:!-2
F
4
a<
'-2
<,.
-;'-:
d'
=
-;i6?& < .
- iz l: v
=:-E:]E: <
.i
Ei
gr
6
a)
+,
\
s
.{s
s
q
\o
o
N
V
r:
(-
tr-(h
z
(h
(i
(
o
'6
nl
z
lrt
H
H
(h
6
gr
Analisis Kesalahan Mahasiswa dalam Memahami Mata Kuliah
Struktur Aljabar 1
Kartika Sari
Program Studi Matematika FMIPA Universitas Udayana
Abstract. Materi Struktur Aljabar (Aljabar Abstrak) sebagai salah satu cabang ilmu matematika,
bersifat sangat abstrak dan melibatkan banyak pembuktian, sehingga mahasiswa seringkali melakukan kesalahan penalaran dalam memahami materi Struktur Aljabar. Untuk keperluan perbaikan kualitas pembelajaran dan penyempuranaan buku ajar yang dikembangkan oleh peneliti, tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui kesalahan-kesalahan yang dilakukan mahasiswa dalam memahami mata kuliah Struktur Aljabar 1. Metode penelitian yang digunakan adalah penelitian deskriptif. Adapun subyek dari penelitian ini adalah sebanyak 50 orang mahasiswa Jurusan Matematika Universitas Udayana Angkatan 2015 yang dipilih secara acak. Pelaksanaan Penelitian di Jurusan Matematika Universitas Udayana tahun 2016. Instrumen dari penelitian ini adalah soal-soal test Struktur Aljabar 1. Analisis data dilakukan secara deskriptif. Sebagai hasil dari penelitian ini adalah bahwa kesalahan yang banyak dilakukan mahasiswa adalah dalam memahami makna dari definisi himpunan dalam bentuk simbol matematika (kesalahan fakta dan kesalahan konsep); menyelesaikan soal eksplorasi pada semua pokok bahasan (kesalahan prinsip); menunjukkan suatu fungsi surjektif (kesalahan konsep); menerapkan dan memahami definisi dan teorema yang berkaitan dengan homomorfisma grup (kesalahan konsep dan kesalahan prinsip).
Keyword: analisis kesalahan, memahami.
1. Pendahuluan
Bukan rahasia umum bahwa matematika adalah ratu sekaligus pelayan bagi ilmu-ilmu pengetahuan lainnya. Oleh karena itu, di setiap negara di dunia ini, pelajaran matematika diberikan di setiap jenjang pendidikan. Salah satu ilmu matematika yang diberikan di tingkat universitas adalah aljabar. Terdapat beberapa cabang ilmu aljabar, salah satunya adalah aljabar abstrak. Aljabar abstrak adalah ilmu yang mempelajari dan mencari ciri-ciri umum struktur-struktur aljabar (Arikan, dkk., 2015). Aljabar abtrak merupakan salah satu mata kuliah wajib di hampir setiap Program Studi Matematika di perguruan tinggi di seluruh dunia termasuk di Universitas Udayana. Materi yang tergolong dalam aljabar abstrak adalah grup, ring, lapangan, ruang vektor, modul, laticce, aljabar (wikipedia, 2016). Di Program Studi Matematika Universitas Udayana, mata kuliah ini dinamakan Struktur Aljabar, yang terbagi dalam Struktur Aljabar 1 dan 2. Materi dalam Struktur Aljabar 1 dan 2 secara berturut-turut adalah grup dan ring. Dengan demikian apabila mahasiswa kurang menguasai materi grup, akan sulit bagi mahasiswa untuk mempelajari materi mata kulaih Struktur Aljabar 2, yaitu ring.
Materi mata kuliah aljabar abstrak, sesuai dengan namanya, materinya sangat abstrak dan melibatkan proses-proses pembuktian. Selden dan Selden (2003) menyatakan bahwa aljabar abstrak merupakan sarana yang sangat tepat untuk mengajarkan penalaran karena bukti-buktinya tidak lebih rumit dari kalkulus lanjut dan notasinya tidak begitu kompleks, walaupun demikian sulit untuk memahami bukti-bukti dari buku ajar maupun buku teks, sehingga mahasiswa harus bersandar pada penalaran dan ide-ide mereka sendiri (Selden and Selden, 2003). Akan tetapi dengan cara ini,ditambah lagi materinya sangat abstrak, mahasiswa sering melakukan kesalahan dalam proses penalaran dalam memahami materi mata kuliah ini. Karena itulah beberapa penliti tertarik untuk menyelidiki kesalahan-kesalahan yang dilakukan mahasiswa dalam mempelajari Aljabar Abstrak. Selden dan Selden (1983) menunjukkan tipe-tipe kesalahan dan miskonsepsi yang dilakukan mahasiswa dalam mempelajari mata kuliah
aljabar abstrak. Penelitian Selden dan Selden (1987) juga menunjukkan bahwa sebagian besar mahasiswa kesulitan menuliskan bukti dalam konteks teori grup, bahkan setelah menyelesaikan mata kuliah ini. Selain itu, Arikan, dkk. (2015) juga melakukan analisis kesalahan mahasiswa matematika dalam mempelajari Teori Grup.
Oleh karena itu, untuk tujuan perbaikan kualitas pembelajaran dan perbaikan buku ajar yang dikembangkan oleh peneliti, peneliti menganalisis kesalahan-kesalahan mahasiswa Program Studi Matematika Universitas Udayana dalam mempelajari Struktur Aljabar. Dengan demikian tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui kesalahan-kesalahan yang dilakukan mahasiswa dalam memahami mata kuliah Struktur Aljabar 1.
Tipe-tipe kesalahan dalam mengerjakan soal matematika berhubungan erat dengan objek yang dipelajari dalam belajar matematika. Gagne, seorang ahli psikologi, menyatakan bahwa ada 2 objek dalam belajar matematika, yaitu objek tidak langsung (misalnya: transfer pembelajaran, kemampuan inquiry, kemampuan problem solving, kedisiplinan diri dan apresiasi terhadap struktur matematika ) , dan objek langsung (terdiri dari fakta, ketrampilan, konsep dan prinsip matematika) (diakses melalui web
http://yurizkamelia.blogspot.co.id/2012/01/robert-gagnes-theory-of-learning.html pada tanggal 23 Oktober 2016 pukul 21.19). Penjelasan untuk masing-masing objek langsung adalah sebagai berikut.
1. Fakta matematika matematika adalah semua kesepakatan dalam matematika, seperti simbol-simbol dalam matematika.
2. Ketrampilan matematika adalah operasi dan prosedur yang harus dilakukan mahasiswa atau ahli matematika dalam menyelesaikan masalah dengan kecepatan dan keakuratan yang diharapkan.
3. Konsep matematika adalah ide abstrak yang memungkinkan orang mengklasifikasikan objek atau kejadian dan menspesifikasikan apakah objek atau kejadian tersebut contoh atau bukan contoh dari ide abstrak tersebut. Contohnya: himpunan, himpunan bagian, dan lain-lain.
4. Prinsip matematika adalah barisan konsep bersama dengan relasi diantara konsep-konsep tersebut. Contoh: kuadrat panjang sisi miring dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi lainnya.
Oleh karena itu, kesalahan dalam mengerjakan soal matematika juga ada 4 jenis, yaitu kesalahan fakta, kesalahan ketrampilan, kesalahan konsep dan kesalahan prinsip. Demikian halnya dalam mengerjakan soal struktur aljabar.
Selden dan Selden (1983) memberikan kesalahan-kesalahan yang tergolong kesalahan konsep (miskonsepsi) untuk soal pembuktian adalah:
M1. Mulai dari kesimpulan
M2. Kesalahan karena tidak bisa membedakan simbol untuk sesuatu yang keberadaannya dibangun dan simbol untuk sesuatu yang keberadaannya tidak dibangun.
M3. Kemunculan yang berbeda dianggap nyata. (Kesalahan ini terjadi karena sesuatu yang mempunyai nama yang berbeda dianggap berbeda)
M4. Menggunakan konvers dari teorema (Mahasiswa sering melakukan kesalahan ini, walaupun telah mahasiswa telah mendapat pengetahuan bahwa implikasi dengan konversnya adalah berbeda, terutama ketika mahasiswa menghadapi soal pembuktian yang rumit.
M6. Konservasi hubungan. (Tpe kesalahan ini terjadi bila mahasiswa memperlaukan hal yang sama pada 2 ruas dari setiap keterhubungan untuk mempertahankan keterhubungan. (mengalikan kedua ruas dengan elemen yang sama)
M7. Mempertukarkan elemen himpunan (Mahasiswa menyamakan makna gh = hg dengan gH = Hg)
Kesalahan-kesalahan lainnya (Selden dan Selden, 1983) E1. Peggunaan satu simbol untuk 2 atau lebih hal
E2. Memperlemah teorema. Kesalahan ini terjadi misalkan ketika mahasiswa mengasumsikan sendiri bahwa suatu grup adalah berhingga walaupuntidak dinyatakan order dari grup tersebut, atau ketika mahasiswa mengasumsikan suatu semigrup mempunyai elemen identitas walaupun tidak diberikan, atau ketika mahasiswa mengasumsikan sendiri bahwa suatu grup merupakan grup siklik.
E3. Kesalahan yang muncul karena ketidakmampunan mengadaptasi suatu notasi dari suatu konteks ke konteks yang lain. (Ketika mencari kernel, salah menggunakan operasi , sehingga salah menetapkan elemen identitas)
E4. Salah menggunakan teorema. Misalkan ada syarat-sayart teorema yang tidak diperhatikan (Mehl dan Volmink, 1983)
E5. Circularity (Kesalahan ini terjadi dengan memulai dari istilah lain dari kesimpulan kembali ke istilah lain dari kesimpulan itu.
E6. The locally unintelligible proof (Confey, 1983; Selden and Selden, 1983) E7. Kesalahan dalam mensubstitusi
E8. Penghilangan dan perluasan kuantor
E9. Holes (Kesalahan ini terjadi ketika mahasiswa tidak dapat membedakan mana akibat langsung dan mana akibat yang memerlukan justifikasi
E10. Menggunakan informasi di luar konteks
Kesalahan penalaran berdasarkan karakteristik logikanya (yaitu berdasarkan apakah kesalahan itu muncul karena kesulitan generalisasi, penggunaan teorema, notasi dan simbol, pembuktian atau penggunaan kuantor(Selden dan Selden, 1983)
1. Generalisasi (M5, M6)
2. Penggunaan Teorema (M4, E 4)
3. Notasi dan Simbol (M2, M3, M7, E1, E3, E10) 4. Sifat Pembuktian (M1, E2, E5, E6, E9)
5. Penggunaan kuantor (E7, E8)
2. Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Universitas Udayana tanggal 15 Juni 2016 sampai 4 Nopember 2016. Subyek dari penelitian ini adalah 50 orang mahasiswa Jurusan Matematika Universitas Udayana yang belum mendapatkan mata kuliah Struktur Aljabar 1. Sedangkan instrumen yang digunakan adalah soal-soal tes mata kuliah Struktur Aljabar 1 dan lembar observasi. Analisis data dilakukan secara deskriptif.
Materi-materi mata kuliah Struktur Aljabar 1 adalah:
1. Operasi Biner, Beberapa Bentuk Struktur Aljabar dan Sifat-Sifat Grup 2. Kompleks dan Subgrup dari Suatu Grup
3. Grup permutasi
4. Koset dan Subgrup Normal dari Suatu Grup 5. Grup Siklik
6. Homomorfisma Grup
Soal-Soal test berupa soal essay, supaya dapat dideteksi tingkat kesalahan yang dilakukan mahasiswa dalam mengerjakan soal tes. Soal-soal tersebut adalah:
1. Buktikan bahwa jika suatu grupoid mempunyai elemen identitas, maka elemen identitasnya adalah tunggal.
2. Diberikan himpunan G{xy 2|x,yQ}. Buktikan (G,+) merupakan grup abelian! 3. Jika invers setiap elemen suatu grup adalah elemen itu sendiri, buktikan bahwa grup
tersebut komutatif.
4. Buktikan bahwa jika H dan K kompleks-kompleks dari grup (G, *), buktikan H*K kompleks dari grup G tersebut.
5. Diberikan grup (G, *) dan a G. Didefinisikan himpunan C(a) = {g G| g*a = a*g}. Buktikan bahwa C(a) adalah subgrup dari grup G. (Catatan : C(a) disebut centralizer atau
normalizer dari a dalam G).
6. Diketahui = (1 2 3 4), = (1 3 2 4), = (1 2 4 3) elemen-elemen dari grup
permutasi G = S4. Dengan menggunakan Tabel Cayley, tunjukkan bahwa himpunan
A = { , 2, 3, 4} membentuk grup.
7. Himpunan A pada soal nomor 1 merupakan subgrup dari S4. Sebutkan 2 permutasi di S4
yang tidak berada dalam A, kemudian untuk masing-masing permutasi yang disebutkan tadi, hitung koset kiri dan koset kanan dari A dalam G. Apakah semua koset kiri yang dihitung sama dengan koset kanan yang bersesuaian?
8. Diketahui bahwa M dan N masing-masing merupakan subgrup normal dari grup G, tunjukkan bahwa M N subgrup normal dari G
9. Hasil kali langsung Z2 Z3 dilengkapi dengan operasi penjumlahan bilangan bulat modulo
2 dan 3 komponen demi komponen membentuk grup. Himpunan H {(0,0),(0,1),(0,2)} merupakan subgrup dari grup Z2 Z3 . Tentukan semua elemen dari
H Z
Z )
( 2 3 .
10. Diberikan himpunan P30, yaitu himpunan semua elemen-elemen bilangan asli yang saling
prima dengan bilangan 30. Selidiki apakah himpunan P30 dilengkapi operasi perkalian
modulo 30 merupakan grup siklik! Berapa banyak elemen pembangun grup ini?
11. Jika suatu grup berhingga memuat elemen berorder 2, buktikan bahwa banyaknya elemen tersebut adalah ganjil!
12. Jika f suatu homomorfisma dari grup G ke G’, tunjukkan bahwa a) f(e) = e’, dengan e dan
e’ secara berturut-turut adalah elemen identitas dari G dan G’ b) f(a-1) = [f(a)]-1, a G 13. Diberikan grup ( - {0} , .). dan himpunan
Sistem matematika (M, .) membentuk grup. Didefinisikan pemetaan
h : M - {0}
sebagai h(A) = |A|, A M.
a. Selidiki apakah h suatu epimorfisma? b. Tentukan Ker(h) a b c d ad bc d c b a M , , , ,
c. Berdasarkan TUHG 1, apa yang dapat disimpulkan?
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah: 1. Mempersiapkan instrumen penelitian.
2. Pengamatan pembelajaran mata kuliah Struktur Aljabar 1 3. Melakukan tes.
4. Analisis kesalahan dari hasil tes dan hasil observasi.
5. Pembahasan hasil analisis kesalahan
3. Hasil dan Pembahasan.
Materi-materi mata kuliah Struktur Aljabar 1 adalah:
1. Operasi Biner, Beberapa Bentuk Struktur Aljabar dan Sifat-Sifat Grup 2. Kompleks dan Subgrup dari Suatu Grup
3. Grup permutasi
4. Koset dan Subgrup Normal dari Suatu Grup 5. Grup Siklik
6. Homomorfisma Grup
Setelah mahasiswa mengerjakan semua soal tes, hasil pekerjaan mahasiswa diperiksa lalu dari data tersebut dihitung prosentase banyaknya mahasiswa yang mengerjakan benar. mengerjakan tidak sepenuhnya benar, mengerjakan dengan salah dan tidak mengerjakan sama sekali. Sebagai hasilnya, dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1 Prosentase Banyaknya Mahasiswa yang Menjawab atau Tidak Menjawab Pertanyaan
Soal No.
Banyaknya Mahasiswa yang Menjawab Pertanyaan dengan Benar Menjawab Pertanyaan Tidak Sepenuhnya Benar Menjawab Pertanyaan dengan Salah Tidak menjawab pertanyaan 1 41(82%) 9(18%) 0 0 2 50(100%) 0 0 0 3 1(2%) 23(46%) 10(20%) 16(34%) 4 13(26%) 28(56%) 9(18%) 0 5 0 10(20%) 40(80%) 0 6 46(92%) 3(18%) 0 1(2%) 7 40(80%) 9(18%) 1(2%) 0 8 0 22(44%) 28(56%) 0 9 26(52%) 24(48%) 0 0 10 50(100%) 0 0 0 11 7(14%) 43(86%) 0 0 12 24(48%) 11(22%) 15(30%) 0 13 4(8%) 19(38%) 17% 11(22%)
Soal nomor 1 – 3 mewakili pokok bahasan 1, dengan soal 1 merupakan soal pembuktian yang telah dibahas, soal nomor 2 menunjukkan bahwa suatu himpunan yang dilengkapi dengan
operasi yang didefinisikan padanya merupakan grup, sedangkan soal nomor menunjukkan sifat grup yang merupakan soal eksplorasi. Berdasarkan Tabel 1 tampak bahwa secara klasikal, soal nomor 1 dan nomor 2 bukan merupakan masalah bagi mahasiswa, karena secara klasikal mahasiswa bisa menegerjakan dengan benar dan hanya beberapa yang kurang trampil dalam menyelesaikan soal. Akan tetapi untuk soal nomor 3, hanya 1 orang yang bisa mengerjakan dengan benar, 23 orang mengerjakan tidak sepenuhnya benar, 10 orang salah mengerjakan dari awal dan 16 orang tidak mengerjakan. Dari hasil wawancara pada 16 orang yang tidak menjawab soal nomor 3 diperoleh bahwa mereka tidak tahu harus menggunakan konsep yang mana. Dari 23 orang yang mengerjakan tidak sepenuhnya benar, 11 orang melakukan kesalahan konsep, sedangkan sisanya karena ceroboh. Dari hasil ini menunjukkan bahwa secara klasikal, makasiswa kurang terlatih dalam menyelesaikan soal eksplorasi.
Selanjutnya, untuk soal nomor 4 dan 5 mewakili pokok bahasan kompleks suatu grup dan subgrup dari suatu grup. Untuk soal nomor 4, 13 orang mengerjakan dengan benar, akan tetapi 28 orang mengerjakan tidak sepeneuhhnya benar dan sisanya salah mengerjakan dari awal. Dari 28 orang yang mengerjakan tidak sepenuhnya benar, 20 diantaranya kurang teliti dalam mengerjakan soal, sedangkan 8 di antaranya melakukan kesalahan konsep. Soal nomor 5 meminta mahasiswa menunjukkan bahwa suatu himpunan merupakan subgrup dari suatu grup. Dari tabel 1, tampak bahwa tidak ada satupun mahasiswa yang menjawab dengan benar, padahal dalam proses pembelajaran sudah pernah didiskusikan, 40 orang mengerjakan dengan salah dan 10 orang mengerjakan tidak sepenuhnya benar. Sepuluh orang yang mengerjakan tidak sepenuhnya benar, secara konsep apa yang dikerjakan sudah benar, akan tetapi ceroboh pada proses pengerjaannya. Sementara itu, dari hasil wawancara terhadap 40 orang mahasiswa yang salah mengerjakan dari awal mengatakan bahwa mereka tahu cara menunjukkan suatu himpunan bagian merupakan subgrup, akan tetapi mereka salah cara menyebutkan isi himpunannya. Hal ini menunjukkan bahwa mereka belum paham benar mengartikan definisi dalam bentuk simbol matematika.
Lebih lanjut lagi, soal nomor 6 dan 7 secara bertutut – turut mewakili materi grup permutasi dan koset. Berdasarkan Tabel 1 tampak bahwa secara klasikal mahasiswa tidak ada masalah dengan materi ini. Kalaupun ada yang ,melakukan kesalahan, kesalahan yang dilakukan adalah karena ceroboh.
Soal nomor 8 merupakan soal eksplorasi yang berkaitan dengan subgrup normal. Dari Tabel 1 tampak bahwa tidak ada satupun mahasiwa yang menjawab soal ini dengan benar, 22 orang menjawab tidak sepenuhnya benar dan 28 orang salah mengerjakan dari awal. Dari 22 orang yang mengerjakan tidak sepenuhnya benar, 8 orang diantaranya salah konsep, sedangkan sisanyanya melakukan kesalahan karena ceroboh. Dari hasil wawancara terhadap 28 orang yang mengerjakan dengan salah, diperoleh bahwa mereka tahu syarat yang digunakan untuk membuktiksn subgrup normal, tetapi tidak tahu cara mengaitkan dengan konsep irisan dua himpunan. Hal ini berarti mereka sudah melakukan kesalahan prinsip.
Soal nomor 9 mewakili materi grup faktor. Dari Tabel 1 tampak bahwa 26 orang menjawab dengan benar dan 24 orang menjawab tidak sepenuhnya benar. Dari seluruh mahasiswa yang menjawab tidak sepenuhnya benar, semuanya disebabkan kecerobohan dan buikan kesalahan konsep. Hal ini berarti secara klasikal mahasiswa tidak ada masalah dengan materi grup faktor.
Berikutnya, soal nomor 10 dan 11 berkaitan dengan materi grup siklik. Untuk soal menyelidiki bahwa himpunan dengan operasi yang diberikan merupakan grup siklik grup siklikbisa dijawab dengan baik oleh seluruh mahasiswa, demikian juga menentukan banyak elemen pembangun grup tersebut. Akan tetapi unuk soal eksplorasi pembuktian yang berkaitan dengan grup siklik hanya 7 hahasiswa bisa mengerjakan dengan benar, sedangkan sisanya sebanyak 43 orang dapat mengerjakan tetapi tidak sepenuhnya benar. Dari 43 orang ini, sebanyak 1 orang melakukan kesalahan konsep dan sebanyak 42 orang melakukan kesalahan karena kurang teliti. Dengan demikian seperti halnya pada materi sebelumnya, pada bagian ini mahasiswa masih mengalami kesulitan dalam membuktikan soal eksplorasi.
Lebih lanjut lagi, soal nomor 12 berkaitan dengan materi homomorfisma grup. Soal nomor 12 berupa membutikan sifat yang berhubungan dengan homomorfisma grup dan merupakan soal yang sudah dibahas bersama. Berdasarkan Tabel 1 tampak bahwa 24 orang menjawab dengan benar, 11 orang menjawab tidak sepenuhnya benar dan 15 orang menjawab dengan salah. Dari 11 orang yang menjawab tidak sepenuhnya benar, 4 orang di antaranya salah konsep dan sisanya karena ceroboh. Sementara itu, dari hasil wawancara terhadap 15 orang yang menjawab dengan salah diperoleh bahwa mereka tidak menyangka soal itu akan keluar, sehingga mereka tidak mempelajarinya. Akan tetapi walaupun demikian, karena pembuktian ini harusnya hanya menggunakan konsep homomorfisma grup, hal ini berarti pada dasarnya 15 orang yang mengerjakan dengan salah ini tidak memahami cara menerapkan definisi homomorfisma grup.
Berikutnya, soal nomor 13 juga berhubungan dengan homomorfisma grup. Soal nomor 13 berisi menunjukkan suatu pemetaan merupakan epimorfisma, menyebutkan isi kernel suatu homomorfisma serta menerapkan Teorema Utama Homomorfisma Grup. Dari Tabel 1 diperoleh bahwa 4 mahasiswa mengerjakan dengan benar, 19 orang mengerjakan tidak sepenuhnya benar, 17 orang mengerjakan dengan salah, dan sisanya tidak mengerjakan. Dari 19 orang yang mengerjakan tidak sepenuhnya benar semuanya karena unsur ceroboh, sedangkan secara konsep sudah benar. Wawancara terhadap 19 orang yang mengerjakan dengan salah dan yang tidak menjawab pertanyaan diperoleh bahwa mereka masih bingung dengan cara menunjukkan epimorfisma grup . Untuk soal yang berkaitan dengan penentuan Kernel suatu homopmorfisma, mereka menyatakan bahwa mereka kurang bisa memahami cara menentukan kernel serta mengartikan simbol matematika dalam definisi Kernel. Sementara untuk soal yang berkaitan dengan Teorema Utama Homomorfisma Grup, dari hasil wawancara mereka menyatakan bahwa mereka kurang bisa menerapkan teorema itu. Dengan demikian secara klasikal mereka masih bermasalah dengan pemahaman materi homomorfima grup
Dari uraian di atas dan mengingat objek langsung yang dipelajari dalam matematika ada 4, maka mahasiswa mungkin melakukan kesalahan pada setiap tipe kesalahan dari 4 tipe kesalahan, yaitu kesalahan fakta, kesalahan ketrampilan matematika, kesalahan konsep dan kesalahan prinsip. Berikut diberikan tabel 2 yang berisi banyak mahasiswa yang melakukan masing masing jenis kesalahan pada setiap soal yang dikerjakan, yang merupakan penjabaran dari Tabel 1 kolom 2 sampai 3.
Tabel 2 Prosentase Banyaknya Mahasiswa yang Melakukan Kesalahan pada tiap jenis Kesalahan U
Soal No.
Banyaknya Mahasiswa yang melakukan kesalahan dari seluruh mahasiswa yang mengerjakan tapi tidak sepenuhnya benar atau mengerjakan tapi salah Tahap awal fakta ketrampilan Konsep Prinsip 1 0 0 9(100%) 0 0 2 0 0 0 0 0 3 10(20,4%) 0 12(24,4%) 11(22,4%) 0 4 9(24.3%) 0 20(54,1%) 8(21,6%) 0 5 40(80%) 0 10(20%) 0 0 6 0 0 1(33,3%) 2(66,7%) 0 7 5(50%) 0 4(40%) 1(10%) 0 8 28(56%) 0 14(28%) 8(16%) 0 9 0 0 24(100%) 0 0 10 15(57,7%) 0 7(26,9%) 4(15,4%) 0 11 17(36,7%) 0 19(63,3%) 0 0
Dari penjabaran pada bagian terdahulu tampak bahwa mahasiswa masih kesulitan dalam
1. Memahami makna dari definisi himpunan dalam bentuk simbol matematika 2. menyelesaikan soal eksplorasi\
3. menunjukkan suatu fungsi surjektif
4. menerapkan dan memahami definisi dan teorema yang berkaitan dengan homomorfisma grup
7. Ucapan Terima Kasih
Terima kasih kepada LPPM Universitas Udayana yang telah mendanai penelitian ini lewat Dana PNBP Tahun Anggaran 2016 untuk skim penelitian Hibah Unggulan Program Studi dengan nomor kontrak 2761/UN14.1.28/LT/2016.
8. Kesimpulan dan saran
Berdasarkan hasil dan pembahasan pada bagian terdahulu dapat disimpulkan bahwa dari materi-materi Struktur Aljabar 1, yaitu Operasi Biner, Beberapa Bentuk Struktur Aljabar dan Sifat-Sifat Grup; Kompleks dan Subgrup dari Suatu Grup; Grup permutasi ; Koset dan Subgrup Normal dari Suatu Grup; dan Homomorfisma Grup, kesalahan-kesalahan yang masih banyak dilakukan mahasiswa adalah dalam:
1. Memahami makna dari definisi himpunan dalam bentuk simbol matematika 2. menyelesaikan soal eksplorasi
3. Menunjukkan suatu fungsi surjektif
4. menerapkan dan memahami definisi dan teorema yang berkaitan dengan homomorfisma grup
Mengingat materi 1 bukan termasuk materi pokok Struktur Aljabar1, tetapi merupakan materi dasar dalam mempelajari Struktur Aljabar 1, hal menunjukkan lemahnya penguasaan mahasiswa akan materi dasar.
Sehubungan dengan kesimpulan di atas dan mengingat pembelalajan ini dilakukan dengan metode konvensional dan dilengkapi buku ajar yang disusun secara konstruktivistik, disarankan untuk penelitian selanjutnya, mengkolaborasikan penggunaan buku ajar yang disusun secra konstrukivistik dan model pembelajaran aktif ysng dipadukan dengan penggunaan program komputer untuk dapat lebih membantu pemahaman mahasiswa dalam belajar Struktur Aljabar 1.
5. Daftar Pustaka
Robert Gagne’s Theory and Learning, diakses melalui web
http://yurizkamelia.blogspot.co.id/2012/01/robert-gagnes-theory-of-learning.html pada tanggal 23 Oktober 2016 pukul 21.19
Selden, Any and Selden, John, 2003, Error and Misconceptions in College Level Theorem Proving, Technical Report, Mathematics Department, Tennessee Technological University, diakses melalui web http://files.eric.ed.gov/fulltext/ED518588.pdf pada tanggal 23 Oktober 2016 pukul 10:12.
Arikan, E. E, Ozkon, A., dan Ozkan, M. E., 2015, An Examination in Turkey: Error Analysis of Mathematics Students on Group Theory. Academic Journal, Vol 10(16), pp. 2352-2361, 23 August, 2015, diakses melalui web http://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ1078368.pdf pada tanggal 23 Oktober 2016 pukul 15.50.
Novak, Joseph D. “Overview of the Seminar.” Proceedings of the International Seminar Misconceptions in Science and Mathematics, 1983, 1-4.
Confrey, Jere. "Implications for Teaching from the Research on Misconceptions." Proceedings of the International Seminar Misconceptions in Science and Mathematics, 1983, 21-31
Selden, Annie A. and John Selden. “Errors Students Make in 'Mathematical Reasoning.” Bosphorous University Journal, Vol. 6, 1978, 67-87.
Mehl, Merlyn C. and John D. Volmink, "Influence of Cognitive Instruction on Misconceptions in Physics and Mathematics.” Proceedings of the International Seminar Misconceptions .in Science and Mathematics, 1983,228-232
