PENCOCOKAN DATA DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL (Least Square Fitting)

PENCOCOKAN DATA DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL (Least Square Fitting)

Salah satu jenis eksperimen yang umum dan menarik adalah yang berkaitan dengan pengukuran beberapa hasil ukur dari dua variabel fisis yang berbeda. Data yang diperoleh digunakan untuk menyelidiki hubungan (persamaan) matematis dari dua variabel tersebut. Ilustrasi berikut memperlihatkan titik-titik data yang diperoleh diplot dalam bentuk grafik. Titik-titik data tersebut jika dihubungkan dengan garis akan membentuk suatu fungsi y = f(x).

Ilustrasi di atas memperlihatkan bahwa y = f(x) secara teori dapat diketahui, tetapi terdapat perbedaan antara nilai eksperimen yi dengan nilai teori y(xi) sebesar yi – y(xi).

Jika data yang dihasilkan cocok dengan teori, maka yi – y(xi) → 0.

Pada N buah titik data terdapat simpangan masing-masing sebesar: d1 = y1 – y(x1)

Tetapi :

*) Untuk mengumpulkan seluruh titik data tadi tidak dapat dilakukan dengan menguji deviasi titik demi titik.

*)

∑

= n i i d 1

, juga tidak dapat dipakai sebagai kriteria kecocokan

Sehingga untuk mengetahui perbedaan antara seluruh hasil eksperimen dengan teori, diusahakan dengan cara berikut:

Kebolehjadian menemukan titik yi, diketahui sebesar ( ) 2 2 1 2 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = i i i S x y y i e S P π

kebolehjadian menemukan set data (N buah) yang bernilai y1 , y2 , …. adalah

Ptitik = P1 , P2 , P3 ….PN = ( ) ∑ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − =

∏

∏

2 2 1 1 2 1 S x y y N i i i i i e S P π

jika yi cocok dengan y(xi) untuk seluruh N data maka PTOT akan maksimal, yang akan

dipenuhi jika:

χ

2 ₌

( )

2

∑

⎜⎜_⎝⎛ − ⎟⎟_⎠⎞ i i i S x y y minimal, yaitu 0 2 = ∂ ∂ y x

Metode pencocokan ini dinamakan metode Least Square Fitting (metode kuadrat terkecil).

PENCOCOKAN DATA TERHADAP FUNGSI GARIS LURUS DENGAN LEAST SQUARE FITTING (Linear Regresi)

Fungsi matematik yang mungkin paling populer atau paling penting digunakan dalam eksperimen fisika adalah persamaan garis lurus y = a + bx. Persamaan garis lurus sangat sederhana sehingga mudah ditafsirkan secara fisis. Persamaan ini juga mudah digunakan sebagai alat dalam analisa hasil eksperimen untuk menentukan nilai tetapan atau variabel fisika yang menjadi tujuan eksperimen. Dengan menggunakan metode pencocokan data menggunakan Least Square Fitting yang diterapkan dalam persamaan garis lurus, maka akan dapat ditetapkan nilai-nilai parameter persamaan garis lurus yaitu a dan b tanpa perlu menggunakan grafik.

Contoh sistem fisis yang secara eksperimen dapat diamati dengan persamaan garis lurus adalah eksperimen untuk menentukan tetapan serapan suatu bahan (misal secara optis).

Pada sistem fisis di atas, cahaya dengan intensitas awal I0 yang melewati medium akan

mengalami serapan sebesar I(x). Persamaan serapan di atas adalah

x

e I x

I( )= ₀ −μ

persamaan ini harus diubah menjadi bentuk persamaan linear dengan langkah sebagai berikut: ln

( )

x I x I _=−μ 0 ln I(x) = ln Io - μ x

bentuk terakhir ini sudah sebanding dengan persamaan garis lurus y = a + bx, dimana x = variable tak gayut (bebas) dan y = variable gayut (tak bebas). Sehingga dengan memvariasi tebal medium akan dapat diperoleh tetapan μ dari besar gradien garis lurus b.

Suatu persamaan garis lurus berupa y = a + bx, a dan b diatur agar PTotal =

maksimum.

Untuk melakukan regresi atau pencocokan data terhadap fungsi garis lurus maka persamaan garis lurus dimasukkan kedalam fungsi y(x) dan harus memenuhi persamaan least square fitting yaitu:

χ2 ₌

( )

_→ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −

∑

2 i i i S x y y minimum,

dimana yi , xi adalah titik data dan y(xi) adalah fungsi yang dicari. Sehingga diperoleh

χ2 ₌

(

)

2

∑

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + Si bx a y_{i i} → min

Penyelesaian persamaan di atas dapat dibedakan untuk dua kasus yaitu:

a. Jika Si = S2 = Si = S (Ketakpastiannya sama), maka penyelesaiannya adalah 0 2 = ∂ ∂ a χ _dan 2 ₀ = ∂ ∂ b χ _{, dimana}

₍

₍

₎

₎

2 1 2 2 1

∑

= + − = N i i i a bx y S χ Maka =

∑

(

−

(

+

)( )

−

)

= ∂ ∂ 0 1 2 2 i i a bx y a χ

∑

yi−

∑

a−b

∑

xi =0 Na+

(

∑

xi

)

b=

∑

yi dan =

∑

(

−

(

+

)( )

−

)

= ∂ ∂ 0 2 2 i i i a bx x y b χ −

∑

+

∑

+

∑

2 =0 i i i ix a x b x y

(

∑

xi

)

a+

(

∑

xi

)

b=

∑

yixi 2

Persamaan-persamaan diatas dapat diturunkan menjadi

(

_∑

)

=

_∑

+ xi b yi Na ( ) a₁x+b₁y=c₁

(

_∑

xi

)

a+

(

_∑

xi

)

b=

_∑

(

xiyi

)

2 2 2 2x b y c a + =

Penyelesaian di atas untuk x diperoleh

2 2 1 1 2 2 1 1 b a b a b c b c x= yang menghasilkan

(

)

(

)

₍

_{) (}

₎₍

₎

(

)

2 2 2 2 2 1 1

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

− − = = i i i i i i i i i i i i i x x N y x x y x x x x N x y x x y a

Penyelesaian untuk y diperoleh 2 2 1 1 2 2 1 1 b a b a c a c a y= dan menghasilkan

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

2 2 2

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

− − = = i i i i i i i i i i i i i x x N y x y x N x x x N y x x y N b Maka diperoleh:

(

)

2 2

∑

∑

− = Δ N x_i x_i

(

_∑

_∑

−

_∑

_∑

)

Δ = x yi xi xiyi a 1 ₁2

(

)(

)

(

_∑

−

_∑

_∑

)

Δ = N x_iy_i x_i y_i b 1

Bagaimana dengan ketidakpastian masing-masing besaran diatas (Sa dan Sb)?, lihat

langkah-langkah berikut dibawah ini:

∑

⎜⎜_⎝⎛_∂∂ ⎟⎟_⎠⎞ = + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ± → = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 _.... ) ( S y f S S y f S y f S S y y f a i a i a i i a =ƒ(yi) diturunkan terhadap y :

(

)

(

_∑

−

_∑

)

Δ = ∂ ∂ = ∂ ∂ i i i i x x x y a y f 1 . 1 2 1

(

)

(

2

)

2 2 1 2 2 1 S x x x S _{i i i} N i a =

∑

_Δ

∑

−

∑

=

∑

∑

(

∑

)

(

∑

)

(

∑

)

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ = i i i i i i i i x x x x x x S 2 2 2 2 2 2 2 2

(

)

( )

(

)

(

)(

)

(

∑

+

∑

∑

−

∑

∑

∑

)

Δ = i i i i i a N x x x x x x S S ₂ 2 2 2 2 2 2 2 2

(

)

(

)

(

∑

2

∑

2

∑

)

2 S

=

(

(

)

)

4 4 4 3 4 4 4 2 1

Δ

∑

∑

∑

₋ Δ 2 2 2 2 2 i i i x x N x S Δ =

∑

2 2 2 i a x S S

Serta untuk Sb diperoleh

... 2 2 2 2 2 ₊ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = y b S y b S i b =

∑

= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ N i i i S y b 1 2 2

(

)

[

.1

]

1 ₋

_∑

Δ = ∂ ∂ i i i x Nx y b dengan demikian Sb2 :

(

)

(

)

∑

−

∑

Δ = 2 2 2 2 1 _{Nx x .1 S} Sb _{i i} = 2 2 2 2 2 ₂ 1 S x Nx x x N i i i i i i i

∑

∑

∑

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Δ =

[

2 2

(

)

2

(

)(

)

]

2 2 2 1 S x x N x N x N

∑

_i +

∑

_i −

∑

_i

∑

_i Δ =

[

2 2

(

)

2

]

2 2

∑

∑

− Δ N xi N xi S

(

)

(

44474448

)

6 Δ − Δ =

∑

2

∑

2 2 2 2 i i x x N NS Sb Δ = 2 2 NS Sb

Nilai S pada rumus Sa dan Sb pada dasarnya adalah sama dengan Sy. Jika nilai Sy tidak

diketahui tetapi dapat diperkirakan bahwa besarnya adalah sama (umumnya bersumber dari alat ukur yang sama dan skala yang digunakan juga sama), maka nilai S dapat ditentukan sebagai:

(

)

∑

− − − = 2 2 2 1 i i a bx y N S

b. Jika S1 ≠ S2 ≠ …….≠ Si (ralat tidak sama), maka dengan penurunan yang sama diperoleh

(

)

_minimum 2 2 2 ₌

∑

− + _→ i i i S bx a y χ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − Δ = → = ∂ ∂

_∑

_∑

_∑

_∑

2 2 2 2 2 2 2 ₁ 0 i i i i i i i i i S y x S x S y S x a a x dan Sa = 2 2 2 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ

∑

S_ii x ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − Δ = → = ∂ ∂

∑

∑

∑

∑

2 2 2 2 2 2 _{1 1} 0 i i i i i i i i S y S x S y x S b a x dan Sb = 2 2 1 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ

∑

Si dengan 2 2 2 2 2 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = Δ

∑

∑

∑

i i i i i S x S x S

KOEFISIEN KORELASI LINEARITAS

Parameter persamaan garis lurus a±Sa dan b±Sb dapat ditentukan dengan metode

least square fitting sebagaimana telah dijelaskan sebelumnya, tanpa perlu ”melihat” grafik yang dihasilkan. Hal ini terkadang merugikan karena kita tidak dapat memutuskan apakah data yang diperoleh cukup baik atau tidak. Kata ”baik” di sini tentu saja mengandung maksud bahwa data yang diperoleh jika diplot dalam bentuk grafik akan memperlihatkan bentuk garis lurus (gambar 6). Sementara data yang ”tidak baik” akan tersebar sehingga tidak terlihat sesuai dengan persamaaan garis lurus (gambar 7).

Gambar 6 Gambar 7

sebagai korelasi linearitas. Korelasi linearitas dari data yang diperoleh adalah baik atau tidak, dapat diketahui dengan menghitung nilai koefisien korelasi limearis r menggunakan rumus

(

)

[

₂ 2

]

12

[

₂

(

)

2

]

12

∑

∑

∑

∑

∑ ∑

∑

− − − = i i i i i i i i y y N x x N y x y x N r

Jika nilai r semakin mendekati nilai 0 maka antara variabel x dan variabel y semakin tak terkolerasi linear. Sebaliknya jika Jika nilai r semakin mendekati ± 1 maka antara variabel x dan variabel y semakin terkolerasi secara linear.

CONTOH SOAL:

1. Suatu percobaan temperatur gas ideal bervolume konstan ditentukan oleh persamaan T = a + bP

Dimana T = suhu, P = tekanan dan a,b = tetapan. Jika diperoleh data hasil pengukuran adalah sebagai berikut :

P ± 0,2 (mmHg) 55,0 75,0 85,0 95,0 105,0 T ± 0,5 (°C) -20,0 17,0 42,0 94,0 127,0

• Tentukan nilai a dan b beserta ketakpastiannya!

• Bagaimana data hasil eksperimen tersebut, baik atau tidak?

2. Dilakukan eksperimen pegas berdasarkan hukum Hooke F = KΔx. Jika pegas digantung ke bawah dengan panjang awal pegas l0 dan diperoleh data sebagai berikut:

(m ± 0,5) gr 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 (l ± 0,1) cm 5,9 6,8 7,4 7,5 8,6

(a) Tentukan nilai koefisien pegas k dan panjang awal pegas l0 beserta ketakpastiannya!

(b) Apakah data eksperimen di atas cukup baik? Mengapa? Gunakan tetapan percepatan gravitasi bumi g sebesar 9,8 ms-2.