6 BAB II
PERSAMAAN AIR DANGKAL
2.1 Persamaan Air Dangkal
Persamaan Air Dangkal merupakan aliran fluida bebas dengan ketinggian dari permukaan relatif rendah. Persamaan Air Dangkal ini berlaku pada saat pergerakan fluida secara horizontal sedangkan pergerakan fluida secara vertikal menuju 0, merujuk dalam [3]. Persamaan Air Dangkal yang akan diteliti yaitu Persamaan Air Dangkal yang diberikan suatu kontrol volume pada batas
𝑥1≤ 𝑥 ≤ 𝑥2.
Persamaan Air Dangkal didapatkan melalui proses matematis pada Penurunan Persamaan Konservasi Massa dan Persamaan Konservasi Momentum. Selanjutnya, akan dilakukan penurunan secara matematis Persamaan Konservasi Massa.
𝑧
𝑧 = −𝑑(𝑥)
𝑥1 𝑥2
ℎ(𝑥, 𝑡) =𝜂 + 𝑑 𝑢(𝑥,𝑡)
∆𝑥 = 𝑥2− 𝑥1 Arus Fluida
𝜂(𝑥, 𝑡) 𝑥 ,
Gambar 2. 1 Kontrol volume dalam Persamaan Air Dangkal
7 2.1.1 Persamaan Konservasi Massa
Persamaan Konservasi Massa adalah suatu sistem tertutup yang menyatakan konstan meskipun adanya berbagai proses dalam sistem tersebut. Diberikan suatu partisi pada permukaan fluida dengan batas 𝑥1 dan 𝑥2 yang digunakan mengontrol volume fluida.
Terdapat banyaknya fluida yang memenuhi kontrol volume dengan adanya proses fisis sehingga apabila terjadi suatu perubahan volume, maka massa pada kontrol volume akan berubah. Kontrol volume yang terjadi pada gambar dengan ℎ(𝑥, 𝑡) = ℎ, terdapat gerakan dengan aliran horizontal pada batas 𝑥1 dan 𝑥2. Pergerakan aliran fluida setiap saat dimana terdapat aliran arus fluida disimbolkan 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢.
Proses fisis yang terjadi pada kontrol volume terdapat aliran fluida yang masuk dan aliran fluida yang keluar. Laju perubahan massa fluida pada kontrol volume sebagai berikut :
𝑑𝑚(𝑡)
𝑑𝑡 = 0 (2.1)
𝜕
𝜕𝑡∫ 𝜌ℎ 𝑑𝑥𝑥𝑥2
1 − 𝜌ℎ𝑢|𝑥
1 + 𝜌ℎ𝑢|𝑥
2 = 0 𝑧
𝑧 = −𝑑(𝑥)
𝑥1 𝑥2
ℎ(𝑥, 𝑡) =𝜂 + 𝑑
∆𝑥 = 𝑥2− 𝑥1 𝜂(𝑥, 𝑡) 𝑥 ,
𝑧 = 0
𝑢𝑥,𝑡)
Arus Fluida
Gambar 2. 2 Kontrol volume dalam penurunan Persamaan Konservasi Massa
8 𝜕
𝜕𝑡∫ 𝜌ℎ 𝑑𝑥𝑥𝑥2
1 = 𝜌ℎ𝑢|𝑥
1 − 𝜌ℎ𝑢|𝑥
2 𝜕
𝜕𝑡∫ 𝜌ℎ 𝑑𝑥𝑥𝑥2
1 = −𝜌ℎ𝑢|𝑥
1 𝑥2
Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus (TDK) I secara matematis dapat ditulis :
𝜕
𝜕𝑡∫ 𝜌ℎ 𝑑𝑥𝑥𝑥2
1 = −𝜌ℎ𝑢|𝑥
1 𝑥2
𝜕
𝜕𝑡∫ 𝜌ℎ 𝑑𝑥𝑥𝑥2
1 = − 𝜕
𝜕𝑥∫ 𝜌ℎ𝑢𝑥𝑥2
1 𝑑𝑥
Berdasarkan konsep Persamaan Konservasi Massa dimana perubahan massa pada sistem tertutup dinyatakan konstan.
Selanjutnya, perubahan massa dapat ditulis : 𝑑𝑚(𝑡)
𝑑𝑡 = 0
𝜕
𝜕𝑡∫ 𝜌ℎ 𝑑𝑥𝑥𝑥2
1 + 𝜕
𝜕𝑥∫ 𝜌ℎ𝑢𝑥𝑥2
1 𝑑𝑥 = 0
∫ (𝜕𝑡𝜕 (𝜌ℎ) + 𝜕
𝜕𝑥(𝜌ℎ𝑢))
𝑥2
𝑥1 𝑑𝑥 = 0
Berdasarkan proses matematis yang telah dilakukan persamaan konservasi massa sebagai berikut :
𝜕
𝜕𝑡(𝜌ℎ) + 𝜕
𝜕𝑥(𝜌ℎ𝑢) = 0 (2.2)
Jika diberikan asumsi massa jenis (𝜌) pada fluida ideal adalah konstan. Persamaan Konservasi Massa pada Persamaan Air Dangkal sebagai berikut:
𝜕ℎ
𝜕𝑡+𝜕(ℎ𝑢)
𝜕𝑥 = 0
atau dapat ditulis,
ℎ𝑡+ (ℎ𝑢)𝑥 = 0 (2.3) dengan, ℎ = 𝜂 + 𝑑
9
Selanjutnya, akan dilakukan penurunan pada Persamaan Konservasi Momentum.
2.1.2 Persamaan Konservasi Momentum
Persamaan Konservasi Momentum merupakan apabila terdapat gaya yang bekerja pada sistem adalah sama dengan nol yang artinya jumlah momentum pada benda tetap. Pada Persamaan Konservasi Momentum diberikan partisi pada permukaan fluida pada 𝑥1 dan 𝑥2.
Perilaku fisis dari momentum dapat menggunakan perilaku fisis pada Hukum Newton II. Hukum Newton II menyatakan perubahan momentum pada suatu sistem sama dengan total gaya yang bekerja.
Total gaya (∑ 𝐹𝑖) adalah suatu massa (𝑚) yang berbanding lurus dengan percepatan (𝑎) dapat ditulis sebagai berikut:
∑ 𝐹𝑖 = 𝑚𝑎 (2.4)
Berdasarkan hukum newton II, dapat didefinisikan bahwa percepatan (𝑎) terbentuk adanya kecepatan dari suatu benda diturunkan terhadap waktu sehingga diperoleh:
∑ 𝐹𝑖 = 𝑚𝑑(𝑢)
𝑑𝑡 (2.5)
𝑧
𝑧 = −𝑑(𝑥)
𝑥1 𝑥2
ℎ(𝑥, 𝑡) =𝜂 + 𝑑 𝑢(𝑥,𝑡)
∆𝑥 = 𝑥2− 𝑥1
𝜂(𝑥, 𝑡) 𝑥 ,
𝑧 = 0
𝐹𝑎𝑡𝑚
𝑃(𝑥, 𝑡)
Gambar 2. 3 Kontrol volume dalam penurunan Persamaan Konservasi Momentum
10
Berdasarkan proses fisis total gaya (∑ 𝐹𝑖) akan sebanding dengan perubahan momentum (𝐼(𝑥, 𝑡) = 𝐼) yaitu massa (𝑚) berbanding lurus dengan kecepatan (𝑢) sehingga dapat ditulis:
𝐼 = 𝑚𝑢 (2.6)
Pada kontrol volume terjadi suatu perubahan volume, maka massa pada suatu volume akan berubah dan momentum pada kontrol volume pun akan berubah. Dimana (𝑚) merupakan massa pada fluida, (𝜌) merupakan massa jenis fluida, (𝑉) merupakan volume. Persamaan dari perubahan momentum pada kontrol volume dapat ditulis:
𝜕𝐼
𝜕𝑡= 𝑚𝑢
𝜕𝐼
𝜕𝑡= (𝜌𝑉)𝑢
𝜕𝐼
𝜕𝑡= 𝜌ℎ(𝑥, 𝑡)∆𝑥𝑢
Kontrol volume yang terjadi pada gambar, terdapat gerakan momentum horizontal pada persekitaran 𝑥1 dan 𝑥2. Pergerakan perubahan momentum dipengaruhi proses fisis pada aliran yang masuk dan aliran fluida yang keluar. Perubahan momentum terhadap kontrol volume pada fluida diberikan dimana ℎ(𝑥, 𝑡) = ℎ, dapat ditulis :
𝜕𝐼
𝜕𝑡 = 𝜌(ℎ∆𝑥)𝑢 (2.7)
Perubahan momentum pada kontrol volume dapat ditulis:
∫ 𝜌ℎ𝑢 𝑑𝑥𝑥𝑥2
1 = 𝜌ℎ𝑢𝑢|𝑥
1 − 𝜌ℎ𝑢𝑢|𝑥
2
∫ 𝜌ℎ𝑢 𝑑𝑥𝑥𝑥2
1 = −𝜌ℎ𝑢2|𝑥
1 𝑥2
Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus (TDK) I dapat ditulis :
𝜕
𝜕𝑡∫ 𝜌ℎ𝑢 𝑑𝑥𝑥𝑥2
1 = − 𝜕
𝜕𝑥∫ 𝜌ℎ𝑢𝑥𝑥2 2
1 𝑑𝑥
11
Perubahan momentum pada kontrol volume dimana total gaya yang bekerja dinyatakan konstan oleh karena itu ditulis :
𝜕𝐼
𝜕𝑡 = 0
𝜕
𝜕𝑡∫ 𝜌ℎ𝑢 𝑑𝑥𝑥𝑥2
1 + 𝜕
𝜕𝑥∫ 𝜌ℎ𝑢𝑥𝑥2 2
1 𝑑𝑥 = 0 ∫ (𝜕
𝜕𝑡(𝜌ℎ𝑢) + 𝜕
𝜕𝑥(𝜌ℎ𝑢2))
𝑥2
𝑥1 𝑑𝑥 = 0
∫ (𝜕𝑡𝜕 (𝜌(ℎ𝑢) + 𝜕
𝜕𝑥(𝜌(ℎ)𝑢2))
𝑥2
𝑥1 𝑑𝑥 = 0 (2.8)
Selanjutnya dalam perubahan momentum terdapat beberapa gaya yang bekerja adanya gaya tekan pada permukaan yang diakibatkan adanya aliran dari fluida. Tekanan fluida dalam satuan luas, diberikan 𝑃 = 𝑃𝑎𝑡𝑚+ 𝜌𝑔(𝜂 − 𝑧). Permukaan pada fluida 𝑧 = 𝜂 dengan meningkatnya posisi vertikal 𝑧 sehingga mencapai bagian bawah maksimum permukaan yaitu 𝑧 = −𝑑𝑥.
Gaya tekan yang diberikan yaitu : 𝐹𝑝 = ∫ 𝑃𝑥𝑥2 𝑎𝑡𝑚+ 𝜌𝑔(𝜂 − 𝑧)
1 𝑑𝑧 (2.9)
Asumsi tekanan atmosfer 𝑃𝑎𝑡𝑚= 0, gaya tekan pada kontrol volume sebagai berikut :
𝜕
𝜕𝑡∫ 𝜌𝑔(𝜂 − 𝑧) 𝑑𝑧−𝑑𝜂 = 𝜌𝑔 (𝜂𝑧 −1
2𝑧2) |−𝑑𝜂 = 𝜌𝑔 (𝜂2−1
2𝜂2) − 𝜌𝑔 (−𝜂𝑑 −1
2𝑑2) = 𝜌𝑔 (1
2𝜂2 + 𝜂𝑑 +1
2𝑑2) = 1
2 𝜌𝑔(𝜂 + 𝑑)2 =1
2 𝜌𝑔ℎ2 (2.10)
12
Fluida dapat mengalir jika terjadinya perbedaan tekanan sehingga dapat ditulis:
𝑃(𝑥1, 𝑡) − 𝑃(𝑥2, 𝑡) = 1
2 𝜌𝑔ℎ2|𝑥
1 −1
2 𝜌𝑔ℎ2|𝑥
2 = −1
2 𝜌𝑔ℎ2|𝑥
1 𝑥2
= − ∫ 𝜕𝑥𝜕 (1
2𝜌𝑔ℎ2)
𝑥2
𝑥1 𝑑𝑥 (2.11)
Persamaan Konservasi Momentum pada Persamaan Air Dangkal adalah,
𝜕𝐼
𝜕𝑡 = 𝐹𝑝 ∫ (𝜕𝑡𝜕 (𝜌ℎ𝑢) + 𝜕
𝜕𝑥(𝜌ℎ𝑢2))
𝑥2
𝑥1 𝑑𝑥 = − ∫ 𝜕𝑥𝜕 (1
2𝜌𝑔ℎ2)
𝑥2
𝑥1 𝑑𝑥 (2.12) secara matematis ditulis,
∫ (𝜕
𝜕𝑡(𝜌ℎ𝑢) + 𝜕
𝜕𝑥(𝜌ℎ𝑢2))
𝑥2 𝑥1
𝑑𝑥 + ∫ 𝜕
𝜕𝑥(1
2𝜌𝑔ℎ2)
𝑥2 𝑥1
𝑑𝑥 = 0
diberikan suatu asumsi dimana pada Persamaan Air Dangkal dengan massa jenis (𝜌) fluida ideal yaitu konstan sehingga diperoleh :
∫ (𝜕
𝜕𝑡(ℎ𝑢) + 𝜕
𝜕𝑥(ℎ𝑢2))
𝑥2 𝑥1
𝑑𝑥 + ∫ 𝜕
𝜕𝑥(1 2𝑔ℎ2)
𝑥2 𝑥1
𝑑𝑥 = 0
Setelah dilakukan proses penurunan diperoleh Persamaan Konservasi Momentum sebagai berikut:
𝜕𝑢
𝜕𝑡 + 𝑢𝜕𝑢
𝜕𝑥 + 𝑔𝜕ℎ
𝜕𝑥 = 0
atau dapat ditulis,
𝑢𝑡+ (𝑢𝑢)𝑥+ 𝑔ℎ𝑥 = 0 (2.13)
dengan, ℎ = 𝜂 + 𝑑
13
Berdasarkan hasil penurunan dari Persamaan Konservasi Massa dan Persamaan Konservasi Momentum diperoleh Persamaan Air Dangkal pada Persamaan (2.3) dan (2.13) dapat ditulis sebagai berikut :
ℎ𝑡 + (ℎ𝑢)𝑥 = 0
𝑢𝑡+ (𝑢𝑢)𝑥+ 𝑔ℎ𝑥 = 0 (2.14) dengan, ℎ = 𝜂 + 𝑑
Persamaan Air Dangkal salah satu persamaan diferensial yang tak linear sehingga untuk mempermudah dalam menganalisis Persamaan Air Dangkal dilakukan proses pelinearisasian.
2.2 Linearisasi Persamaan Air Dangkal
Linearisasi merupakan proses hampiran persamaan diferensial tak linear dengan persamaan diferensial linear. Persamaan Air Dangkal pada Persamaan (2.14) sebagai berikut:
ℎ𝑡+ (ℎ𝑢)𝑥 = 0 𝑢𝑡+ (𝑢𝑢)𝑥+ 𝑔ℎ𝑥 = 0
Diberikan suatu asumsi pada Persamaan Air Dangkal dimana ℎ(𝑥, 𝑡) dan 𝑢(𝑥, 𝑡) konstan dapat ditulis:
ℎ(𝑥, 𝑡) = 𝑑0, 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢0
Diperoleh solusi konstan pada persamaan air dangkal linear sebagai berikut : 𝑑0𝑡 + (𝑑0𝑢0)𝑥= 0 (2.15) 𝑢0𝑡+ 𝑢0𝑢0𝑥+ 𝑔𝑑0 𝑥 = 0 (2.16) Berdasarkan Persamaan (2.15) dan (2.16) dimana proses fisis yang terjadi ketinggian fluida konstan dan arus alirannya pun konstan yang terjadi pada permukaan bidang dasar datar.
14
Diberikan gangguan pada fluida tersebut sehingga adanya arus fluida yang mengakibatkan fluida akan bergerak. Diberikan suatu permisalan ε𝜂̅ sebagai penambahan tinggi pada suatu permukaan dan ε𝑢̅ sebagai perubahan kecepatan pada aliran fluida dapat ditulis sebagai berikut:
ℎ(𝑥, 𝑡) = 𝑑0 + ε𝜂̅
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢0 + ε𝑢̅
2.2.1 Linearisasi Persamaan Konservasi Massa
Tinjau pada Persamaan Konservasi Massa yaitu ℎ𝑡 + (ℎ𝑢)𝑥 = 0, substitusi pada persamaan (2.3) saat kondisi diberi gangguan :
ℎ𝑡+ (ℎ𝑢)𝑥= 0
ℎ𝑡+ (ℎ𝑢𝑥+ 𝑢ℎ𝑥) = 0 (𝑑0 + ε𝜂̅)𝑡+ ((𝑑0 + ε𝜂̅)(𝑢0 + ε𝑢̅))
𝑥+ ((𝑢0 + ε𝑢̅)(𝑑0 + ε𝜂̅)𝑥)
= 0
(𝑑0 𝑡+ ε𝜂̅𝑡) + (𝑑0 𝑢0 𝑥+ ε𝑑0 𝜂̅𝑥+ ε2𝜂̅𝑢̅𝑥+ ε𝜂̅𝑢0 𝑥) + (𝑢0 𝑑0 𝑥+ 𝜀𝑢0 𝜂̅𝑥+ ε2𝑢̅𝜂̅𝑥+ ε𝑢̅𝑑0 𝑥) = 0
𝑧
𝑧 = −𝑑(𝑥)
𝑥1 𝑥2
𝑑0
∆𝑥 = 𝑥2− 𝑥1
𝜂(𝑥, 𝑡) 𝑥 ,
𝑧 = 0
𝑢0+ε𝑢(𝑥, 𝑡)
Gambar 2. 4 Kontrol volume dalam linearisasi pada Persamaan Air Dangkal
15
ε𝜂̅ + 𝜀𝑑𝑡 0 𝑢̅𝑥+ ε2𝜂̅𝑢̅𝑥+ 𝜀𝑢0 𝜂̅𝑥+ ε2𝑢̅𝜂̅𝑥 = 0
ambil pada orde 𝜀, diperoleh hasil Linearisasi Persamaan Konservasi Massa sebagai berikut :
𝜂̅ + 𝑑𝑡 0 𝑢̅𝑥+ 𝑢0 𝜂̅𝑥 = 0 (2.17) 2.2.2 Linearisasi Konservasi Momentum
Tinjau pada Persamaan Konservasi Momentum yaitu 𝑢𝑡+ 𝑢𝑢𝑥+ 𝑔ℎ𝑥 = 0, substitusi pada persamaan (2.13) pada saat kondisi diberi gangguan :
𝑢𝑡+ 𝑢𝑢𝑥+ 𝑔ℎ𝑥 = 0
(𝑢0 + ε𝑢̅)𝑡+ (𝑢0 + ε𝑢̅)(𝑢0 + ε𝑢̅)𝑥 + 𝑔(𝑑0 + ε𝜂̅)𝑥 = 0
(𝑢0 𝑡+ ε𝑢̅𝑡+ 𝑢0 𝑢0 𝑥+ 𝑢0 𝑢̅𝑥+ ε𝑢̅𝑢0 𝑥+ 𝜀2𝑢̅𝑢̅𝑥+ 𝑔𝑑0 𝑥+𝜀𝑔𝜂̅𝑥 = 0 ε𝑢̅𝑡+ 𝑢0 𝑢̅𝑥+ 𝜀2𝑢̅𝑢̅𝑥+𝜀𝑔𝜂̅𝑥= 0
ambil pada orde 𝜀, diperoleh hasil Linearisasi Persamaan Konservasi Momentum sebagai berikut :
𝑢̅𝑡+ 𝑢0 𝑢̅𝑥+ 𝑔𝜂̅𝑥 = 0 (2.18)
Berdasarkan hasil linearisasi Persamaan Air Dangkal, pada Persamaan (2.17) dan Persamaan (2.18), berikut adalah :
𝜂̅ + 𝑑𝒕 0 𝑢̅𝑥+ 𝑢0 𝜂̅𝑥= 0 𝑢̅𝑡+ 𝑢0 𝑢̅𝑥+ 𝑔𝜂̅𝑥 = 0
Pada Persamaan Air Dangkal Linear tersebut masih sulit dikarenakan dalam bentuk persamaan pasangan pada 𝑢̅ dan 𝜂̅, sehingga perlu dilakukan penyelesaian menggunakan metode numerik.