MENENTUKAN KOEFISIEN REGRESI EKSPONENSIAL DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL SEDERHANA DAN METODE KUADRAT TERKECIL BERBOBOT

1

MENENTUKAN KOEFISIEN REGRESI EKSPONENSIAL DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL SEDERHANA DAN

METODE KUADRAT TERKECIL BERBOBOT

Riza Pahlevi1, Arisman Adnan2, Sigit Sugiarto2 1

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2

Dosen Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Kampus Binawidya Pekanbaru, 28293, Indonesia

rizapahlevimath06@gmail.com ABSTRACT

Relation between two variables x and y are not always linear, but also non-linear. Scatter diagram from non-linear relationship will show a pattern of data points that can be approximated by an exponential curve. The process of determining an exponential curve that best fits a data set called an exponential regression. In order to get the best an exponential regression curve was used a standard least square method with logarithm transformation. However, using this logarithm causes error change from error in the variable y to the error in the variable ln y. To overcome this problem, Glaister Internat.

J. Math. Ed. Sci. Tech.. 38 (2007): 422-427 proposes a least square method that is based

on applying a weighting in the standard least square method that is based on the error in the logarithm of a variable. This method is called a weighted least square method that we discuss in this article. By comparing these two methods in the case of an exponential data, the performance of the weighted least square method is better than that of the standard least square method.

Key words : exponential regression, standard least square method, weighted least

square method.

ABSTRAK

Hubungan antara dua variabel x dan ytidak selalu bersifat linear, tetapi bisa juga non linear. Diagram pencar dari hubungan non linear akan menunjukkan suatu pola dari sebaran data yang dapat didekati dengan kurva eksponensial. Proses penentuan suatu kurva eksponensial yang paling sesuai dengan sekumpulan data disebut dengan regresi eksponensial. Untuk mendapatkan kurva regresi eksponensial yang sesuai, dapat digunakan metode kuadrat terkecil sederhana dengan menggunakan transformasi logaritma. Namun, dengan penggunaan logaritma ini mengakibatkan terjadi perubahan error yaitu error di variabel y menjadi error di variabel ln y. Untuk mengatasi ini, Glaister Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech.. 38 (2007): 422-427 menyarankan metode kuadrat terkecil yang didasarkan pada penerapan bobot dalam metode kuadrat terkecil sederhana yang didasarkan pada error dalam logaritma variabel. Metode inilah yang

2

didiskusikan disini yang dikenal dengan metode kuadrat terkecil berbobot. Dengan membandingkan hasil yang didapat oleh kedua metode tersebut pada kasus data eksponensial terlihat bahwa metode kuadrat terkecil berbobot lebih baik dibandingkan dengan metode kuadrat terkecil sederhana.

Kata kunci : metode kuadrat terkecil sederhana, metode kuadrat terkecil berbobot, regresi eksponensial.

1. PENDAHULUAN

Hubungan antara dua variabel x dan y tidak selalu bersifat linear, akan tetapi bisa juga non linear. Diagram pencar dari hubungan yang linear akan menunjukkan suatu pola atau trend dari sebaran data yang dapat didekati dengan garis lurus, sedangkan yang non linear dapat didekati dengan kurva lengkung. Regresi dapat dibagi dua yaitu regresi linear dan regresi non linear. Regresi non linear dapat dibagi menjadi dua jenis yaitu model linear intrinsik dan model non linear intrinsik [3,h.438]. Model linear intrinsik dapat diubah bentuknya menjadi linear yaitu dengan cara mentransformasikan variabel-variabelnya, salah satu contohnya adalah model eksponensial, sedangkan model non linear intrinsik tidak dapat dilinearkan melalui transformasi.

Apabila terdapat sebaran data yang tidak tepat didekati dengan kurva linear atau garis lurus, maka dapat didekati dengan kurva non linear. Salah satu kurva non linear adalah kurva regresi eksponensial. Regresi eksponensial digunakan untuk menentukan fungsi eksponensial yang paling sesuai dengan sekumpulan data. Regresi eksponensial ini merupakan pengembangan dari regresi linear dengan memanfaatkan fungsi logaritma. Salah satu bentuk fungsi eksponensial adalah yaebx. Untuk menentukan kurva regresi eksponensial, terlebih dahulu ditentukan koefisien regresinya dengan menggunakan metode kuadrat terkecil sederhana. Untuk dapat menggunakan metode ini pada regresi eksponensial, maka fungsi eksponensial y aebx diubah ke bentuk linear dengan menggunakan logaritma natural, sehingga menghasilkan suatu persamaan linear yaitu lnylnabx.

Namun, dengan penggunaan logaritma tersebut mengakibatkan terjadi perubahan error yaitu error di variabel y menjadi error di variabel ln y, sehingga perlu dipertimbangkan metode kuadrat terkecil yang didasarkan pada penerapan bobot dalam kuadrat terkecil sederhana. Metode ini disebut dengan metode kuadrat terkecil berbobot. Dengan diperoleh koefisien regresi eksponensial menggunakan metode kuadrat terkecil sederhana dan metode kuadrat terkecil berbobot, maka diperoleh persamaan regresi eksponensial dan dapat dibandingkan residunya pada kasus data eksponensial.

2. FUNGSI EKSPONENSIAL

Fungsi eksponensial adalah fungsi yang variabel bebasnya (x) merupakan pangkat dari suatu konstanta. Fungsi eksponensial biasanya digunakan untuk menggambarkan pertumbuhan atau peluruhan yang berlangsung secara kontinu dengan persentase perubahan konstan.

3 Bentuk sederhana dari fungsi eksponensial, yaitu

. 0 , ) (    f x b b y x

Fungsi eksponensial ini mempunyai dua basis, yaitu basis konstanta b dan basis bilangan e. Jika basis e digunakan dalam fungsi eksponensial, maka ia disebut sebagai fungsi eksponensial asli. Nilai taksiran dari e adalah 2,71828 yang dapat dibuktikan dengan mencari deret Maclaurin dari fungsi f (x) = ex[2,h.255].

Definisi 1 [6,h.387] Invers ln disebut fungsi eksponen asli dan ditulis sebagai exp yaitu

. ln

exp y y x

x  

Definisi 2 [6,h.387] Bilangan e adalah bilangan real positif yang bersifat lne1.

Fungsi eksponensial asli dapat diubah kebentuk linear dengan menggunakan logaritma asli. Sifat-sifat fungsi logaritma asli dapat dilihat pada Definisi 3 dan Teorema 1.

Definisi 3 [6,h.372] Fungsi logaritma asli, ditulis sebagai lndidefinisikan dengan

. 0 , 1 ln 1



  x dt x t x

Teorema 1 [6,h.375] Apabila a dan b bilangan-bilangan positif dan r sebuah bilangan rasional, maka : (i). ln10 (ii). lnablnalnb (iii). a b b a ln ln ln   (iv). lnar rlna

3. METODE KUADRAT TERKECIL SEDERHANA

Regresi yang paling sederhana yaitu berupa garis lurus atau linear, dengan mengasumsikan hanya variabel y yang memiliki error, sedangkan untuk setiap x bernilai tetap. Untuk menentukan kurva linear atau garis lurus yang dapat mewakili sebaran data, dapat digunakan suatu metode pendekatan yang meminimumkan jumlah kuadrat error dari titik data pengamatan ke garis regresi. Metode pendekatan ini disebut dengan metode kuadrat terkecil sederhana. Metode ini digunakan untuk mendapatkan persamaan garis lurus pada sebaran data yang diamati, dengan harapan diperoleh jumlah

4

kuadrat error sekecil mungkin. Dalam menggunakan metode ini pada regresi, harus dipenuhi asumsi-asumsi dasarnya [5,h.79]. Bentuk model regresi linier sederhana dinyatakan dalam persamaan

. i i

i mX c u

Y    (1) Dari persamaan (1), maka error ke-i ditulis

.

c mX Y

u_i  _i  _i 

Dengan demikian, jumlah kuadrat error data terhadap garis regresi ditulis





. 1 2 1 2





     n i i i n i i Y mX c u (2) Sebagai nilai taksiran, dipilih mˆ dan .ˆc Untuk mendapatkan nilai mˆ dan cˆ didasarkan

pada meminimumkan fungsi persamaan (2) dengan cara mendifferensialkan fungsi tersebut terhadap m dan c, lalu disamakan dengan nol.

. 0 1 2 1 2 _     





  n i i n i i u m u c

4. METODE KUADRAT TERKECIL SEDERHANA UNTUK REGRESI EKSPONENSIAL

Diagram pencar dari hubungan yang linear akan menunjukkan suatu pola dari sebaran data yang dapat didekati dengan garis lurus, sedangkan yang non linear dapat didekati dengan kurva lengkung. Regresi eksponensial digunakan untuk menentukan fungsi eksponensial yang paling sesuai dengan sekumpulan data. Untuk dapat menggunakan metode kuadrat terkecil sederhana pada regresi eksponensial, maka fungsi eksponensial

bx

ae

y diubah ke bentuk linear dengan menggunakan logaritma asli yaitu menjadi

. ln

lny abx

Dengan mengasumsikan hanya variabel lny yang memiliki error sedangkan variabel x memiliki nilai tetap, maka model regresi linearnya adalah

. ln

lny_i  abx_i _i

(3) Berdasarkan persamaan (3), maka error ke-i ditulis

, ln

ln _{i i}

i  y  abx



untuk i1,2,...,n, sehingga jumlah kuadrat errornya adalah

 



ln ln



. 1 1 2 2





      n i n i i i i y a bx S  (4)

5

Sebagai nilai taksiran, dipilih bˆ dan lnaˆ. Untuk mendapatkan nilai bˆ _dan ln aˆ

didasarkan pada meminimumkan fungsi S pada persamaan (4) dengan cara

mendifferensialkan fungsi tersebut terhadap b dan ln , lalu disamakan dengan nol. a

. 0 ln ₁ 2 1 2 _     

_

_

  n i i n i i b a  

Dengan demikian, diperoleh nilai bˆ untuk kemiringan garis regresi dan nilai ln aˆ

untuk perpotongan garis regresi terhadap sumbu y, berturut-turut yaitu

, ln ln ˆ 2 1 1 2 1 1 1         











     n i i n i i n i i n i i n i i i x x n y x y x n b dan . ln ln ˆ ln 2 1 1 2 1 1 1 1 2         









 

      n i i n i i n i i n i i i n i n i i i x x n x y x y x a

5. METODE KUADRAT TERKECIL BERBOBOT

UNTUK REGRESI EKSPONENSIAL

Dengan penggunaan logaritma tersebut mengakibatkan perubahan error yaitu error di variabel y menjadi error di variabel ln y, sehingga perlu dipertimbangkan metode kuadrat terkecil yang didasarkan pada penerapan bobot dalam kuadrat terkecil sederhana [4]. Metode ini disebut dengan metode kuadrat terkecil berbobot. Dengan menggunakan teorema Taylor [1,h.216], diperoleh error di variabel ln y, yaitu





. 3 2 1 ln ln ln 3 3 2 2 y y y y y y y  _                  

Artinya, error di lny yaitu sekitar  y atau error di variabel y yaitu sekitar y dikali error di variabel ln y, sehingga error di variabel y dapat ditulis

 

_i , i i y    atau



ln _i ln _i



. i i  y y  abx  (5)

6

Selain itu, karena kurva regresi eksponensial y atas x yang diinginkan daripada kurva linear lny atas x dan error dalam y yang ingin diminimalkan serta berdasarkan persamaan (5), maka fungsi yang lebih tepat diminimalkan adalah :







ln ln



, 1 2



    n i i i i y a bx y H atau







    n i i i i i i y y a bx y y H 1 2 . ln ln (6) Sebagai nilai taksiran, dipilih qˆ dan lnpˆ. _{Untuk mendapatkan nilai} qˆ dan ln pˆ

didasarkan pada meminimumkan fungsi H pada persamaan (6) dengan cara mendifferensialkan fungsi tersebut terhadap b dan ln , kemudian disamakan dengan a

nol. . 0 ln       a H b H

Dengan demikian, diperoleh nilai qˆ untuk kemiringan garis regresi dan nilai ln pˆ untuk perpotongan garis regresi terhadap sumbu y, berturut-turut yaitu

, ln ln ˆ 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2                                             















       i n i i n i i i n i i i n i i i n i i n i i n i i i i y x y y x y x y y y y y x q dan . ln ln ˆ ln 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2                                             















       i n i i n i i i n i i i n i i n i i i i i n i i n i i i y x y y x y x y y x y x y y p

6. SIMULASI DATA EKSPONENSIAL

Untuk membandingkan metode kuadrat terkecil sederhana dengan metode kuadrat terkecil berbobot dalam regresi eksponensial, dilakukan simulasi dengan cara membentuk data eksponensial. Dengan fungsi eksponensial y e0,15x _{dan memilih}

5 1 

x dengan x_i memiliki jarak yang sama yaitu 2, maka dapat dibentuk data eksponensial dengan mempertimbangkan 2 tipe data :

7

1. Errornya seragam yaitu  1,2 tetapi tanda ± dipilih secara acak, sehingga persamaannya menjadi . 15 , 0 _ e x y

2. Errornya berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan varians bernilai 0,2 sehingga persamaanya menjadi . 15 , 0 _ e x y

Pada Tabel 1 dan 2 disajikan rata-rata residu dan jumlah kuadrat residu berturut-turut untuk tipe data ke-1 dan tipe data ke-2 dengan jumlah data 9, 10, 11, 12 dan 13.

Tabel 1: Rata-rata Residu dan Jumlah Kuadrat Residu untuk Tipe Data ke-1

Jumlah Data

Metode Kuadrat Metode Kuadrat

Terkecil Sederhana Terkecil Berbobot Rata-rata Jumlah Kuadrat Rata-rata Jumlah Kuadrat

Residu Residu Residu Residu

9 1,32 28,36 1,05 12,41

10 1,21 27,82 1,04 13,21

11 1,46 56,90 1,03 13,83

12 1,53 58,80 1,04 15,30

13 1,63 81,83 1,10 17,31

Tabel 2: Rata-rata Residu dan Jumlah Kuadrat Residu untuk Tipe Data ke-2

Jumlah Data

Metode Kuadrat Metode Kuadrat

Terkecil Sederhana Terkecil Berbobot Rata-rata Jumlah Kuadrat Rata-rata Jumlah Kuadrat

Residu Residu Residu Residu

9 0,37 2,57 0,31 1,40

10 0,44 4,42 0,32 1,63

11 0,47 4,55 0,33 1,95

12 0,49 5,59 0,39 2,63

13 0,50 8,37 0,35 2,53

Pada Tabel 1 dan 2 dapat dilihat bahwa rata-rata residu dan jumlah kuadrat residu dari metode kuadrat terkecil berbobot untuk tipe data ke-1 dan tipe data ke-2 dengan melakukan 10 kali pembentukan data untuk setiap jumlah data lebih kecil dari rata-rata residu dan jumlah kuadrat residu dengan menggunakan metode kuadrat terkecil sederhana.

8

DAFTAR PUSTAKA

[1] Bartle, R.G. & D.R. Sherbert. 1994. Introduction to Real Analysis, Second

Edition. John Wiley & Sons, New York.

[2] Chiang, A.C. 1990. Dasar-dasar Matematika Ekonomi Edisi Ketiga. Terj. dari

Fundamental Methods Of Mathematical Economics, 3rd Edition, oleh Sudigno, S.

& Nartanto. Penerbit Erlangga, Jakarta.

[3] Draper, N.R. & H. Smith. 1992. Analisis Regresi Terapan Edisi Kedua. Terj. dari

Applied Regression Analysis, Second Edition, oleh Sumantri, B. Penerbit

Gramedia, Jakarta.

[4] Glaister, P. 2007. Exponential curve fitting with Least Squares, International

Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 38 (3) : 422-427.

[5] Gujarati, D.N. & D.C. Porter. 2010. Dasar-dasar Ekonometrika Edisi Kelima.

Terj. dari Basic Econometrics, Fifth Edition, oleh Mardanugraha, E., S. Wardhani & C. Mangunsong. Penerbit Salemba Empat, Jakarta.

[6] Purcell, E.J. & D. Varberg. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Edisi Kelima:

Jilid 1. Terj. dari Calculus with Analytic Geometry, Fifth Edition, oleh Susila,