Nuryanto,ST.,MT DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK

DIFERENSIAL

FUNGSI

MAJEMUK

Nuryanto,ST.,MT

DIFERENSIASI PARSIAL









dz

q

y

dx

p

y

dx

o

y

dy

q

p

o

f

y

dz

z

y

dx

x

y

dy

z

x

f

y



































,

,

,

Nuryanto,ST.,MT

Contoh

y = 4x2 _{- 6x}3_{z + 3xz}2 _{+ 3z}2 _{+ 5} Diferensial parsial Diferensial total

z

xz

x

z

y

z

z

x

x

x

y

6

6

6

3

18

8

3 2 2

























x

x

z

z



dx



x

xz

z



dz

dy



8



18

2



3

2





6

3



6



6

Nuryanto,ST.,MT

Soal

Tentukan diferensial partial dari fungsi berikut:

1. Y = -100 + 80A – 0,1A

2

+ 100B - 0,2B

2

2. Y = 50 – 3X

₁

+ 6X

₁2 –

5X

₂

– 10 X

₂2

- 3x

₁

x

₂

3. Y = – 2X

2

Y + 4Y

3

X-3X

2

+Y

2

4. Z = e

xy

_{+ 3XY}

2

_{– 6Y}

2

_{+ 4X}

3

_Y

5. Z = 3X

2

_Y

2

_{+ 12Y}

4

_{X -6X + 8Y}

3

Nuryanto,ST.,MT

NILAI EKSTRIM

y = f(x,z) mencapai titik ekstrim jika

Jenis titik ekstrim: Maksimum bila Minimum bila

0

dan

0













z

y

x

y

0 & 0 0 & 0 2 2 2 2 2 2 2 2             z y x y z y x y

Nuryanto,ST.,MT

Contoh

Hitung nilai ekstrim y = 2x2 _{- 20x + z}2 _{– 8z + 78 dan jenisnya!}

Y = 12 5 0 20 4 0 20 4           x x x y x x y

4

0

8

2

0

8

2





















z

z

z

y

z

z

y

minimum

0

2

0

4

2 2 2 2































z

y

x

y

Nuryanto,ST.,MT

Soal

Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya

1. Z = 10 – 5x + 3x

2

_{– 8y + 2y}

2

_{– xy}

2. Z = 50 + 50x - 5x

2

_{+ 30y - 3y}

2

_{– 5xy}

3. Z = -3x

2

_+2y

2

_{+ 100}

4. Z = 10 + 10x - x

2

_{+ 6y – 3/5 y}

2

_{– xy}

5. Z = -6x

2

+4y

2

+ 200

Nuryanto,ST.,MT

PENGGANDA LAGRANGE



Mengoptimumkan fungsi terhadap kendala

yang berbentuk persamaan. Caranya dengan

membentuk fungsi baru yaitu penjumlahan

fungsi asli ditambah hasil kali pengganda

Lagrange  dengan fungsi kendala.

Fungsi z = f(x, y) dengan syarat u = g(x,y)

maka fungsi Lagrange:

F (x, y, ) = f(x, y) +  g(x, y)

Nilai ekstrim :

F’x (x, y, ) = fx + gx = 0

F’y (x, y, ) = fy + gy = 0

Jenis :

Maksimum  F”x < 0 dan F”y < 0

Minimum  F”x > 0 dan F”y > 0

Contoh

Tentukan nilai dan jenis titik ekstrim z = 2x + 2y dengan syarat x2 _{+ y}2 _{= 8.} F = 2x + 2y + (x2 _{+ y}2 _{- 8) = 2x + 2y + x}2 _{+  y}2 _{- 8 } Fx = 2 + 2 x Fy = 2 + 2 y x2 _{+ y}2 _{= 8. z = 2x + 2y} 2y2 _{= 8 z = 8} y = 2 x = 2 y x y x y x                   1 1 1 1  

Nuryanto,ST.,MT

Fxx = 2

Fyy = 2 

Untuk x = 2 dan y = 2; =-½

Fxx = -1 < 0

Fyy = -1 < 0

Untuk x = -2 dan y = -2; =½

Fxx = 1 > 0

Fyy = 1 > 0

maksimum minimum

Nuryanto,ST.,MT

KUHN TUCKER



Mengoptimumkan fungsi terhadap

kendala

yang

berbentuk

pertidaksamaan.

Penyelesaian

menggunakan

Lagrange

yang

dimodifikasi atau langsung dengan cara

Kuhn Tucker.

Modifikasi Lagrange

1. Anggap

kendala

dalam

bentuk

persamaan.

Kemudian

selesaikan

dengan Lagrange Biasa. F(x, y, ) = f(x,

y) - g(x, y)

2. Lakukan uji terhadap nilai . Jika  > 0

berarti optimum tercapai. Jika   0

berarti

fungsi

dengan

sendirinya

memenuhi kendala.

Metode Kuhn Tucker

1. Rumuskan masalah

2. Tetapkan kondisi Kuhn Tucker

3. Uji 2c masing-masing untuk  = 0 dan g(x, y) = 0 untuk menentukan mana yang memenuhi persamaan 2a dan 2b serta pertidaksamaan kendala g(x,y). 0 ) , ( / 0 ) , ( 0 ) , ( ) 0 ) , ( ) , ( ) 0 ) , ( ) , ( )                 y x g y x g y x g c y y x g y y x f b x y x g x y x f a   

Nuryanto,ST.,MT

Contoh

Maksimumkan fungsi f(x,y) = 10xy - 2,5x2 _{- y}2 _terhadap

kendala x + y  9! Lagrange F(x,y,) = 10xy - 2,5x2 _{- y}2 _{- (x + y – 9)} Fx = 10y - 5x -    = 10y - 5x Fy = 10x -2y -    = 10x - 2y x + y = 9 F(x,y) maks = 135 0,8 y + y = 9  = 30 y = 5 x = 4 x = 0,8 y

Nuryanto,ST.,MT

Kuhn Tucker x + y – 9 = 0 maka x = 9 – y a) 10y – 5x -  = 0  10y – 45 + 5y -  = 0 b) 10x – 2y -  = 0  90 – 10y - 2y -  = 0 x = 4 F(x,y) = 135

0

9

g

dimana

0

)

9

(

0

)

0

2

10

0

)

0

5

10

0

)



























































y

x

y

x

g

c

y

x

y

g

y

f

b

x

y

x

g

x

f

a













y = 5;  = 30

Nuryanto,ST.,MT

HOMOGENITAS FUNGSI

Suatu

fungsi

dikatakan

homogen jika



n

z = f ( x,  y)

Nuryanto,ST.,MT

PERMINTAAN MARGINAL & ELASTISITAS PERMINTAAN MARGINAL

Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb)

Permintaan marginal A sehubungan Pa = Permintaan marginal A sehubungan Pb = Permintaan marginal B sehubungan Pa = Permintaan marginal B sehubungan Pb =

b db a db b da a da

P

Q

P

Q

P

Q

P

Q

















Nuryanto,ST.,MT

Elastisitas harga permintaan

Elastisitas silang permintaan

db b b db b db db da a a da a da da

Q

P

P

Q

P

Q

Q

P

P

Q

P

Q

.

%

%

.

%

%





























db a a db a db ba da b b da b da ab

Q

P

P

Q

P

Q

Q

P

P

Q

P

Q

.

%

%

.

%

%





























Nuryanto,ST.,MT

Fungsi permintaan barang A adalah Qda.Pa2_.Pb3 _{– 1 = 0}

dan permintaan barang B adalah Qdb.Pa3_{.Pb – 1 = 0.}

Berapa elastisitas permintaan masing-masing barang dan hubungan antara kedua barang tersebut?

4 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 . . 2 . . 1 0 1 . .                   b a b da b a a da b a da b a da b a da P P P Q P P P Q P P Q P P Q P P Q 1 4 2 3 1 3 3 3 . 3 . . . 1 0 1 . .                   b a a db b a b db b a db b a db b a db P P P Q P P P Q P P Q P P Q P P Q

Nuryanto,ST.,MT

3

.

3

.

1

.

2

.









































db a a db ba da b b da ab db a b db db da a a da da

Q

P

P

Q

Q

P

P

Q

Q

P

P

Q

Q

P

P

Q









Nuryanto,ST.,MT

2 PRODUK & BIAYA PRODUKSI

GABUNGAN

Permintaan barang Qa dan Qb, biaya

produksi TC = f (Qa, Qb) maka

TRa = Qa.Pa = f(Qa)

TRb = Qb. Pb = f(Qb)

TR = Ra + Rb = f(Qa) + f(Qb)



= TR – TC = f(Qa) + f(Qb) – f(Qa, Qb)

Soal

Suatu perusahaan meproduksi 2 macam barang yang fungsi permintaannya adalah sbb :

P1 = 100 – 2Q1 + Q2 P2 = 75 + 2Q1 – Q2

Sedangkan fungsi biaya mengikuti fungsi TC = 1000 + 20 Q1 + 10Q2 +2Q1Q2

Perusahaan menginginkan laba maksimum tercapai. Tentukan tingkat produksi yang memaksimalkan laba dari 2 barang yang diproduksi jika kombinasi maksimum faktor produksi adalah 50.

 maksimum jika ` = 0

0

)

2

0

)

1

















Qb

Qa

Qb Qa









Nuryanto,ST.,MT

UTILITAS MARGINAL PARSIAL & KESEIMBANGAN

KONSUMSI

U = f(x,y)

Utilitas marginal =

U = f(x,y) dimaksimumkan dengan fungsi anggaran M = x.Px + y.Py

F(x,y) = f(x,y) + (x.Px + y.Py - M) Fx (x,y) = 0  fx(x,y) + Px = 0 Fy (x,y) = 0  fy(x,y) + Py = 0

y y U x x U      

Nuryanto,ST.,MT

Kepuasan maksimum dari konsumsi terjadi bila: y x y y x x

P

MUy

P

MUx

P

y

x

f

P

y

x

f





(

,

)

)

,

(

Nuryanto,ST.,MT

Contoh

Kepuasan konsumen menkonsumsi X dan Y

adalah

U

=

x

2

y

3

.

Jumlah

pendapatan

konsumen 1000 dan harga x 25 harga y 50.

tentukan utilitas saat 14 x dan 13 y!

MUx = 2xy

3

MUy=3x

2

y

2

x = 14; y = 13 

MUx = 61.516

MUy = 99.372

MUx/Px = 2460,64

MUy/Py = 1987,44

Nuryanto,ST.,MT

Tentukan kombinasi maksimum x dan y! U = x2_y3 _{25x + 50y – 1000 = 0} F(x,y)= x2_y3 _{+ (25x + 50y – 1000)} = x2_y3 _{+ 25  x + 50  y – 1000 } Fx = 2xy3 _{+ 25  = 0 - = 2xy}3_/25 Fy = 3x2_y2 _{+ 50  = 0 - = 3x}2_y2_/50 x = 16 , y = 12 U = 442.368 x y y x xy y x xy 4 3 3 4 50 3 25 2 2 2 3 2 2 3   

Nuryanto,ST.,MT

PRODUK MARGINAL PARSIAL &

KESEIMBANGAN PRODUKSI

P = f(k,l)

Produk marginal =

P = f(k,l) dimaksimumkan dengan fungsi anggaran M = K.Pk + L.Pl F(k,l) = f(k,l) + (k.Pk + l.Pl - M) Fk (k,l) = 0  fk(k,l) + Pk = 0 Fl (k,l) = 0  fl(k,l) + Pl = 0 L l P K k P      

Nuryanto,ST.,MT

Keseimbangan produksi terjadi bila: l l k k l l k k

P

MP

P

MP

P

l

k

f

P

l

k

f





(

,

)

)

,

(

Nuryanto,ST.,MT

LATIHAN DIFERENSIAL

PARSIAL

1. Tentukan diferensial parsial dan diferensial

totalnya untuk fungsi

a. y = 4x

2

_-6x

2

_z+3xz

2

_+3z

2

₊₅

b. y = 3x

2

_{– 5z}

2

_{+ 2x}

2

_{z – 4xz}

2

_{– 9z}

c. y = 6x

2

+ 4 x

2

/z – 3z + 25

2. Hitunglah y ekstrim dari fungsi y = 2x

2

– 20x +

z

2

_{– 8z + 78 dan selidiki apakah nilai y ekstrim}

tersebut merupakan nilai maksimum atau

minimum

3. Hitunglah p ekstrim dari fungsi p = -q

2

– 3r

2

+ 6q

+ 24r - 56 dan selidiki apakah nilai p ekstrim

tersebut merupakan nilai maksimum ataukah nilai

minimum

4. Optimimkan z = 4x – 2y dengan syarat/kendala x

2

– y

2

_{= 20. Jelaskan apakah z optimumnya}

merupakan z maksimum ataukah minimum

5. Fungsi permintaan dua macam barang yang

berkaitan masing – masing di tunjukkan dengan

persamaan x = ae

q-p

_{dan y = be}

p-q

_{. Berapa elatisitas}

permintaan masing – masing barang dan

bagaimana hubungan antara kedua barang tersebut

Nuryanto,ST.,MT