OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA

(1)

1 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007

OLIMPIADE SAINS NASIONAL

MATEMATIKA SMA/MA

Disajikan pada

Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA

Jenjang Dasar

28 Oktober – 9 November 2007

Oleh

Wiworo, S.Si., M.M.

Departemen Pendidikan Nasional

Direktorat Jenderal Peningkatan Mutu Pendidik dan Tenaga Kependidikan

Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik

dan Tenaga Kependidikan Matematika

Yogyakarta

2007

PPPG Matematika Yogyakarta

Kode Dok. : F-PRO-016 Revisi No . : 0

(2)

CONTOH SOAL

OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA

1. Suatu bilangan bulat p2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. Misalkan M

menyatakan perkalian 100 bilangan prima yang pertama. Berapa banyakkah angka 0 di akhir bilangan M

?

(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003)

2. Misalkan 2 1 ) ! 9 ( 10  p , 2 1 ) ! 10 ( 9  q dan 2 1 ) ! 11 (  r , dengan n!123(n1)n. Bagaimana pengurutan yang benar dari ketiga bilangan ini?

3. Misalkan a dan b bilangan real yang berbeda sehingga

2 10 10 _    a b b a b a Tentukan nilai b a

4. Berapakah jumlah digit-digit bilangan 2199952000?

5. Bilangan bulat positif p2 disebut bilangan prima jika ia hanya mempunyai faktor 1 dan p. Tentukan nilai penjumlahan semua bilangan prima di antara 1 dan 100 yang sekaligus bersifat satu lebihnya dari suatu bilangan kelipatan 5 dan satu kurangnya dari suatu bilangan kelipatan 6.

6. Bilangan real 2,525252 adalah bilangan rasional sehingga dapat ditulis dalam bentuk

n m

, di mana m,

n bilangan-bilangan bulat, n0. Jika dipilih m dan n yang relatif prima, berapakah mn?

(Seleksi Tingkat Provinsi – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003, 10 Juni 2002)

7. Misalkan M dan m berturut-turut menyatakan bilangan terbesar dan bilangan terkecil di antara semua

bilangan 4 angka yang jumlah keempat angkanya adalah 9. Berapakah faktor prima terbesar dari

m M ?

(Seleksi Tingkat Provinsi – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003, 10 Juni 2002)

8. Tentukan semua solusi dari sistem persamaan

              24 12 6 3 3 3 2 2 2 z y x z y x z y x

(3)

9. Ada berapa banyak bilangan 4 angka yang semua angkanya genap dan bukan merupakan kelipatan

2003 ?

10. Jika a dan b bilangan bulat sedemikian sehingga _a2 __b2 _2003_{, maka berapakah nilai}_a2 __b2_?

11. Untuk setiap bilangan real , kita definisikan

 

 sebagai bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau

sama dengan . Sebagai contoh,

_{ }

4,9 4 dan

_{ }

7 7. Jika x dan y bilangan real sehingga

 

x 9 dan

 

y 12, maka nilai terkecil yang mungkin dicapai oleh

_

yx

_

adalah ...

12. Jika x0 dan 2 _ 1₂ _7

x

x , maka 5  1₅  x x

(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2005, 28 April 2004)

13. Jika f suatu fungsi yang memenuhi f(1)4 dan f(x1)2f(x) maka f(2004)

14. Dua lingkaran pada bidang mempunyai titik pusat yang sama. Jari-jari lingkaran besar adalah tiga kali

jari-jari lingkaran kecil. Jika luas daerah di antara kedua lingkaran ini adalah 8, maka luas daerah lingkaran kecil adalah ...

15. Nilai dari 10100 1 20 1 12 1 6 1 2 1_ _ _ _ _  adalah ...

16. Diberikan persegipanjang PQRS. Titik O terletak di dalam PQRS demikian rupa sehingga OP = 3 cm,

OQ = 12 cm dan OS = 11 cm. Maka OR = ...

17. Titik (a, b) disebut titik letis jika a dan b keduanya adalah bilangan bulat. Banyaknya titik letis pada

lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari 5 adalah ...

(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2006, 11 Juni 2005)

18. Tentukan semua solusi persamaan x1 x4 2.

19. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif (m, n) yang merupakan solusi dari persamaan

1 2 4   n m .

20. Sebuah kelompok terdiri dari 2005 anggota. Setiap anggota memegang tepat satu rahasia. Setiap

(4)

dipegangnya. Banyaknya surat yang perlu dikirim agar semua anggota kelompok mengetahui seluruh rahasia adalah ...

(Seleksi Tingkat Provinsi – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2006, 18 Juli 2005)

21. Banyaknya pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan 2xy5xy 55 adalah ...

(Seleksi Tingkat Provinsi – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2006, 18 Juli 2005)

22. Find all pairs of integers (x, y) such that

3 1 1 1_ _ y x .

(South East Asian Mathematics Olympiad III, Penang – Malaysia, First Day – Individual Contest – 17 May 2005)

23. How many integers from 1 to 2005 have the sum of their digits divisible by 5 ?

24. Let a, b, c be a real numbers such that abc80 and a2 b2 c2 2390. Find the value of ca

bc ab  .

25. How many pairs of integers (x, y) such that x y 0 satisfy

2005 ) ( ) (       y x xy y x y x

26. Let N be the set of all positive integers. Let f :N N be a function such that f(x1) f(x)x for

N

x and f(1)5. Find the value of f(2005).

27. Buktikan bahwa a9 a habis dibagi 6 untuk semua bilangan bulat a.

(Olimpiade Sains Nasional II 2003, Matematika SMA, Hari I – Balikpapan, 16 September 2003)

28. Buktikan untuk setiap bilangan real a, b dan c berlaku ketaksamaan

ca bc ab c b a 5 5 4 4 4 5 2 _ 2 _ 2 _ _ _

dan tentukan kapan kesamaan berlaku.

(Olimpiade Sains Nasional II 2003, Matematika SMA, Hari II – Balikpapan, 17 September 2003)

29. Tentukan banyaknya pembagi genap dan pembagi ganjil dari 56 _1

(Olimpiade Sains Nasional III 2004, Matematika SMA, Hari I – Pekanbaru, 25 Agustus 2004)

30. Untuk sebarang bilangan real x, notasi

_{ }

x menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Buktikan bahwa ada tepat satu bilangan bulat m yang memenuhi persamaan

2005 2005     m m .

(5)

LATIHAN 1

31. Tampilan suatu jam digital mempunyai format Bulan : Tanggal : Jam : Menit. Jangkauan bilangan-bilangan pada tampilan jam tersebut adalah sebagai berikut:

 Bulan, dari 01 sampai 12

 Tanggal, dari 01 sampai 31

 Jam, dari 00 sampai 23

 Menit, dari 00 sampai 59

Berapa kali pada tahun 2007, tampilan jam digital tersebut menunjukkan suatu palindrom ?

(Palindrom adalah suatu bilangan yang sama jika dibaca dari depan maupun dari belakang. Contoh, 12 : 31 : 13 : 21 dan 01 : 02 : 20 : 10)

32. Tiga pola susunan pengubinan berikut tersusun dari ubin putih dan ubin hitam. Selanjutnya

suatu susunan pengubinan yang lebih besar dibuat mengikuti pola yang sama dan tersusun dari 58 ubin hitam. Hitunglah banyaknya ubin putih pada susunan pengubinan yang tersusun dari 58 ubin hitam tersebut.

33. Berapa banyak bilangan tiga angka n sedemikian hingga jika s merupakan jumlah angka-angka dari n, maka dan n habis dibagi s ?

34. Misalkan . Berapa kali angka 1 muncul pada n ?

35. Jika , berapakah ?

36. Pada trapezium berikut ini, DC sejajar AB, dan . Carilah

.

37. Pada gambar berikut, ABCD adalah trapesium. AF dan BE tegak lurus terhadap CD, dengan

dan . Carilah nilai .

(6)

39. Untuk setiap pasangan bilangan asli a dan b, kita definisikan . Bilangan asli x

dikatakan penyusun bilangan asli n jika terdapat bilangan asli y yang memenuhi . Sebagai contoh, 2 adalah penyusun 6 karena terdapat bilangan asli 4 sehingga

. Tentukan semua penyusun 2005.

40. Carilah hasil dari

LATIHAN 2

1. Buktikan pernyataan-pernyataan berikut:

a. Jumlah dua bilangan genap adalah bilangan genap

b. Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap

c. Jumlah bilangan genap dan bilangan ganjil adalah bilangan ganjil

2. Buktikan bahwa pada bentuk bintang berikut ini .

3. Buktikan b a ab b a    4 jika a0, b0 dan ab.

4. Buktikan jika ABCD persegipanjang dan titik E adalah titik sebarang di luar persegipanjang

ABCD seperti pada gambar berikut, maka akan berlaku hubungan .

Perhatikan bahwa A, B, C, D, E adalah titik-titik yang koplanar (sebidang).

5. Buktikan bahwa n3 (n1)3 (n2)3 selalu habis dibagi 9 untuk setiap bilangan asli n.

6. Jika a, b, c, d dan e adalah bilangan-bilangan sedemikian hingga

b a e d a e d c e d c b d c b a             E D _C B A

(7)

buktikan bahwa bilangan terbesar adalah a dan bilangan terkecil adalah b.

7. Pada segilima ABCDE, segitiga-segitiga ABC, BCD, CDE, DEA dan EAB semuanya mempunyai

luas yang sama. Garis AC dan AD memotong BE pada titik M dan N. Buktikan bahwa .

8. Buktikan bahwa ₁n _₈n _₃n _₆n_{selalu habis dibagi 10 untuk setiap bilangan bulat positif}_n_.

9. Buktikan bahwa jumlah kuadrat dua bilangan asli berurutan tidak akan sama dengan jumlah pangkat empat dua bilangan asli berurutan.

10. Buktikan bahwa sistem persamaan

0 1 1 1 0       z y x z y x

(8)

CONTOH SOLUSI DARI SISWA

YANG MEMILIKI KEMAHIRAN MATEMATIKA CUKUP BAIK

1. Prove that the system of equations 0 1 1 1 0       z y x z y x

has no real solutions.

(The 55th_{Leningrad Mathematical Olympiad 1989, Grade 8}₎ Bukti: (dibuktikan oleh Nurvirta Monarizqa, kelas IX – 5 SMPN 8 Yogyakarta)

Misal 0    y z x ...(1) 0 1 1 1_ _ _ z y x ...(2) Dari (2) maka 0 1 1 1_ _ _ z y

x kedua ruas dikali xyz

 xyxz yz0 ...(3) Dari (1) maka

0 )

(xyz  kedua ruas dikuadratkan

 (_x__y__z)2 _0

 _x2 __y2 __z2 _2_xy_2_xz_2_yz_0_...(4)

Pengantar:

Berikut ini diberikan beberapa contoh soal dan jawaban siswa untuk Tugas Mingguan Pembinaan Kelas VII dan VIII untuk OSN Matematika SMP serta Tugas Mingguan Pembinaan Veteran Kelas VIII dan IX untuk OSN Matematika SMA, yang dilakukan siswa selama mengikuti Pembinaan Tim Olimpiade Matematika SMPN 8 Yogyakarta. Jawaban siswa diketikkan apa adanya seperti yang mereka tulis di lembar jawaban dan tidak ada yang ditambah-tambahi. Memang masih ada kesalahan pada beberapa langkah jawaban ataupun langkah pembuktian. Terlepas dari itu semua, yang harus dicermati adalah keberanian siswa untuk berpikir kreatif, sistematis, logis dan rasional serta keberanian mereka untuk mengungkapkan gagasan yang ada dalam pikiran ke dalam bahasa tulis dengan cukup terstruktur. Hal ini merupakan contoh langkah awal penguasaan siswa terhadap lima hal yang disyaratkan untuk menjadi mahir dalam matematika, yaitu:

1. Conceptual Understanding

2. Procedural Fluency

3. Strategic Competence

4. Adaptive Reasoning

5. Productive Disposition

Diperlukan waktu dua tahun lebih untuk membimbing dan membiasakan siswa-siswa tersebut sehingga dapat mencapai kemampuan seperti ini. Proses pembimbingan ini masih berlangsung terus sampai sekarang.

(9)

Persamaan (4) dikurangi persamaan (3) diperoleh

0

2 2

2 _ _y __z __xy__xz_ _yz_

x kedua ruas dikali 2

 2_x2 _2_y2 _2_z2 _2_xy_2_xz_2_yz_0

 _x2 _2_xy_ _y2 __x2 _2_xz__z2 __y2 _2_yz__z2 _0

 (_x__y)2 _(_x__z)2 _(_y__z)2 _0_...(5)

Andaikan x, y dan z adalah sembarang bilangan real, maka xy, yz dan xz juga merupakan bilangan real. Perhatikan bahwa kuadrat sembarang bilangan real selalu nonnegatif, maka penjumlahan ketiga bilangan real kuadrat juga pasti nonnegatif.

Pada persamaan (5) penjumlahan ketiga sembarang kuadrat bilangan real sama dengan nol, akibatnya

2

)

(xy , ₍_x__z₎2_dan₍_y__z₎2_{juga harus sama dengan 0. sehingga}

0       y y z x z x

xy  yz kedua ruas dikurangi y

 xz

z x z

y   kedua ruas dikurangi z

 yx

Maka x y z.

Sehingga jika x yz disubstitusikan ke persamaan (5)

0 0 0 12 0 4 4 4 0 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 0 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                      z z z z z z z z z z z z z z z z x z y y x y x z0  .

Kembalikan ke persamaan (2) dengan mensubstitusikan x y z0.

0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1       z y x

Perhatikan bahwa bilangan pada penyebut tidak boleh nol karena hasilnya tidak terdefinisi, bukan nol. Kontradiksi, maka pengandaian salah. Jadi terbukti bahwa sistem persamaan

0 1 1 1 0       z y x z y x

tidak mempunyai solusi real. Prestasi Nurvirta Monarizqa:

 Juara 3 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN IV 2005

 Juara 3 Matematika SMP Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN IV 2005

 Medali Perak Matematika SMP Olimpiade Sains Nasional IV 2005 DKI Jakarta

 Peringkat 12 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN V 2006

 Juara 1 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN V 2006

 Juara 2 Matematika SMP Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN V 2006

 Medali Perunggu Matematika SMP Olimpiade Sains Nasional V 2006 Semarang

 Juara 1 Matematika SMA Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN VI 2007

 Peringkat 8 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN VI 2007

Kemampuan mengkonstruksi Pembuktian dengan kontradiksi. Perhatikan cara menyusun kalimat-kalimatnya.

(10)

2. Prove that _n3 _₍_n_₁₎3 _₍_n_₂₎3_{is divisible by 9 for all natural numbers}_n_.

Bukti 1: (dibuktikan oleh Gabriela Kasih Mawarni, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta) Untuk n1 36 27 8 1 3 2 1 ) 2 1 ( ) 1 1 ( 13 3 2 3 3 3           

36 habis dibagi 9. Terbukti.

Andaikan rumus benar untuk nk.

a k

k

k3 _( _1)3 _( _2)3 _9 _dengan_a_{sembarang bilangan bulat.}

Harus dibuktikan rumus benar untuk nk1.























3 3



9 3 3 9 9 3 3 3 3 9 9 9 3 3 9 3 9 6 3 9 ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( 9 ) 3 ( 9 ) 3 ( 9 ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3                                              k k a k k a k k a k k a k k k k k a k k k k k k a k k a k k a k k k

Jadi terbukti bahwa _n3 _₍_n_₁₎3 _₍_n_₂₎3_{habis dibagi 9 untuk sembarang bilangan asli}_n_.

Bukti 2: (dibuktikan oleh Ikhsan Permadi Kusumah, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta) Kasus I untuk n9k, maka



 





243 81 15 1



9 9 135 729 2187 8 108 486 729 729 1 27 243 729 ) 2 9 ( ) 1 9 ( ) 9 ( 2 3 2 3 2 3 3 2 3 3 3 3                      k k k k k k k k k k k k k k k k

Terbukti habis dibagi 9.

Kasus II untuk n9k1 , maka



243 162 42 4



9 36 378 1458 2187 ) 3 9 ( ) 2 9 ( ) 1 9 ( 2 3 2 3 3 3 3              k k k k k k k k k

Kasus III untuk n9k2, maka



243 243 87 11



9 99 783 2187 2187 ) 4 9 ( ) 3 9 ( ) 2 9 ( 2 3 2 3 3 3 3              k k k k k k k k k

Kemauan untuk bekerja keras karena berani membagi masalah dalam

kasus per kasus dan diselesaikan satu per

satu

Prestasi Gabriela Kasih Mawarni:

 Peringkat 14 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN IV 2005  Juara 4 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN V 2006  Juara 2 Matematika SMA Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN VI 2007  Juara 1 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN VI 2007

Ada sedikit kesalahan dalam menuliskan langkah induksi.

9 513 4266 2187 2187 ) 1 9 ( ) 9 ( ) 8 9 ( ) 10 9 ( ) 9 9 ( ) 8 9 ( 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3                   m m m m m m m m m k k k

Karena terbukti untuk seluruh n bilangan asli, maka terbukti _n3 _₍_n_₁₎3 _₍_n_₂₎3_{habis dibagi 9.}

Bukti 3: (dibuktikan oleh Nurvirta Monarizqa, kelas IX – 5 SMPN 8 Yogyakarta)

Perhatikan bahwa untuk n bilangan asli, n, n + 1 dan n + 2 merupakan 3 bilangan asli berurutan. Padahal setiap 3 bilangan asli berurutan pasti memuat 1 buah bilangan yang merupakan kelipatan 3. Sehingga diperoleh 3 kemungkinan.

Jika n merupakan kelipatan 3, maka ambil sembarang k bilangan real positif sedemikian hingga n3k, 1 3 1   k n dan n23k2. Maka 9k + 9 dapat ditulis 9m

Prestasi Ikhsan Permadi Kusumah:

 Juara 2 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN IV 2005

 Juara 2 Matematika SMP Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN IV 2005

 Medali Perak Matematika SMP Olimpiade Sains Nasional IV 2005 DKI Jakarta

9 9 81 81 27 3 27 1 9 27 27 8 72 54 27 ) 3 ( ) 1 3 ( ) 2 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3                            k k k k k k k k k k k k k k k k n n n Merupakan kelipatan 9.

Maka dari kemungkinan tersebut terbukti bahwa _n3 _₍_n_₁₎3 _₍_n_₂₎3_{habis dibagi 9 untuk}

sembarang bilangan asli n.

3. Two integers are called equivalent, written xy, if they are divisible by the same prime numbers. So 2  2

 4, 3  27 but 2  3.

a. Show that 10  80, but 10  90. b. Prove that if xy, then x2_y2_.

(Canadian Mathematical Society Prize Exam, 26 April 1999)

Bukti: (dibuktikan oleh Robertus Sonny Prakoso, kelas IX – 1 SMPN 8 Yogyakarta) a. 1025 . 5 2 80_ 4_ _. 5 3 2 90_ _ 2_ _.

10 dan 80 mempunyai faktor prima yang sama sehingga 10  80.

10 dan 90 mempunyai faktor prima yang berbeda (90 memiliki faktor prima 3, sementara 10 tidak punya) sehingga 10  90 .

b. Ambil dua bilangan bulat sebarang x dan y sedemikian hingga x  y . Maka x dan y memiliki faktor prima yang sama (misalkan a dan b). Sehingga x dapat dinyatakan dalam faktorisasi prima

n m _b

a  dengan m dan n adalah sebarang bilangan asli, y dapat dinyatakan dalam faktorisasi prima

q p_b

a  dengan p dan q adalah sebarang bilangan asli.

n m _b a x  maka Selalu mengambil generalisasi atau bentuk umum

(13)





   

n m n m n m b a b a b a x 2 2 2 2 2 2       q p _b a y   maka





   

q p q p q p b a b a b a y 2 2 2 2 2 2       2

x dan _y2_{tetap memiliki faktor prima yang sama. Sehingga terbukti bahwa jika}_x _ _y_maka

x2__y2_.

4. If a, b, c, d and e are numbers such that

b a e d a e d c e d c b d c b a            

Prove that the largest number is a and the smallest is b.

(Old Mutual Mathematical Olympiad 1991, Final Paper 2)

Bukti: (dibuktikan oleh Mirna Jatiningrum, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta)

) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 (     b a e a a e d c e d c b d c b a             Dari (1) dan (4): b a e d d c b a       Maka deabcd (5) Dari (3) dan (5): d c b a e d a e d c         Maka deabcd ea (6) Dari (2) dan (6): a e d c b a e d e d c b           Maka bcdeabcd ea (7)

Prestasi Robertus Sonny Prakoso:

 Juara 4 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN IV 2005  Juara 6 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN V 2006  Peringkat 12 Matematika SMA Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN VI 2007  Juara 2 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN VI 2007

(14)

14 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007 Dari (7): ) 8 (  d b d c c b     Dari (7): ) 9 (  e b a e b a     Dari (7): ) 10 (  a d a e e d     Dari (7): ) 11 (  a c b a c b     Dari (7): ) 12 (  c e d c e d     Dari (9) dan (12): c e e b   maka ) 13 (  c b a c b    Dari (13) dan (11): a c c b   maka ) 14 (  a b a c b    Dari (8), (9), (13), (14): a b c b e b d b    

maka terbukti b adalah yang terkecil Dari (11) dan (12); c e a c   maka ) 15 (  a e a c e    Dari (15), (11), (10), (14): a b a d a c a e    

maka terbukti a adalah yang terbesar

Jadi dari persamaan-persamaan di atas terbukti bahwa a adalah yang terbesar dan b yang terkecil. Prestasi Mirna Jatiningrum:

 Peringkat 11 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN IV 2005

 Juara 1 Matematika SMP Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN V 2006

 Medali Perak Matematika SMP Olimpiade Sains Nasional V 2006 Semarang

 Juara 6 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN VI 2007

(15)

5. How many non-congruent triangles with integer sides and perimeter 1999 can be constructed ?

(South African Mathematics Olympiad, Senior Section – Third Round 1999)

Solusi: (diselesaikan olehMirna Jatiningrum, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta) Misal sisi-sisi segitiga adalah a, b dan c.

1999

  b c

a dan abc, bca, acb.

Karena segitiga-segitiga tidak kongruen maka kita asumsikan saja abc, supaya tidak ada a, b, c

yang dobel. Maka nilai-nilai a, b, c:

a b c Pola 1 999 999 1 2 998 999 1 3 997 999 ₂ 3 998 998 4 996 999 ₂ 4 997 998 5 995 999 3 5 996 998 5 997 997 6 994 999 3 6 995 998 6 996 997 7 993 999 4 7 994 998 7 995 997 7 996 996     500 500 999 250 500 501 998    500 749 750

6. In a given pentagon ABCDE, triangles ABC, BCD, CDE, DEA and EAB all have the same area. The lines AC and AD intersect BE at points M and N. Prove that BM = EN.

Bukti: (dibuktikan oleh Gabriela Kasih Mawarni, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta) Diketahui bahwa L__ABC L__BCD L__CDE L__DEA L__EAB.

BCD

ABC 

 L

L .

Karena alas dari kedua segitiga sama, yaitu BC dan karena luas kedua segitiga sama, maka kedua tinggi dari segitigapun sama. Maka jika ditarik garis dari kedua tinggi akan sejajar dengan alasnya.

BC AD

 .

Dengan cara yang sama kita memperoleh ABCE, CDBE, DE AC, AE BD.

Karena CDBE dan BC AD, maka kita dapat membuat jajargenjang CDNB dengan CDBN, serta dapat membuat jajargenjang CDEM karena DE AC dengan CDEM.

M a k a b a n y a k a , b , c y a n g m u n g k i n a d a 627502 251 250 2 ) 250 3 2 1 ( 2          Menerapkan prinsip

Without Loss of Generality

Melakukan kesalahan dalam menyimpulkanpola

Pemahaman konsep luas yang mendalam

(16)

16 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007 Akibatnya BM EN MN BN MN ME BN ME     

7. ABCD is a convex quadrilateral with perimeter p. Prove that p ACBD p

2 1

.

Bukti 1: (dibuktikan oleh Ikhsan Permadi Kusumah, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta)

AB OA

OB  (menurut teori ketaksamaan pada segitiga). Dengan cara yang sama maka:

BC OC OB  CD OD OC  AD OA OD  + p BD AC p OD OB OC OA p OD OC OB OA AD CD BC AB OD OC OB OA OD OC OB OA 2 12 1 ) ( 2                      BC AB

AC   (menurut teori ketaksamaan pada segitiga). Dengan cara yang sama maka:

CD AD AC   CD BC BD  AD AB BD  + p BD AC AD CD BC AB BD AC AD CD BC AB BD AC AD AD CD CD BC BC AB AB BD BD AC AC                        ) ( 2 ) ( 2

Dari kedua ketaksamaan tersebut dapat ditulis p ACBD p

2 1

.

Bukti 2: (dibuktikan oleh Gabriela Kasih Mawarni, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta) Akan dibuktikan p ACBD

2 1

dengan p adalah keliling segiempat. Perhatikan BEC. ) (i BC EC BE   Perhatikan DEA. ) (ii AD EA ED   Perhatikan CED. ) (iii CD ED EC   Perhatikan AEB ) (iv AB EB EA  

(i) + (ii) + (iii) + (iv):

O O O D A C B O C D B A E

(17)

17 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007 AB EB EA CD ED EC AD EA ED BC EC EB         + BC CD AD AB ED EC EA EB2 2 2     2



(EAEC)(EBED)



 p 2 p BD AC 2 1  

Akan dibuktikan bahwa ACBD p dengan p keliling segiempat. Perhatikan ABC ) (i AC BC AB   Perhatikan ADC ) (ii AC DA CD   (i) + (ii): AC DA CD AC BC AB     + (*) 2 1 2 2  AC p AC p AC DA CD BC AB       Perhatikan ABD ) (iii BD AD AB   Perhatikan BCD ) (iv BD CD BC   (iii) + (iv): BD CD BC BD AD AB     + (**) 2 1 2 2  BD p BD p BD AD CD BC AB       (*) + (**): BD p AC p   2 1 2 1 + BD AC p 

8. Prove that for all positive integers n, ₁n _₈n _₃n _₆n_{is divisible by 10.}

O

Perhatikan sistematika penulisan langkah-langkah pembuktiannya

(18)

Bukti: (dibuktikan oleh Alimatun Nashirah, kelas VIII – 8 SMPN 8 Yogyakarta)

Akan dibuktikan bahwa ₁n _₈n _₃n _₆n_{habis dibagi 10 untuk seluruh}_n_{bilangan bulat positif.}

Menurut syarat keterbagian bilangan, bilangan dikatakan habis dibagi 10 apabila habis dibagi 2 dan 5. Habis dibagi 2: n n n n n n n n ₈ ₃ ₆ ₁ ₃ ₈ ₆ 1       















2 1



1 2 1 1 1 2 2 3 2 2 1 1 3 3 27 9 3 2 3 1 3 1 9 1 3 1 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1                                          n n n n n n n n n n n   













 

_₅_ _₆_₆2 _₆3___₆n2 _₆n1 _₈n1_₃_₈n2_₃2 ___₈2 _₃n2 _₈_₃n1



Maka n n n n 6 3 8 1 5    .

Karena sudah memenuhi 2 syarat tersebut, terbukti bahwa ₁n_₈n_₃n_₆n_{habis dibagi 10 untuk setiap}

n bilangan bulat positif. Q.E.D.

9. The number 22 has the following property: the sum of its digits is equal to the product of its digits. Find the smallest 8-digit natural number that satisfies the given condition.

(4th_{Indonesia Elementary Mathematics International Contest 2006, Team Test Problems, Denpasar – Bali, 29 May 2006}₎ Solusi: (diselesaikan oleh Alimatun Nashirah, kelas VIII – 8 SMPN 8 Yogyakarta)

Bilangan 8 angka terkecil yang jumlah digit-digitnya sama dengan hasil kali digit-digitnya = ?

Yang jelas pada bilangan ini tidak boleh ada angka 0, karena hasil kali digit-digitnya juga pasti nol. Kita coba dulu dengan angka 1 di digit awal. Angka 1 ini tidak mungkin sampai digit 8 karena

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               .

Prestasi Alimatun Nashirah:

 Juara 2 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN V 2006  Juara 3 Matematika SMP Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN V 2006

 Medali Perunggu Matematika SMP Olimpiade Sains Nasional V 2006 Semarang  Kontingen Indonesia ke The 4th_{IJSO 2007 China Taipei}

Melakukan kesalahan dalam pola perpangkatannya Melakukan kesalahan dalam pola perpangkatannya

(19)

Juga tidak mungkin sampai digit 7 karena 1111111n1111111n

n n 

7 .

Untuk angka 1 ada sampai digit ke 6. Misalkan digit ke 7 = x dan ke 8 = y, dengan x dan y adalah angka dari 1 s/d 9. 1 7 1 1 7 1 1 1 61) ( 6 6 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                                          x y x x x y x x y x y x y xy x xy y x y x y x

Agar y bilangan bulat, maka (x1) harus faktor dari 7, yaitu 1 atau 7. 2 1 1    x x dan 8 1 2 6 2 1 6 _       x x y 8 7 1    x x dan 2 1 8 6 8 _    y

Jadi kemungkinan bilangan yang dicari adalah 11111128 dan 11111182. Maka bilangan 8 angka terkecil yang dimaksud adalah 11111128.

10.Prove that the sum of the squares of two consecutive positive integers cannot be equal to a sum of the fourth powers of two consecutive positive integers.

Bukti: (dibuktikan oleh Robertus Sonny Prakoso, kelas IX – 1 SMPN 8 Yogyakarta) Ambil sebarang dua bilangan bulat positif berurutan, misal a dan a1.

Kasus I: a dan a1 bukan bilangan kuadrat. Jumlah kuadrat: 1 2 2 1 2 ) 1 ( 2 2 2 2 2          a a a a a a a

Jumlah pangkat empat:

1 6 4 6 2 1 6 4 6 ) 1 ( 2 3 4 2 3 4 4 4 4              a a a a a a a a a a a

Kasus II: a adalah bilangan kuadrat, maka a dapat dimisalkan dalam _m2_dan_a_₁_dimisalkan_m2 _₁_.

Jumlah kuadrat:

  



1 2 2 1 2 1 2 4 2 4 4 2 2 2 2          m m m m m m m

  



1 6 4 6 2 1 6 4 6 1 2 4 6 8 2 4 6 8 8 4 2 4 2              m m m m m m m m m m m

Kasus III: a1 adalah bilangan kuadrat, maka a1 dapat dimisalkan _n2_dan_a_dimisalkan_n2 _₁_.

Jumlah kuadrat:

Perhatikan cara menyusun model/kalimat matematikanya

(20)

  



1 2 2 1 2 1 2 4 2 4 4 2 2 2 2          n n n n n n n

  



1 6 4 6 2 1 6 4 6 1 2 2 6 8 2 2 6 8 8 4 2 4 2              n n n n n n n n n n n

Kasus IV: a dan a1 adalah bilangan kuadrat.

Hanya ada satu pasangan, 0 dan 1. Tetapi karena 0 bukan bilangan positif maka Kasus IV tidak termasuk. Dari ketiga bentuk jumlah kuadrat, tidak ada yang sama dengan ketiga bentuk jumlah pangkat empat. Sehingga terbukti bahwa jumlah kuadrat dua bilangan bulat berurutan tidak pernah sama dengan jumlah pangkat empat dua bilangan bulat berurutan.

11.Prove that by adding one to the product of four consecutive integers, a perfect square is obtained. For example: ₂_₃_₄_₅_₁_₁₂₁_₁₁2_.

Bukti: (dibuktikan oleh Nurvirta Monarizqa, kelas IX – 5 SMPN 8 Yogyakarta)

Ambil sembarang bilangan bulat a sedemikian hingga a1, a, a1 dan a2 merupakan 4 bilangan bulat berurutan. Kalikan keempat bilangan bulat tersebut:







a a a a a a a a a a a 2 2 2 1 ) 2 )( 1 ( ) 1 ( 2 3 4 2 2          

Kedua ruas ditambah 1:



 











 



₂



2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 2 3 4 2 3 4 ) 1 ( 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 ) 2 )( 1 ( ) 1 ( a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                             

Terlihat bahwa hasil akhirnya merupakan kuadrat sempurna, sehingga terbukti bahwa dengan menambah bilangan 1 pada perkalian 4 bilangan bulat berurutan akan menghasilkan bilangan kuadrat sempurna. 12.Show that there are no integers a, b, c for which _a2 __b2 _8_c_6_.

Bukti: (dibuktikan olehMirna Jatiningrum, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta)

Akan dibuktikan tidak ada bilangan bulat (a ,b ,c) yang memenuhi untuk _a2 __b2 _8_c_6_.

c b a b c a c b a 4 3 2 8 6 6 8 2 2 2 2 2 2           

Akan dibagi menjadi 3 kasus: (i) Untuk (a,b) keduanya genap (ii) Untuk (a,b) keduanya ganjil

(iii) Untuk (a,b) salah satunya genap, satunya ganjil Untuk kasus (i):

c b a 4 3 2 2 2    Misal a2n, b2m Perhatikan cara mengkonstruksi dan memanipulasi suku-sukunya

supaya menjadi bentuk kuadrat sempurna

Perhatikan kemampuan menggunakan strategi pemecahan masalah dengan memecah masalah ke dalam

(21)



2 2

_{ }

2 2

_

2 2 2 2 2 2 4 2 4 4 2 ) 2 ( ) 2 ( m n m n m n m n  _  _  _ _ Padahal 34c

ganjil merupakan bilangan genap Maka 34c ganjil. Padahal

2

2 2 _b

a 

genap. Maka untuk (a,b) genap tidak mungkin. Untuk kasus (ii) (a,b) keduanya ganjil.

c b a 4 3 2 2 2    Misal a(2n1), b(2m1). c m m n n c m m n n c m n c b a 4 3 2 2 4 4 4 4 4 3 2 1 4 4 1 4 4 4 3 2 ) 1 2 ( ) 1 2 ( 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2                         c m m n n 2 2 2 1 3 4 2 2 _ _ 2 _ _ _ _

 kedua ruas dikurangi 1

c m m n n 2 2 2 2 4 2 2 _ _ 2 _ _ _

 kedua ruas dibagi 2

c m m n n2 _ _ 2 _ _ 1_2  c m m n n( 1) ( 1)  12  ____

Perkalian 2 bilangan berurutan pasti menghasilkan bilangan genap karena salah satunya pasti genap.

  genap ganjil genap genap c m m n n( 1) ( 1)  1  2  ____ ____

Penjumlahan 2 bilangan genap akan menghasilkan bilangan genap. Penjumlahan bilangan genap dan ganjil akan menghasilkan bilangan ganjil.

tidak mungkin untuk (a,b) keduanya ganjil. Untuk kasus (iii) (a,b) salah satu ganjil. Misal a2n1, b2m c b a 4 3 2 2 2    2 a genap 2 b ganjil

Penjumlahan bilangan genap dan ganjil akan menghasilkan bilangan ganjil.

Jika _a2 __b2_{dibagi 2 maka tidak akan menghasilkan bilangan bulat. Jadi untuk}₍_a_,_b₎_{salah satu genap}

tidak mungkin.

Jadi terbukti, untuk (a ,b ,c) bilangan bulat tidak ada yang memenuhi untuk persamaan

6 8

2 2 __b _ _c_

(22)

DAFTAR PUSTAKA

____, 2004, Tim Olimpiade Matematika Indonesia: Menembus Dunia, Jakarta: Bagian Proyek Pengembangan Wawasan Keilmuan, Direktorat Pendidikan Menengah Umum, Departemen Pendidikan Nasional.

____, 2006, Kumpulan Jawaban Siswa untuk Tugas Mingguan Pembinaan Kelas VII dan VIII untuk OSN

Matematika SMP, Yogyakarta: Tim Olimpiade Matematika SMPN 8 Yogyakarta.

____, 2006, Kumpulan Jawaban Siswa untuk Tugas Mingguan Pembinaan Veteran Kelas VIII dan IX

untuk OSN Matematika SMA, Yogyakarta: Tim Olimpiade Matematika SMPN 8 Yogyakarta.

As’ari, Abdur Rahman, 2006, OSN Bidang Matematika SMP: Kontribusinya dalam Peningkatan Mutu

Pendidikan Matematika di Sekolah Menengah Pertama, makalah disajikan dalam Seminar

Peningkatan Kualitas Widyaiswara LPMP se-Indonesia di PPPG Matematika Yogyakarta.

Monarizqa, Nurvirta, Ikhsan Permadi Kusumah dan Agatha Previan Chrisditya, 2006, Kesan-kesan

Mengikuti Pembinaan di Sekolah dan Mendapat Medali di OSN, artikel dalam Jurnal Mahkota

Matematika Volume 1 Nomor 3 Maret 2006, Malang: Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas

Negeri Malang.

Muchlis, Achmad, 2004, Pembelajaran Matematika dalam KBK, makalah disajikan dalam Lokakarya Widyaiswara Matematika LPMP se-Indonesia di PPPG Matematika Yogyakarta.

Muchlis, Achmad, 2004, Peningkatan Mutu Pendidikan Melalui Kompetisi, makalah disajikan dalam Lokakarya Widyaiswara Matematika LPMP se-Indonesia di PPPG Matematika Yogyakarta. Muchlis, Achmad, 2005, Indonesia dan Kompetisi Matematika, Jakarta: Direktorat Pendidikan Menengah

Umum, Departemen Pendidikan Nasional.

Susanto, Hery, 2005, Soal Olimpiade MIPA Bidang Matematika Tingkat SD/MI Provinsi Jawa Timur, artikel dalam Jurnal Mahkota Matematika Volume 1 Nomor 1 September 2005, Malang: Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Malang.

Susanto, Hery, 2005, Hasil OSN 2005 Bidang Matematika, artikel dalam Jurnal Mahkota Matematika

Volume 1 Nomor 2 Desember 2005, Malang: Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri

Malang.

Susanto, Hery, 2006, Pemecahan Masalah dalam Pembelajaran Matematika, makalah disampaikan pada

Penataran dan Lokakarya Widyaiswara Matematika LPMP Se-Indonesia Tahun 2006,

Yogyakarta: PPPG Matematika.

Susanto, Hery, Sisworo dan Abdur Rahman As’ari, 2006, Napak Tilas Olimpiade Sains Nasional

Matematika SMP, Malang: Universitas Negeri Malang.

Wiworo, 2004, Metode Pembinaan untuk Menghadapi Olimpiade Matematika SMP, makalah disampaikan pada PelatihanInstruktur/Pengembang Matematika SMP, Yogyakarta: PPPG Matematika.

Wiworo, 2004, Pemecahan Masalah Aljabar dalam Olimpiade Matematika SMP, Yogyakarta: PPPG Matematika.

Wiworo, 2005, Dasar-dasar Bilangan untuk Olimpiade Matematika SMP, Yogyakarta: PPPG Matematika. Wiworo, 2006, Ketaksamaan, Yogyakarta: PPPG Matematika.

(23)

Wiworo, 2006, Impossible is Nothing: Sebuah Pengalaman Membina Tim Olimpiade Sains SMPN 8

Yogyakarta, artikel dalam Jurnal Mahkota Matematika Volume 1 Nomor 3 Maret 2006, Malang: