6. Uji Chi-Kuadrat. 6.1 Pendahuluan

6.1 Pendahuluan

Distribusi chi-kuadrat merupakan salah satu distribusi yang penting dalam ilmu statistik.

Distribusi ini selalu bernilai positif karena nilainya dihasilkan dari jumlah kuadrat dari variabel random bebas. Nilai dari distribusi chi-kuadrat ditentukan oleh banyaknya sampel, banyaknya variabel dan tingkat kesalahan yang diinginkan. Banyaknya sampel dan banyaknya variabel digunakan untuk menentukan derajat bebas (degrees of freedom). Apabila derajat bebas semakin tinggi, maka distribusi chi-kuadrat mendekati distribusi normal.

Dasar daripada distribusi chi-kuadrat adalah distribusi normal, khususnya normal standar (Z).

Distribusi normal standar adalah distribusi normal dengan nilai rata-rata (mean) nol dan keragaman (variance) satu. Distribusi chi-kuadrat dilambangkan dengan huruf Yunani ², dibaca dengan chi-kuadrat (chi-square). Distribusi ini dibentuk dari:

1. Jika data dari distribusi normal standar dikuadratkan, maka data tersebut akan berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas satu,

2. Jika X₁,X₂, . . .,X_n adalah saling bebas dan X berdistribusi chi-kuadrat, maka _i Xn

. . . X

X₁ ₂   juga berdistribusi chi-kuadrat.

Fungsi kepadatan peluang (probability density function, pdf) dari distribusi chi-kuadrat adalah:

   

^{  }

 







exp 2 2

2 /

1 2 1

2 /

- x p x

x

f _p ^{p/ -} , 0x,

dengan p adalah derajat bebas. Bentuk daripada distribusi chi-kuadrat:

1-  (daerah penerimaan) (daerah penolakan)

0 ²

Sebagai contoh jika diketahui derajat bebas = 6 dan tingkat kesalahan yang digunakan adalah 5 %, maka diperoleh:

95 % 5 % (daerah penerimaan) (daerah penolakan)

0 12.5916

Yang memperkenalkan pertama kali uji chi-kuadrat adalah Karl Pearson pada sekitar tahun 1900. Beberapa uji yang menggunakan distribusi chi-kuadrat antara lain:

1. Uji hipotesis bagi eksperimen atau penelitian dengan dua atau lebih kategori. Uji ini dinamakan uji kecocokan (goodness-of-fit tests),

2. Uji hipotesis tentang tabel kontingensi yang terdiri dari uji independensi (independence tests) dan uji homogenitas (homogeneity test),

3. Uji hipotesis tentang keragaman (variance) dan simpangan baku (standard deviation) dari populasi tunggal.

5.2 Uji Kecocokan (Uji Goodness of Fit)

Di dalam eksperimen yang menggunakan data dengan skala nominal, biasanya data terbagi dalam dua kategori. Dua kategori tersebut saling berlawanan antara yang satu dengan yang lain, misalkan cacat atau tidak cacat, baik atau buruk, berhasil atau gagal, rusak atau tidak rusak dan lain-lain. Eksperimen yang menghasilkan dua kategori data dikatakan eksperimen binomial.

Beberapa eksperimen yang lain dengan menggunakan data berskala nominal, seringkali membagi data lebih dari dua kategori. Misalkan tentang kepuasan pelanggan bias dibagi menjadi sangat puas, puas, kurang puas dan tidak puas. Kecepatan mobil bias dibagi dengan sangat cepat, cepat, sedang dan lambat. Eksperimen yang menghasilkan lebih dari dua kategori data dikatakan eksperimen multinomial. Ciri-ciri eksperimen multimonial antara lain:

1. Eksperimen diulang sebanyak n kali,

2. Setiap kali ulangan dapat dikelompokkan ke dalam k kategori, dimana k > 2, 3. Setiap ulangan adalah saling bebas (independent),

4. Probabilitas total dari seluruh sampel adalah satu.

Dalam pengujian tentang kecocokan atau disebut juga uji kompatibilitas, permasalahan yang dihadapi adalah menguji apakah frekuensi yang diobservasi (observed frequencies) memang konsisten dengan frekuensi teoritisnya (expected frequencies). Apabila konsisten, maka tidak terdapat perbedaan nyata antara frekuensi yang diobservasi dengan frekuensi teoritisnya atau dengan kata lain hipotesis nolnya dapat diterima. Sebaliknya apabila tidak ada konsistensi, maka hipotesis nolnya ditolak. Hal ini mengandung arti hipotesis teoritisnya tidak didukung oleh hasil observasinya. Rumus yang digunakan adalah:

 

 

 n

i i

i i

E E - O

=

1

2 2

hitung

dengan

Oi = frekuensi yang diobsevasi

Dalam bidang industri dapat dimisalkan hasil produksi.

Ei = frekuensi teoritis

= np, dengan n banyaknya sampel dan p adalah probabilitas Dalam bidang industri dapat dimisalkan perencanaan produksi.

² merupakan ukuran perbedaan antara frekuensi observasi dengan frekuensi teoritis. Apabila tidak ada perbedaan antara frekuensi observasi dengan frekuensi teoritis, maka ² = 0. Semakin besar perbedaan antara frekuensi observasi dengan frekuensi teoritis, maka nilai ² akan semakin besar pula. Nilai ² akan dievaluasi dengan sebaran Chi-Kuadrat.

Prosedur pengujian hipotesis dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : 1. Nyatakan H0 dan hipotesis alternatifnya,

2. Tentukan taraf nyata (tingkat signifikansi), 3. Tentukan statistik uji ² dan derajat bebasnya,

4. Tentukan daerah penolakan dan daerah penerimaannya, 5. Hitung ² dan tentukan ditolak atau diterima H0-nya 6. Buatlah kesimpulannya

Contoh

1. Dalam 1 minggu perusahaan jasa pengiriman barang bekerja 5 hari, yaitu Senin sampai Jum’at, hari Sabtu dan Minggu libur. Selama 1 minggu berat barang (dalam ton) yang dapat diangkut adalah:

Hari Senin Selasa Rabu Kamis Jum’at

Barang 26.7 20.4 25.3 19.7 27.9

Lakukan uji hipotesis apakah proporsi berat pengiriman barang setiap hari dalam 1 minggu adalah sama ataukah proporsi berat pengiriman barang setiap hari dalam 1 minggu tidak sama.

Gunakan tingkat kesalahan 10 %.

Penyelesaian

- H0 : proporsi berat pengiriman barang setiap hari dalam 1 minggu sama p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = 20 % = 0.20 (dari 1/5)

H1 : minimal ada 2 proporsi yang tidak sama dengan 20 % -  = 0.05

- Banyaknya kategori adalah 5 (hari) dan tingkat kesalahan adalah 10 %, maka nilai dari distribusi chi-kuadrat:

- k 2

1

;

 = ²_0.10;5-17.7794 Oleh karena itu daerah kritisnya:

2 hitung

  7.7794 = ²_tabel - Daerah keputusannya:

90 % 10 % (daerah penerimaan) (daerah penolakan)

0 7.7794 - Mencari nilai ²_hitung

Hari Oi p Ei = np Oi - Ei (Oi - Ei)² (Oi - Ei)²/ Ei

Senin 26.7 0.20 24.0 2.7 7.29 0.3038

Selasa 20.4 0.20 24.0 -3.6 12.96 0.5400

Rabu 25.3 0.20 24.0 1.3 1.69 0.0704

Kamis 19.7 0.20 24.0 -4.3 18.49 0.7704

Jum’at 27.9 0.20 24.0 3.9 15.21 0.6338

Total n = 120 1.00 120 2.3184

Oi = berat pengiriman barang setiap hari dalam 1 minggu,

Ei = perkiraan berat pengiriman barang setiap hari dalam 1 minggu, n = total berat pengiriman barang selama 1 minggu,

p = proporsi berat pengiriman barang tiap hari

 

3184 . 2

1

2

2  



 n

i i

i i

E E - O

hitung=

- _hitung² = 2.3184 < 7.7794 = ²_tabel, maka H0 diterima

- Dari kasus di atas dapat disimpulkan bahwa proporsi berat pengiriman barang setiap hari dalam 1 minggu adalah sama.

2. Suatu perusahaan sabun mandi telah melakukan survei tentang kepuasan pelanggan di perumahan Permai Indah. Kepuasan pelanggan dibagi menjadi 4 kategori, yaitu sangat puas, puas, kurang puas dan tidak puas. Hasil survei memberikan hasil:

1. Sangat puas = 12 %

2. Puas = 45 %

3. Kurang puas = 33 % 4. Tidak puas = 10 %

Selanjutnya survei kepuasan pelanggan dilaksanakan di perumahan Pondok Indah. Untuk tujuan tersebut, 210 pengguna sabun mandi (konsumen) diambil secara random. Hasil survei memberikan hasil:

1. Sangat puas = 16 konsumen, 2. Puas = 110 konsumen, 3. Kurang puas = 62 konsumen, 4. Tidak puas = 22 konsumen.

Lakukan uji hipotesis apakah proporsi kepuasan pelanggan di perumahan Pondok Indah sama dengan proporsi kepuasan pelanggan di perumahan Permai Indah ataukah proporsi keduanya berbeda.

Gunakan tingkat kesalahan 5 %.

Penyelesaian

- H0 : proporsi kepuasan pelanggan di perumahan Pondok Indah sama dengan proporsi kepuasan pelanggan di perumahan Permai Indah

- H1 : proporsi kepuasan pelanggan di perumahan Pondok Indah tidak sama dengan proporsi kepuasan pelanggan di perumahan Permai Indah

-  = 0.05

- Banyaknya kategori adalah 4 (kepuasan pelanggan) dan tingkat kesalahan adalah 5 %, maka nilai dari distribusi chi-kuadrat:

- k 2

1

;

 = ²_0.05;4-1 7.8147

Oleh karena itu daerah kritisnya:

2 hitung

  7.8147 = ²_tabel - Daerah keputusannya:

95 % 5 % (daerah penerimaan) (daerah penolakan)

0 7.8147 - Mencari nilai ²_hitung

Survei Oi p Ei = np Oi - Ei (Oi - Ei)² (Oi - Ei)²/ Ei

Sangat puas 16 0.12 25.20 -9.2 84.64 3.35873

Puas 110 0.45 94.50 15.5 240.25 2.54233

Kurang puas 62 0.33 69.30 -7.3 53.29 0.76898

Tidak puas 22 0.10 21.00 1.0 1.0 0.04762

Total n = 210 1.00 210.00 6.7177

Oi = banyaknya konsumen di perumahan Pondok Indah, Ei = banyaknya konsumen di perumahan Permai Indah, n = total banyaknya konsumen (sampel),

p = proporsi konsumen di perumahan Permai Indah.

 

7177 . 6

1

2

2  

 

n

i i

i i

E E - O

hitung=

- _hitung² = 6.7177 < 7.8147 = ²_tabel, maka H0 diterima

- Dari kasus di atas dapat disimpulkan bahwa proporsi kepuasan pelanggan di perumahan Pondok Indah sama dengan proporsi kepuasan pelanggan di perumahan Permai Indah.

3. Setiap perusahaan tentunya telah mempunyai target produksi setiap bulan. Di bawah ini adalah target produksi (dalam ton) selama 7 bulan yang telah ditetapkan sebelumnya (Ei) dan hasil produksi (realisasi produksi, dalam ton) selama 7 bulan (Oi) sebuah perusahaan yang berberak dalam bidang produksi kayu lapis

bulan 1 2 3 4 5 6 7

Oi 120 125 115 130 110 115 125

Ei 120 120 120 120 120 120 120

Lakukan uji hipotesis apakah hasil produksi telah sesuai atau tidak sesuai dengan target produksi yang telah ditetapkan sebelumnya.

Gunakan tingkat kesalahan 5 %.

Penyelesaian

- H0 : hasil produksi telah sesuai dengan target produksi yang telah ditetapkan sebelumnya - H1 : hasil produksi tidak sesuai dengan target produksi yang telah ditetapkan sebelumnya -  = 0.05

- Banyaknya kategori adalah 7 (bulan) dan tingkat kesalahan adalah 5 %, maka nilai dari distribusi chi-kuadrat:

- k 2

1

;

 = ²_0.05;7-1 12.5916

Oleh karena itu daerah kritisnya:

2 hitung

  12.5916 = ²_tabel - Daerah keputusannya:

95 % 5 % (daerah penerimaan) (daerah penolakan)

0 12.5916

- Mencari nilai ²_hitung

Bulan Oi Ei Oi - Ei (Oi - Ei)² (Oi - Ei)²/ Ei

1 120 120 0.0 0.00 0.0000

2 125 120 5.0 25.00 0.2083

3 115 120 -5.0 25.00 0.2083

4 130 120 10.0 100.00 0.8333

5 110 120 -10.0 100.00 0.8333

6 115 120 -5.0 25.00 0.2083

7 125 120 5.0 25.00 0.2083

Total n = 840 840 2.4998

Oi = hasil produksi (dalam ton) selama 7 bulan, Ei = target produksi (dalam ton) selama 7 bulan, n = total produksi,

 

4998 . 2

1

2

2  

 

n

i i

i i

E E - O

hitung=

- _hitung² = 2.4998 < 12.5916 = ²_tabel, maka H0 diterima

- Dari kasus di atas dapat disimpulkan bahwa hasil produksi telah sesuai dengan target produksi yang telah ditetapkan sebelumnya.

Soal latihan

1. Suatu survei tentang jenis kendaraan yang melewati jalan Sumatra telah dijalankan. Di bawah ini adalah proporsi jenis kendaraan yang melewati jalan Sumatra berdasarkan survei tersebut.

1. Mobil pribadi = 18 % 2. Sepeda motor = 40 %

3. Sepeda = 8 %

4. Angkutan umum = 34 %

Selanjutnya survei yang sama dijalankan di jalan Sulawesi. Dari 650 kendaraan yang lewat, diketahui 102 berupa mobil pribadi, 256 berupa sepeda motor, 75 sepeda dan 217 berupa angkutan umum.

Lakukan uji hipotesis apakah proporsi jenis kendaraan yang melewati jalan Sulawesi sama atau tidak sama dengan proporsi jenis kendaraan yang melewati jalan Sumatra.

Gunakan tingkat kesalahan 2.5 %.

2. Sebuah perusahaan yang bergerak dalam bidang mencuci mobil dalam satu hari buka selama 10 jam, yaitu dari pukul 9 pagi sampai jam 7 malam. Tingkat keramaian mobil yang masuk untuk dicuci sama setiap jam. Di bawah ini adalah data tentang jumlah mobil yang masuk untuk dicuci setiap jam pada hari kemarin.

Jam (Wib) 10.00 11.00 12.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00

Jumlah 85 125 70 110 115 85 95 105 75 135

Lakukan uji hipotesis apakah proporsi jumlah mobil yang masuk untuk dicuci setiap jam pada hari kemarin adalah sama ataukah proporsi jumlah mobil yang masuk untuk dicuci setiap jam pada hari kemarin tidak sama.

Gunakan tingkat kesalahan 5 % dan 1 %.

3. Suatu perusahaan mempunyai 10 mesin produksi. Hasil produksi dan kapasitas produksi dari ke-10 mesin produksi adalah sebagai berikut:

Mesin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Oi 187 278 304 118 47 34 16 9 4 3

Ei 167 272 318 129 50 33 20 7 3 1

Ujilah dari ke-10 mesin produksi apakah hasil produksinya telah sesuai dengan kapasitas produksinya? Gunakan tingkat kesalahan 5 %.

4. Di bawah ini adalah data tentang jumlah karyawan yang tidak masuk kerja karena sakit tiap bulan selama 1 tahun.

Bulan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Oi 12 13 15 23 26 27 29 23 17 15 10 14

Lakukan uji hipotesis apakah proporsi jumlah karyawan yang tidak masuk kerja karena sakit tiap bulan selama 1 tahun adalah sama ataukah berbeda.

Gunakan tingkat kesalahan 0.5 % dan 2.5 %.

5. Suatu perusahaan mempunyai 6 mesin produksi. Proporsi jumlah barang yang cacat yang dihasilkan oleh ke-6 mesin produksi diharapkan sama. Berikut ini adalah data tentang jumlah barang yang cacat yang dihasilkan oleh ke-6 mesin produksi.

Mesin produksi 1 2 3 4 5 6

Jumlah Cacat 10 9 17 13 7 4

Lakukan uji hipotesis apakah proporsi jumlah barang yang cacat yang dihasilkan oleh ke-6 mesin produksi adalah sama ataukah berbeda.

Gunakan tingkat kesalahan 5 % dan 10 %.

6. Suatu perusahaan mempunyai 5 kantor cabang, yaitu 2 kantor cabang utama dan 3 kantor cabang pembantu. Proporsi jumlah keuntungan yang dicapai oleh 2 kantor cabang utama diharapkan 52 % dan 24 % dan dari 3 kantor cabang pembantu diharapkan 10 %, 8 % dan 6

% dari total keuntungan. Berikut ini adalah data tentang jumlah keuntungan (dalam milyar rupiah) yang dihasilkan oleh 5 kantor cabang tersebut pada tahun kemarin.

1. Kantor cabang utama 1 = 400 2. Kantor cabang utama 2 = 185 3. Kantor cabang pembantu 1 = 95 4. Kantor cabang pembantu 2 = 80 5. Kantor cabang pembantu 3 = 40

Lakukan uji hipotesis apakah proporsi jumlah keuntungan perusahaan telah sesuai dengan yang diharapkan ataukah jumlah keuntungan perusahaan tidak sesuai dengan yang telah diharapkan

Gunakan tingkat kesalahan 5 % dan 10 %.

7. Suatu survei tentang jenis pekerjaan utama di perumahan Indah Permai telah dilakukan. Di bawah ini adalah proporsi jenis pekerjaan utama bagi penduduk di lingkungan perumahan Indah Permai berdasarkan survei tersebut.

1. Pegawai Negeri = 31 % 2. Pegawai Swasta = 24 % 3. Wirasuasta = 27 % 4. TNI dan Polri = 18 %

Selanjutnya survei yang sama dijalankan di perumahan Asri. Dari 530 penduduk, ternyata ada 128 sebagai pegawai negeri, 142 sebagai pegawai suasta, 143 sebagai wirasuasta dan 117 sebagai TNI dan Polri.

Lakukan uji hipotesis apakah proporsi jenis pekerjaan utama di perumahan Asri sama dengan di perumahan Indah Permai ataukah proporsinya berbeda.

Gunakan tingkat kesalahan 2.5 % dan 10 %.

5.3 Uji Independensi

Persoalan yang ingin diketahui dari uji independensi adalah apakah ada hubungan antara 2 unsur. Masing-masing unsur terdiri dari beberapa kategori. Dua unsur tersebut ditampilkan dalam suatu tabel kontingensi yang terdiri dari beberapa baris dan beberapa kolom, seperti di bawah ini:

Unsur 2 Unsur 1

Jumlah Kategori 1 . . . Kategori k

Kategori 1 O11 (E11) . . . O1k (E1k) n1.

. . . . . . . . . . . . . . .

Kategori b Ob1 (Eb1) . . . Obk (Ebk) nb.

Jumlah n.1 . . . n.k nbk

Keterangan:

k = banyaknya kategori dalam unsur yang diletakkan dalam kolom, b = banyaknya kategori dalam unsur yang diletakkan dalam baris,

O11 = nilai yang sebenarnya dari kategori ke-1 unsur ke-1 dan kategori ke-1 unsur ke-2, O1k = nilai yang sebenarnya dari kategori ke-k unsur ke-1 dan kategori ke-1 unsur ke-2, Ob1 = nilai yang sebenarnya dari kategori ke-1 unsur ke-1 dan kategori ke-b unsur ke-2, Obk = nilai yang sebenarnya dari kategori ke-k unsur ke-1 dan kategori ke-b unsur ke-2, E11 = estimasi nilai dari kategori ke-1 unsur ke-1 dan kategori ke-1 unsur ke-2,

=

  

nbk

n n_{1 1}

E1k = estimasi nilai dari kategori ke-k unsur ke-1 dan kategori ke-1 unsur ke-2,

=

  

bk k

n n n_{ 1}

Eb1 = estimasi nilai dari kategori ke-1 unsur ke-1 dan kategori ke-b unsur ke-2,

=

  

bk b

n n n_{1 }

Eb1 = estimasi nilai dari kategori ke-k unsur ke-1 dan kategori ke-b unsur ke-2,

=

  

bk b k

n n n_{ }

n.1 = jumlah nilai dari kategori ke-1 unsur ke-1, n.k = jumlah nilai dari kategori ke-k unsur ke-1,

n1. = jumlah nilai dari kategori ke-1 unsur ke-2, nb. = jumlah nilai dari kategori ke-b unsur ke-2,

nbk = jumlah nilai dari seluruh kategori dan seluruh unsur.

Uji hipotesis yang dijalankan adalah apakah dua unsur tidak ada hubungan (independent) ataukah dua unsur tersebut saling berhubungan (dependent). Dalam pengujian ini hipotesisnya hanya sampai pada kesimpulan apakah kedua unsur tersebut mempunyai sifat independensi atau tidak. Uji hipotesis ini tidak dapat menghitung derajat asosiasinya (seberapa besar hubungan antara dua unsur tersebut).

Nilai dari _hitung² dicari dengan rumus:

2 hitung

 =

       

bk bk bk b

b b k

k k

E E - . O . E .

E - O E

E - . O . E .

E -

O ²

1 2 1 1 1

2 1 1 11

2 11

11     

Derajat bebas dari distribusi chi-kuadrat adalah (b-1) (k-1).

Nilai ²_tabel adalah ²_{;  b-1 k-1} . Nilai kritis (H0 ditolak) jika:

2 hitung

  ²_tabel

Contoh

1. Suatu perusahaan minuman ringan memproduksi 4 rasa minuman, yaitu rasa Apel, Jeruk, Mangga dan Melon. Perusahaan ingin melakukan penelitian apakah ada hubungan antara rasa minuman ringan tersebut terhadap golongan umur. Golongan umur dibagi menjadi 3, yaitu anak-anak, dewasa dan orang tua. Diambil sampel random sebanyak 250 orang dan hasil dari penelitian tersebut adalah:

Golongan umur

Rasa minuman ringan

Jumlah

Apel Jeruk Mangga Melon

Anak-anak 14 72 33 10 129

Dewasa 16 26 23 8 73

Orang tua 12 7 19 10 48

Jumlah 42 105 75 28 250

Lakukan uji hipotesis apakah rasa minuman ringan berhubungan dengan golongan umur ataukah tidak ada hubungan antara keduanya.

Gunakan tingkat kesalahan 1 %.

Penyelesaian

- H0 : Rasa minuman ringan dan golongan umur tidak ada hubungan (saling bebas) H1 : Rasa minuman ringan dan golongan umur ada hubungan (tidak saling bebas) -  = 0.01

- Banyaknya kategori baris ada 3 (golongan umur) dan banyaknya kategori kolom ada 4 (rasa minuman), sehingga derajat bebasnya (3-1) (4-1) = 6. Diketahui tingkat kesalahan adalah 1 %, maka nilai dari distribusi chi-kuadrat:

  b- k- 2

1 1

;

 = ²_0.01;6 16.8119

Oleh karena itu daerah kritisnya:

2 hitung

  16.8119 = ²_tabel - Daerah keputusannya:

99 % 1 % (daerah penerimaan) (daerah penolakan)

0 16.8119

Langkah selanjutnya adalah mencari nilai estimasi (Eij) dari masing-masing kategori pada rasa minuman dan golongan umur, diperoleh:

Golongan umur

Rasa minuman ringan

Jumlah

Apel Jeruk Mangga Melon

Anak-anak



250 14 ^21.672



) 42 )(

129

( 



250 72 ^54.18



) 105 )(

129

( 



25033 ^38.7



) 75 )(

129

( 



250 10 ^14.448



) 28 )(

129

(  ¹²⁹

Dewasa



⁽⁷³₂₅₀⁾⁽⁴²⁾16 ^12.264

 

⁽⁷³₂₅₀^{)(10526 )30.66}

 

⁽⁷³₂₅₀^{)(7523 )21.9}

 

⁽⁷³₂₅₀^{)(28)8 8.176}



⁷³

Orang tua



250 12 ^8.064



) 42 )(

48

( 



250 7 ^20.16



) 105 )(

48

( 



25019 ^14.4



) 75 )(

48

( 



250 10 ^5.376



) 28 )(

48

(  ⁴⁸

Jumlah ^{42 105 75 28 250}

- Mencari nilai ²_hitung

No. Oi Ei Oi - Ei (Oi - Ei)² (Oi - Ei)²/ Ei

1 14 21.672 -7.672 58.859584 2.715928 2 72 54.180 17.820 317.552400 5.861063 3 33 38.700 -5.700 32.490000 0.839535 4 10 14.448 -4.448 19.784704 1.369373 5 16 12.264 3.736 13.957696 1.138103 6 26 30.660 -4.660 21.715600 0.708271

7 23 21.900 1.100 1.210000 0.055251

8 8 8.176 -0.176 0.030976 0.003789

9 12 8.064 3.936 15.492096 1.921143

10 7 20.160 -13.160 173.185600 8.590556

11 19 14.400 4.600 21.160000 1.469444

12 10 5.376 4.624 21.381376 3.97719

Total n = 250 250.000 28.64965

 

6497 . 28

1 1

2

2   



  b i

k

j ij

ij ij

E E - O

hitung=

- _hitung² = 28.6497 > 16.8119 = ²_tabel, maka H0 ditolak

- Dari kasus di atas dapat disimpulkan bahwa rasa minuman ringan dan golongan umur ada hubungan (tidak saling bebas).

2. Sebuah industri mie instant memproduksi 3 rasa mie, yaitu rasa soto, ayam spesial dan rasa kari ayam. Industri tersebut ingin melakukan penelitian apakah ada hubungan antara rasa mie instant terhadap waktu makan. Waktu makan dikategorikan ke dalam makan pagi, makan siang dan makan malam. Diambil sampel random sebanyak 185 orang dan hasil dari penelitian tersebut adalah:

Waktu makan

Rasa mie instant

Jumlah Soto Ayam spesial Kari ayam

Pagi 12 50 19 81

Siang 14 25 18 57

malam 10 16 21 47

Jumlah 36 91 58 185

Lakukan uji hipotesis apakah rasa mie instant berhubungan dengan waktu makan ataukah tidak ada hubungan antara keduanya.

Gunakan tingkat kesalahan 5 % dan 1 %.

A. Jika tingkat kesalahannya 5 %

- H0 : Rasa mie instant dan waktu makan tidak ada hubungan (saling bebas) H1 : Rasa mie instant dan waktu makan ada hubungan (tidak saling bebas) -  = 0.05

- Banyaknya kategori baris ada 3 (waktu makan) dan banyaknya kategori kolom ada 3 (rasa mie instant), sehingga derajat bebasnya (3-1) (3-1) = 4. Diketahui tingkat kesalahan adalah 5 %, maka nilai dari distribusi chi-kuadrat:

  b- k- 2

1 1

;

 = ²_0.05;4 9.4877 Oleh karena itu daerah kritisnya:

2 hitung

  9.4877 = ²_tabel - Daerah keputusannya:

95 % 5 % (daerah penerimaan) (daerah penolakan)

0 9.4877

Langkah selanjutnya adalah mencari nilai estimasi (Eij) dari masing-masing kategori pada rasa mie instant dan waktu makan, diperoleh:

Waktu makan

Rasa mie instant

Jumlah Soto Ayam spesial Kari ayam

Pagi



185 12 ^15.762



) 36 )(

81

( 



185 50 ^39.843



) 91 )(

81

( 



18519 ^24.4



) 58 )(

81

(  ⁸¹

Siang



185 14 ^11.092



) 36 )(

57

( 



185 25 ^28.038



) 91 )(

57

( 



18518 ^17.9



) 58 )(

57

(  ⁵⁷

malam



⁽⁴⁷₁₈₅^{)(36)10 9.146}

 

⁽⁴⁷₁₈₅^{)(91)16 23.119}

 

⁽⁴⁷₁₈₅^{)(5821 )14.7}



⁴⁷

Jumlah ^{36 91 58} 185

- Mencari nilai ²_hitung

No. Oi Ei Oi - Ei (Oi - Ei)² (Oi - Ei)²/ Ei

1 12 15.762 -3.762 14.153864 0.897965 2 50 39.843 10.157 103.159708 2.589139 3 19 25.395 -6.395 40.890840 1.610218

4 14 11.092 2.908 8.457093 0.762457

5 25 28.038 -3.038 9.228459 0.329143

6 18 17.870 0.130 0.016830 0.000942

7 10 9.146 0.854 0.729408 0.079752

8 16 23.119 -7.119 50.679007 2.192101

9 21 14.735 6.265 39.248532 2.663602

Total n = 185 185.000 11.12532

 

1253 . 11

1 1

2

2   

  

b i

k

j ij

ij ij

E E - O

hitung=

- _hitung² = 11.1253 > 9.4877 = ²_tabel, maka H0 ditolak

- Dari kasus di atas dapat disimpulkan bahwa rasa mie instant dan waktu makan ada hubungan (tidak saling bebas).

B. Jika tingkat kesalahannya 1 %

- H0 : Rasa mie instant dan waktu makan tidak ada hubungan (saling bebas) H1 : Rasa mie instant dan waktu makan ada hubungan (tidak saling bebas) -  = 0.01

- Banyaknya kategori baris ada 3 (waktu makan) dan banyaknya kategori kolom ada 3 (rasa mie instant), sehingga derajat bebasnya (3-1) (3-1) = 4. Diketahui tingkat kesalahan adalah 1 %, maka nilai dari distribusi chi-kuadrat:

  b- k- 2

1 1

;

 = ²_0.01;4 13.2767

Oleh karena itu daerah kritisnya:

2 hitung

  13.2767 = ²_tabel

- Daerah keputusannya:

99 % 1 % (daerah penerimaan) (daerah penolakan)

0 13.2767

Langkah selanjutnya adalah mencari nilai estimasi (Eij) dari masing-masing kategori pada rasa mie instant dan waktu makan, diperoleh:

Waktu makan

Rasa mie instant

Jumlah Soto Ayam spesial Kari ayam

Pagi



185 12 ^15.762



) 36 )(

81

( 



185 50 ^39.843



) 91 )(

81

( 



18519 ^24.4



) 58 )(

81

(  ⁸¹

Siang



185 14 ^11.092



) 36 )(

57

( 



185 25 ^28.038



) 91 )(

57

( 



18518 ^17.9



) 58 )(

57

(  ⁵⁷

malam



⁽⁴⁷₁₈₅^{)(36)10 9.146}

 

⁽⁴⁷₁₈₅^{)(91)16 23.119}

 

⁽⁴⁷₁₈₅^{)(5821 )14.7}



⁴⁷

Jumlah ^{36 91 58} 185

- Mencari nilai ²_hitung

No. Oi Ei Oi - Ei (Oi - Ei)² (Oi - Ei)²/ Ei

1 12 15.762 -3.762 14.153864 0.897965 2 50 39.843 10.157 103.159708 2.589139 3 19 25.395 -6.395 40.890840 1.610218

4 14 11.092 2.908 8.457093 0.762457

5 25 28.038 -3.038 9.228459 0.329143

6 18 17.870 0.130 0.016830 0.000942

7 10 9.146 0.854 0.729408 0.079752

8 16 23.119 -7.119 50.679007 2.192101

9 21 14.735 6.265 39.248532 2.663602

Total n = 185 185.000 11.12532

 

1253 . 11

1 1

2

2   

  

b i

k

j ij

ij ij

E E - O

hitung=

- _hitung² = 11.1253 < 13.2767 = ²_tabel, maka H0 diterima.

- Dari kasus di atas dapat disimpulkan bahwa rasa mie instant dan waktu makan tidak ada hubungan (saling bebas).

Soal latihan

1. Sebuah perusahaan sabun mandi memproduksi 3 keharuman sabun mandi, yaitu keharuman Mawar, keharuman Melati dan keharuman Kenanga. Suatu survei dilakukan untuk menguji apakah ada hubungan antara keharuman sabun mandi dengan jenis kelamin dijalankan. Untuk tujuan tersebut diambil sampel random sebanyak 175 orang dan hasil survei disajikan dalam tabel di bawah ini.

Keharuman Jenis kelamin Laki-laki Perempuan

Mawar 38 27

Melati 18 27

Kenanga 25 40

Lakukan uji hipotesis apakah keharuman sabun mandi berhubungan dengan jenis kelamin ataukah tidak ada hubungan antara keduanya.

Gunakan tingkat kesalahan 1 % dan 5 %.

2. Rumah Makan “Menanti Anda” buka setiap hari dari jam 7 pagi sehingga jam 9 malam.

Ramai orang datang untuk makan pagi, siang dan malam. Sampel random sebanyak 200 pengunjung restoran diambil pada waktu makan pagi, siang dan malam. Mereka ditanya tentang minuman yang dipesan pada waktu makan. Jawaban dari pengunjung restoran disajikan dalam sebuah tabel di bawah ini

Waktu makan Jenis Minuman

Teh Kopi Lain-lain

Pagi 30 44 23

Siang 27 18 20

Malam 9 12 17

Lakukan uji hipotesis apakah jenis minuman (tek, kopi, lain-lain) berhubungan dengan waktu makan (pagi, siang dan malam) ataukah tidak ada hubungan antara keduanya.

Gunakan tingkat kesalahan 1 % dan 5 %.

3. Suatu survei dijalankan untuk menanyakan jenis pekerjaan dan ukuran televisi yang dimiliki pada sebuah Kabupaten. Jenis pekerjaan terbagi atas pegawai negeri, pegawai swasta, pedagang dan TNI Polri. Ukuran televisi terbagi atas ukuran kecil (dibawah 20 inchi), sedang (antara 20 sehingga 30 inchi) dan ukuran besar (lebih dari 30 inchi).Untuk tujuan tersebut diambil sampel random yang terdiri dari 225 orang dan jawaban dari orang tersebut disajikan dalam sebuah tabel di bawah ini

Ukuran televisi

Jenis pekerjaan Pegawai

negeri

Pegawai

swasta Pedagang TNI Polri

Kecil 27 18 32 24

Sedang 12 20 18 17

Besar 18 16 13 10

Lakukan uji hipotesis apakah jenis pekerjaan berhubungan dengan ukuran televisi yang dimiliki ataukah tidak ada hubungan antara keduanya.

Gunakan tingkat kesalahan 1 %.

4. Suatu perusahaan mainan anak-anak telah memproduksi mainan anak-anak dengan 3 jenis mainan, yaitu jenis X, Y dan Z. Sampel random sebanyak 300 anak-anak diambil yang terbagi dalam 3 kelompok umur yaitu umur di bawah 3 tahun, antara 3 sehingga 7 tahun dan antara 8 sehingga 12 tahun. Ke-300 anak-anak disuruh memilih jenis mainan yang disukai dan secara lengkap diperoleh data:

Kelompok umur Jenis mainan

X Y Z

Di bawah 3 tahun 34 52 21

3 - 7 tahun 41 45 28

8 - 12 tahun 25 24 30

Lakukan uji hipotesis apakah kelompok umur berhubungan dengan jenis mainan yang disukai ataukah tidak ada hubungan antara keduanya.

Gunakan tingkat kesalahan 1 % dan 5 %.

5. Suatu kajian dijalankan untuk menanyakan bentuk jam tangan yang dipakai oleh karyawan perusahaan. Karyawan perusahaan terbagi dalam 4 divisi, yaitu divisi pemasaran, divisi produksi, divisi R & D dan divisi keuangan. Bentuk jam tangan terbagi menjadi 3 bentuk, yaitu bulat, oval dan kotak. Sampel random sebanyak 230 karyawan diambil dan jawaban dari pertanyaan tentang bentuk jam tangan yang dipakai disajikan dalam tabel di bawah ini.

Divisi pekerjaan Bentuk jam tangan

Bulat Oval Kotak

Pemasaran 15 21 34

Produksi 23 8 26

R & D 25 9 18

Keuangan 27 14 10

Lakukan uji hipotesis apakah divisi pekerjaaan berhubungan dengan bentuk jam tangan yang dipakai ataukah tidak ada hubungan antara keduanya.

Gunakan tingkat kesalahan 1 % dan 10 %.

6. Perusahaan lemari es telah memproduksi lemari es dengan warna-warna Merah, Biru, Putih dan Hijau. Berdasarkan data penjualan yang dipilih secara random diperoleh data tentang jenis kendaraan yang dipakai pada waktu membeli lemari es. Dari 400 data dapat diringkas dalam satu tabel di bawah ini.

Jenis kendaraan Warna lemari es

Merah Biru Putih Hijau

Sepeda motor 44 35 54 43

Mobil pribadi 18 12 25 21

Mobil umum 25 38 27 58

Lakukan uji hipotesis apakah jenis kendaraan yang digunakan berhubungan dengan warna lemari es yang dibeli ataukah tidak ada hubungan antara keduanya.

Gunakan tingkat kesalahan 5 % dan 10 %.

5.4 Uji Homogenitas

Dalam pengujian hipotesis kadang-kadang dihadapkan pada suatu masalah apakah dua sampel atau lebih berasal dari satu populasi atau dengan kata lain apakah satu sampel dengan sampel yang lain mempunyai persamaan. Uji hipotesis yang ditujukan untuk mengetahui apakah

dua sampel atau lebih bersifat homogen disebut uji homogenitas. Sama dengan uji independensi, data sampel dalam uji homogenitas disajikan dalam suatu tabel kontingensi.

Beberapa sampel ditampilkan dalam suatu tabel kontingensi yang terdiri dari beberapa baris dan beberapa kolom, seperti di bawah ini:

Sampel karakteristik

Jumlah

1 . . . k

Sampel 1 O11 (E11) . . . O1k (E1k) n1.

. . . . . . . . . . . . . . .

Sampel b Ob1 (Eb1) . . . Obk (Ebk) nb.

Jumlah n.1 . . . n.k nbk

Keterangan:

k = banyaknya karakteristik yang diletakkan dalam kolom, b = banyaknya jenis sampel yang diletakkan dalam baris,

O11 = nilai yang sebenarnya dari karakteristik ke-1 dan jenis sampel ke-1, O1k = nilai yang sebenarnya dari karakteristik ke-k dan jenis sampel ke-1, Ob1 = nilai yang sebenarnya dari karakteristik ke-1 dan jenis sampel ke-b, Obk = nilai yang sebenarnya dari karakteristik ke-k dan jenis sampel ke-b, E11 = estimasi nilai dari karakteristik ke-1 dan jenis sampel ke-1 =

  

nbk

n n_{1 1}

,

E1k = estimasi nilai dari karakteristik ke-k dan jenis sampel ke-1 =

  

bk k

n n n_{ 1}

,

Eb1 = estimasi nilai dari karakteristik ke-1 dan jenis sampel ke-b =

  

bk b

n n n_{1 }

,

Eb1 = estimasi nilai dari karakteristik ke-k dan jenis sampel ke-b =

  

bk b k

n n n_{ }

, n.1 = jumlah nilai dari karakteristik ke-1,

n.k = jumlah nilai dari karakteristik ke-k, n1. = jumlah nilai dari jenis sampel ke-1, nb. = jumlah nilai dari jenis sampel ke-b, nbk = jumlah nilai dari seluruh sampel.

Uji hipotesis yang dijalankan adalah apakah dua sampel atau lebih berasal dari satu populasi.

Nilai dari _hitung² dicari dengan rumus:

2 hitung

 =

       

bk bk bk b

b b k

k k

E E - . O . E .

E - O E

E - . O . E .

E -

O ²

1 2 1 1 1

2 1 1 11

2 11

11     

Derajat bebas dari distribusi chi-kuadrat adalah (b-1) (k-1).

Nilai ²_tabel adalah ²_{;  b-1 k-1} . Nilai kritis (H0 ditolak) jika:

2 hitung

  ²_tabel

Contoh

1. Suatu survei dilakukan untuk melihat apakah kebiasaan bermain internet pada waktu istirahat sama pada berbagai golongan karyawan. Untuk tujuan tersebut diambil sampel random sebanyak 50 karyawan golongan IV, 70 karyawan golongan III, 100 karyawan golongan II dan 100 karyawan golongan I. Berdasarkan wawancara diperoleh data:

Golongan Kebiasaan bermain internet

Jumlah

Tidak Ya

I 6 44 50

II 18 52 70

III 26 74 100

IV 35 65 100

Jumlah 85 235 320

Lakukan uji hipotesis apakah kebiasaan bermain internet pada waktu istirahat pada berbagai golongan karyawan adalah sama ataukah berbeda.

Gunakan tingkat kesalahan 5 % dan 1 %.

A. Jika tingkat kesalahannya 5 %

- H0 : kebiasaan bermain internet pada waktu istirahat pada berbagai golongan karyawan adalah sama (homogen),

H1 : kebiasaan bermain internet pada waktu istirahat pada berbagai golongan karyawan adalah tidak sama (tidak homogen),

-  = 0.05

- Banyaknya baris ada 4 (golongan karyawan) dan banyaknya kolom ada 2 (kebiasaan bermain internet), sehingga derajat bebasnya (4-1) (2-1) = 3. Diketahui tingkat kesalahan adalah 5 %, maka nilai dari distribusi chi-kuadrat:

  b- k- 2

1 1

;

 = ²_0.05;3 7.8147

Oleh karena itu daerah kritisnya:

2 hitung

  7.8147 = ²_tabel - Daerah keputusannya:

95 % 5 % (daerah penerimaan) (daerah penolakan)

0 7.8147

Langkah selanjutnya adalah mencari nilai estimasi (Eij) dari masing-masing unit pada golongan karyawan dan kebiasaan bermain internet, diperoleh:

Golongan Kebiasaan bermain internet

Jumlah

Tidak Ya

I



⁽⁸⁵₃₂₀⁾⁽⁵⁰⁾6 ^13.281

 

⁽²³⁵₃₂₀^{)(50)44 36.719}



⁵⁰

II



⁽⁸⁵₃₂₀⁾⁽⁷⁰⁾18 ^18.594

 

⁽²³⁵₃₂₀^{)(70)52 51.406}



⁷⁰

III



320 26 ^26.563



) 100 )(

85

( 



320 74 ^73.438



) 100 )(

235

(  ¹⁰⁰

IV



320 35 ^26.563



) 100 )(

85

( 



320 65 ^73.438



) 100 )(

235

(  ¹⁰⁰

Jumlah ^{85 235 320}

- Mencari nilai ²_hitung

No. Oi Ei Oi - Ei (Oi - Ei)² (Oi - Ei)²/ Ei

1 6 13.281 -7.281 53.016602 3.991838

2 18 18.594 -0.594 0.352539 0.018960

3 26 26.563 -0.563 0.316406 0.011912

4 35 26.563 8.438 71.191406 2.680147

5 44 36.719 7.281 53.016602 1.443856

6 52 51.406 0.594 0.352539 0.006858

7 74 73.438 0.563 0.316406 0.004309

8 65 73.438 -8.438 71.191406 0.969415

Total n = 320 320.000 9.127295

 

1273 . 9

1 1

2

2   



  b i

k

j ij

ij ij

E E - O

hitung=

- _hitung² = 9.1273 > 7.8147 = ²_tabel, maka H0 ditolak

- Dari kasus di atas dapat disimpulkan bahwa kebiasaan bermain internet pada waktu istirahat pada berbagai golongan karyawan adalah tidak sama (tidak homogen).

B. Jika tingkat kesalahannya 1 %

- H0 : kebiasaan bermain internet pada waktu istirahat pada berbagai golongan karyawan adalah sama (homogen),

H1 : kebiasaan bermain internet pada waktu istirahat pada berbagai golongan karyawan adalah tidak sama (tidak homogen),

-  = 0.01

- Banyaknya baris ada 4 (golongan karyawan) dan banyaknya kolom ada 2 (kebiasaan bermain internet), sehingga derajat bebasnya (4-1) (2-1) = 3. Diketahui tingkat kesalahan adalah 1 %, maka nilai dari distribusi chi-kuadrat:

  b- k- 2

1 1

;

 = ²_0.01;3 11.3449

Oleh karena itu daerah kritisnya:

2 hitung

  11.3449 = ²_tabel

- Daerah keputusannya:

99 % 1 % (daerah penerimaan) (daerah penolakan)

0 11.3449

Langkah selanjutnya adalah mencari nilai estimasi (Eij) dari masing-masing unit pada golongan karyawan dan kebiasaan bermain internet. Nilai estimasi (Eij) sama dengan pada tingkat kesalahan 5 %, yaitu:

Golongan Kebiasaan bermain internet

Jumlah

Tidak Ya

I 6 (13.281) 44 (36.719) 50

II 18 (18.594) 52 (51.406) 70

III 26 (26.563) 74 (73.438) 100

IV 35 (26.563) 65 (73.438) 100

Jumlah ^{85 235 320}

- Mencari nilai ²_hitung

No. Oi Ei Oi - Ei (Oi - Ei)² (Oi - Ei)²/ Ei

1 6 13.281 -7.281 53.016602 3.991838

2 18 18.594 -0.594 0.352539 0.018960

3 26 26.563 -0.563 0.316406 0.011912

4 35 26.563 8.438 71.191406 2.680147

5 44 36.719 7.281 53.016602 1.443856

6 52 51.406 0.594 0.352539 0.006858

7 74 73.438 0.563 0.316406 0.004309

8 65 73.438 -8.438 71.191406 0.969415

Total n = 320 320.000 9.127295

 

1273 . 9

1 1

2

2   

  

b i

k

j ij

ij ij

E E - O

hitung=

- _hitung² = 9.1273 < 11.3449 = ²_tabel, maka H0 diterima

- Dari kasus di atas dapat disimpulkan bahwa kebiasaan bermain internet pada waktu istirahat pada berbagai golongan karyawan adalah sama (homogen).

2. Perusahaan yang bergerak dalam bidang garmen mengedarkan kuesioner yang berisi tanggapan tentang rencana penggantian atau penukaran makan siang dengan uang. Kuesioner tersebut dibagikan pada karyawan bagian produksi, bagian pemasaran dan bagian administrasi. Tanggapan dibagi atas setuju, tidak setuju dan ragu-ragu. Hasil dari kuesioner disajikan dalam tabel di bawah ini.

Karyawan Tanggapan

Jumlah Setuju Tidak setuju Ragu-ragu

Produksi 21 18 31 70

Pemasaran 44 24 18 86

Administrasi 32 25 27 84

Jumlah 97 67 76 240

Lakukan uji hipotesis apakah ke-3 bagian karyawan (bagian produksi, bagian pemasaran dan bagian administrasi) mempunyai tanggapan yang sama tentang rencana penggantian atau penukaran makan siang dengan uang atau mempunyai tanggapan yang berbeda.

Gunakan tingkat kesalahan 1 % dan 5 %.

A. Jika tingkat kesalahannya 1 %

- H0 : Ke-3 bagian karyawan (bagian produksi, bagian pemasaran dan bagian administrasi) mempunyai tanggapan yang sama tentang rencana penggantian atau penukaran makan siang dengan uang,

H1 : Ke-3 bagian karyawan (bagian produksi, bagian pemasaran dan bagian administrasi) mempunyai tanggapan yang berbeda tentang rencana penggantian atau penukaran makan siang dengan uang,

-  = 0.01

- Banyaknya baris ada 3 (karyawan) dan banyaknya kolom ada 3 (tanggapan), sehingga derajat bebasnya (3-1) (3-1) = 4. Diketahui tingkat kesalahan adalah 1 %, maka nilai dari distribusi chi-kuadrat:

  b- k- 2

1 1

;

 = ²_0.01;4 13.2767

Oleh karena itu daerah kritisnya:

2 hitung

  13.2767 = ²_tabel

- Daerah keputusannya:

99 % 1 % (daerah penerimaan) (daerah penolakan)

0 13.2767

Langkah selanjutnya adalah mencari nilai estimasi (Eij) dari masing-masing unit pada golongan karyawan dan kebiasaan bermain internet, diperoleh:

Karyawan Tanggapan

Jumlah Setuju Tidak setuju Ragu-ragu

Produksi 21



⁽⁷⁰₂₄₀^{)(97)28.292}

 

⁽⁷⁰₂₄₀^{)(67)18 19.542}

 

⁽⁷⁰₂₄₀^{)(76)31 22.167}



⁷⁰

Pemasaran 44



⁽⁸⁶₂₄₀^{)(97)34.758}

 

⁽⁸⁶₂₄₀^{)(67)24 24.008}

 

⁽⁸⁶₂₄₀^{)(76)18 27.233}



⁸⁶

Administrasi 32



⁽⁸⁴₂₄₀^{)(97)33.950}

 

⁽⁸⁴₂₄₀^{)(67)25 23.450}

 

⁽⁸⁴₂₄₀^{)(76)27 26.600}



⁸⁴

Jumlah 97 67 76 240