

X

Y

X

X

Y



















=









2 1 ) ( ) ( ) . ( ) . ( _          _   n i i i i i X X X X X Y X Y       =









2 1

)

)(

(

)

.

(

)

.

(



_



















_



  n i i i i

X

X

X

Y

X

Y













Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012 117 =















            n i i n i i i X X X Y n X Y 1 2 2 1 2 2 . ) ( ) . ( . ) . (

































 n i i i

X

Y

X

Y

1

)

.

(

)

.

(

.

2













   _   _    n i i i i X X X Y 1 ) )( ( ) . ( . 2













   _   _    n i i X X X Y 1 ) )( ( ) . ( . 2









Dengan : (i)



















 n i i i

X

Y

X

Y

1

)

.

(

)

.

(



































  n i n i i i

Y

X

X

Y

X

Y

1 1

)

.

(

)

.

(

)

.

(

.













.

.



(

.

)



.

.



(

.

)



1

X

Y

X

n

X

Y

Y

n

n i i





























_

_





























  n i n i i i

n

X

X

Y

Y

n

Y

X

n

Y

n

Y

n

1 1 2 2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.





















 n i i

X

X

X

n

1 2

.

.

.

.

.









n

.

Y

2



n

.



.

Y



n

.



.

X

.

Y



n

.



.

Y





.

Y

.

n

.

X



n

.



2





.



.

n

.

X

n.



.



.X 



2.X.n.X 2 2 2 2

.

.

.

.

.

.

2

.

.

.

.

.

2

.

.

.

2

.

Y

n

Y

n

X

Y

n

n

X

n

X

n



























n

.(

Y

2



2

.



.

Y



2

.



.

X

.

Y





2



2

.



.



.

X





2

.

X

2

)



n

.



Y

2



2

.

Y

(







.

X

)



(







.

X

)

2





n

.



Y



(







.

X

)



2 (ii) 



 



_   _   n i i i i X X X Y 1 ) )( ( ) . (

















        n i i i i X X X Y 1 ) . ( ). (







































      n i n i n i n i n i i i i i i i

Y

X

Y

X

X

X

X

X

X

1 1 1 1 1 2

.

.

.

)

(

.

.

).

(











Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012 118























   _n i n i i i i

Y

X

n

Y

X

n

X

X

1 1 2 2

.

.

.

)

0

(

.

.

).

(











                  n i n i i i iY nXY X nX X 1 1 2 2 . . . . ). (







Karena         n i i n i i i X n X Y X n Y X 1 2 2 1 . . .



, maka diperoleh :     _                     n i i n i i X n X X n X 1 2 2 1 2 2 . . ). (









    _             n i i X n X 1 2 2 . ) ).( (













      n i i X X 1 2 2 . ) (





(iii) 



 



_   _   n i i X X X Y 1 ) )( ( ) . (











 



      n i i X X X Y 1 ) ( ). ( ) . (













(







.

)



(







).(

0

)



Y

X

 = 0 Sehingga:









  







           n i i n i i i e Y X n Y X X X S n 1 2 2 1 2 2 2 . ) ( ) . ( . ) . ( ). 2 (















( . )



2.( ) .





0 . . 2 1 2 2 2           n i i X X X Y n

















  







          n i i n i i i X X X Y n X Y 1 2 2 1 2 2 . ) ( ) . ( . ) . (













Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012

119

Kedua ruas dibagi σ2_{, sehingga diperoleh:}





_

_





2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2

(

)

.

)

.

(

.

)

.

(

).

2

(













































_   n i i n i i i e

X

X

X

Y

n

X

Y

S

n





2 1 2 2 1 2

.

(

)

.

(























































































   n i i n i i i

X

X

n

X

Y

X

Y



















A = B – C – D B = A + C + D

Fungsi pembangkit momen dari B adalah: MB(t) = E[exp(tB)] = E[exp{t(A + C + D)}] = E[exp(tA + tC + tD)] = E[exp(tA).exp(tC).exp(tD)] = E[exp(tA)].E[exp(tC)].E[exp(tD)] = MA(t).MC(t).MD(t)

)

(

).

(

)

(

)

(

t

M

t

M

t

M

t

M

D C B A



Karena : a. Y berdistribusi N(α + β.X ; σ2₎







. ) ( X Y  berdistribusi N(0;1) 2 ) . (        







X Y berdistribusi χ2₍₁₎

























  n i n i i i i

X

Y

B

B

1 1 2 2

(

.

)







berdistribusi χ2_(n) MB(t) = (1 – 2t)(-1/2)(n) _{; t < 1/2}

Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012 120 b.

_













n

X

N

usi

berdistrib

Y

2

;

.







n

X

Y







.

)

(





berdistribusi N(0;1) 2 ) . (                n X Y C



_



berdistribusi χ2₍₁₎ MC(t) = (1 – 2t)-1/2 _{; t < 1/2} c.





             n i i X X N usi berdistrib 1 2 2 ;

















  n i i

X

X

1 2







berdistribusi N(0;1)





2 1 2                         n i i X X D



_



berdistribusi χ2₍₁₎ MD(t) = (1 – 2t)-1/2 _{; t < 1/2} Sehingga: ( 1/2)( 2) 2 / 1 2 / 1 ). 2 / 1 (

)

2

1

(

)

2

1

.(

)

2

1

(

)

2

1

(

)

(

_{ }   













n n A

t

t

t

t

t

M

Ternyata bentuk di atas merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi Chi-Kuadrat dengan derajat kebebasan = n – 2.

Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012

121

Sehingga bisa ditulis :

(

2

₂

).

2

(

2

).

2







n

S

berdistrib

usi

n

A

e





Selanjutnya akan ditentukan distribusi dari T dengan menggunakan teknik transformasi peubah acak.

Misalkan W adalah peubah acak berdistribusi normal baku dan V adalah peubah acak berdistribusi Chi-Kuadrat dengan derajat kebebasan dk = r = n - 2. Kedua peubah acak W dan V saling bebas.

Jika peubah acak

r

V

W

T

/



, maka akan ditentukan fungsi kepadatan peluang

dari T.

Fungsi kepadatan peluang dari W adalah:

      e w w f w ; 2 1 ) ( 2/2



Fungsi kepadatan peluang dari V adalah:

g(v) =









 

v

e

v

r

v r r

.

;

0

)

2

/

(

.

2

1

_{( /2) 1 /2} 2 / = 0 ; v lainnya.

Karena W dan V saling bebas, maka fungsi kepadatan peluang gabungannya adalah: h(w,v) = f(w).g(v) = . 2 1 _w2_/2 e





















 

_e

_w

_v

v

r

v r r

.

;

,

0

)

2

/

(

.

2

1

( /2) 1 /2 2 / = 0 ; w,v lainnya.

Karena transformasi peubah acak yang diketahui berbentuk

r

V

W

T

/



, maka

akan dimisalkan transformasi peubah acak keduanya adalah U = V. Jadi transformasi peubah acaknya adalah

r

V

W

T

/



dan U = V.

Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012

122

Hubungan antara nilai w dari W dan nilai v dari V dengan nilai t dari T dan nilai u dari U diberikan dengan:

r

v

w

t

/



dan u = v Invers:

r

u

t

w



dan v = u Jacobiannya: J =

r

u

ru

t

r

u

u

v

t

v

u

w

t

w





















1

0

)

2

/(

/

r

u

J



Fungsi kepadatan peluang gabungan dari T dan U adalah:

k(t,u) = u J r u t h , _.      k(t,u) =

r

u

r

t

u

u

r

e r

_.

₍

_/

₂

₎

.

exp

₂

1

.

2

.

2

1

_{( /2) 1} 2 2 /

_









































; -∞ < t < ∞ , 0 < u < ∞ = 0 ; t,u lainnya.

Fungsi kepadatan peluang marginal dari T adalah:



  



k

t

u

du

t

k

₁

(

)

(

,

)

=



 0

r

u

r

t

u

u

r

r r

_.

₍

_/

₂

₎

.

exp

₂

1

.

2

.

2

1

_{( /2) 1} 2 2 /

_









































du =

du

r

u

r

t

u

u

r

r r

_.

₍

_/

₂

₎

.

exp

₂

1

.

2

.

2

1

_{( /2) (1/2)} 2 0 2 /

_





































 





Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012 123 Misalkan:

y

r

t

u





















2

1

2

r

t

y

u

2

1

2





dy

r

t

du

2

1

2





Batas-Batas: Untuk u = 0, maka y = 0 Untuk u = ∞, maka y = ∞

dy

r

t

e

r

t

y

r

t

k

y r r 2 0 ) 2 / 1 ( ) 2 / ( 2 2 / 1

1

2

.

.

1

2

)

2

/

(

.

2

.

2

1

)

(

































  





y e dy r t r r y r r r r     



           . 1 ). 2 / ( . 2 . 2 2 0 ) 2 / 1 ( ) 2 / ( 2 / ) 1 ( 2 2 / ) 2 / 1 ( ) 2 / (



2 / ) 1 ( 2

1

).

2

/

(

.

2

1

































 





r

r

t

r

r

r



Maka:









































 





_

t

r

t

r

r

r

t

k

r

;

1

).

2

/

(

.

2

1

)

(

2 / ) 1 ( 2 1



Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012

124

Ternyata bentuk di atas merupakan fungsi kepadatan peluang dari distribusi t dengan derajat kebebasan = r = n – 2.

5. Besaran Pivot Disubstitusikan kedalam Bentuk Umum Taksiran Interval











 





















































_    ( /2);( 2)

1

1 2 2 ) 2 ( ); 2 / ( n n i i e n

t

X

X

S

t

P

6. Ubah Bentuk Taksiran Interval dalam Besaran Pivot Menjadi Bentuk Parameter

















_{ }                           1 . . 1 2 ) 2 ( ); 2 / ( 1 2 2 ) 2 ( ); 2 / ( n i i e n n i i e n X X S t X X S t P

Sehingga taksiran interval dari β dengan derajat keyakinan sebesar (1 – α) berbentuk:

























      n i i e n n i i e n

X

X

S

t

X

X

S

t

1 2 2 ) 2 ( ); 2 / ( 1 2 2 ) 2 ( ); 2 / (

.







.



Penutup

Penentuan taksiran interval sebuah parameter dari sebuah distribusi dilakukan menggunakan metode besaran pivot, dengan langkah-langkah sbb:

1. Tentukan taksiran titik dari parameter itu. Dalam hal ini, tentunya dicari penaksir tak bias bagi parameter itu.

2. Tentukan distribusi dari penaksir tak bias itu (kalau diperlukan).

3. Tentukan besaran pivot, yaitu besaran yang mengandung penaksir dan parameter sedemikian hingga distribusinya tidak bergantung pada parameternya.

Infinity

Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 1, No.1, Februari 2012

125

5. Besaran pivot itu disubstitusikan kedalam bentuk umum dari taksiran interval dengan derajat keyakinan sebesar (1 – α), yaitu :

P(a < besaran pivot < b) = 1 – α 6. Ubah bentuk dalam langkah kelima kedalam bentuk:

P(c < parameter < d) = 1 - α

Taksiran interval dari β dengan derajat keyakinan sebesar (1 – α) berbentuk:

























      n i i e n n i i e n

X

X

S

t

X

X

S

t

1 2 2 ) 2 ( ); 2 / ( 1 2 2 ) 2 ( ); 2 / (

.







.



Daftar Pustaka

Clarke, G.M. & Cooke, D. 1983. A Basic Course in Statistics. Second Edition. London : The English Language Book Society.

Freund, John E. & Walpole, Ronald E. 1980. Mathematical Statistics. Third Edition. New York : Prentice-Hall, Inc, Englewood.

Guttman, Irwin; Wilks, S.S; dan Hunter, J.Stuart. 1982. Introductory Engineering

Statistics. Third Edition. New York : John Willey & Sons.

Herrhyanto, Nar. 2003. Statistika Matematis Lanjutan. Bandung : Pustaka Setia. Herrhyanto, Nar & Gantini, Tuti. 2009. Pengantar Statistika Matematis. Bandung

: Penerbit Yrama-Widya.

Herrhyanto, Nar. 2010. Bank Soal Teori Statistika Matematik dan

Penyelesaiannya. Bandung : Penerbit Yrama Widya.

Hogg, Robert V. dan Tanis, Elliot A. 1977. Probability and Statistical Inference. New York : Macmillan Publishing Co., Inc.