BAB II PERSAMAAN AIR DANGKAL

3

BAB II

PERSAMAAN AIR DANGKAL 2.1. Penurunan Persamaan Air Dangkal

Persamaan Air Dangkal merupakan persamaan gerak air dengan permukaan bebas dengan kedalaman air yang relatif dangkal. Persamaan ini berlaku untuk fluida homogen yang memiliki massa jenis konstan. Dalam hal ini,air dianggap air dangkal jika kedalaman fluida jauh lebih kecil daripada panjang gelombang atau dengan ilustrasi berikut.

Gambar 1. Ilustrasi Air Dangkal

Perhatikan bahwa sumbu 𝑥 menyatakan arah horizontal dan sumbu 𝑧 menyatakan arah vertikal. Pada Gambar 1 dapat diketahui bahwa batas bawah topografi dasar adalah −𝑑(𝑥), komponen kecepatan aliran partikel air pada arah horizontal adalah 𝑢(𝑥, 𝑡) dan ketinggian air pada permukaan atau simpangan adalah 𝜂(𝑥, 𝑡) serta kedalaman air adalah ℎ(𝑥, 𝑡). Pada penulisan Laporan Tugas Akhir ini, akan diasumsikan bahwa kecepatan aliran partikel air pada arah vertikal diabaikan dikarenakan panjang gelombang yang jauh lebih besar dibandingkan dengan kedalaman fluida.

Persamaan Air Dangkal ini terdiri dari dua buah persamaan, yang pertama diturunkan dari Hukum Konservasi Massa dan yang kedua diturunkan dari Hukum Konservasi Momentum. Berikut ini akan diuraikan penurunan Persamaan Air Dangkal atau yang lebih dikenal dengan Shallow Water Equation (SWE).

2.1.1. Persamaan Konservasi Massa

Untuk memudahkan analisa dalam persoalan yang menyangkut adanya suatu aliran massa ke/dari sistem terbuka, maka akan dibuat control volume pada

4

sistem tersebut. Pada Gambar 2 ilustrasi control volume pada Air Dangkal disajikan. Diketahui bahwa batasan pada control volume misalkan 𝛺 = {(𝑥, 𝑧)|𝑥1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥2 , −𝑑(𝑥) ≤ 𝑧 ≤ 𝜂(𝑥, 𝑡)} yang memiliki massa jenis 𝜌 konstan.

Gambar 2. Control Volume pada Ilustrasi Persamaan Air Dangkal

Perhatikan pada daerah control volume, bahwa massa fluida pada sepotong partisi adalah

𝑚 = 𝜌𝑉 = 𝜌ℎ∆𝑥

sehingga untuk massa total fluida pada control volume yaitu 𝑚_𝑡𝑜𝑡= ∫ 𝜌ℎ 𝑑𝑥

𝑥2

𝑥1

(2.1). Laju perubahan massa fluida di control volume adalah selisih massa fluida yang masuk dan massa fluida yang keluar, sehingga dari Persamaan (2.1) akan diperoleh

𝜕

𝜕𝑡∫ 𝜌ℎ 𝑑𝑥

𝑥2

𝑥1

= 𝜌ℎ𝑢|𝑥1− 𝜌ℎ𝑢|𝑥2

Dua suku terakhir dituliskan kembali dalam notasi integral dan menurut Teorema Dasar Kalkulus (TDK) maka bisa juga ditulis dengan

𝜕 𝜕𝑡∫ 𝜌ℎ 𝑑𝑥 𝑥2 𝑥1 = − 𝜕 𝜕𝑥∫ 𝜌ℎ𝑢 𝑑𝑥 𝑥2 𝑥1 (2.2). Hukum Kekekalan Massa menyatakan bahwa perubahan massa suatu partikel fluida tidak berubah, atau dengan kata lain bisa dinyatakan dengan 𝜕𝑚

𝜕𝑡 = 0, maka

Persamaan (2.2) bisa juga ditulis dengan ∫ [𝜕 𝜕𝑡𝜌ℎ + 𝜕 𝜕𝑥𝜌ℎ𝑢 ] 𝑑𝑥 = 0 𝑥2 𝑥1

5 𝜕

𝜕𝑡𝜌ℎ + 𝜕

𝜕𝑥𝜌ℎ𝑢 = 0

Pada daerah control volume merupakan fluida ideal dengan kata lain nilai 𝜌 konstan, maka akan diperoleh

𝜕ℎ 𝜕𝑡 +

𝜕(ℎ𝑢) 𝜕𝑥 = 0

(2.3). Persamaan (2.3) menyatakan Persamaan Konservasi Massa. Selanjutnya akan diturunkan Persamaan Air Dangkal dari Hukum Konservasi Momentum.

2.1.2. Persamaan Konservasi Momentum

Hukum Newton II menyatakan bahwa laju perubahan momentum dari suatu sistem sama dengan total gaya yang bekerja. Berdasarkan Hukum Newton tersebut, maka dapat ditulis

𝜕𝐼

𝜕𝑡= ∑ 𝐹𝑖

(2.4) dengan 𝐼 menyatakan momentum partikel fluida, dan 𝐹𝑖 menyatakan gaya-gaya

yang bekerja. Selanjutnya akan dikerjakan secara terpisah pada Persamaan (2.4). Suku-suku diruas kiri akan ditinjau untuk laju perubahan momentum dan suku-suku diruas kanan akan meninjau gaya yang bekerja.

Momentum fluida setiap waktu pada control volume dapat dihitung dengan 𝐼 = ∫ 𝜌ℎ𝑢 𝑑𝑥

𝑥2

𝑥1

maka laju perubahan momentum pada control volume adalah 𝜕𝐼 𝜕𝑡 = 𝜕 𝜕𝑡∫ 𝜌ℎ𝑢 𝑑𝑥 𝑥2 𝑥1 − 𝜌ℎ𝑢𝑢|𝑥1 + 𝜌ℎ𝑢𝑢|𝑥2 (2.5) dua suku terakhir diruas kanan pada Persamaan (2.5) dituliskan kembali dalam notasi integral dan menurut TDK akan menghasilkan

𝜕𝐼 𝜕𝑡= ∫ [ 𝜕 𝜕𝑡𝜌ℎ𝑢 + 𝜕 𝜕𝑥𝜌ℎ𝑢 2_{] 𝑑𝑥} 𝑥2 𝑥1 (2.6). Persamaan (2.6) adalah pernyataan untuk laju perubahan momentum. Selanjutnya akan dirumuskan gaya yang bekerja pada control volume. Perhatikan bahwa air dapat mengalir karena ada perubahan tekanan. Pada permukaan 𝑧 = 𝜂(𝑥, 𝑡), tekanan permukaan adalah 𝑃_𝑎𝑡𝑚 dan akan meningkat dengan bertambahnya posisi vertikal 𝑧 hingga mencapai maksimumnya di dasar 𝑧 = −𝑑(𝑥).

6

dengan z menyatakan titik-titik disekitar 0 sampai −𝑑(𝑥), 𝑔 dalah gaya gravitasi. Maka gaya tekan pada setiap titik yang bekerja pada permukaan adalah

𝐹_𝑇 = ∫ 𝑃_𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔(𝜂 − 𝑧) 𝑑𝑧

𝜂 −𝑑

untuk gaya tekan yang bekerja dibatas kiri 𝑥₁ dapat dituliskan berikut 𝐹_𝑇(𝑥₁, 𝑡) = ∫ 𝑃_𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔(𝜂 − 𝑧) 𝑑𝑧

𝜂 −𝑑

Karena diasumsikan bahwa pergerakan air pada arah vertikal diabaikan maka nilai 𝑃𝑎𝑡𝑚 = 0 (konstan) sehingga diperoleh

𝐹_𝑇(𝑥₁, 𝑡) = ∫ 𝜌𝑔(𝜂 − 𝑧) 𝑑𝑧 𝜂 −𝑑 = 𝜌𝑔 𝜂𝑧 −1 2𝑧 2_| −𝑑 𝜂 = 𝜌𝑔 (𝜂2₋1 2𝜂 2_{) − 𝜌𝑔 (𝜂(−𝑑) −}1 2(−𝑑) 2₎ = 𝜌𝑔 (𝜂2 −1 2𝜂 2_{) − 𝜌𝑔 (𝜂(−𝑑) −}1 2(−𝑑) 2₎ = 𝜌𝑔 (1 2𝜂 2_{+ 𝜂𝑑 +}1 2𝑑 2₎ = 1 2𝜌𝑔(𝜂 + 𝑑) 2 𝐹𝑇(𝑥1, 𝑡) = 1 2𝜌𝑔ℎ(𝑥1, 𝑡) 2

dengan cara yang sama maka gaya tekan yang bekerja dibatas kiri 𝑥2 dapat ditulis

𝐹𝑇(𝑥2, 𝑡) =

1

2𝜌𝑔ℎ(𝑥2, 𝑡)

2

Suatu fluida mengalir karena ada perubahan tekanan maka gaya tekan total yang terjadi pada pada control volume adalah

7 𝐹_𝑇(𝑥₁, 𝑡) − 𝐹_𝑇(𝑥₂, 𝑡) =1 2𝜌𝑔ℎ 2_| 𝑥1 − 1 2𝜌𝑔ℎ 2_| 𝑥2 (2.7) dua suku terakhir diruas kanan pada Persamaan (2.7) dituliskan kembali dalam notasi integral dan menurut TDK maka akan menghasilkan

𝐹_𝑇 = −1 2 𝜕 𝜕𝑥∫ 𝜌𝑔ℎ 2 _𝑑𝑥 𝑥2 𝑥1 𝐹_𝑇 = − ∫ 𝜕 𝜕𝑥( 1 2𝜌𝑔ℎ 2_{) 𝑑𝑥} 𝑥2 𝑥1 (2.8). Persamaan (2.8) merupakan gaya tekan partikel fluida pada control volume. Setelah dilakukan peninjauan secara terpisah pada Persamaan (2.4), kemudian lakukan substitusi (2.8) dan (2.6) ke dalam (2.4) maka akan diperoleh

∫ [𝜕 𝜕𝑡𝜌ℎ𝑢 + 𝜕 𝜕𝑥𝜌ℎ𝑢 2_{] 𝑑𝑥} 𝑥2 𝑥1 = − ∫ 𝜕 𝜕𝑥( 1 2𝜌𝑔ℎ 2_{) 𝑑𝑥} 𝑥2 𝑥1 ∫ [𝜕 𝜕𝑡𝜌ℎ𝑢 + 𝜕 𝜕𝑥𝜌ℎ𝑢 2₊ 𝜕 𝜕𝑥( 1 2𝜌𝑔ℎ 2_{)] 𝑑𝑥} 𝑥2 𝑥1 = 0 Karena 𝑥₁ dan 𝑥₂ sembarang, maka haruslah

𝜕 𝜕𝑡𝜌ℎ𝑢 + 𝜕 𝜕𝑥𝜌ℎ𝑢 2₊ 𝜕 𝜕𝑥( 1 2𝜌𝑔ℎ 2_{) = 0}

Pada daerah control volume merupakan fluida ideal dengan kata lain nilai 𝜌 konstan, maka akan diperoleh

𝜕 𝜕𝑡ℎ𝑢 + 𝜕 𝜕𝑥ℎ𝑢 2₊ 𝜕 𝜕𝑥(𝑔ℎ 2_{) = 0} (2.9).

Persamaan (2.9) menyatakan Persamaan Konservasi Momentum. Kemudian Persamaan (2.9) dapat disederhanakan menjadi

𝜕ℎ 𝜕𝑡𝑢 + 𝜕𝑢 𝜕𝑡ℎ + 2𝑢 𝜕ℎ𝑢 𝜕𝑥 + 𝑔 𝜕ℎ 𝜕𝑥ℎ = 0 (2.10) dengan mensubstitusikan persamaan yang telah diperoleh dari Persamaan Konservasi Massa (2.3) ke Persamaan (2.10) maka akan diperoleh

𝜕𝑢 𝜕𝑡ℎ + 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥ℎ + 𝑔 𝜕ℎ 𝜕𝑥ℎ = 0 (2.11). Setelah membagi Persamaan (2.11) dengan ℎ akan diperoleh

𝜕𝑢 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥+ 𝑔 𝜕ℎ 𝜕𝑥= 0 (2.12).

8

Persamaan (2.3) dan (2.12) dikenal sebagai Persamaan Air Dangkal atau lebih dikenal dengan Shallow Water Equation (SWE) [3]. Berupa sistem persamaan diferensial pasial non-linear orde 1 homogen, secara eksplisit dapat dituliskan sebagai berikut { 𝜕ℎ 𝜕𝑡 + 𝜕(ℎ𝑢) 𝜕𝑥 = 0 𝜕𝑢 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥+ 𝑔 𝜕ℎ 𝜕𝑥= 0 (2.13).

2.2. Linearisasi Persamaan Air Dangkal

Persamaan (2.13) sulit untuk diselesaikan secara analitik, maka persamaan tersebut akan dilinearkan menjadi persamaan yang lebih sederhana agar mudah untuk dipelajari. Dimisalkan

ℎ(𝑥, 𝑡) = 𝑑0 dan 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢0

dengan 𝑑₀ menyatakan permukaan fluida diam dan 𝑢₀ menyatakan kecepatan yang konstan. Maka untuk beberapa 𝑑₀ dan 𝑢₀ akan memiliki solusi konstan yaitu

{ 𝜕𝑑0 𝜕𝑡 + 𝜕(𝑑0𝑢0) 𝜕𝑥 = 0 𝜕𝑢0 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑢0 𝜕𝑥 + 𝑔 𝜕ℎ0 𝜕𝑥 = 0 (2.14).

Persamaan (2.14) merupakan solusi konstan yang akan memenuhi Persamaan Air Dangkal (2.13). Selanjutnya solusi konstan pada Persamaan (2.14) akan diberi gangguan dengan memisalkan ℎ(𝑥, 𝑡) dan 𝑢(𝑥, 𝑡) dengan ilustrasi gangguan seperti pada Gambar 4.

Gambar 4. Ilustrasi Gangguan pada Air Dangkal

Pada Gambar 4 dapat diketahui bahwa gangguan pada ℎ(𝑥, 𝑡) adalah dan 𝑢(𝑥, 𝑡) dapat ditulis dengan

9

ℎ(𝑥, 𝑡) = 𝑑0+ 𝜀𝜂̅(𝑥, 𝑡)

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢₀ + 𝜀𝑢̅(𝑥, 𝑡)

(2.15). Persamaan (2.15) adalah gangguan ℎ(𝑥, 𝑡) dengan penambahan suku 𝜂̅(𝑥, 𝑡) yang faktor perkaliannya adalah 𝜀 dan 𝑢(𝑥, 𝑡) dengan penambahan suku 𝑢̅(𝑥, 𝑡) yang faktor perkaliannya adalah 𝜀, serta 𝜀 adalah parameter positif (𝜀 >) yang bernilai sangat kecil (𝜀 << 1).

Kemudian substitusikan (2.15) ke dalam (2.3) akan diperoleh 𝜕(𝑑0+ 𝜀𝜂̅) 𝜕𝑡 + (𝑑0+ 𝜀𝜂̅) 𝜕(𝑢0+ 𝜀𝑢̅) 𝜕𝑥 + (𝑢0+ 𝜀𝑢̅) 𝜕(𝑑0+ 𝜀𝜂̅) 𝜕𝑥 = 0 𝜀𝜕𝜂̅ 𝜕𝑡 + 𝜀𝑑0 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑥+ 𝜀 2_𝜂̅𝜕𝑢̅ 𝜕𝑥+ 𝜀𝑢0 𝜕𝜂̅ 𝜕𝑥+ 𝜀 2_𝑢̅𝜕𝜂̅ 𝜕𝑥= 0 (2.16). Ambil suku-suku pada (2.16) yang berode 𝜀 maka akan diperoleh

𝜕𝜂̅ 𝜕𝑡 + 𝑑0 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑥+𝑢0 𝜕𝜂̅ 𝜕𝑥 = 0 (2.17). Persamaan (2.17) adalah Persamaan Konservasi Massa Linear.

Untuk memperoleh Persamaan Konservasi Momentum Linear, dapat dilakukan dengan cara yang sama, yaitu mensubstitusikan Persamaan (2.15) ke dalam Persamaan (2.12) dan mengambil suku-suku pada yang berode 𝜀 maka diperoleh

𝜕𝑢̅ 𝜕𝑡 + 𝑢0 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑥+ 𝑔 𝜕𝜂̅ 𝜕𝑥= 0 (2.18). Persamaan (2.17) dan (2.18) kemudian dikenal sebagai Persamaan Air Dangkal Linear yang secara eksplisit ditulis sebagai berikut

{ 𝜕𝜂̅ 𝜕𝑡 + 𝑑0 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑥+𝑢0 𝜕𝜂̅ 𝜕𝑥= 0 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑡 + 𝑢0 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑥+ 𝑔 𝜕𝜂̅ 𝜕𝑥 = 0 (2.19).