STRATEGI PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA SUTOPO/PMAT

STRATEGI PEMECAHAN

MASALAH MATEMATIKA



Strategi atau trik di dalam pemecahan masalah

seringkali disebut sebagai heuristik.



Berikut akan dibicarakan strategi pemecahan

masalah menurut Loren C. Larson. Dalam bukunya

”

Problem Solving through Problem

”, Loren C.

Larson merangkum strategi pemecahan masalah

matematika menjadi 12 macam sebagai berikut

Loren C. Larson merangkum strategi pemecahan

masalah matematika menjadi 12 macam sebagai berikut

:

 1

. Mencari pola



2. Buatlah gambar



3. Bentuklah masalah yang

setara



4. Lakukan modifikasi

pada soal



5. Pilih notasi yang tepat



6. Pergunakan simetri

7.

Kerjakan dalam kasus-kasus

8. Bekerja mundur

9. Berargumentasi dengan

kontradiksi

10. Pertimbangkan paritas

11. Perhatikan kasus-kasus

ekstrim

12. Lakukan perumuman

1. Mencari Pola (Search for a pattern)

Mengamati pola dan hubungan merupakan salah satu strategi yang sering digunakan untuk memecahkan masalah matematika. Pola dapat muncul dalam urutan angka, gambar, daftar atau tabel yang sistematis. Kemampuan untuk mengidentifikasi dan mengenali suatu pola atau hubungan antara unsur-unsur dalam suatu masalah yang diberikan terkadang sangat berguna untuk menyederhanakan suatu proses dan waktu pemecahan masalah.

Siswa perlu belajar dan meningkatkan kemampuannya untuk mengidentifikasi dan mengenali banyak pola bilangan dan memprediksi atau menggeneralisasi hubungan antara dua data dalam matematika.

CONTOH

Berapakah suku ke-7, ke-8, ke-9 dalam barisan bilangan

1, 2, 4, 7, 11, 16, …

Jawab.

Misal U1 menyatakan suku pertama,

U1 = 1 ;

U2 = 1 + 1 =2 ; U3 = 2 + 2 =4 ;

U4 = 4 + 3 = 7;

U5 = 7 + 4 = 11; U6 = 11+5=16; U7 = 16+6=22 dst

contoh

Buktikan banyaknya himpunan bagian dari himpunan dengan n elemen adalah 2n

Jawab.

Untuk menjawab ini, kadang menjadikan bingung dan panik jika tidak tahu bagaimana memprosesnya. Untuk menjawab persoalan tersebut, bisa dilakukan dengan menjawab pertanyaan serupa

 Berapa banyak himpunan bagian dari himpunan dengan n elemen?

 Buktikan jika A himpunan dengan n elemen makan banyaknya himpunan

Cara 1 dimulai dari banyak himpunan bagian dengan elemen

0,1,2,3 elemen

Banyak

elemen Elemen yang di S Himpunan Bagian dari S Banyak HimpBagian

0 Tidak ada {} 1=20 1 x1 {}, {x1} 2 = 21 2 X1, x2 {}, {x1}, {x2}, {x1,x2} 4 = 22 3 X1,x2, x3 {}, {x1},{x2},{x3},{x1,x2},{x1,x3}, {x2,x3}, {x1,x2,x3} 8 = 2 3 4 X1,x2,x3,x4 {},{x1},{x2},{x3},{x4},{x1,x2},{x1,x3}, {x1,x4}, {x2,x3}, {x2,x4}, {x3,x4}, {x1,x2,x3},{x1,x2,x4}, {x1,x3,x4}, {x2,x3,x4}, {x1,x2,x3,x4} 16 = 24

Dari tabel tersebut, terlihat pola, sehingga untuk himpunan

dengan n elemen adalah 2

n

Walaupun generalisasi bukan bukti dalam matematika, tetapi

Cara II

Misalkan A_n adalah banyak himpunan bagian dengan n elemen. Ambil S suatu himpunan dengan n+1 elemen, misalkan elemen ke-(n+1) adalah x

Berati S-{x} himpunan dengan n elemen.

Ada korespondensi 1-1 antara himpunan bagian S yang memuat x dan himpunan bagian S yang tidak memuat x.

Contoh misal A={a,b,c} ;

himp bagian A yang memuat a : {a}, {a,b}, {a,c}, {a,b,c}, dan himp bagian A yang tidak memuat a ; {}, {b}, {c}, {b,c}

jika digambung banyaknya himp bagian A yang memuat a dan yang tidak memuat a = banyak himp bagian dari A

Selanjutnya A_n =2 A _n-1 = 2.2 A _n-2 = 23 _A

n-3 =… = 2n A0. Karena banyaknya himpunan

bagian dari A₀=1 maka banyak himpunan bagian dari A_n = 2n

Cara 3

a b c {a,b,c} -c {a,b} -b c {a,c} -c {a} -a b c {b,c} -c {b} -b c {c) -c {}

2. Membuat Gambar

Strategi ini adalah membuat gambar untuk memudahkan

penyelesaian.

Menggambar diagram atau gambar untuk memodelkan

kejadian atau hubungan yang mewakili suatu masalah

merupakan strategi yang efektif

untuk membantu siswa

memvisualisasikan masalah, yaitu memperjelas apa saja

unsur-unsurnya dan apa yang harus dilakukan untuk

memecahkan masalah tersebut.

Menggambar diagram berarti mengubah masalah menjadi

representasi visual, mewakili informasi yang diberikan dalam

masalah dalam bentuk diagram.

Selain untuk lebih memahami masalah, menggambar diagram juga merupakan salah satu strategi untuk memecahkan masalah tertentu. Dalam beberapa kasus, solusi dapat disimpulkan langsung dari diagram, atau strategi yang tepat dapat ditentukan berdasarkan representas

 Contoh.

 Misalkan diberikan talibusur sebarang XY pada setengah lingkaran

dengan diameter AB. Misalkan M adalah titik tengah XY. Dari titik X, M, Y diproyeksikan pada sisi AB sehingga didapat titik N, K, L. Buktikan bahwa jika talibusur tersebut berubah posisi maka tetap menghasilkan segitiga sama kaki yang kongruen

Penyelesaian Masalah

 Perhatikan gambar  Y M Y M  X X  A K N L B A K N L B  D KN=NL, NM=NM Dan MNK=MNL Jadi MNKMNL KM=LM YKM=YDX= ½ busur YX Ini berarti KML=2YKM)

Jadi besar sudut KML tetap tidak tergantung posisi talibusur YX

Contoh Lain



Diketahui segiempat PQRS dengan 𝑃𝑄 // 𝑆𝑅 dan

𝑃𝑆 // 𝑄𝑅. Titik L pada QR sehingga garis SL

memootong diagonal PR di K dan memotong

perpanjangan sisi PQ di M.

Jika SK=x, dan KL=y

maka buktikan bahwa 𝑳𝑴 =

𝒙𝟐−𝒚𝟐

Untuk menjawab, maka dilukiskan bangun datar dan posisi titik-titiknya sehingga mudah menyelesaikan

Delapan tim dari Sepak Bola Profesional akan bertemu di kejuaraan musim ini. Kejuaraan akan menerapkan turnamen single-elimination (system gugur) untuk menentukan juara, yaitu tim akan tersingkir dari turnamen setelah satu kali kalah. Berapa banyak permainan yang dibutuhkan?

Panjang ketiga batang tersebut adalah 7 cm, 9 cm, dan 12 cm. Bagaimana Anda bisa menggunakan batang ini untuk mengukur panjang 10 cm?

3. Bentuklah Masalah yang Setara (Formulate an

equivalent problem)

 Berapakah faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 95226768 dan1006 ?  Kalau kita menggunakan faktorisasi prima, maka langkah yang

diperlukan untuk menyelesaikannya cukup panjang. Oleh karena itu mungkin kita perlu bekerja pada soal yang lebih sederhana untuk sampai pada kesimpulan tertentu dan hasil ini yang nantinya kita terapkan pada soal semula.

 Misalnya FPB dari 2166 dan 14 adalah sama dengan FPB dari 14 dan 10

sebab 2166 = 154×14 +10 , yang berarti 10 kongruen dengan 2166 modulo 14.

3. Bentuklah Masalah yang Setara (Formulate an

equivalent problem)

Suatu masalah dapat dipandang dari berbagai sudut pandang seseorang sehingga masalah itu dikatakan bernilai relatif, dapat menjadi mudah atau sebaliknya dapat menjadi sulit. Demikian pula halnya dengan masalah matematika. Jangan hanya terpaku pada satu konsep saja sehingga tidak terjebak. Dengan mengubah sudut pandang, akan ditemukan konsep lain yang tersembunyi yang memungkinkan untuk menyelesaikannya dengan mudah.

Contoh:

Jika K, L, M, N merupakan titik tengah masing masing sisi AD, AB, BC, dan CD dari suatu persegi ABCD.Apabila luas persegi ABCD adalah 6p2_{, berapakah luas persegi}

KLMN? A B C D K L M N

Berapakah faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 95226768 dan1006 ?

Kalau kita menggunakan faktorisasi prima, maka langkah yang

diperlukan untuk menyelesaikannya cukup panjang. Oleh karena itu

mungkin kita perlu bekerja pada soal yang lebih sederhana untuk

sampai pada kesimpulan tertentu dan hasil ini yang nantinya kita

terapkan pada soal semula.

Misalnya FPB dari 2166 dan 14 adalah sama dengan FPB dari 14 dan 10

sebab 2166 = 154×14 +10 , yang berarti 10 kongruen dengan 2166 modulo

14.

 Berdasarkan soal tersebut… 95226768 = 94658x1006 + 820 jadi FPB (95226768, 1006) = FPB(1006,820) 1006 = 1 x 820 + 186 kemudian 820 = 4x186 +76 Kemudian 186 = 2 x 76 +34 76 = 2x34 + 8 34 = 4x8 + 2 8 = 4x2 Jadi FPB nya 2

 Tentukan formula turunan ke-n dari f(x) = 1

1−𝑥2

 Jawab

 Untuk menentukan bisa dengan mengubah menjadi 𝑓 𝑥 = 1

2 1 1−𝑥 + 1 1+𝑥  𝑓 𝑥 = 1 1−𝑥, 𝑓 1 _{𝑥 =} 1 (1−𝑥)2 , 𝑑𝑎𝑛 𝑓 2 _{𝑥 =} 1.2 (1−𝑥)3 𝑑𝑠𝑡 𝑓 𝑛 _{𝑥 =} 𝑛! (1−𝑥)𝑛+1  Jadi 𝑓𝑛 𝑥 = 𝑛! 2 1 (1−𝑥)𝑛+1 + (−1)𝑛 (1+𝑥)𝑛+1

4. Lakukan Modifikasi pada Soal (Modify the

problem)

Modifikasi pada soal: Mengubah soal sehingga memudahkan untuk

menemukan sousi.

Misalkan di berikan persoalan A, Untuk mengerjakan masalah A

mungkin kita dituntun untuk mempertimbangkan masalah B secara

khas, perubahan dalam masalah ini diumumkan dengan frasa seperti

"cukup untuk menunjukkan bahwa ...." atau "kita dapat mengasumsikan

...." atau "tanpa kehilangan keumuman...". di bagian terakhir kita melihat

contoh di mana A dan B adalah masalah euivalen, yaitu solusi dari

salah satu dari mereka menyiratkan solusi dari yang lain

Tentukan semua pasangan bilangan bulat (a,b) sehingga bilangan a2 _{+ 4b dan b}2 _{+ 4a}

keduanya merupakan bilangan kuadrat.

 Untuk menyelesaikan soal ini dapat diasumsikan bahwa I b I ≤ IaI.

Modifikasi ini tidaklah mengubah jawaban dan memberikan jalan penyelesaian yang lebih cepat. Coba anda pikirkan mengapa demikian.

Contoh lain :

 Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat positif sehingga berlaku x2 + y2 +z2 = 2xyz  Bukti : Andaikan ada bilangan bulat positif x,y, z sehingga berlaku x2 + y2 +z2 = 2xyz;

karena 2xyz genap makan x2 _{+ y}2 _+z2 _{genap. Jika x}2 _{+ y}2 _+z2 _{maka ketiganya genap}

Misalkan ada lima tim sepak bola yang mengikuti Roud robin

tournament. Dalam pertandingan tidak ada draw, dan tim yang

menang mendapatkan skor 1 yang kalah 0. Total skor seluruh

TIM adalah….

Jawab

Karena setiap tim berhadapan sekali dan tidak ada seri maka

banyak skor sama banyak pertandingan

 Diberikan bilangan positif a, b, c, d , buktikaan bahwa 𝑎3+𝑏3+𝑐3 𝑎+𝑏+𝑐 + 𝑏3+𝑐3+𝑑3 𝑏+𝑐+𝑑 + 𝑐3+ 𝑑3+ 𝑎3 𝑐+𝑑+𝑎 + 𝑎3+𝑏3+𝑑3 𝑎+𝑏+𝑑 ≥ 𝑎 2 _{+ 𝑏}2 _{+ 𝑐}2 _{+ 𝑑}2

 Untuk membuktikan masalah tersebut, dengan mengubah menjadi

masalah yang simetri/ekuivalen, yiatu buktikan untuk x,y,z bilangan positif maka berlaku

𝑥3+𝑦3+𝑧3 𝑥+𝑦+𝑧 ≥

𝑥2+𝑦2+𝑧2 3

 Berarti akan dibuktikan :

𝑎3+𝑏3+𝑐3 3 + 𝑏3+𝑐3+𝑑3 3 + 𝑐3+ 𝑑3+ 𝑎3 3 + 𝑎3+𝑏3+𝑑3 3 ≥ 𝑎 2 _{+ 𝑏}2 _{+ 𝑐}2 _{+ 𝑑}2