SIFAT-SIFAT PADA BN
1-ALJABAR SERTA HUBUNGAN DENGAN ALJABAR LAINNYA
REPOSITORY
OLEH
CINDY SEPTIGRAHA IRAWAN NIM. 1603115725
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU 2020
SIFAT-SIFAT PADA BN1-ALJABAR SERTA HUBUNGAN DENGAN ALJABAR LAINNYA
Cindy Septigraha Irawan
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
ABSTRACT
This article discusses the properties of BN1-algebra and the relationship between BN1-algebra and some other algebra. Then, using the properties contained in BN1- algebra and some other algebra, we derive several other related algebraic properties.
In the final section, it is found that the conditions of some algebra in BN1-algebra are the same. This article is a review of [Scientiae Mathematicae Japonicae 78, 3 (2015), 335-342).
Keywords: Group, subgroup, binary operation, algebra, BN -algebra ABSTRAK
Artikel ini membahas sifat-sifat pada BN1-aljabar dan hubungan antara BN1-aljabar dengan beberapa aljabar lainnya. Kemudian, dengan menggunakan sifat-sifat yang ada pada BN1-aljabar dan beberapa aljabar lain, diturunkan beberapa sifat aljabar lain yang saling berhubungan. Pada bagian akhir, diperoleh bahwa kondisi bebe- rapa aljabar dalam BN1-aljabar adalah sama. Artikel ini merupakan review dari [Scientiae Mathematicae Japonicae 78, 3 (2015), 335-342].
Kata kunci: Grup, subgrup, operasi biner, aljabar, BN -aljabar
1. PENDAHULUAN
Aljabar merupakan salah satu bidang matematika yang membahas tentang bilangan serta aritmatika bilangan. Suatu himpunan X tak kosong yang disertai dengan suatu operasi biner disebut sistem (struktur) aljabar murni. Struktur yang memiliki sifat-sifat aritmatika tertentu (aksioma grup) disebut grup. Grup adalah salah satu titik fokus dari aljabar modern. Grup adalah himpunan dari elemen yang dapat digabungkan melalui suatu operasi seperti penambahan atau perkalian. Elemen- elemennya mungkin sesuatu selain angka dan operasinya mungkin sesuatu selain
Pada tahun 1966 Is´eki [3] memperkenalkan konsep dari BCI-aljabar sebagai aljabar yang terhubung dengan beberapa logika. Neggers dan Kim [8] memperke- nalkan dan menginvestigasi kelas aljabar yang terkait dengan beberapa kelas aljabar seperti BCH/BCI/BCK-aljabar dan memperkenalkan konsep dari B-aljabar.Kim dan Kim [4], [5] memperkenalkan gagasan tentang BG-aljabar dan BM -aljabar yang merupakan perumuman dari B-aljabar.
Walendziak [9] memperkenalkan gagasan tentang BF -aljabar yang juga meru- pakan perumuman dari B-aljabar. Kemudian, Kim dan Kim [6] memperkenalkan gagasan tentang BN -aljabar, hasil bagi BN -aljabar, dan menyelidiki beberapa hu- bungan antara BN -aljabar dengan aljabar lainnya.
Pada bagian selanjutnya dalam artikel ini, X dinotasikan sebagai suatu aljabar (X; ∗, 0) dari tipe (2, 0) yaitu suatu himpunan tak kosong X dengan operasi biner
” ∗ ” dan konstanta 0. Fraleigh [2, h. 32] memberikan definisi operasi biner yaitu operasi biner (∗) pada himpunan X adalah aturan yang menetapkan untuk setiap pasangan berurutan (a, b) dari elemen X dengan satu elemen X.
Pada bagian hasil bagi BN -aljabar, Kim dan Kim [6] juga memperkenalkan gagasan tentang BN1-aljabar.
Definisi 1 BN1-aljabar adalah sebuah aljabar X yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:
(B1) x ∗ x = 0, (B2) x ∗ 0 = x,
(BN) (x ∗ y) ∗ z = (0 ∗ z) ∗ (y ∗ x), (BN1) x = (x ∗ y) ∗ y.
Selanjutnya, Kim dan Kim [6] memperkenalkan gagasan bahwa jika X adalah BN1-aljabar, maka X adalah BG-aljabar. Dummit dan Foote [1, h. 46] menga- takan bahwa salah satu metode dasar untuk mengurai struktur dari setiap objek matematika yang didefinisikan oleh seperangkat aksioma adalah untuk mempela- jari himpunan bagian dari objek yang juga memenuhi aksioma yang sama. Oleh karena itu, artikel ini memperkenalkan sifat-sifat pada BN1-aljabar serta memba- has hubungan BN1-aljabar dengan sifat-sifat aljabar lainnya yang juga memenuhi aksioma yang sama dengan BN1-aljabar. Tujuannya untuk mengetahui hubungan antara sifat-sifat aljabar tersebut.
Penelitian ini merupakan review dari artikel Walendziak [10]. Untuk pemba- hasan ini, pada bagian 2 merupakan beberapa definisi dasar yang digunakan dalam pembahasan. Kemudian dilanjutkan dibagian 3 dijelaskan sifat-sifat aljabar pada BN1-aljabar, dan diakhiri dibagian 4 dengan contoh beberapa aljabar yang saling berhubungan.
2. ALJABAR YANG TERKAIT
Beberapa aljabar yang berhubungan dengan BN1-aljabar sebagai berikut.
Definisi 2 [8] B-aljabar adalah sebuah aljabar X yang memenuhi aksioma-aksioma (B1), (B2), dan (B) (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (z ∗ (0 ∗ y)) untuk semua x, y, z ∈ X.
Definisi 3 [5] BM -aljabar adalah sebuah aljabar X yang memenuhi aksioma-aksioma (B1), (B2), dan (BM) (z ∗ x) ∗ (z ∗ y) = y ∗ x untuk semua x, y, z ∈ X.
Definisi 4 [9] BF -aljabar adalah sebuah aljabar X yang memenuhi aksioma-aksioma (B1), (B2), dan (BF) 0 ∗ (x ∗ y) = y ∗ x untuk semua x, y, z ∈ X.
Definisi 5 [4] BG-aljabar adalah sebuah aljabar X yang memenuhi aksioma-aksioma (B1), (B2), dan (BG) (x ∗ y) ∗ (0 ∗ y) = x untuk semua x, y ∈ X.
Definisi 6 [10] Sebuah aljabar X disebut BH-aljabar jika memenuhi aksioma- aksioma (B1), (B2), dan (BH) x ∗ y = y ∗ x = 0 =⇒ x = y untuk semua x, y ∈ X.
Definisi 7 [10] Sebuah BH-aljabar disebut BCH-aljabar jika memenuhi kondisi (x ∗ y) ∗ z = (x ∗ z) ∗ y untuk semua x, y, z ∈ X.
Definisi 8 [10] Sebuah BH-aljabar disebut BCI-aljabar jika memenuhi kondisi ((x ∗ y) ∗ (x ∗ z)) ∗ (z ∗ y) = 0 untuk semua x, y, z ∈ X.
Definisi 9 [6] BN -aljabar adalah sebuah aljabar X yang memenuhi aksioma-aksioma (B1), (B2), dan (BN) (x ∗ y) ∗ z = (0 ∗ z) ∗ (y ∗ x) untuk semua x, y, z ∈ X.
Definisi 10 (Kondisi D) [10] Sebuah aljabar X adalah suatu coxeter aljabar jika dan hanya jika BN -aljabar memenuhi kondisi (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (z ∗ y) untuk semua x, y, z ∈ X.
Definisi 11 [10] Coxeter aljabar adalah sebuah aljabar X yang memenuhi aksioma- aksioma (B1), (B2), dan (As) x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z untuk semua x, y, z ∈ X.
3. SIFAT-SIFAT PADA BN1-ALJABAR
Sifat-sifat yang terdapat pada BN1-Aljabar digunakan untuk melihat hubungan BN1-Aljabar dengan beberapa aljabar lainnya. Dalam [6] diberikan sifat-sifat BN1- Aljabar sebagai berikut.
Proposisi 12 Jika X adalah BN1-aljabar, maka berlaku sifat-sifat berikut:
(P1) 0 ∗ (0 ∗ x) = x,
(P2) y ∗ x = (0 ∗ x) ∗ (0 ∗ y), (P3) 0 ∗ x = x,
(P5) x ∗ y = y ∗ x, (P6) x = y ∗ (y ∗ x), (P7) x ∗ y = 0 =⇒ x = y, (P8) x ∗ y = y =⇒ x = 0, (P9) x ∗ y = x =⇒ y = 0,
(P10) x ∗ y = x ∗ z =⇒ y = z, untuk semua x, y, z ∈ X.
Bukti. Misalkan x, y, z ∈ X.
(P1) Ambil y = 0, dengan menggunakan aksioma (BN1) pada Definisi 1 diperoleh:
x = (x ∗ y) ∗ y,
= (x ∗ 0) ∗ 0 [y = 0].
Jadi, terbukti bahwa 0 ∗ (0 ∗ x) = x.
(P2) Dengan menggunakan aksioma (B2´) diperoleh:
y ∗ x = (0 ∗ x) ∗ (0 ∗ y),
(0 ∗ y) ∗ (0 ∗ x) = (0 ∗ x) ∗ (0 ∗ y) [B2′].
Jadi, diperoleh bahwa y ∗ x = (0 ∗ x) ∗ (0 ∗ y).
(P3) Misalkan x = y pada aksioma (BN1). Dengan menggunakan aksioma (B1) pada Definisi 1 diperoleh:
x = (x ∗ x) ∗ x,
= 0 ∗ x [B1].
Terbuktilah bahwa 0 ∗ x = x.
(P4) Dengan menggunakan aksioma (BN1) pada Definisi 1 dan (P3) diperoleh:
x = (x ∗ y) ∗ y,
= (x ∗ y) ∗ (0 ∗ y) [P3].
Jadi, diperoleh bahwa x = (x ∗ y) ∗ (0 ∗ y).
(P5) Dengan menggunakan (P2) dan (P3) diperoleh:
y ∗ x = (0 ∗ x) ∗ (0 ∗ y),
= x ∗ y [P3].
Jadi, terbukti bahwa x ∗ y = y ∗ x.
(P6) Dengan menggunakan aksioma (BN1) pada Definisi 1 dan (P5) diperoleh:
x = y ∗ (x ∗ y),
= y ∗ (y ∗ x) [P5].
Terbuktilah bahwa x = y ∗ (y ∗ x).
(P7) Misalkan x ∗ y = 0. Dengan menggunakan aksioma (BN1) pada Definisi 1 dan
(P3) diperoleh:
x = (x ∗ y) ∗ y,
= 0 ∗ y [x ∗ y = 0],
= y [P3].
Jadi, terbukti bahwa x ∗ y = 0 =⇒ x = y.
(P8) Misalkan x ∗ y = y. Dengan menggunakan aksioma (BN1) dan (B1) pada Definisi 1 diperoleh:
x = (x ∗ y) ∗ y,
= y ∗ y [x ∗ y = y],
= 0 [B1].
Jadi, diperoleh bahwa x ∗ y = y =⇒ x = 0.
(P9) Misalkan x ∗ y = x. Dengan menggunakan aksioma (BN1) pada Definisi 1 dan (P3) diperoleh:
x = (x ∗ y) ∗ y,
= x ∗ y [x ∗ y = x],
0 ∗ x = x ∗ y [P3],
0 = y.
Terbuktilah bahwa x ∗ y = x =⇒ y = 0.
(P10) Misalkan x ∗ y = x ∗ z. Dengan menggunakan (P6) diperoleh:
x ∗ y = x ∗ z,
x ∗ (x ∗ y) = x ∗ (x ∗ z) [(∗)x],
y = z [P6].
Jadi, diperoleh bahwa x ∗ y = x ∗ z =⇒ y = z. ✷
Proposisi 13 Setiap BN1-Aljabar mempunyai solusi yang unik, yaitu hanya terda- pat satu solusi atau solusi tunggal pada persamaan x ∗ b = a.
Bukti. Misalkan X adalah BN1-aljabar, dan a, b ∈ X.
Persamaan x ∗ b = a dan b ∗ x = a mempunyai solusi x = a ∗ b dan x = b ∗ a.
Dengan menggunakan (P10) diperoleh:
x ∗ b = a ∗ b =⇒ x = a, b ∗ x = b ∗ a =⇒ x = a.
Jadi, terbukti bahwa BN1-Aljabar mempunyai solusi yang unik. ✷ Teorema 14 Suatu aljabar X adalah BN1-Aljabar jika dan hanya jika memenuhi
(B1) x ∗ x = 0, (C) x ∗ y = y ∗ x, (BN1) x = (x ∗ y) ∗ y.
Bukti. ⇒ Misalkan X adalah BN1-aljabar. Dari definisi 1 dan (P5), X memenuhi aksioma (B1), (BN1) dan (C).
⇐ Sebaliknya, misalkan aksioma (B1), (BN1) dan (C) berlaku di X. Dari aksioma (BN1) dan (B1) pada definisi 1 diperoleh:
x = (x ∗ y) ∗ y,
= (x ∗ x) ∗ x [x = y],
= 0 ∗ x [B1].
Dengan menggunakan sifat komutatif pada aksioma (B2), sehingga diperoleh ak- sioma B2´. Jadi terbukti aksioma (B2´) bahwa 0 ∗ x = x.
Misalkan x, y, z ∈ X dan aksioma (BN) pada Definisi 1 berlaku di X. Dengan menggunakan hukum komutatif (C) dan aksioma (B2´) diperoleh:
(x ∗ y) ∗ z = z ∗ (y ∗ x),
= (0 ∗ z) ∗ (y ∗ x) [B2′].
Karena X memenuhi aksioma (B1), (B2) dan (BN) sehingga terbukti X adalah
BN1-aljabar. ✷
4. HUBUNGAN BN1-ALJABAR DENGAN BEBERAPA ALJABAR LAIN
Pada bagian ini dibahas mengenai hubungan BN1-Aljabar dengan BG-aljabar, serta memperlihatkan beberapa aljabar yang saling berhubungan.
Teorema 15 Suatu aljabar X adalah BN1-aljabar jika dan hanya jika X adalah komutatif BG-aljabar.
Bukti. ⇒ Misalkan X adalah BN1-aljabar.
Dengan menggunakan (P4), maka X memenuhi aksioma (BG).
Dari (P5) diperoleh operasi ∗ komutatif.
⇐ Sebaliknya, jika X adalah komutatif BG-aljabar, maka X memenuhi aksioma (B1), hukum komutatif (C), dan aksioma (BN1). Dengan menggunakan definisi BG-aljabar pada Definisi 5 dan (P3) diperoleh:
(x ∗ y) ∗ (0 ∗ y) = x,
(x ∗ y) ∗ y = x [P3].
Jadi, terbukti bahwa X memenuhi aksioma (B1), hukum komutatif (C), dan aksioma
(BN1). ✷
Lema 16 Jika suatu aljabar X memenuhi hukum komutatif (C) dan aksioma (B2´), maka aksioma (As) memenuhi aksioma (B).
Bukti. Dengan menggunakan hukum komutatif (C) dan aksioma (B2´) diperoleh:
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z),
= x ∗ (z ∗ y) [C],
= x ∗ (z ∗ (0 ∗ y)) [B2′].
Jadi, diperoleh bahwa aksioma (As) memenuhi aksioma (B). ✷ Lema 17 Jika X memenuhi aksioma (B2´), maka aksioma (B) memenuhi kondisi (D).
Bukti. Misalkan x, y, z ∈ X, sehingga diperoleh:
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (z ∗ (0 ∗ y)),
= x ∗ (z ∗ y) [B2′].
Terbuktilah bahwa aksioma (B) memenuhi kondisi (D). ✷ Lema 18 Misalkan X memenuhi hukum komutatif (C), maka kondisi (D) memenuhi aksioma (BCH).
Bukti. Misalkan x, y, z ∈ X. Dengan menggunakan hukum komutatif (C) dan kondisi (D) maka diperoleh:
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (z ∗ y),
= (y ∗ x) ∗ z [C],
= y ∗ (z ∗ x) [C],
= (x ∗ z) ∗ y.
Jadi, diperoleh bahwa kondisi (D) memenuhi aksioma (BCH). ✷ Lema 19 Misalkan X memenuhi hukum komutatif (C) dan aksioma (BN1), maka aksioma (BCH) memenuhi aksioma (BM).
Bukti. Misalkan x, y, x ∈ X. Dengan menggunakan aksioma (BCH), hukum ko- mutatif (C) dan aksioma (BN1) diperoleh:
(x ∗ y) ∗ (x ∗ z) = (x ∗ (x ∗ z)) ∗ y,
= ((z ∗ x) ∗ x)) ∗ y [C],
= z ∗ y [BN1].
Jadi, terbukti bahwa aksioma (BCH) memenuhi aksioma (BM). ✷ Lema 20 Misalkan aksioma (B1) berlaku pada X, maka aksioma (BM) memenuhi aksioma (BCI).
Bukti. Dari aksioma (BM) dan (B1) diperoleh:
((x ∗ y) ∗ (x ∗ z)) ∗ (z ∗ y) = 0,
(z ∗ y) ∗ (z ∗ y) = 0 [BM],
0 = 0 [B1].
Jadi, diperoleh bahwa aksioma (BM) memenuhi aksioma (BCI). ✷ Lema 21 Pada BN1-aljabar, aksioma (BCI) memenuhi aksioma (As).
Bukti. Misalkan X adalah BN1-aljabar yang memenuhi aksioma (BCI) dan x, y, z ∈ X. Sehingga diperoleh:
((x ∗ y) ∗ (x ∗ z)) ∗ (z ∗ y) = 0,
(x ∗ y) ∗ (x ∗ z) = (z ∗ y). [P7]
Selanjutnya, dengan menggunakan proposisi 2.7 pada [5] diperoleh:
(x ∗ y) ∗ z = (x ∗ z) ∗ y. (1)
Kemudian, ruas kiri persamaan (1) dapat ditulis menjadi (x ∗ y) ∗ z = [(z ∗ y) ∗ (z ∗ x)] ∗ z,
= (z ∗ y) ∗ [z ∗ (0 ∗ (z ∗ x))],
= [0 ∗ (z ∗ x)] ∗ y,
(x ∗ y) ∗ z = (x ∗ z) ∗ y. (2)
Selanjutnya, dengan menggunakan aksioma (B3) pada [5] ruas kanan persamaan (1) dapat ditulis menjadi
(x ∗ z) ∗ y = x ∗ (y ∗ (0 ∗ z)). (3) Dengan menggunakan aksioma (B2’), persamaan (3) menjadi
(x ∗ z) ∗ y = x ∗ (y ∗ z). (4)
Karena pembuktian dari ruas kiri dan kanan pada persamaan (1) berlaku, maka diperoleh:
x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z.
Jadi, terbukti bahwa aksioma (BCI) memenuhi aksioma (As). ✷
5. KESIMPULAN
Pada artikel ini penulis membahas tentang sifat-sifat pada BN1-aljabar. BN1- aljabar adalah generalisasi dari BN -aljabar. Pada Proposisi 12 dapat dilihat bahwa
sifat-sifat yang terdapat pada BN1-aljabar yaitu 0 ∗ x = x, x = (x ∗ y) ∗ (0 ∗ y), x ∗ y = y ∗ x, x = y ∗ (y ∗ x), x ∗ y = 0 =⇒ x = y, x ∗ y = y =⇒ x = 0, x ∗ y = x =⇒ y = 0, x ∗ y = x ∗ z =⇒ y = z, 0 ∗ (0 ∗ x) = x, dan y ∗ x = (0 ∗ x) ∗ (0 ∗ y) untuk semua x, y ∈ X.
Selanjutnya, dalam artikel ini ditunjukkan bahwa terdapat beberapa aljabar yang saling berhubungan erat. Beberapa aljabar juga dapat dibuktikan bahwa memenuhi aksioma (B1) yaitu x ∗ x = 0 dan aksioma (B2) yaitu x ∗ 0 = x, sehingga kondisinya sama.
Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Sri Gemawati, M.Si. dan anonymous reviewer yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] D. S. Dummit dan R. M. Foote, Abstract Algebra, Third Ed., John Wiley &
Sons, Hoboken, 2004.
[2] J. B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, Fifth Ed., Addison-Wesley Publishing Company, New York, 1994.
[3] K. Is´eki, An algebra related with a propositional calculus, Proceedings of the Japan Academy, 42 (1966), 26-29.
[4] C. B. Kim dan H. S. Kim, On BG-algebras, Demonstratio Mathematica, 41 (2008), 497-505.
[5] C. B. Kim dan H. S. Kim, On BM-algebras, Scientiae Mathematicae Japonicae, 63 (2006), 215-221.
[6] C. B. Kim dan H. S. Kim, On BN-algebras, Kyungpook Mathematical Journal, 53 (2013), 175-184.
[7] H. S. Kim, Y. H. Kim, dan J. Neggers, Coxeter algebras and pre-Coxeter alge- bras in Smarandache setting, Honam Mathematical Journal, 26 (2004), 471-481.
[8] J. Neggers dan H. S. Kim, On B-algebras, Matematiˇcki Vesnik, 54 (2002), 21-29.
[9] A. Walendziak, On BF-algebras, Mathematica Slovaca, 57 (2007), 119-128.
[10] A. Walendziak, Some Results On BN1-algebras, Scientiae Mathematicae Japon- icae 78, 3 (2015), 335-342.
