Kajian Analisis Regresi Parametrik Dengan Menggunakan Metode Kuadrat Terkecil

KAJIAN ANALISIS REGRESI PARAMETRIK DENGAN

MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL

SKRIPSI

SYAHRIZA MELINA POHAN

090823022

KEMENTRIAN PENDIDIKAN NASIONAL

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

DEPARTEMEN MATEMATIKA

PERNYATAAN

KAJIAN ANALISIS REGRESI PARAMETRIK DENGAN MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

SYAHRIZA MELINA POHAN 090823022

KEMENTRIAN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM DEPARTEMEN MATEMATIKA

PERSETUJUAN

Judul : KAJIAN ANALISIS REGRESI PARAMETRIK

DENGAN MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL

Kategori : SKRIPSI

Nama : SYAHRIZA MELINA POHAN

Nomor Induk Mahasiswa : 090823022

Program Studi : S1 STATISTIKA EKSTENSI

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (MIPA) UNIVERSITAS SUMATERA

UTARA

Diluluskan di Medan, Juli 2011

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Drs. Suwarno Arriswoyo, M.Si Drs. Bambang Irawan, M.Sc NIP. 195003211980303001 NIP. 194704211976031001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

PERNYATAAN

KAJIAN ANALISIS REGRESI PARAMETRIK DENGAN MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2011

PENGHARGAAN

Diawali dengan mengucapkan Puji Syukur Kehadirat Allah SWT, yang selama ini telah memberikan Penulis kekuatan dan semangat sehingga penyusunan Skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik dan tepat waktu.

Adapun tujuan dari penulisan Skripsi ini adalah merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan Program S1 Statistika Ekstensi pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

Sebagai salah satu perwujudan dari proses pendidikan kemahasiswaan, penyusunan Skripsi ini disajikan berdasarkan pembahasan oleh penulis dari Model Eksponen Berganda.

Selama dalam penyusunan Skripsi ini penulis telah banyak memperoleh bantuan dan bimbingan, untuk itu pada kesempatan ini Penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Bapak Drs. Bambang Irawan, M.Sc selaku dosen pembimbing 1 pada penulisan Skripsi ini yang telah bersedia memberikan arahan, bimbingan dan petunjuk kepada penulis dalam menyelesaikan Skripsi ini

2. Bapak Drs. Suwarno Arriswoyo, M.Si selaku dosen pembimbing 2 pada penulisan Skripsi ini yang telah bersedia memberikan arahan, bimbingan dan petunjuk kepada penulis dalam menyelesaikan Skripsi ini

3. Kepada Ayahanda Syahrial Pohan dan Ibunda Hj. Zahriati S.Pd yang telah memberikan bantuan materil, ridho dan do’a yang tiada hentinya untuk penulis dari awal perkuliahan sampai selesainya penyusunan Skripsi ini, kepada Abang M. Emil Zikri Pohan dan Adik M. Rozi Abda’o Pohan yang selalu memberi semangat dan motivasi kepada penulis

4. Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si dan Ibu Dra. Elly Rosmaini, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan masukan positif dalam penyelesaian skripsi ini.

5. Bapak Drs. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU

6. Bapak Prof Dr. Tulus, M.Si selaku Ketua Departemen Matematika FMIPA USU

7. Bapak Drs. Pengarapen Bangun, M.Si selaku Ketua Pelaksana Jurusan Program S1 Statistika Ekstensi

8. Seluruh Staff Pengajar di Fakultas Matematika dan lmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara khususnya Jurusan Matematika

9. Teman-teman Matematika Statistik stambuk 2009 atas kerja samanya dan yang selalu memberi motivasi, dukungan dan kepercayaannya.

10.Semua pihak yang terkait dalam penyelesaian skripsi ini

bersifat membangun, di mana saran dan kritik tersebut dapat dimanfaatkan untuk kemajuan ilmu pengetahuan pada saat ini dan yang akan datang.

Semoga Penulisan Skripsi ini dapat memberikan manfaat dan berguna bagi pembaca dan penulis pada khususnya. Akhir kata penulis mengucapkan banyak terima kasih.

Medan, Juli 2011

ABSTRAK

Regresi nonlinier model eksponen adalah regresi nonlinier yang variabel responnya berdistribusi eksponen.. Untuk mengestimasi model eksponen regresi nonlinier ganda digunakan metode kuadrat terkecil. Estimasi metode kuadrat terkecil berguna untuk menentukan parameter sehingga jumlah kuadrat dari deviasi/simpangan antara observasi-observasi garis regresi menjadi minimum. Dari sudut pandang statistik, metode kuadrat terkecil dianggap lebih efisien pada hasil estimator dengan sifat statistik. Bentuk umum persamaan model eksponen untuk regresi nonlinier ganda

yaitu

Y

ˆ

=

e

β0+β1X1+β2X2

ABSTRACT

Nonlinear exponential regression model is nonlinear regression response variable exponent distribution. To estimate the exponential regression model multiple nonlinear least square method is used. The estimated least square method is useful for determining the parameters so that the sum of squares of deviation/deviation between the regression line observations to a minimum. From the statistical standpoint, the least square method is considered more efficient in the estimators to the nature of statistics.The general form of an exponential model equation for nonlinear multiple

regression is

Y

ˆ

=

e

β0+β1X1+β2X2

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan i

Pernyataan ii

Penghargaan iii

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel ix

Daftar Gambar x

Bab 1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Tinjauan Pustaka 3

1.4 Tujuan Penelitian 4

1.5 Kontribusi Penelitian 4

1.6 Metode Penelitian 4

Bab 2 Landasan Teori 6

2.1 Analisis Regresi 6

2.1.1 Regresi Linier Sederhana 8

2.1.2 Regresi Linier Ganda 11

2.1.3 Regresi Nonlinier Sederhana 13

2.1.3.1 Model Eksponen 15

2.1.4 Regresi Nonlinier Ganda 17

2.2 Metode Kuadrat Terkecil 19

2.2.1 Persoalan Estimasi Metode Kuadrat Terkecil dalam Model 22 Eksponen Berganda

2.2.2 Metode Matriks 24

2.2.2.1 Transpose Suatu Matriks 26

2.2.2.2 Determinan 26

2.2.2.3 Invers Matriks 26

2.2.3 Persoalan Metode Matriks dalam Model Eksponen Berganda 27

3.1 Pembahasan 30 3.2 Estimasi Parameter Menggunakan Metode Kuadrat Terkecil 33 3.3 Menentukan Persamaan Model Eksponen Berganda dengan

Menggunakan Matriks 35

3.4 Estimasi Interval untuk Parameter Model Eksponen Berganda 41

3.5 Pengujian Hipotesis 45

Bab 4 Penutup 47

4.1 Kesimpulan 47

4.2 Saran 48

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 3.1. Penyajian Data 31

Tabel 3.2 Nilai-nilai Yang Perlu Untuk Menghitung β0,β1,dan β2

Model Eksponen Berganda 32

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Diagram Pencar, Garis Regresi, dan Sisa Untuk Pengamatan

Berpasangan (Xi,Yi) 10

Gambar 2.2 Nilai rata-rata dari tingkat kesalahan (error) atau nilai ekspektasi (expected value) dari setiap nilai x sama dengan nol 21

ABSTRAK

Regresi nonlinier model eksponen adalah regresi nonlinier yang variabel responnya berdistribusi eksponen.. Untuk mengestimasi model eksponen regresi nonlinier ganda digunakan metode kuadrat terkecil. Estimasi metode kuadrat terkecil berguna untuk menentukan parameter sehingga jumlah kuadrat dari deviasi/simpangan antara observasi-observasi garis regresi menjadi minimum. Dari sudut pandang statistik, metode kuadrat terkecil dianggap lebih efisien pada hasil estimator dengan sifat statistik. Bentuk umum persamaan model eksponen untuk regresi nonlinier ganda

yaitu

Y

ˆ

=

e

β0+β1X1+β2X2

ABSTRACT

Nonlinear exponential regression model is nonlinear regression response variable exponent distribution. To estimate the exponential regression model multiple nonlinear least square method is used. The estimated least square method is useful for determining the parameters so that the sum of squares of deviation/deviation between the regression line observations to a minimum. From the statistical standpoint, the least square method is considered more efficient in the estimators to the nature of statistics.The general form of an exponential model equation for nonlinear multiple

regression is

Y

ˆ

=

e

β0+β1X1+β2X2

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar belakang

Metode analisis yang telah dibicarakan hingga sekarang adalah analisis terhadap data

mengenai sebuah karakteristik atau atribut (jika data itu kualitatif) dan mengenai

sebuah variabel, diskrit ataupun kontinu (jika data itu kuantitatif). Tetapi,

sebagaimana disadari, banyak persoalan atau fenomena yang meliputi lebih dari

sebuah variabel. Misalnya : berat orang dewasa laki-laki sampai taraf tertentu

bergantung pada tingginya, tekanan semacam gas bergantung pada temperatur, hasil

produksi padi tergantung pada jumlah pupuk yang digunakan, banyak hujan, cuaca

dan sebagainya.

Akibatnya, terasa perlu untuk mempelajari analisis data yang terdiri atas dari

banyak variabel, dalam beberapa masalah terdapat dua atau lebih variabel yang

hubungannya tidak dapat dipisahkan dan hal tersebut biasanya di selidiki sifat

hubungannya. Hubungan yang didapat pada umumnya dinyatakan dalam bentuk

persamaan matematik yang menyatakan hubungan fungsional antara variabel-variabel.

Studi yang menyangkut masalah ini dikenal dengan analisis regresi. Analisis regresi

adalah sebuah teknik statistik untuk membuat model dan menyelidiki hubungan antara

dua variabel atau lebih.

Dalam statistika parametrik, teknik yang digunakan berhubungan dengan

pendugaan parameter serta pengujian hipotesis yang berhubungan dengan parameter–

menentukan suatu model linier yang paling tepat dalam mencocokkan diri terhadap

sebaran data–data tersebut.

Kelinieran regresi diyakinkan melalui pengujian hipotesis nol. Jika hipotesis

linier diterima, yakin hingga tingkat tertentu, bahwa regresi itu bentuknya linier tidak

diragukan. Namun apabila ternyata hipotesis linier ditolak, maka regresi linier tidak

cocok untuk digunakan dalam mengambil kesimpulan dan karenanya perlu meningkat

pada pencarian regresi non linier atau lengkung

Penggunaan prosedur parametrik didasarkan pada asumsi-asumsi tertentu,

misalnya mengasumsikan bahwa sampel-sampel yang diambil dari populasi-populasi

yang berdistribusi normal. Dalam kasus parametrik untuk mengetahui bentuk

hubungan antar peubah respon pada contoh yang diamati dapat digunakan metode

kuadrat terkecil, pengujian hipotesisnya untuk model parametrik menggunakan

statistik uji t yang merupakan sebuah asumsi secara normal yang didasarkan dari

metode kuadrat terkecil. dan pembentukan interval kepercayaan pada regresi

parametrik adalah pembentukan interval kepercayaan untuk

parameter-parameterβ₀,β₁,β₂,....,β_k dan σ2 _{yang didasarkan pada metode kuadrat terkecil}

dan asumsi yang digunakan masih sama dengan asumsi yang digunakan pada

pengujian hipotesis.

Oleh karena itu penelitian ini disajikan untuk mengkaji regresi parametrik serta

memeriksa ketepatan model regresi parametrik yang dibatasi pada model eksponen

regresi nonlinier ganda yang dilihat dari kedekatan nilai estimasi parameter dengan

nilai parameter yang ditentukan .

1.2Perumusan Masalah

Pada penelitian ini rumusan masalah yang akan dibahas adalah bagaimana mengkaji

model regresi parametrik menggunakan metode kuadrat terkecil dengan pendekatan

1.3Tinjauan Pustaka

1. Sudjana (2002) sebuah model regresi yang mencakup lebih dari satu variabel

disebut satu model regresi linier ganda. Model regresi linier ganda dengan

k buah (k ≥ 2) variabel bebas X₁,X₂,....X_k , diregresikan terhadap variabel

respon Y dalam bentuk linier ganda yang ditaksir oleh bentuk:

k k

i b X b X

X b b

Y = ₀ + ₁ + _{2 2} +...+

Keterangan:

Y = variabel tak bebas

X₁,X₂,....X_k = variabel bebas

b₀,b₁,b₂,....b_k = parameter regresi

Di sini model eksponen untuk regresi nonlinier ganda yang digunakan dengan

dua variabel bebas adalah:

2 2 1 1 0

ˆ

b bX b X

e

Y

=

+ +

Keterangan:

Y = variabel tak bebas

X₁,X₂ = variabel bebas

b₀,b₁,b₂ = parameter regresi

e = bilangan pokok logaritma asli atau logaritma Napier

harganya hingga empat desimal adalah e = 2,7183....

dapat dikembalikan pada bentuk linier ganda dengan mengambil logaritma Napier

(ln) pada ke dua ruas persamaan. Sehingga bentuknya menjadi:

2 2 1 1 0

ˆ

Selanjutnya diselesaikan dengan cara regresi linier ganda menggunakan variabel

bebas aslinya sedangkan variabel dependennya dalam bentuk logaritma Napier

dari variabel Y, adalah ln Y.

1.4Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengkaji dan menguraikan cara mengestimasi

nilai parameter model eksponen berganda dengan meminimumkan error menggunakan

metode kuadrat terkecil dengan pendekatan matriks.

1.5Kontribusi Penelitian

Kesimpulan yang diperoleh setelah dilakukan penelitian ini, diharapkan:

1. Dapat menentukan dan menaksir model parameter–parameter analisis regresi

parametrik yang dapat meyederhanakan kompleksitas analisis sehingga hubungan

antar variabel bisa dipahami dengan mudah.

2. Sebagai bahan pertimbangan bagi para pembuat keputusan sejauh mana regresi

parametrik khususnya regresi nonlinier ganda model eksponen berperan dalam

pengambilan keputusan

3. Menambah wawasan dan memperkaya literatur dalam bidang statistika terutama

yang berhubungan analisis regresi parametrik melalui metode kuadrat terkecil

dengan pendekatan matriks dalam model eksponen untuk regresi nonlinier ganda

1.6Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah:

1. Mengkaji lebih dalam regresi parametrik khususnya model eksponen regresi

nonlinier ganda melalui metode kuadrat terkecil dengan pendekatan matriks.

2. Menghitung estimator β₀,β₁,β₂,....,β_k menggunakan metode kuadrat terkecil

3. Melakukan pengujian hipotesis

4. Mencatat nilai galat (standard error of estimate) dan menghitung pendugaan

interval kepercayaan

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Analisis Regresi

Regresi merupakan alat ukur yang digunakan untuk mengukur ada atau tidaknya

korelasi antar variabel. Istilah regresi yang berarti ramalan atau taksiran pertama kali

diperkenalkan oleh Sir Francis Galton pada tahun 1877, sehubungan dengan penelitiannya terhadap tinggi manusia, yaitu antara tinggi anak dan tinggi orang tua.

Dalam penelitiannya, Galton menemukan bahwa tinggi anak dari orang tua yang

tingginya cenderung meningkat atau menurun dari berat rata-rata populasi. Garis yang

menunjukkan hubungan tersebut disebut garis regresi.

Teknik yang umum digunakan untuk menganalisis hubungan antara dua atau

lebih variabel dalam ilmu statistik adalah analisis regresi. Analisis regresi adalah

tehnik statistik yang berguna untuk memeriksa dan memodelkan hubungan atara dua

variabel atau lebih terutama untuk menyelusuri pola hubungan dua variabel atau lebih

dan terutama untuk menelusuri pola hubungan yang modelnya belum diketahui

dengan sempurna, sehingga dalam penerepannya lebih bersifat eksploratif.

Analisis regresi setidak-tidaknya memiliki 3 (tiga) kegunaan, yaitu: untuk

tujuan deskripsi dari fenomena data atau kasus yang sedang diteliti, untuk tujuan

kontrol, serta untuk tujuan prediksi. Regresi mampu mendeskripsikan fenomena data

melalui terbentuknya suatu model hubungan yang bersifat numerik. Regresi juga

dapat digunakan untuk melakukan pengendalian terhadap suatu kasus atau hal-hal

yang sedang diamati melalui penggunaan model regresi yang diperoleh. Selain itu,

model regresi juga dapat dimanfaatkan untuk melakukan prediksi untuk variabel

didalam rentang data dari variabel-variabel bebas yang digunakan untuk membentuk

model regresi tersebut. Konsep ini disebut sebagai interpolasi.

Di dalam suatu model regresi akan ditemukan koefisien-koefisien. Koefisien

pada model regresi sebenarnya adalah nilai duga parameter didalam model regresi

untuk kondisi yang sebenarnya, sama halnya dengan statistik mean (rata-rata) pada

konsep statistika dasar. Hanya saja, koefisien-koefisien untuk model regresi

merupakan nilai rata-rata yang berpeluang terjadi pada variabel Y (variabel terikat)

bila suatu nilai X (variabel bebas) diberikan. Koefisien regresi dapat dibedakan

menjadi 2 macam, yaitu:

1. Intersep (intercept)

Intersep adalah suatu titik perpotongan antara suatu garis regresi dengan sumbu Y

pada diagram/sumbu kartesius saat nilai X = 0. Sedangkan definisi secara statistika

adalah nilai rata-rata pada variabel Y apabila nilai pada variabel X bernilai 0. Dengan

kata lain, apabila X tidak memberikan kontribusi, maka secara rata-rata, variabel Y

akan bernilai sebesar intersep. Perlu diingat, intersep hanyalah suatu konstanta yang

memungkinkan munculnya koefisien lain didalam regresi. Intersep tidak selalu dapat

atau perlu untuk dinterpretasikan. Apabila data pengamatan pada variabel X tidak

mencakup 0 atau mendekati 0, maka intersep tidak memiliki makna yang berarti,

sehingga tidak perlu diinterpretasikan.

2. Slope

Secara matematis, slope merupakan ukuran kemiringan dari suatu garis. Slope adalah

koefisien regresi untuk variabel X (variabel bebas). Dalam konsep statistika, slope

merupakan suatu nilai yang menunjukkan seberapa besar kontribusi (sumbangan)

yang diberikan suatu variabel X terhadap Y. Nilai slope dapat pula diartikan sebagai

rata-rata pertambahan (pengurangan) yang terjadi pada variabel Y untuk setiap

peningkatan satu satuan variabel X.

Persamaan garis regresi adalah merupakan model hubungan antara dua

variabel atau lebih, yaitu antara variabel bergantung (dependent variabel) dengan

variabel bebasnya (independent variable) sedangkan yang dimaksud garis regresi

(regression line/line of the best fit/estimating line) adalah suatu garis yang ditarik di

menaksir besarnya variabel yang satu berdasarkan besar variabel yang lain, dapat juga

dugunakan untuk mengetahui korelasinya (positif atau negatifnya). Apabila dua

variabel x dan y mempunyai hubungan atau korelasi, maka perubahan nilai variabel

diartikan sebagai variabel yang satu mempengaruhi variabel lainnya.

2.1.1 Regresi Linier Sederhana

Regresi linier sederhana merupakan bagian regresi yang mencakup hubungan linier

satu peubah tak bebas Y dengan satu peubah bebas X. Hubungan linier Y dan X dari

suatu populasi disebut garis regresi populasi yang dinyatakan persamaan sebagai

berikut:

X X

Y E X

Y. ( / ) β0 β1

µ = = +

(2.1)

Keterangan:

µ_Y.X = rata-rata Y untuk nilai X tertentu

β₀ = jarak titik pangkal dengan titik potong garis regresi dengan sumbu Y

(intercept) nilai Y tanpa pengaruh X

β₀ = kemiringan (slope atau gradien) garis regresi

Besarnya perubahan Y sebagai akibat perubahan X satu satuan

Kalau ingin menduga rataan µ_Y.Xi, maka nilai Y perlu ditentukan untuk satuan

Xi tertentu. Nilai Y tersebut untuk Xi dinyatakan dengan Yi. Nilai Yi dan µY.X_i pada

umumnya tidak sama. Perbedaan tersebut tergantung pada ketepatan model untuk

menggambarkan keadaan yang sebenarnya dan ketepatan pengukuran peubah Y dan

X.

Perbedaan antara Yi dan µY.X_i disebut galat acak (randam error) dan

dinyatakan dengan simbolε_i. Dengan demikian:

i X Y i i Y µ .

ε = − atau Y_i =µ_Y.Xi +ε_i

Dari persamaan ini diperoleh model regresi linier sederhana dari suatu populasi

I i i

i X

Y =β₀ +β +ε (2.2)

Parameter β₀ dan β₁ diduga dengan menggunakan garis regresi contoh. Bentuk

persamaaan garis regresi contoh adalah sebagai berikut:

X b b

Yˆ = ₀ + ₁ (2.3)

Keterangan:

b0 = intersept, jarak titik pangkal dan titik potong garis regresi dengan sumbu Y

b1 = kemiringan atau gradien garis regresi

Keterangan:

b0 merupakan penduga titik bagi β0

b1 merupakan penduga titik bagi β₁ dan

Ŷ merupakan penduga titik bagi µ_Y.X

Pendugaan tersebut dilakukan dengan mengambil contoh acak berukuran n

dari suatu populasi. Hasil pengamatan berupa pasangan X dan Y sebagai berikut:

(X1 , Y2) , (X2 , Y2) , ….., (Xn , Yn)

Data berpasangan tersebut digambarkan pada sumbu koordinatif siku-siku, akan

diperoleh gambar yang disebut diagram pencar (scatter diagram) seperti pada gambar

berikut. Nilai-nilai data tersebut dieliminasi dalam persamaan Y =b₀ +b₁X diperoleh:

X b b Yˆ = ₀ + ₁

Pada umumnya Yi tidak sama dengan Ŷi, perbedaan antara Yi dan Ŷi dinyatakan

dengan ei yang disebut sisa (residual). Dalam hal ini:

i i i Y Y

e = − ˆ atau Y_i =Yˆ_i +e_i

Dengan demikian diperoleh model regresi linier sederhana dari contoh sebagai

berikut:

I i i i b b X e

Gambar 2.1 Diagram Pencar, Garis Regresi, dan Sisa Untuk Pengamatan Berpasangan (Xi,Yi )

Nilai b0 dan b1 diperoleh dengan menggunakan metode kuadrat terkecil (least-squares

method). Metode kuadrat terkecil merupakan satu cara memperoleh b0 dan b1 dengan

meminimumkan jumlah kuadrat sisa:

(

)

(

)

2

1 1 0 1 1 2

1

∑

ˆ

∑

∑

− = = − − = − = = n i i i n i i i n i X b b Y Y Y e

S (2.5)

Syarat optimum adalah:

(

)

0

2 _{0 1}

0 = − − − = ∂ ∂

∑

i i b b X Y

b S

(

)

0

2 _{0 1}

1 = − − − = ∂ ∂

∑

Xi Yi b b Xi b

S

Dari dua persyaratan optimum peroleh persamaan normal sebagai berikut:

i n i i n i i n i

i b X X Y

X

b

∑

∑

∑

= = = = + 1 1 2 1 1

0 (2.6)

Dari persamaan normal diperoleh:

      −             − =

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = n i i n i i n i i n i i i n i i X n X Y X n Y X b 1 1 2 1 1 1 1 1 1

(

)(

)

(

)

∑

∑

= = − − − = _n i i n i i i X X Y Y X X 1 2

1 _(2.7)

      −                   −             =

∑

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = n i i n i i n i i n i i i n i i n i i X n X X Y Y X X b 1 2 2 1 1 2 1 1 1 0 1

= Y −b₁X (2.8)

2.1.2 Regresi Linier Ganda

Regresi linier ganda merupakan regresi linier yang melibatkan hubungan fungsional

antara sebuah variabel tak bebas dengan dua atau lebih variabel bebas. Semakin

banyak variabel bebas yang telibat dalam suatu persamaan regresi semakin rumit

menentukan nilai statistik yang diperlukan hingga diperoleh persamaan regresi

estimasi. Regresi linier berganda berguna untuk mendapatkan pengaruh dua variabel

kriteriumnya atau untuk mencari hubungan fungsional dua variabel prediktor atau

lebih dengan variabel kriteriumnya, atau untuk meramalkan dua variabel prediktor

Hubungan linier lebih dari dua variabel yang dinyatakan dalam bentuk

persamaan matematis adalah:

ε β

β

β + + + = X_{i k}X_k

Y _{0 1} .... (2.9)

Keterangan:

Y : variabel tak bebas

X₁,....X_k : variabel bebas

β₀,β₁,....,β_k : parameter regresi

ε : nilai kesalahan (error)

Metode kuadrat terkecil dari estimasi β yang terdiri dari minimum

∑

εi2 yang

berkenaan dengan β, dimana minimum ε'ε = Y −Xβ 2 mengenai β, yaitu:

(

β

) (

β

)

ε

ε' = Y −X ' Y −X

= Y'Y−2β'X'Y +β'X'Xβ

Perbedaan ε'ε mengenai β dan persamaan ' =0

∂ ∂

β ε ε

, diperoleh:

0 '

2 '

2 + =

− X Y X Xβ atau X'Xβ = X'Y (2.10)

(

X'X

)

X'Y

ˆ ₌ −1

β (2.11)

Kemudian untuk β:

(

_Y−Xβ

) (

_{' Y −X}β

)

₌



_{Y −X}β _+X

(

βˆ₋βˆ

)



_'



_{Y −X}β _+X

(

βˆ₋βˆ

)



=

(

Y−Xβˆ

)(

'Y −Xβˆ

) (

+ βˆ−β

) (

'X'X βˆ−β

)

Minimum dari

(

Y −Xβ

) (

' Y −Xβ

)

adalah

(

Y −Xβˆ

)(

'Y −Xβˆ

)

dicapai pada β =βˆ

solusi ini untuk melihat minimum ε'ε.

2.1.3 Regresi Nonlinier Sederhana

Regresi nonliner adalah regresi yang variabel-variabelnya ada yang berpangkat.

Bentuk grafik regresi nonlinier adalah berupa lengkungan. Untuk mempelajari peubah

respon (Y) berdasarkan peubah lain (X), apabila ada alasan atau dugaan kuat bahwa

antara Y dan X terdapat pertautan, maka dapat menggunakan teknik regresi dan

korelasi yang bentuk liner. Regresi tersebut dibatasi pada bentuk liner Ŷ= a + bX

yang perlu diuji dahulu mengenai bentuk dan keberartiannya sebelum digunakan

untuk mengambil kesimpulan.

Untuk mencari regresi Y atas X yang bentuknya nonlinier atau lengkung,

beberapa di antaranya adalah:

a. Parabola atau polinom pangkat dua

2

ˆ _{a bX cX}

Y = + +

b. Parabola kubik atau polinom pangkat tiga

3 2

ˆ _{a bX cX dX}

Y = + + +

c. Polinom pangkat k (k ≥ 2)

k kX

a X

a X a X a a

Yˆ = + + + 3 3 +...+

2 2 1 0

d. Eksponen

X ab Yˆ =

e. Eksponen (khusus) atau pertumbuhan

bX ae Yˆ =

f. Geometrik

b aX Yˆ = g. Logistik

X

h. Hiperbola

bX a Yˆ =

Regresi-regresi model (d), (e), (f), (g), dan (h) dapat diselasaikan dengan

menggunakan teknik regresi linier sederhana dan korelasi karena dengan transformasi

yang cocok, bentuk-bentuk tersebut dapat menjadi linier. Transformasi yang

digunakan adalah logaritma, sehingga:

bentuk (d) menjadi:

b X a

Yˆ log log

log = + ,

yang linier dalam X dan log Y

bentuk (e) menjadi:

bX a Yˆ =ln +

ln , yang linier dalam X dan ln Y,

(ln adalah logaritma dengan bilangan pokok e)

bentuk (f) menjadi:

X b a

Yˆ log log

log = + ,

yang linier dalam log X dan log Y

bentuk (g) menjadi:

b X a

Yˆ log log

log =− − ,

yang linier dalam X dan log Y

bentuk (h) menjadi:

X b

a

Yˆ log log log

log = − −

yang linier dalam log X dan log Y

Dengan teknik yang dijelaskan dalam regresi linier sederhana dan korelasi

dalam regresi linier sederhana, koefisien-koefisien a dan b melalui log a dan log b

dapat ditentukan. Dalam pelaksanaannya harus bekerja dengan data dari X dan Y

Regresi-regresi bentuk (a) dan (b) merupakan hal khusus dari bentuk (c)

masing-masing untuk k = 2 dan k = 3. Bentuk-bentuk ini tidak dapat dibuat linier

seperti untuk (d), (e), (f) dan (g).

2.1.3.1 Model Eksponen

Perkiraan untuk model ini, yang persamaannya:

X

ab

Y

ˆ

=

(2.12)

Keterangan:

Y = variabel tak bebas

X = variabel bebas

a, b = konstanta atau penduga

ternyata dapat dikembalikan kepada model linier yang diambil logaritmanya, dalam

logaritma persamaannya menjadi :

X b a

Yˆ log (log )

log = + (2.13)

diambil Ŷ = log Ŷ, a´= log a dan b´ = log b, diperoleh model:

X b a Yˆ = ′+ ′

a´ dan b´ dapat dihitung dan selanjutnya karena a´ = log a dan b´ = log b, a dan b

juga dapat dihitung. Langsung di dalam logaritma, a dan b dapat dicari dari rumus:

(

)

_

  

   −

=

∑

∑

a X b a

Y

a log i log i

log

(2.14)

(

) (

)(

)

(

)

∑

∑

∑

∑

∑

− −

= ₂

2

log log

log

i i

i i

i i

X X

n

Y X

Model eksponen dalam rumus (2.12) sering pula disebut model pertumbuhan

karena sering banyak digunakan dalam menganalisis data sebagai hasil pengamatan

mengenai fenomena yang sifatnya tumbuh.

Dalam hal ini model persamaannya menjadi:

bX

ae

Y

ˆ

=

(2.15)

Keterangan:

Ŷ = variabel tak bebas

X = variabel bebas

a, = konstanta atau penduga b

e = bilangan pokok logaritma asli atau logaritma Napier

harganya hingga empat empat desimal adalah e = 2,7183…..

sekarang harus diambil logaritma Napier dan bukan logaritma biasa. Persamaannya

(2.15) sekarang menjadi:

bX a Yˆ =ln +

ln (2.16)

Ini linier dalam X dan lnY sehingga a dan b dapat dicari seperti biasa.

Daftar logaritma Napier tidak tersedia, dapat digunakan daftar logaritma biasa,

persamaan (2.16) dalam rumus menjadi:

bX a

Yˆ log 0,4343

log = + (2.17)

Dalam subbab 2.1.2 telah dibahas seperlunya regresi linier ganda dengan k buah

(k ≥ 2) variabel bebas X1, X2,…...,Xk, diregresikan terhadap variabel respon Y dalam

bentuk linier ganda yang ditaksir berbentuk:

k kX

b X

b X b b

Yˆ = ₀ + _{1 1} + _{2 2} +....+

Keterangan:

Y = variabel tak bebas

X₁,X₂,....X_k = variabel bebas

b₀,b₁,b₂,....b_k = parameter regresi

Jika hanya ada dua variabel bebas X1 dan X2, maka regresinya terhadap Y dalam

bentuk kuadratik adalah:

2 2 5 2 1 4 2 1 3 2 2 1 1

0 .

ˆ _{b b X b X b X X b X b X}

Y = + + + + +

Suatu regresi yang dinamakan regresi nonlinier ganda, tepatnya regresi kuadratik

ganda.

Dengan meninjau sepintas tentang regresi nonlinier ganda bersifat

multiplikatif. Model multiplikatif yang paling sederhana untuk dua variabel bebas X1

dan X2 misalnya adalah:

C b

X aX

Yˆ = _{1 2}

Keterangan:

Y = variabel tak bebas

X = variabel bebas

a,b,c = konstanta atau penduga

Sebagai taksiran terhadap model regresi dalam populasinya. Pada dasarnya, model

nonlinier ini dapat dikembalikan pada model linier dengan jalan mengambil logaritma

ke dua ruas persamaan. Hasilnya menjadi:

2

1 log

log log

ˆ

logY = a+b X +c X

Berbentuk model linier ganda dalam log X1, logX2 dan log Y.

Model eksponen untuk regresi nonlinier ganda dengan dua variabel bebas,

diambil:

2 2 1 1 0

ˆ

b bX b X

e

Y

=

+ +

Keterangan:

Y = variabel tak bebas

X₁,X₂ = variabel bebas

b₀,b₁,b₂ = parameter regresi

Dapat dikembalikan pada bentuk linier ganda dengan mengambil logaritma asli (ln)

pada ke dua ruas persamaan. Bentuknya menjadi:

2 2 1 1 0

ˆ

lnY =b +b X +b X

Selanjutnya diselesaikan dengan cara regresi linier ganda menggunakan variabel

bebas aslinya sedangkan variabel dependennya dalam bentuk logaritma asli dari

variabel Y, ialah ln Y.

Model lain yang juga non linier ganda untuk dua prediktor tetapi dapat

dikembalikan pada bentuk linier ganda adalah model kebalikan, berbentuk:

2 2 1 1 0

1 ˆ

X b X b b Y

+ +

Keterangan:

Y = variabel tak bebas

X₁,X₂ = variabel bebas

b₀,b₁,b₂ = parameter regresi

Dengan mengambil kebalikan ke dua ruas persamaan ini, kita peroleh:

2 2 1 1 0

ˆ 1

X b X b b

Y = + +

Linier dalam X1, X2 dan 1/Y. Ini berarti model dapat diselesaikan dengan cara seperti

menyelesaikan regresi linier ganda menggunakan data asli X1 dan X2 dan variabel

dependennya bukan Y tetapi 1/Y.

Tentu saja masih ada model lain yang non linier ganda dan juga model-model

tersebut dapat diperluas untuk tiga, empat, dan seterusnya variabel bebas.

Penyelesaiannya, diusahakan dikembalikan pada bentuk linier ganda dengan

menggunakan transformasi yang sesuai.

2.2 Metode Kuadrat Terkecil

Metode kuadrat terkecil, yang lebih kenal dengan nama least-squares method adalah

salah satu metode pendekatan yang paling penting dalam dunia keteknikan untuk:

a) Regresi ataupun pembentukan persamaan dari titik-titik data diskretnya (dalam

pemodelan)

b) Analisis sesatan pengukuran (dalam validasi model)

Metode kuadrat terkecil termasuk dalam keluarga metode-metode pendekatan

sesatan terdistribusi (“distributed error” approximation methods), berdasarkan

karekteristik kerjanya yang melakukan pengurangan sesatan menyeluruh (global error)

interval) sesuai dengan order pendekatan yang meningkat. Metode ini berbeda dengan

metode-metode asimptotis, khususnya yang dikembangkan melalui pendekatan deret

‘Taylor’, karena metode asimptotis memiliki karekteristik kerja yang memperkecil

sesatan pada beberapa titik tertentu, sesuai dengan order pendekatan yang meningkat.

Metode kuadrat terkecil ini juga memainkan peranan penting dalam teori

statistik, karena metode ini seringkali digunakan dalam penyelesaian

problem-problem yang melibatkan kumpulan data yang tersusun secara acak, seperti

sesatan-sesatan percobaan.

Andi Supangat (2008) Metode Ordinary Least Square (OLS) atau sering juga

dikatakan sebagai metode kuadrat terkecil (least square) pada dasarnya merupakan

anggapan-anggapan tertentu, anggapan-anggapan pada metode kuadrat terkecil adalah

dimaksudkan sebagai pembentukan model Normal Hesse, yang digunakan untuk

menentukan perhitungan besaran intercept dan koefisiensi regresi sampel atau besaran

a dan b pada model regresi linier y = a + bx. Begitu pun tentunya pada model-model

regresi lainnya, seperti pada model linier multiple, model kudaratis, model semi,

model eksponensial.

Metode kuadrat terkecil selain untuk menentukan nilai-nilai intercept dan

koefisien regresi, juga berguna untuk membuat pendugaan interval serta menguji

hipotesis regresi populasi. Berikut diungkapkan beberapa anggapan penting metode

kuadrat terkecil, di antaranya:

a. Nilai rata-rata dari tingkat kesalahan (error) atau nilai ekspektasi (expected value)

dari setiap nilai x sama dengan nol. Anggapan ini dinyatakan seperti pada Gambar

2.5, bahwa untuk setiap x, misalkan x1, x2, dan x3 terdapat beberapa nilai y. nilai Y

tersebut terdapat di bawah dan di atas garis regesi, namun nilai rata-rata dari y

berada di titik tengah, yaitu pada garis regresi. Karena kurva bersifat simentris,

maka nilai di bawah garis regresi sama dengan nilai di atas regresi, sehingga nilai

[image:35.595.144.470.92.282.2]

Gambar 2.2 Nilai rata-rata dari tingkat kesalahan (error) atau nilai ekspektasi (expected value) dari setiap nilai x sama dengan nol

b. Nilai error dari Ei dan Ej dikatakan sebagai covarian yang saling independent

(tidak berhubungan), dan oleh karena antara Ei dan Ej tidak ada hubungan, maka

dapat diartikan bahwa nilai cov (Ei , Ej) = 0, dimana i ≠ j. berdasarkan uraian di

atas, dalam setiap nilai xi akan didapati tingkat kesalahan (error) sebesar Ei

demikian pun halnya dengan nilai xj akan didapati tingkat kesalahan (error)

sebesar Ej.

c. Varians (σ2_{) dari error bernilai: Var}

(

) (

)

2 2

/ _j = _i − _j =σ i E Ee e

E . Perhatikan pada

gambar sebelumnya, nilai Ei ( yang dilambangkan dengan tanda titik) untuk setiap

x yaitu x1, x2, dan x3 tersebar secara tetap sebesar nilai variannya (σ2). Nilai E

terbesar di bawah kurva normal sejauh satu standar deviasi dibawah garis reegresi

dan satu standar deviasi di atas garis regresinya.

d. Variabel bebas x tidak berhubungan dengan besarnya nilai E (error), untuk

kenyataan ini di tuliskan sebagai Covarian atau Cov(Ei , xi ) = 0 . dengan demikian

model regresinya ditulis: yˆ=a + b xi + ei , terlihat dari model tersebut bahwa nilai

xi dan Ei secara nyata tidak saling mempengaruhi, namun demikian kedua variabel

tersebut mempengaruhi variabel y. seandainya antara variabel xi dan variabel Ei

saling mempengaruhi, maka pengaruh masing-masing variabel tersebut tidak akan

yang mempengaruhi y selain x adalah faktor e, maka oleh karenanya variansi dari

Ei dan xi saling terpisah atau tidak berhubungan (tidak berkorelasi).

e. Anggapan-anggapan tersebut sangat penting artinya dalam melakukan analisis

regresi, sebab apabila anggapan-anggapan tersebut dapat dipenuhi, maka

nilai-nilai penduga yaitu a dan b (untuk model regresi linier sederhana), nilai-nilai-nilai-nilai a0, a1,

a2 (untuk model regresi linier multiple yˆ= a0 + a1x1 + a2 x2+ ε) ataupun nilai-nilai

intercept dan koefisien regresi pada model lainnya akan mempunyai sifat-sifat

seperti berikut: Tidak bias, memiliki variansi yang minimum, hasil perhitungan

(pendugaan) dapat representatif terhadap parameter populasinya walaupun

jumlah sampelnya diperbesar, memiliki nilai intercept dan koefisien regresi yang

berdistribusi normal dengan dengan nilai rata-rata harapan dari pendugaan

sampel E (a) = A dan variansi (a) = σ2a. dan nilai rata-rata harapan dari

pendugaan sampel E (b) = B dan variansi (b) = σ2b.

f. Secara umum metode kuadrat terkecil, ditulis dalam bentuk Normal Hesse, yaitu:

Untuk Model Regresi Linier Sederhana yˆ=a + bx+ e

Persamaan Normal Hesse-nya:

∑

y=na+b

∑

x……….1)

∑

=

∑

+

∑

2

x b x a

y …………..2)

2.2.1 Persoalan Estimasi Metode Kuadrat Terkecil dalam Model Eksponen Berganda

Metode kuadrat terkecil dapat digunakan untuk memperkirakan koefisien regresi

dalam regresi linier berganda. Merupakan metode yang paling populer dan sangat

berpengaruh dalam analisis garis regresi. Untuk memperkirakan parameter– parameter

k

β β

β₀, ₁,...., dapat digunakan metode kuadrat terkecil sehingga jumlah kuadrat dari

Hines dan Montgomery (1990) menjelaskan bahwa fungsi kuadrat terkecil adalah: 2 1 1 0 1

2

∑

∑

∑

= = =      − − = = n i n j ij j i n i

i Y X

L ε β β (2.18)

Fungsi L tersebut dioptimumkan terhadap β₀,β₁,....,β_k. Estimator kuadrat

terkecilβ₀,β₁,....,β_k merupakan syarat mutlak harus memenuhi:

0 ˆ ˆ 2 1 1 0 ˆ ˆ ˆ ' 0 0, 1,....

=       − − − = ∂ ∂

∑

∑

= = n i k j ij j i X Y L

k β β

β β β β

dan (2.19)

0 ˆ ˆ 2 1 1 0 ˆ ˆ ˆ

' 0, 1,....  =

     − − − = ∂ ∂

∑

∑

= = ij

n i k j ij j i j X X Y L

k β β

β β β β j = 1, 2,….,k

Penyerdehanaan Persamaan (2.19), diperoleh persamaan-persamaan normal kuadrat

terkecil:

∑

∑

∑

∑

= = = = = + + + + n i i n i ik k n i i n i

i X X Y

X n 1 1 1 2 2 1 1 1

0 ˆ ˆ .... ˆ

ˆ _{β β β} β

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = + + + + n i i i n i ik i k n i i i n i i n i

i X X X X X X Y

X 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1

0 ˆ ˆ .... ˆ

ˆ _{β β β}

β (2.20)

    

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = + + + + n i i ik n i ik k n i i ik i n i ik n i

ik X X X X X X Y

X 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1

0 ˆ ˆ .... ˆ

ˆ _{β β β}

β

Berdasarkan estimasi pada persamaan (2.20) dalam regresi linier ganda dengan

metode kuadrat terkecil, dapat diperoleh rumus estimasi regresi nonlinier ganda untuk

model eksponen dengan metode kuadrat terkecil sebagai berikut:

dengan memisalkan:

∑

Y_i =

∑

lnY_i

∑

X_i2y =

∑

X12lnY_i

bentuk persamaan-persamaan normal kuadrat terkecil yang digunakan untuk model

eksponen berganda adalah:

∑

∑

∑

∑

= = = = = + + + + n i i n i ik k n i i n i

i X X Y

X n 1 1 1 2 2 1 1 1

0 ˆ ˆ .... ˆ ln

ˆ _{β β β} β

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = + + + + n i i i n i ik i k n i i i n i i n i

i X X X X X X Y

X 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1

0 ˆ ˆ .... ˆ ln

ˆ _{β β β}

β (2.21)

    

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = + + + + n i i ik n i ik k n i i ik i n i ik n i

ik X X X X X X Y

X 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1

0 ˆ ˆ .... ˆ ln

ˆ _{β β β}

β

Keterangan:

ln Yi = variabel dependen dalam bentuk logaritma asli dari variabel Y.

Ada p = k + 1 persamaan normal, satu untuk setiap koefisien regresi yang tidak

diketahui. Penyelesaian untuk persamaan normal menjadi estimator-estimator kuadrat

terkecil dari koefisien-koefisien regresi βˆ0,βˆ1,....,βˆk

2.2.2 Metode Matriks

Matriks didefinisikan sebagai suatu himpunan angka, variabel atau parameter dalam

bentuk suatu persegi panjang, yang tersusun di dalam baris dan kolom. Pada

umumnya, matriks di notasikan dalam huruf besar sedangkan elemen-elemennya

dalam hurup kecil, sebagai berikut:

di mana:

A = Matriks A

[ ] atau ( ) = Notasi matriks

adalah elemen dari matriks A, dimana menyatakan baris dan menyatakan

kolom. Misalnya: adalah elemen dari matriks A yang terletak pada baris ke-1 dan

kolom ke-1. (PUDJIASTUTI,2006)

Jenis-jenis matriks adalah sebagai berikut:

1. Matriks diagonal

Adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar elemen

diagonal utama sama dengan nol, dan paling tidak satu elemen pada diagonal

utamanya tidak sama dengan nol.

2. Matriks identitas

Adalah suatu matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di luar diagonal

utamanya sama dengan nol, dan semua elemen pada diagonal utama sama

dengan satu. Matriks identitas yang berorde n biasanya diberi simbol In

3. Matriks segitiga atas

Adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di bawah diagonal utama

bernilai nol. Jadi yang tidak sama dengan nol adalah elemen-elemen pada

segitiga atasnya dan paling tidak satu elemen pada diagonal utama tidak sama

dengan nol.

4. Matriks segitiga bawah

Adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di atas diagonal utama

bernilai nol. Jadi yang tidak sama dengan nol adalah elemen-elemen pada

segitiga bawahnya dan paling tidak satu elemen pada diagonal utama tidak

sama dengan nol.

5. Matriks nol

Adalah suatu matriks yang semua elemnya bernilai nol. Matriks ini biasanya

diberi simbol O dan bentuknya tidak selalu bujur sangkar.

Adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris. Matriks ini sering disebut

dengan vektor baris.

7. Matriks kolom

Adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom. Matriks ini sering disebut

dengan vektor kolom.

8. Matriks simetris

Adalah suatu matriks bujur sangkar yang memiliki , sehingga

transposenya sama dengan matriks semula.

2.2.2.1 Tranpose suatu matrik

Tranpose suatu matriks adalah merubah ordo suatu matriks dari x menjadi x .

Jika atau adalah transpose dari matriks , maka baris pada matriks menjadi

kolom pada matriks dan sebaliknya kolom pada matriks menjadi baris pada

matriks .

2.2.2.2 Determinan

Determinan adalah suatu skalar (angka) yang diperoleh dari suatu matriks bujur

sangkar selalui operasi khusus. Disebut operasi khusus karena dalam proses

penurunan determinan dilakukan perkalian-perkalian. Determinan dinotasikan dengan

tanda | |

2.2.2.3 Invers Matriks

Invers matriks sering disebut dengan matriks kebalikan. Biasanya dituliskan sebagai

berikut: jika A adalah suatu matriks bujur sangkar maka merupakan inverst

2.2.3 Persoalan Metode Matriks dalam Model Eksponen Berganda

Dengan menggunakan persamaan matriks

(2.22)

Persamaan regresi dugaan dinyatakan dengan persamaan

(2.23)

Dengan

(2.24)

Metode kuadrat terkecil merupakan suatu metode untuk mendapatkan

nilai-nilai vektor dengan meminimumkan adalah sebagai berikut:

(2.25)

Langkah-langkah untuk menentukan nilai koefisien dari parameter pada

regresi linier berganda adalah sebagai berikut:

Langkah 1

(2.26)

Langkah 2

Menghitung nilai determinan matrik dengan cara sebagai berikut:

(2.27)

Langkah 3

Mencari Adjoint matriks , di mana:

(2.28)

Langkah 4

Mencari invers matriks dengan cara sebagai berikut:

(2.29)

Langkah 5

Mencari nilai matriks dengan cara sebagai berikut:

(2.30)

Sehingga untuk memperoleh nilai koefisien dari adalah dengan cara

sebagai berikut:

(2.31)

Bentuk model eksponen bergandanya menjadi:

dengan memisalkan:

∑

Y_i =

∑

lnY_i

∑

Xi1Y =

∑

Xi1lnYi

∑

X_i2Y =

∑

X₁₂lnY_i

Sehingga untuk memperoleh nilai koefisien dari adalah dengan cara

sebagai berikut:                 ′ =                

∑

∑

∑

∑

i ik i i i i i

k X Y

Y X Y X Y X X Adj D b b b b ln ln ln ln 1 2 1 2 1 0   (2.32) Keterangan:

BAB 3

PEMBAHASAN DAN HASIL

3.1 Pembahasan

Setiap data merupakan alat pengambilan keputusan untuk dasar pembuatan

keputusan-keputusan atau untuk memecahkan suatu persoalan. Keputusan yang baik dapat

dihasilkan dalam pengambilan keputusan tersebut didasarkan atas data yang baik.

Jumlah data yang akan dianalisis tergantung dari penentuan ukuran sampel yang

diambil.

Dalam regresi nonlinier, ada kalanya regresi yang didapat ternyata tidak linier,

baik dilihat secara kasat mata pada scatter diagram, ataupun setelah melalui tes

linieritas regresi. Kemudian untuk melakukan prediksi dengan garis yang nonlinier

yaitu dengan menggunakan model-model regresi nonlinier tetapi yang dapat diubah

modelnya menjadi regresi linier.

Selanjutnya data yang digunakan untuk analisis adalah data simulasi. Data

simulasi ini terdiri dari dua atau lebih variabel bebas (X) dan variabel tak bebas (Y).

data simulasi yang akan dianalisis memiliki jumlah sampel dan nilai parameter yang

[image:45.595.206.443.130.395.2]

Diberikan data hasil pengamatan berdasarkan data sebagai berikut:

Tabel 3.1 Penyajian Data

No Y X1 X2

1 2,6 2,1 3

2 2,8 4,2 2

3 3,2 5,3 6

4 3,7 7,0 4

5 3,0 6,4 6

6 2,7 4,8 3

7 3,4 7,2 5

8 2,9 5,6 3

9 3,1 6,2 5

10 2,9 5,0 5

11 3,0 6,3 3

12 4,2 8,1 6

13 3,8 7,9 4

Sumber: Sudjana (1996)

Sebelumnya akan dilihat apakah data pada Tabel 3.1 berbentuk linier atau non linier.

Berdasarkan penyajian data tabel 3.1 dapat dilihat Gambar 3.1 diagram pencar untuk

menduga apakah data tersebut berbentuk linier atau non linier.

[image:45.595.144.508.508.724.2]

Dari Gambar 3.1 terlihat bahwa bentuk grafiknya berupa lengkungan. Yang

berarti dengan demikian data pada Tabel 3.1 berbentuk non linier, Dalam analisa ini,

dari sekian banyak model regresi nonlinier untuk menyelesaikan dan mencari bentuk

persamaan regresi nonlinier, di sini akan digunakan model eksponen berganda dan

untuk memperkirakan parameter– parameter β₀,β₁,....,β_k dengan menggunakan

metode kuadrat terkecil.

Data tersebut membentuk sebuah sampel berukuran n = 13 yang melibatkan

dua prediktor X1 dan X2 dengan variabel dependen Y. Berdasarkan model eksponen

dalam logaritma menggunakan data asli X1 dan X2 tetapi data asli Y harus

ditransformasikan menjadi ln Y.

Dari analisa data dapat diperoleh data untuk menghitung regresi antara

variabel X1 , X2 dan ln Y dari Tabel 3.2 sebagai berikut:

Tabe 3.2 Nilai-nilai yang perlu untuk menghitung β0,β1,dan β2

Model eksponen

NO ln Y X1 X2 X12 X22 X1X2 X1lnY X2lnY

1 0,9555 2,1 3 4,41 9 6,3 2,0066 2,8665

2 1,0296 4,2 2 17,64 4 8,4 4,3244 2,0592

3 1,1632 5,3 6 28,09 36 31,8 6,1647 6,9789 4 1,3083 7,0 4 49,00 16 28,0 9,1583 5,2333 5 1,0986 6,4 6 40,96 36 38,4 7,0311 6,5917

6 0,9933 4,8 3 23,04 9 14,4 4,7676 2,9798

7 1,2238 7,2 5 51,84 25 36,0 8,8112 6,1189

8 1,0647 5,6 3 31,36 9 16,8 5,9624 3,1941

9 1,1314 6,2 5 38,44 25 31,0 7,0147 5,6570 10 1,0647 5,0 5 25,00 25 25,0 5,3236 5,3236 11 1,0986 6,3 3 39,69 9 18,9 6,9213 3,2958 12 1,4351 8,1 6 65,61 36 48,6 11,6242 8,6105 13 1,3350 7,9 4 62,41 16 31,6 10,5465 5,3400

∑

lnY =14,9018

∑

X1 =76,1

∑

X2 =55

49 , 477

2

1 =

∑

X

∑

X₂2 =255

∑

X₁X₂ =335,2 6567

, 89 ln

1 =

∑

X Y

∑

X2lnY =64,2481

Metode Estimasi yang digunakan dalam dalam penelitian ini adalah regresi nonlinier

ganda model eksponen dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, dengan

spesikasi model adalah:

2 2 1 1 0

ˆ

b b X b X

e

Y

=

+ + atau

Y

ˆ

=

e

β0+β1X1+β2X2 (3.1)

Dapat dikembalikan pada bentuk linier ganda dengan menjadi logaritma asli (ln) pada

ke dua ruas persamaan. Bentuknya menjadi:

2 2 1 1 0

ˆ

lnY =b +bX +b X atau lnYˆ =

β

₀ +

β

₁X₁+

β

₂X₂ (3.2)

3.2 Estimasi Parameter Menggunakan Metode Kuadrat Terkecil

Untuk mendapatkan model regresi parametrik khususnya regresi nonlinier ganda

model eksponen menggunakan metode kuadrat terkecil yaitu:

2 2 1 1 0

ˆ

X X

e

Y

=

β +β +β

Berdasarkan pada estimasi regresi linier berganda dengan metode kuadrat terkecil

diperoleh:

Bahwa fungsi kuadrat terkecil adalah:

2

1 1

0 1

2

∑

∑

∑

= =

= 

 

 

− − =

= n

i

n

j

ij j i

n

i

i Y X

Fungsi L tersebut dioptimumkan terhadap β₀,β₁,....,β_k. Estimator kuadrat

terkecilβ₀,β₁,....,β_k merupakan syarat mutlak harus memenuhi:

0 ˆ ˆ 2 1 1 0 ˆ ˆ ˆ ' 0 0, 1,....

=       − − − = ∂ ∂

∑

∑

= = n i k j ij j i X Y L k β β β β β β

dan (3.4)

0 ˆ ˆ 2 1 1 0 ˆ ˆ ˆ ' 0, 1,....

=       − − − = ∂ ∂

∑

∑

= = ij

n i k j ij j i j X X Y L k β β

β β β β j = 1, 2,….,k

Penyerdehanaan Persamaan (3.4), diperoleh persamaan-persamaan normal kuadrat

terkecil:

∑

∑

∑

∑

= = = = = + + + + n i i n i ik k n i i n i

i X X Y

X n 1 1 1 2 2 1 1 1

0 ˆ ˆ .... ˆ

ˆ _{β β β} β

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = + + + + n i i i n i ik i k n i i i n i i n i

i X X X X X X Y

X 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1

0 ˆ ˆ .... ˆ

ˆ _{β β β}

β (3.5)

    

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = + + + + n i i ik n i ik k n i i ik i n i ik n i

ik X X X X X X Y

X 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1

0 ˆ ˆ .... ˆ

ˆ _{β β β}

β

Berdasarkan estimasi pada persamaan (3.5) dalam regresi linier ganda dengan metode

kuadrat terkecil, dapat diperoleh rumus estimasi regresi nonlinier ganda untuk model

eksponen dengan metode kuadrat terkecil sebagai berikut:

dengan memisalkan:

∑

Y_i =

∑

lnY_i

∑

X_i1y =

∑

X_i1lnY_i

∑

X_i2y =

∑

X12lnY_i

bentuk persamaan-persamaan normal kuadrat terkecil yang digunakan untuk model

∑

∑

∑

∑

= = = = = + + + + n i i n i ik k n i i n i

i X X Y

X n 1 1 1 2 2 1 1 1

0 ˆ ˆ .... ˆ ln

ˆ _{β β β} β

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = + + + + n i i i n i ik i k n i i i n i i n i

i X X X X X X Y

X 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1

0 ˆ ˆ .... ˆ ln

ˆ _{β β β}

β (3.6)

    

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = + + + + n i i ik n i ik k n i i ik i n i ik n i

ik X X X X X X Y

X 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1

0 ˆ ˆ .... ˆ ln

ˆ _{β β β}

β

Nilai-nilai dalam Tabel 3.2 dimasukkan ke dalam persamaan (3.6) dengan n = 30,

diperoleh sistem persamaan- persoalan normal kuadrat terkecil:

(1)….. 14,9018 = 13 β₀ + 76,1 β₁ + 55 β₂

(2)….. 89,6567 = 76,1 β₀ + 477,49 β₁ + 335,2 β₂

(3)….. 64,2481 = 55 β₀ + 335,2 β₁ + 255 β₂

3.3 Menentukan Persamaan Model Eksponen Berganda dengan Menggunakan Matriks

Dengan menggunakan persamaan matriks

(3.7)

Persamaan regresi dugaan dinyatakan dengan persamaan

(3.8)

Dengan:

Metode kuadrat terkecil merupakan suatu metode untuk mendapatkan

nilai-nilai vektor dengan meminimumkan adalah sebagai berikut:

(3.10)

Langkah-langkah untuk menentukan nilai koefisien dari parameter pada

regresi linier berganda adalah sebagai berikut:

Langkah 1

Menghitung nilai matriks dengan cara sebagai berikut:

(3.11)

Langkah 2

Menghitung nilai determinan matrik dengan cara sebagai berikut:

(3.12)

Langkah 3

(3.14)

Langkah 4

Mencari invers matriks dengan cara sebagai berikut:

(3.15)

Langkah 5

Mencari nilai matriks dengan cara sebagai berikut:

(3.16)

Sehingga untuk memperoleh nilai koefisien dari adalah dengan cara

sebagai berikut:

Bentuk model eksponen bergandanya menjadi:

dengan memisalkan:

∑

Y_i =

∑

lnY_i

∑

Xi1Y =

∑

xi1lnYi

∑

X_i2Y =

∑

X₁₂lnY_i

Sehingga untuk memperoleh nilai koefisien dari adalah dengan cara

sebagai berikut:                 ′ =                

∑

∑

∑

∑

i ik i i i i i

k X Y

Y X Y X Y X X Adj D b b b b ln ln ln ln 1 2 1 2 1 0   (3.1) Keterangan:

ln Yi = variabel dependen dalam bentuk logaritma asli dari variabel Y.

diperoleh bentuk persamaan matriks X dan Y sebagai berikut:

Dengan data asli Y harus ditransformasikan menjadi ln Y. Dapat diperoleh bentuk

persamaan model eksponen berganda dalam matriks sebagai berikut:

Tahapan 1

Membentuk persamaan normal dari data dengan rumus (3.6) diperoleh hasil sebagai

berikut:

(1)….. 14,9018 = 13 β₀ + 76,1 β₁ + 55 β₂

(2)….. 89,6567 = 76,1 β₀ + 477,49 β₁ + 335,2 β₂

(3)….. 64,2481 = 55 β₀ + 335,2 β₁ + 255 β₂

Tahapan 2

Menentukan nilai matrik dengan meggunakan rumus (3.11), maka diperoleh hasil

sebagai berikut:           = ′ 4 2 3 9 , 7 2 , 4 1 , 2 1 1 1    X X             4 9 , 7 1 2 2 , 4 1 3 1 , 2 1              = ′ 255 2 , 335 55 2 , 335 49 , 477 1 , 76 55 1 , 76 13 X X Tahapan 3

Kemudian dicari nilai determinan dari matriks , dengan rumus (3.12) sehingga di

peroleh hasil sebagai berikut:

      +       −       = 2 , 335 55 49 , 477 1 , 76 55 255 55 2 , 335 1 , 76 1 , 76 255 2 , 335 2 , 335 49 , 477 13 D

= 122.211,83 – 73.778,95 + (- 41.427,65)

Tahapan 4

Kemudian dicari Adjoint matriks dari dengan menggunakan rumus (3.14)

sehingga diperoleh sebagai berikut:

Adj           − − − − − − = ′ 16 , 416 1 , 172 23 , 753 1 , 172 290 5 , 969 23 , 753 5 , 969 91 , 9400 X X Tahapan 5

Invers matriks dari dengan menggunakan rumus (3.15) adalah sebagai berikut :

23 , 7005

1 )

(X′X −1 =

          − − − − − − 16 , 416 1 , 172 23 , 753 1 , 172 290 5 , 969 23 , 753 5 , 969 91 , 9400 Sehingga inversnya:           − − − − − − = ′ − 059407 , 0 024567 , 0 107520 , 0 024567 , 0 041398 , 0 138397 , 0 107524 , 0 138397 , 0 341984 , 1 )

(XX 1

Tahapan 6

Dengan menggunakan persamaan pada rumus (3.16) diperoleh hasil sebagai berikut:

          = ′ 2481 , 64 6567 , 89 9018 , 14 Y X

Sehingga nilai koefisien dan dapat diperoleh dengan menggunakan

rumus (3.18) yang hasilnya diperoleh sebagai berikut:

                    − − − − − − =           − 2481 , 64 6567 , 89 9018 , 14 059407 , 0 024560 , 0 107524 , 0 024560 , 0 041398 , 0 138397 , 0 107524 , 0 138397 , 0 341984 , 1 1 2 1 0 b b b           =           0119 , 0 0707 , 0 6821 , 0 2 1 0 b b b

Berarti b₀= 0,6821, b₁ = 0,0707, dan b₂ = 0,0119

Model eksponen untuk regresi nonlinier ganda yang diperoleh adalah:

2 2 1 1 0

ˆ

b b X b X

e

Y

=

+ +

2 1 0,0119

0707 , 0 6821 , 0

ˆ

X X

e

Y

=

+ +

Dalam logaritma Napier, bentuknya menjadi