Tugas Forum diskusi modul 2 kb 4 profesional maya gita.docx

Tugas Forum diskusi modul 2 kb 4 Tugas Forum diskusi modul 2 kb 4 1.

1. Apa syarat suatu relasi dikatakan relasi ekivalen. Beikan contoh relasiApa syarat suatu relasi dikatakan relasi ekivalen. Beikan contoh relasi

tersebut beserta buktinya

tersebut beserta buktinya

Relasi Ekivalen Relasi Ekivalen Definisi

Definisi

Misalkan R suatu relasi di dalam himpuiran A maka R disebut relasi ekivalen jika Misalkan R suatu relasi di dalam himpuiran A maka R disebut relasi ekivalen jika  berlaku syarat:

 berlaku syarat: a.

a. ReReflflekeksisif f arartitinynya a aa A, A, mamaka ka (a(a,a,a)) R;R;  b.

 b. Simetris artinya jika (a,b)Simetris artinya jika (a,b) R, maka berarti (b,a)R, maka berarti (b,a) R; danR; dan c.

c. TrTranansisitif tif arartintinya ya jikjika a (a(a,b,b)) R R dadan n (b(b,c,c)) R, R, makmaka a beberarrarti ti (a(a,c),c) R.R. Contoh

Contoh

Diketahui himpunan A = {0,2,4}, relasi R di dalam himpunan A dengan R = {(0,0), Diketahui himpunan A = {0,2,4}, relasi R di dalam himpunan A dengan R = {(0,0), (2,2), (4,4)} berlaku syarat refleksif, simetris, dan transitif.

(2,2), (4,4)} berlaku syarat refleksif, simetris, dan transitif. Oleh karena itu R merupakan relasi ekivalen.

Oleh karena itu R merupakan relasi ekivalen. 2.

2. Jelaskan apa yang dimaksud dengan grup, grup abelian, koset, homomorphisma,Jelaskan apa yang dimaksud dengan grup, grup abelian, koset, homomorphisma,

isomorphisma, sub grup, sub grup normal dan kernel. Berikan masing-masing

isomorphisma, sub grup, sub grup normal dan kernel. Berikan masing-masing

contohnya. contohnya.   Grup :Grup : Definisi Definisi

Misalkan G himpunan tak kosong dan operasi

Misalkan G himpunan tak kosong dan operasi

∗∗

didefinisikan pada G. Himpunan Gdidefinisikan pada G. Himpunan G dengan operasi

dengan operasi

∗∗

, ditulis (G,, ditulis (G,

∗∗

), disebut sebagai grup, jika memenuhi keempat sifat), disebut sebagai grup, jika memenuhi keempat sifat  berikut:

 berikut: a).

a). Himpunan G bersifat tertutup terhadap operasiHimpunan G bersifat tertutup terhadap operasi

∗∗

.. Untuk setiap

Untuk setiap



,  ∈

,  ∈ 



 berlaku berlaku



 ∗∗ 

 

 



..  b).

 b). OperasiOperasi

∗∗

 bersifat asosiatif. bersifat asosiatif. Untuk setiap

Untuk setiap



, 

,  , 

,  ∈

∈ 



 berlaku berlaku



 ∗∗ ((

 ∗∗ )) =

= ((

 ∗∗ 

)) ∗∗

..

c).

c). Himpunan G mempunyai unsur identitas.Himpunan G mempunyai unsur identitas. Terdapat

Terdapat



 ∈

∈ 



sehingga untuk setiapsehingga untuk setiap



 ∈

∈ 



 berlaku berlaku

 ∗ 

 ∗  = 

=  ∗ 

∗  = 

= 

.. d).

d). Setiap unsur Setiap unsur di himpunan di himpunan G mempunyG mempunyai invers.ai invers. Untuk setiap terdapat

Untuk setiap terdapat



 ∈

∈ 



sehinggasehingga





−1−1

∈

∈ 



 sehingga sehingga



 ∗∗ 



−1−1

=

= 



−1−1

∗∗ 

 =

=



 =

= 

.. Contoh : Contoh :

Periksa apakah himpunan bilangan bulat (Z) dengan operasi penjumlahan biasa Periksa apakah himpunan bilangan bulat (Z) dengan operasi penjumlahan biasa merupakan grup.

merupakan grup. Penyelesaian : Penyelesaian :

1. Kita akan memeriksa apakah Z bersifat tertutup terhadap operasi +.

Ambil sembarang

,  ∈ 

. Jumlah dua bilangan bulat merupakan bilangan  bulat, sehingga .

   ∈ 

Jadi, Z bersifat tertutup terhadap operasi +.

2. Kita akan memeriksa apakah operasi + bersifat asosiatif.

Ambil sembarang

,  ,  ∈ 

. Perhatikan bahwa

  (  ) = (  )  

Jadi, operasi + bersifat asosiatif.

3. Kita akan memeriksa apakah

(,∗)

mempunyai unsur identitas.

Terdapat

0 ∈ 

sehingga untuk setiap

 ∈ 

 berlaku

  0 = 

dan

0 

 = 

. Jadi, 0 merupakan unsur identitas pada

(,)

.

4. Kita akan memeriksa apakah setiap

 ∈ 

 mempunyai invers.

Untuk setiap

 ∈ 

terdapat

 ∈ 

sehingga

  () = 0

dan

() 

 = 0

Jadi, setiap unsur di Z mempunyai invers.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa

(,)

merupakan grup.

 Grup abelian

Bahasa sederhana dari grup abelian adalah grup komutatif. Jadi secara matematis, definisi dari suatu grup abelian sama dengan grup, namun ditambah satu syarat lagi, yaitu berlaku sifat komutatif untuk setiap unsur di G.

Contoh :

Apakah Himpunan Z terhadap operasi + adalah sebuah grup?

Himpunan Z terhadap operasi + adalah sebuah grup. Semua sifat dan kondisi grup dipenuhi oleh Z, bahkan Z merupakan grup abelian.

Bukti :

1. Sifat komutatif  ( a + b )=( b + a ) 2 + 3 = 5

3 + 2 = 5 terbukti

2. Sifat asosiatif  ( a + (b+c)) = ((a+b) + c ) 4 + ( 2+6 ) = 4 + 8 = 12

( 4+2 ) + 6 = 6 + 6 = 12 terbukti 3. Terdapat unsur identitas e

Unsur identitas pada operasi penjumlahan adalah 0, sehingga 2 + 0 = 2

0 + 2 = 2 terbukti

4. Terdapat invers dari

a sehingga berlaku a # a’ = e

Misal a = 3 maka a’ =

-3

3 + (-3 ) = 0 ( identitas ) terbukti

Jadi, karena semua syarat dari grup telah terpenuhi, maka terbukti bahwa Himpunan Z terhadap operasi + adalah sebuah grup abelian.

 Koset Definisi :

Bila H subgrup dalam grup G, a suatu unsur sebarang dalam G, maka himpunan Ha = { ha/ h H } disebut Koset kanandari H dalam GKoset kiri dinyatakan dengan

aH = { ah / h H} yaitu unsur h dikalikan dari kiri dengan a

Contoh :

Grup Z , dengan subgrup H = 4 Z. Unsur 1 Z tapi 1 4 Z, sehingga dapat

dibentuk koset kanan 4 Z + 1. Dalam hal ini digunakan operasi '+' pada kosetnya, karena Z adalah grup terhadap +Koset-koset lainnya dalam Z: 4Z + 2, 4Z + 3, 4Z

 Homomorphisma Definisi : Misalkan  G,  dan ' ' , G

    dua grup dengan operasi binernya. Suatu pemetaan

' :_{G G}

 f     disebut homomorfisma (homomorphism) jika untuk setiap  g   g  _G 2 1,  berlaku ) ( ) ( ) ( g ₁  g ₂  f   g ₁ '  f   g ₂  f      .

Dapat dikatakan bahwa ”peta dari hasil operasi dua elemen dalam

G _{sama dengan}

hasil operasi dari masing-masing petanya dalam '

G

”.

Contoh :

Misalkan G_{1  dan}

2

G   _{dua grup dengan operasi pergandaan (komposisi fungsi).}

Didefinisikan pemetaan  f  :G1 G2, dengan  g   f   g  e

df    ) (    dimana 2 G e_

sebagai elemen identitas maka  f merupakan homomorfisma karena untuk setiap

1 2 1, g  G  g   ) ( ) ( ) ( g ₁  g ₂ e e e  f   g ₁  f   g ₂  f   df        

□

Homomorfisma demikian disebut homomorfisma trivial (trivial homomorphism).

 Isomorphisma Definisi :

Diberikan grup G dan



₁. Homomorfisma

 :  → 

  disebut isomorfisma jika f  bersifat injektif dan surjektif. Lebih khusus, ditulis

~

₁, dikatakan bahwa G

isomorfik dengan



₁.

Cara Menunjukkan Dua Grup Isomorf

1. Definsikan fungsi f yang akan memberikan suatu isomorfisma dari G ke



₁. 2. Tunjukkan f fungsi satu-satu (injektif)

3. Tunjukkan f fungsi pada (surjektif)

4. Tunjukkan

 ( ∗ ) = ().()

untuk setiap

,  ∈ 

Diberikan grup

(,)

  dan

(

+

. )

. Didefinisikan

 : (, ) → (

+

. )

. oleh

 () =



 untuk setiap

 ∈ 

. Cek apakah f isomorfisma.

Pertama akan dicek apakah f well defined . Ambil sebarang

,  ∈ 

 dengan

 = 

. Perhatikan,

 () = 



= 



= ()

Jadi, well defined . Selanjutnya akan dicek homomorfisma. Perhatikan

 (  ) = 

+

= 







= () ()

Jadi, homomorfisma. Misal

 () = ()

, berakibat





= 

. Diperoleh . Berimplikasi . Oleh karena itu, injektif. Jadi, monomorfisma.

Ambil sebarang . Diperoleh

Jadi, terdapat sedemikian hingga . Oleh karena itu, surjektif. Jadi, epimorfisma. Dengan kata lain, isomorfisma.

 Sub grup Definisi :

Diberikan grup (G,

∗

),dan himpunan bagian tidak kosong H

⊆

 G. Himpunan H

disebut subgroup dari G jika H juga merupakan grup terhadap operasi biner “

∗

”

yang sama pada grup G, dinotasikan dengan H ≤ G

Contoh:

Diberikan grup Z6 ={0,1, 2,3, 4,5}terhadap operasi penjumlahan modulo 6.

Tunjukkan bahwa S= {0,1, 2,3} bukan subgrup dari Z6

Jawab:

Untuk menunjukkan bahwa S= {1,2,3,} bukan subgrup dari G, dapat cukup dengan mencari contoh atau counter example, yaitu salah satu aksioma dari definisi subgrup yang tidak dipenuhi. Ada beberapa counter example yang dapat digunakan, yaitu

1. Tidak memuat elemen identitas yaitu

0 ∉ 

2. Tidak bersifat tertutup , yaitu 2,3

∈ 

 sedemikian hingga 2+3 =5

∉ 

3. Ada elemen dari S yang tidak mempunyai invers di S , contohnya 2 tidak mempunyai invers di S, sebab

∀  ∈ , 2   ≠ 0 ,   2 = 4 ∉ 

 Sub grup normal Teorema:

Bila G suatu grup dan N subgrup dari G dinamakan subgrup normaldari G jika untuk setiap g

∈ 

dan

 ∈ 

 maka

  

−1

∈ 

3. Buktikan bahwa: Jika grup G adalah grup terbatas dan H adalah sub grup dari G, maka o(H) membagi o(G) ditulis o(H)/o(G).

(Ket: o(H) dibaca “order dari H))

Misalnya G adalah elemen pada grup H. jika terdapat bilangan bulatpositif n sedemikian hingga Gn = e (dalam penjumlahan menjadi ng=0), maka dikatakan g memiliki order berhingga dari H, dan bilangan bulat positif terkecil n disebut order dari

elemen G. Untuk mencari order elemen G, perlu menghitung hasil G,G2,G3, …..

sampai kita menentukan identitas untuk pertama kalinya. Jika tidak ada n yang memenuhi persamaan diatas, maka dikatakan G memiliki order tak-hingga. Order

elemen G dinotasikan dengan │G│

4. Diketahui suatu fungsi f yang memetakan dari G ke H dengan kernel K maka G/K

(dibaca “G membagi K”) merup

akan isomorphisma dari H.

Pertama akan ditunjukkan bahwa K subgrup dari G. Misal x,y

ϵ K maka

 f(x)=e’ dan f(y)=e’ 

sehingga f(xy)= f(x) f(y)= e’ e’= e’ dimana xy

ϵ K (

sifat tertutup). Selanjutnya

 (

−1

) = ()

−1

_{= ′}

 jadi



−1

∈  ( )

∈

K (sifat invers).

Untuk menunjukkan sifat normal, ambil g

∈

G dan k ∈   K maka

 (

−1

) = () () (

−1

_{) = ()}



 _(

−1

_{) = () (}

−1

_{) = }

