SISTEM PENGOLAHAN ISYARAT. Kuliah 6 Transformasi Fourier Diskret

TKE 2403

SISTEM PENGOLAHAN ISYARAT

Kuliah 6 – Transformasi Fourier Diskret

Indah Susilawati, S.T., M.Eng.

Program Studi Teknik Elektro

Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer

Universitas Mercu Buana Yogyakarta

KULIAH 6

SISTEM PENGOLAHAN ISYARAT

TRANSFORMASI FOURIER DISKRET

Diskretisasi

Representasi Fourier juga dapat dilakukan pada sinyal yang mempunyai durasi waktu yang berhingga (finite duration). Pada kenyataannya, sinyal tidak hanya dalam keadaan durasi yang berhingga saja namun juga akan dicuplik

(sampled). Tentu saja tidak memungkinkan untuk menyimpan sebuah fungsi

kontinyu dalam komputer karena akan membutuhkan memori yang besarnya tak berhingga.

Yang seringkali dilakukan untuk mengatasi hal ini adalah dengan cara mengambil nilai sinyal pada saat-saat tertentu secara regular (pada suatu selang tertentu) –- misalnya dengan jarak Δt –- sehingga sinyal menjadi berbentuk vektor berhingga dengan sejumlah N sampel.

{x0, ... , xN-1} dengan xi = x(ti) = x(t0 + iΔt) (119)

Dalam hal ini t0 adalah waktu referensi (acuan) yang digunakan. Jika diambil

t0 = 0 maka ti = iΔt. Bagaimana cara menentukan spektrum sinyal yang seperti

ini? Jawabannya adalah dengan menggunakan Transformasi Fourier Diskret atau Discrete Fourier Transform (DFT).

Dengan mengingat kembali koefisien spektral deret Fourier,

dt

e

t

x

c

t n j n τ π τ τ

τ

2 2 2

)

(

1

− −

∫

=

Untuk selanjutnya notasi cn akan diganti dengan notasi Xn dan persamaan di

Oleh karena x(t) periodik dengan periode τ, maka jika dimisalkan t’ = t + τ, integral pada persamaan di atas menjadi

dt

e

t

x

dt

e

t

x

t n j t n j ) ' ( 2 0 2 2 0 2

)

'

(

1

)

(

1

τ τ π τ τ π τ

τ

τ

τ

− − − − −

∫

∫

=

−

Dan karena sifat periodisitas maka x(t’) = x(t’ − τ) dan ' 2 2 ' 2 ) ' ( 2 t n j n j t n j t n j

e

e

e

e

τ π π τ π τ τ π − − − − −

=

=

Dan integral menjadi

dt

e

t

x

dt

e

t

x

dt

e

t

x

t n j t n j t n j τ π τ τ τ π τ τ τ π τ

τ

τ

τ

τ

2 2 2 0 2 ) ' ( 2 0 2

)

(

1

)

(

1

)

'

(

1

− − − − − −

∫

∫

∫

=

=

−

Oleh karena

d

e

t

x

dt

e

t

x

dt

e

t

x

dt

e

t

x

X

t n j t n j t n j t n j n τ π τ τ π τ τ τ π τ τ π τ

τ

τ

τ

τ

2 2 0 2 2 2 2 0 2 0 2

)

(

1

)

(

1

)

(

1

)

(

1

− − − − −

∫

∫

∫

∫

+

=

+

=

Sehingga pada akhirnya,

dt

e

t

x

X

t n j n τ π τ

τ

2 0

)

(

1

−

∫

=

₍₁₂₀₎

Dan selanjutnya karena x(t) dicuplik pada tr = rΔt, maka pada integral harus

dilakukan pendekatan dengan penjumlahan (sum = sigma),

t

e

x

t

e

t

x

X

N r t n j r N r t n j r n r r

∑

∑

− = − − = −

Δ

=

Δ

=

1 0 2 1 0 2

1

)

(

1

_τ π _τ π

τ

τ

(121) Dan saat τ = N Δt, akan menjadi

∑

− = −

=

1 0 2

1

N r t n j r n r

e

x

N

X

τ π (122)

Karena pada vektor hanya terdapat xr sejumlah N, maka hanya akan

diperoleh sejumlah N spektrum. Dalam hal ini berlaku,

Xn+N = Xn (123)

Eksponen pada persamaan (120) --- j(2nπ / τ) t ---, jika eksponen ini diidentifikasikan dengan eksponen jωnt pada transformasi Fourier maka

τ π ω ω_n =nΔ = 2n atau t N Δ = Δω 2π (124)

Atau dengan pernyataan lain, jika dikhususkan pada interval frekuensi dalam Hz,

t N f Δ = Δ 1 (125)

Saat n = 0, spektrumnya diberikan oleh persamaan

∑

− =

=

1 0 0

1

N r r

x

N

X

₍₁₂₆₎

X0 disebut dengan rerata atau komponen DC dari sinyal, dan bersesuaian

dengan frekuensi ω = 0.

Hal ini berarti bahwa frekuensi tertinggi dapat dinyatakan sebagai,

2

2

1

2

s

f

t

N

=

Δ

=

Δ

ω

dengan fs adalah frekuensi pencuplikan. Frekuensi ini sangat penting dalam

pengolahan sinyal dan disebut dengan frekuensi Nyquist. Perhatikan persamaan

∑

∑

− = − − = − − −

=

=

1 0 2 2 1 0 ) 1 ( 2 1

1

1

N r r N j r j r N r r N N j r N

x

e

e

N

e

x

N

X

π π π

dengan r adalah bilangan bulat sehingga e−j2πr = 1, maka

* 1 * 1 0 2 1 0 2 1

1

1

X

e

N

e

N

X

N r r N j N r r N j N

⎟

⎟

=

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

=

=

∑

∑

− = − − = − π π

Dengan cara yang sama maka

*

k k

N

X

X

₋

=

(127)

Transformasi Fourier mempunyai sifat

)

(

)

(

ω

*

= X

−

ω

X

Hal ini berarti bahwa koefisien spektral X N – 1 bersesuaian dengan frekuensi −Δω

dengan demikian runtun Xn memuat representasi frekuensi sinyal xr seperti

digambarkan pada Gambar 37.

Gambar 37. Runtun DFT

Sejauh pembahasan ini maka telah diperoleh transformasi Fourier diskret dan telah diketahui frekuensi yang bersesuaian dengan suatu komponen spektral tertentu. Meskipun pada awalnya transformasi ini berasal dari sebuah pendekatan, akan sangat bermanfaat jika kita dapat memperoleh inversnya sehingga sinyal aslinya dapat diperoleh kembali yaitu sinyal xr dengan r = 1, ..., N

dari spektrum XN.

Hal ini membutuhkan relasi orthogonalitas yaitu,

∑

− = −

=

1 0 2 2 N r pg q N r j p N r j

N

e

e

δ

π π (128)

Persamaan tersebut dibuktikan sebagai berikut. Sisi sebelah kiri tanda sama dengan pada persamaan (128) dapat ditulis kembali sebagai

∑

− = − 1 0 ) ( 2 N r q p N r j

e

π (129)

Persamaan (129) merupakan deret geometri dengan suku pertama a = 0 dan rasio ) ( 2 q p N j

e

−

=

π

α

Maka jumlah dari deret geometri tersebut adalah N q p j q p j N

e

e

) ( 2 ) ( 2

1

1

1

1

− −

−

−

=

−

−

π π

α

α

α

₍₁₃₀₎

Jika p dan q adalah dua bilangan bulat yang berbeda,

1

1

) ( 2 ) ( 2

=

≠

− −q j _Np q p j

e

dan

e

π π

sehingga persamaan (130) menjadi

0

1

1

1

1

1

1

1

) ( 2 ) ( 2 ) ( 2

=

−

−

=

−

−

=

−

−

− − − N q p j N q p j q p j N

e

e

e

π π π

α

α

α

dan ini juga berarti jumlahan pada sisi sebelah kiri tanda sama dengan pada persamaan (128) juga nol.

Jika p = q maka harus digunakan cara limit. Misalkan s = p – q adalah kecil dan ex diekspansikan menggunakan deret Taylor menjadi

ex = 1 + x + G(x 2) maka

)

(

)

(

2

2

)

(

2

1

1

)]

(

2

1

[

1

1

1

_{2 2} 2 2 2 2

s

G

N

s

G

N

s

j

s

j

s

G

N

s

j

s

G

s

j

e

e

N s j s j

+

=

+

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

₊

₊

−

+

+

−

=

−

−

π

π

π

π

π π

Sehingga dalam limit p Æ q atau s Æ 0, jumlah deret geometrinya adalah N. Teorema inversi transformasi Fourier diskrit dapat dinyatakan sbb.

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

∑ ∑

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

N n r j N r N p N p r j p n

x

e

e

N

x

π π 2 1 0 1 0 2

1

(131)

Perhatikan sisi sebelah kanan tanda sama dengan pada persamaan (131). Dengan asumsi bahwa urutan penjumlahan dapat diubah, maka

∑ ∑

− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

1 0 2 1 0 2

1

N p N n r j N r N r p j p

e

e

x

N

π π

dan akibat relasi orthogonalitas maka

∑

− =

=

1 0

}

{

1

N p n pn p

N

x

x

N

δ

Dengan demikian jika

∑

− = −

=

1 0 2

1

N r N r n j r n

x

e

N

X

π

maka inversnya adalah

∑

− =

=

1 0 2 N r N r n j n r

X

e

x

π

Dalam praktek biasanya lebih memudahkan jika faktor 1/N diletakkan pada invers transformasi, sehingga dapat dituliskan kembali sbb.

∑

− = −

=

1 0 2 N r N r n j r n

x

e

X

π (132)

∑

− =

=

1 0 2

1

N n N r n j n r

X

e

N

x

π (133)

Lebih Lanjut Tentang Pencuplikan

Misalkan pencuplikan dengan menggunakan saklar dimana saklar tersebut berada pada posisi tertutup selama ∈ detik setiap interval Δt detik. Perhatikan Gambar 38 berikut ini.

Gambar 38. Sebuah model pencuplikan

Jika ∈ Æ 0, akan dihasilkan deretan impuls. Fungsi pencuplikan dapat ditulis sebagai barisan fungsi-delta,

∑

∞ −∞ =

−

=

n

n

t

t

)

(

)

(

δ

τ

δ

_{τ (134)}

Dan sinyal hasil pencuplikan (sinyal tercuplik) yang bersesuaian adalah

∑

∞ −∞ = − = n s t x t t n x ( ) ( )

δ

(

τ

) atau

∑

∞ −∞ =

−

=

n n s

t

x

t

n

x

(

)

δ

(

τ

)

₍₁₃₅₎

Misalkan δτ(t) diekspansikan menjadi deret Fourier,

∑

∞ −∞ =

=

n t jn n s

e

c

t

ω τ

δ

(

)

dengan

∫

−

=

τ ω τ

δ

τ

0

1

dt

e

c

_n jn st

dan ωs adalah frekuensi pencuplikan dalam radian per detik.

Substitusi persamaan (134) dalam integral di atas memberikan,

∫ ∑

∞ − −∞ =

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

₋

=

τ

_δ

_τ

ω

τ

0

(

)

1

dt

e

k

t

c

jn t k n s

Dengan mengubah urutan pengintegralan dan penjumlahan diperoleh,

{

_∫

}

∑

∞ − −∞ =

−

=

τ

_δ

_τ

ω

τ

0

(

)

1

dt

e

k

t

c

jn t k n s

Hasil integral dalam kurung sama dengan satu, sehingga

τ

1

=

n

c

Dan akhirnya

∑

∞ −∞ =

=

n t jn _s

e

t

ω τ

_τ

δ

(

)

1

₍₁₃₆₎

Dengan demikian sinyal tercuplik xs(t) dapat ditulis sebagai

∑

∞ −∞ =

=

n t jn s s

e

t

x

t

x

ω

τ

(

)

1

)

(

₍₁₃₇₎

Untuk mendapatkan spektrum sinyal tercuplik, dikenakan transformasi Fourier pada persamaan (137),

∑

∑ ∫

∫ ∑

∞ −∞ = ∞ −∞ = ∞ ∞ − − − ∞ ∞ − − ∞ −∞ =

−

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=

k s k t j t j n t jn s

n

X

dt

e

t

x

dt

e

e

t

x

X

s s

)

(

1

)

(

1

)

(

1

)

(

) (

ω

ω

τ

τ

τ

ω

ω ω ω ω (138)

Maka dapat terlihat bahwa spektrum yang dihasilkan akan berulang sampai tak berhingga.

Gambar 39. Spektrum sinyal kontinyu x(t)

Jika frekuensi pencuplikan tidak memenuhi syarat Nyquist, maka spektrum sinyal tercuplik yang dihasilkan diperlihatkan pada Gambar 41.