1035
Metode Estimasi Kemungkinan Maksimum
dan Kuadrat Terkecil Tergeneralisasi
pada Analisis Pemodelan Persamaan Struktural
Dian Agustina
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Bengkulu, Indonesia
Diterima 8 November; Disetujui 10 Desember 2014
Abstrak - Tujuan dari penelitian ini adalah untuk melihat bagaimana fungsi discrepancy metode estimasi kemungkinan
maksimum menjadi hampiran dari metode estimasi kuadrat terkecil tergeneralisasi pada model persamaan struktural. Data pertama dari variabel faktor sosial yang mempengaruhi variabel faktor lingkungan dan kepuasan kerja karyawan HBAT, serta data kedua berupa matriks kovarian dari Wheaton, diterapkan pada kedua metode estimasi parameter dalam model. Hasil penelitian menunjukkan bahwa parameter-parameter yang diperoleh dari metode estimasi kemungkinan maksimum menghampiri parameter-parameter yang diperoleh dari metode estimasi kuadrat terkecil tergeneralisasi dengan sangat dekat.
Kata Kunci: Model Persamaan Struktural, Metode Kemungkinan Maksimum, Kuadrat Terkecil Tergeneralisasi
1. Pendahuluan
Pemodelan Persamaan Struktural atau Stuctural Equation
Modeling (SEM) adalah sekumpulan alat atau teknik-teknik
statistika yang memungkinkan tidak hanya mendapatkan model hubungan namun juga pengujian sebuah rangkaian hubungan yang simultan [1]. Hubungan tersebut dapat dibangun antara satu atau beberapa variabel dependen dengan satu atau beberapa variabel independen.
Untuk membuat pemodelan yang lengkap beberapa
langkah berikut ini perlu dilakukan [1].
1. Pengembangan model berbasis teori.
2. Pengembangan diagram alur untuk menunjukkan
hubungan kausalitas,
3. Konversi diagram alur kedalam serangkaian
persamaan struktural dan spesifikasi model
pengukuran.
4. Pemilihan matriks input dan teknik estimasi atas
model yang dibangun.
5. Menilai problem identifikasi.
6. Evaluasi model (asumsi-asumsi dan uji statistik).
7. Interpretasi dan modifikasi model.
Poin 4 di atas menyiratkan bahwa pemilihan teknik atau metode estimasi merupakan salah satu hal yang penting untuk membangun sebuah model.
Beberapa metode estimasi parameter yang dapat digunakan dalam pemodelan ini, diantaranya adalah Maximum Likelihood Estimation (MLE) atau Kemungkinan Maksimum, Generalized Least Square (GLS) atau Kuadrat Terkecil Tergeneralisasi, Unweighted Least Square (ULS), Scale-free Least Square (SLS), dan Asymptotically distribution-free (ADF). Metode estimasi mana yang dipilih salah satunya bergantung pada dipenuhi atau tidaknya asumsi normalitas. Misalnya, ADF dipilih bila asumsi normalitas tidak dipenuhi. Sedangkan MLE dan GLS dipilih bila asumsi normalitas dipenuhi [4].
Dengan asumsi
xΣ
~
N
p(
µ
,
)
, pendekatan klasik SEM mencocokkan matriks kovarian sampel S danΣ
( )
θ
dengan fungsi discrepancy. Masing-masing teknik estimasi memiliki fungsi discrepancy yang berbeda-beda.Terdapat hubungan antara fungsi discrepancy metode kemungkinan maksimum dan fungsi discrepancy metode kuadrat terkecil tergeneralisasi [4]. Hubungan tersebut yaitu
1036 fungsi discrepancy metode kemungkinan maksimum dapat
dipandang sebagai sebuah hampiran untuk fungsi
discrepancy dari metode generalized least square. Dalam
tulisan ini akan dilihat mengenai metode kemungkinan maksimum dan kuadrat terkecil tergeneralisasi sebagai metode estimasi dalam SEM.
Model Persamaan Struktural
Teori-teori substantif dalam bidang pendidikan,
kesehatan, ilmu sosial biasanya terdiri dari dua
variabel, variabel manifes (terobservasi) dan variabel
laten. Variabel manifes adalah variabel yang dapat
diukur secara langsung, misalnya pendapatan, nilai tes,
tekanan darah sistolik, dan berat. Sering kali terdapat
variabel yang tidak bisa diukur secara langsung oleh
sebuah variabel manifes. Misalnya kecerdasan,
kepribadian, kemampuan kuantitatif, tekanan darah,
dan kondisi kesehatan. Karakteristik variabel semacam
ini dapat diukur secara parsial oleh kombinasi linier
dari beberapa variabel manifes. Misalnya tekanan
darah seorang pasien dapat diukur dengan tekanan
darah sitolik dan tekanan darah diastolik. Dalam
beberapa penelitian dibangun sebuah model untuk
mengevaluasi hipotesis mengenai dampak variabel
laten dan variabel manifes pada variabel lain, dan juga
kesalahan pengukuran.
Model Persamaan Struktural (SEM) dikenal baik
sebagai metode statistika yang dapat digunakan untuk
tujuan di atas. SEM dapat diaplikasikan pada banyak
bidang, seperti pada penelitian lingkungan yang
mengivestigasi bagaimana polusi air dan udara
mempengaruhi kesehatan, atau dalam penelitian
pendidikan yang mengukur pertumbuhan kecerdasan
serta hubungannya dengan kepribadian dan lingkungan
sekolah, atau dalam penelitian di bidang kesehatan
yang menganalisis kualitas kesehatan, dan lain
sebagainya.
SEM terdiri dari dua komponen. Komponen pertama
adalah model analisis faktor konfirmatori dari variabel
laten ke seluruh variabel manifes (indikator) dan sering
dikenal sebagai model pengukuran. Komponen ini
dapat dipandang sebagai model regresi antara variabel
manifes dan variabel laten. Komponen kedua juga
merupakan regresi tipe model struktural antara variabel
laten endogen (bebas) dengan variabel laten eksogen
(terikat) [5].
Dalam SEM, matriks kovarian dari vektor random
manifes y terdiri dari seluruh parameter yang terdapat
dalam model. Oleh karena itu metode klasik dalam
analisis SEM fokus pada matriks kovarian S dan bukan
vektor random y
i. Ini menyebabkan formula matriks
kovarian
Σ θ( )
, yang merupakan matriks fungsi dari
vektor parameter
θyang tidak diketahui, diestimasi
dengan meminimumkan atau menaksimumkan fungsi
objektif yang mengukur ketidakcocokan antara S dan
( )
Σ θ
. Fungsi ini disebut dengan fungsi discrepancy.
Fungsi Discrepancy Metode Kemungkinan Maksimum
Metode Kemungkinan Maksimum atau Maximum
Likelihood Estimation (MLE) merupakan metode paling
populer dalam menghasilkan estimator dan salah satu metode yang sering digunakan untuk mengestimasi nilai parameter. Metode kemungkinan maksimum juga merupakan metode yang paling banyak digunakan dalam praktek dan prosedur SEM.
Fungsi discrepancy dari metode ini adalah
( )
1( )
1( )
, log +tr log . ML F p θ = − θ − θ − − SΣ Σ SΣ S (1)Dan turunan pertamanya terhadap θi adalah
( ) ( )
(
)
( ) ( )
1 1 ML i i F tr θ θ S θ θ θ − − θ ∂Σ ∂ = Σ Σ − Σ ∂ ∂ (2)Dengan asumsi bahwa S konvergen dalam peluang ke Σ, turunan keduanya terhadap θi adalah
( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 ML i j i j F tr θ θ θ θ θ θ θ θ − − Σ ∂Σ Σ ∂Σ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ (3)Fungsi Discrepancy Metode Kuadrat Terkecil
Tergeneralisasi
Fungsi discrepancy metode kuadrat terkecil tergeneralisasi adalah
1037
( )
(
1)
2 1 2 GLS F = tr I−S−Σ θ (4) [3].Turunan pertamanya terhadap θi adalah
( )
(
)
( )
1 1 GLS i i F tr S θ S S θ θ − − θ ∂Σ ∂ = Σ − ∂ ∂ (5)dan dengan asumsi yang sama pada metode kemungkinan maksimum, diperoleh
( )
( )
1 1 2 GLS i j i j S S F tr θ θ θ θ θ θ − − ∂Σ ∂Σ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ (6)sebagai turunan keduanya terhadap θi.
Prosedur estimasi
Estimasi parameter diperoleh dari peminimuman fungsi
discrepancy. Fungsi discrepancy metode kemungkinan
maksimum dan metode kuadrat terkecil tergeneralisasi, sebut F, diminimumkan dengan iterasi secara numerik dengan metode skoring Fisher. Proses minimisasi dimulai pada sebarang nilai awal
θ
( )1 dan kemudian menggunakan titik baruθ
( )2 ,θ
( )3 , .... dimana F( )
θ( )s+1 <F( )
θ( )ssampai diperoleh kekonvergenan.
Misalkan g( )s adalah vektor gradien ∂ ∂F θ pada ( )s
=
θ θ . Misalkan pula E( )s adalah matriks informasi dari (3) dan (6) pada θ θ= ( )s . Maka dengan menyelesaikan
( ) ( )s s = ( )s
Eδ g (7) metode skoring Fisher akan menghitung sebuah vektor koreksi δ( )s dan kemudian menghitung sebuah titik baru dengan
( )1 ( ) ( )
.
s+ = s − s
θ θ δ (8) Metode ini membutuhkan E( )s dan penyelesaian (7) pada tiap iterasi [4].
2. Metode Penelitian
Prosedur penelitian yang akan dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Mengumpulkan data contoh dari referensi.
2. Menerapkan masing-masing metode estimasi pada setiap data contoh dengan menggunakan bantuan software AMOS 18.
3. Merekapitulasi hasil etimasi.
4. Membuat kesimpulan berdasarkan hasil estimasi yang diperoleh.
3. Hasil dan Pembahasan
Data 1 mengenai keinginan HBAT untuk melihat pengaruh faktor sosial terhadap faktor lingkungan dan kepuasan kerja pegawainya [2]. Variabel dependennya adalah faktor lingkungan
( )
η
1 dan kepuasan kerja( )
η
2 , sedangkan variabel independennya adalah bagaimana tanggapan mereka tentang rekan kerja( )
ξ
. Ketiga variabel ini dapat didefinisikan sebagai konstruk laten. Masing-masing konstruk laten diukur dengan beberapa variabel indikator, misalnya tanggapan tentang rekan kerja diukur dengan (1) seberapa senang Anda bekerja dengan rekan kerja Anda?, (2) bagaimana kesan Anda terhadap rekan kerja Anda?, (3) seberapa sering Anda berhubungan dengan rekan kerja Anda di luar jam kerja?, dan (4) secara umum, adakah kesamaan antara Anda dengan rekan kerja Anda? Untuk keperluan penelitian ini, dengan menggunakan 400 responden yang keseluruhannya adalah karyawan HBAT, diajukan model hubungan konstruk seperti di bawah ini.Gambar 1. Model Hubungan dari Data HBAT.
Dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum (MLE) dan kuadrat terkecil tergeneralisasi (GLS) diperoleh estimasi parameter dan statistik uji seperti pada tabel berikut ini.
1038 MLE GLS ˆ θ SE θˆ SE 1 λ 1 1 2 λ 1,238 0,067 1,242 0,069 3 λ 1,037 0,055 1,052 0,057 4 λ 1,147 0,063 1,145 0,065 5 λ 1 1 6 λ 1,031 0,073 1,043 0,071 7 λ 0,834 0,057 0,835 0,060 8 λ 0,917 0,063 0,912 0,064 9 λ 1 1 10 λ 1,036 0,076 1,029 0,075 11 λ 0,903 0,072 0,881 0,070 12 λ 0,913 0,071 0,914 0,071 13 λ 15,183 1,139 14,948 1,108 1 θ 0,622 0,059 0,616 0,059 2 θ 0,969 0,092 0,944 0,091 3 θ 0,603 0,060 0,559 0,059 4 θ 0,885 0,082 0,835 0,080 5 θ 1,751 0,142 1,618 0,137 6 θ 0,951 0,090 0,873 0,087 7 θ 0,470 0,050 0,421 0,049 8 θ 0,598 0,063 0,574 0,062 9 θ 0,812 0,074 0,763 0,073 10 θ 0,822 0,077 0,798 0,075 11 θ 0,933 0,079 0,898 0,077 12 θ 0,824 0,072 0,797 0,071 13 θ 198,057 17,818 179,167 17,082 γ 0,273 0,063 0,273 0,065
β
0,189 0,047 0,184 0,047φ
1,312 0,136 1,249 0,133 1 ψ 1,498 0,202 1,456 0,198 2 ψ 0,924 0,116 0,934 0,118Dari hasil estimasi parameter di atas dapat dilihat bahwa metode kemungkinan maksimum dan kuadrat terkecil tergeneralisasi memberikan estimasi nilai yang hampir sama, begitu juga dengan SE. Sebagian besar SE dari estimasi
kuadrat terkecil tergeneralisasi lebih kecil dari pada SE yang dihasilkan dari kemungkinan maksimum. Namun selisih yang ada di antara keduanya tidak begitu besar.
Tabel 2. Statistik Uji Model Data HBAT
MLE GLS Chi-square 62,155 67,108 Prob 0,506 0,338 GFI 0,978 0,974 AGFI 0,968 0,963 TLI 1,000 0,988 RMSEA 0,000 0,013
Metode estimasi kemungkinan maksimum dan kuadrat terkecil tergeneralisasi memberikan nilai-nilai statistik uji yang juga hanya berbeda sedikit saja.
Selanjutnya, data kedua merupakan matriks kovarian dari penelitian Wheaton dan kawan-kawan [6]. Modelnya adalah sebagai berikut.
Gambar 2. Model Hubungan dari Data Wheaton.
Dari data 2 diperoleh estimasi parameter dan statistik uji seperti berikut ini.
Tabel 3. Estimasi Parameter Model Data Wheaton
MLE GLS ˆ θ SE θˆ SE 1 λ 1 1 2 λ 5,219 0,426 5,220 0,429 3 λ 1 1 4 λ 0,979 0,062 0,980 0,063 5 λ 1 1
1039 6 λ 0,922 0,060 0,921 0,060 1 θ 2,801 0,512 2,775 0,511 2 θ 264,597 18,234 261,895 18,175 3 θ 4,731 0,457 4,700 0,455 4 θ 2,563 0,406 2,530 0,407 5 θ 4,399 0,517 4,374 0,517 6 θ 3,070 0,436 3,074 0,435 7 θ 1,623 0,316 1,596 0,315 8 θ 0,339 0263 0,330 0,262 1 γ -0,575 0,058 -0,573 0,058 2 γ -0,227 0,053 -0,226 0,052
β
0,607 0,051 0,608 0,051φ
6,798 0,653 6,819 0,655 1 ψ 4,841 0,462 4,861 0,464 2 ψ 4,083 0,404 4,085 0,405Serupa halnya dengan Tabel 1, Tabel 4 juga memberikan nilai yang hampir sama untuk kedua estimasi kemungkinan maksimum dan kuadrat terkecil tergeneralisasi, begitu juga dengan SE. Sebagian besar SE dari estimasi kuadrat terkecil tergeneralisasi terlihat lebih kecil dibandingkan SE yang dihasilkan dari metode kemungkinan maksimum kemungkinan maksimum, tetapi selisihnya tidak besar. Dapat dilihat pula bahwa statistik uji yang dihasilkan untuk data ini pada tabel berikut cenderung sama dengan perbedaan di perseribuan saja.
Tabel 4. Statistik Uji Model Data Wheaton
MLE GLS Chi-square 4,730 4,701 Prob 0,316 0,319 GFI 0,998 0,998 AGFI 0991 0,991 TLI 0,999 0,996 RMSEA 0,014 0,014 4. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan di atas dapat dilihat bahwa metode kemungkinan maksimum dan metode kuadrat terkecil tergeneralisai memberikan estimasi parameter dengan nilai yang hampir sama. Begitupun standar error (SE) yang dihasilkan kedua metode estimasi tersebut, juga menunjukkan nilai yang cenderung sama. Demikian pula yang dihasilkan untuk kedua statistik uji masing-masing metode estimasi, hanya berbeda sedikit saja. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa fungsi discrepancy dari metode estimasi kemungkinan maksimum memberikan hampiran yang sangat baik bagi metode estimasi kuadrat terkecil tergeneralisasi.
Daftar Pustaka
[1] Ferdinand, A. 2002. Structural Equation Modeling
Dalam Penelitian Manajemen. Semarang: BP
UNDIP.
[2] Hair, Joseph F., Black, William C., Babin, Barry J., Anderson, Rolph E. 2010. Multiariate Data
Analysis. Amerika Serikat: Prentice Hall.
[3] Joreskog, Karl G., dan Goldberger, Arthur S. 1972. Factor Analysis by Generalized Least Square.
Psychometrika, Vol.37, No.3.
[4] Joreskog, Karl G. 1978. Structural Analysis of Covariance and Correlation Matrices.
Psychometrika, Vol.43, No.4.
[5] Lee, Sik-Yum. 2007. Structural Equation Modeling:
A Bayesian Approach. Amerika Serikat: Wiley.
[6] SAS Institute Inc. 2011. SAS/STAT 9.3 User’s Guide. Cary, NC: SAS Institute Inc.
