Abstract

CGANT- University of Jember

2Department of Mathematics Education - University of Jember

3Department of Information System - University of Jember Sarinurmayunita@ymail.com; Hestyarin@gmail.com; d.dafik@unej.ac.id

Abstract

A set D of vertices of a simple graph G, that is a graph without loops and multiple edges, is called a dominating set if every vertex u ∈ V (G) − D is adja- cent to some vertex v ∈ D. The domination number of a graph G, denoted by γ(G), is the order of a smallest dominating set of G. A dominating set D with

|D| = γ(G) is called a minimum dominating set. This research aims to char- acterize the domination number of some graph operations, namely joint graphs, coronation of graphs, graph compositions, tensor product of two graphs, and graph amalgamation. The results shows that most of the resulting domination numbers attain the given lower bound of γ(G).

Keywords: Dominating set, domination number,

Pendahuluan

Teori graf adalah bagian dari matematika diskrit yang banyak digunakan sebagai alat bantu untuk menggambarkan suatu persoalan agar lebih mudah di- mengerti dan diselesaikan. Salah satu teori yang dikembangkan dalam teori graf Dominating Set. Dominating set merupakan suatu konsep penentuan titik pada graf dengan ketentuan titik sebagai dominating set menjangkau titik yang ada disekitarnya dan seminimal mungkin, kardinalitas minimal dari Dominating set adalah domination number yang dinotasikan dengan γ(G) [3]. Sedangkan total dominating setyang dinotasikan dengan γt(G) merupakan suatu konsep penen- tuan titik pada graf dengan ketentuan titik sebagai total dominating set yaitu saling menjangkau titik dominating set yang ada di sekitarnya saling berte- tangga dan seminimal mungkin [1].

Dominating Set dapat diterapkan pada graf yang merupakan hasil operasi dari beberapa graf khusus yaitu graf yang mempunyai keunikan dan karakteristik bentuk khusus, misalnya seperti graf lintasan (path), graf lingkaran (cycle), graf bintang (star), graf roda (wheel) dan graf yang lainnya. Sedangkan operasi graf adalah beberapa cara untuk memperoleh graf baru dengan melakukan suatu operasi terhadap dua graf. Adapun graf-graf hasil pengoperasian yang digunakan dalam penelitian ini yaitu Cn + Flm, Cn[F lm], Wm ⊙ Pn, Fn2Pm dan Amal (Fn, v= A, r) [5].

Himpunan D dari titik graf sederhana G dinamakan dominating set jika

setiap titik u ∈ V (G)−D adjacent ke beberapa titik v ∈ D. Kardinalitas terkecil dari dominating set disebut domination number yang dinotasikan dengan γ (G).

Dominating set D dengan |D| = γ (G) dinamakan minimum dominating set.

Menurut [3], batas atas dari domination number adalah banyaknya titik di graf.

Ketika paling sedikit satu titik yang dibutuhkan untuk himpunan dominasi di graf, maka 1 ≤ γ (G) ≤ n untuk setiap graf ber-order n. Nilai dari domination number selalu γ (G) ≤ |V (G)| [7] [8].

3 Teorema 1 [4] Untuk sebarang graf G, maka ⌈_1+∆(G)^p ⌉ ≤ γ (G) ≤ p − ∆ (G).

Keterangan:

p= Banyaknya titik; ∆(G)= Derajat Terbesar γ(G) = Dominating N umber

Hasil Penelitian

Dari hasil penelitian ini didapatkan teorema mengenai dominating set pada graf-graf hasil operasi Cn+F lm, Fn+Lm, Cn[F lm], Fn2Pm, Amal (Fn, v = A, r) dan Shack (F ln, r).

3 Teorema 2 Misal G adalah graf hasil operasi joint dari (Cn) dan (F lm), untuk n ≥ 3 dan m ≥ 2, maka γ(Cn+ F lm) = 1.

Bukti: Graf Joint (Cn+F lm) memiliki himpunan titik V (Cn+F lm) = {A, xi, y_i

; 1 ≤ i ≤ n} ∪ {zj; 1 ≤ j ≤ m} dan himpunan sisi E(Cn + F lm) = {Axi, Ay_i, x_ix_i+1, x_nx₁, x_iy_i; 1 ≤ i ≤ n} ∪ {Azj, x_iz_j, y_iz_j; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} ∪ {zjz_j+1, zmz₁; 1 ≤ j ≤ m − 1}, p = |V (Cn + F lm)| = 2n + m + 1, q =

|E(C_n+ F l_m)| = 2nm + 4n + 2m dan ∆(C_n+ F l_m) = 2n + m. Dari teorema diny- atakan bahwa ⌈_1+∆(C^p

n+F l^m)⌉ ≤ γ(Cn+ F lm) ≤ p − ∆(Cn+ F lm) maka diper- oleh bahwa

γ(Cn+ F lm) ≥ ⌈ p

1 + ∆(Cn+ F lm)⌉

≥ ⌈2n + m + 1 1 + 2n + m⌉

≥ 1

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa γ(Cn+F lm) ≤ 1 dengan memilih himpunan dominasi, yaitu D = A. Dapat dilihat jelas bahwa setiap titik di G bertetangga dengan A ∈ D, sehingga |D| = 1. Terbukti bahwa γ(Cn+ F lm) = 1. 2

3 Teorema 3 Misal G adalah graf hasil operasi joint dari (Fn) dan (Lm), un- tuk n ≥ 3 dan m ≥ 3, maka γ(F_n+ L_m) = 1.

Bukti. Graf Joint (F_n+L_m) memiliki himpunan titik V (F_n+L_m) = {x_i, y_j; 1 ≤ i≤ n, 1 ≤ j ≤ m} dan himpunan sisi E(Fn+ Lm)={xix_i+1, xnx₁, xiy_j ;1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ m} ∪ {yjy_j+1; 1 ≤ j ≤ m} ∪ {yjy_j+m; 1 ≤ j ≤ m}, p = |V (Fn + L_m)| = n + 2m + 1 dan q = |E(Fn+ Lm)| = 4nm + 2n + 4m dan ∆(Fn + Lm) = n + 2m. Dari teorema dinyatakan bahwa ⌈_1+∆(F^p

n+Lm)⌉ ≤ γ(Fn+ Lm) ≤ p− ∆(F_n+ L_m) maka diperoleh bahwa

γ(Fn+ Lm) ≥ ⌈ p

1 + ∆(Fn+ Lm)⌉

≥ ⌈n+ 2m + 1 1 + n + 2m⌉

≥ 1

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa γ(Fn+ Lm) ≤ 1 dengan memilih himpunan dominasi, yaitu D = x₁. Dapat dilihat jelas bahwa setiap titik di G bertetangga dengan x₁ ∈ D, sehingga |D| = 1. Terbukti bahwa γ(F_n+ L_m) = 1. 2

3 Teorema 4 Misal G adalah graf hasil operasi composition dari (Cn) dan (F l_m), untuk n ≥ 3 dan m ≥ 2, maka γ(C_n[F l_m]) = ⌈ⁿ₃⌉.

Bukti. Graf composition (Cn[F lm]) memiliki himpunan titik V (Cn[F lm]) = {xij; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} dan himpunan sisi E(Cn[F lm]) = {xijxij+1; 1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ m − 1} ∪ {x_nmx_1j; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m − 1} ∪ {x_ijx_i+1j+1; 1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ m − 1} ∪ {xijx_i−1j+1; 2 ≤ i ≤ n − 1, 1 ≤ j ≤ m} ∪ {xijx_i+nj+1; 1 ≤ i≤ n, 1 ≤ j ≤ m − 1} ∪ {x_ijx_i+nj; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m − 1} ∪ {x_ijx_i+1j; 1 ≤ i≤ n, 1 ≤ j ≤ m − 1}, p = |V | = 2nm + n dan q = |E| = m³+ nm²+ 6nm + n dan ∆Cn[F lm] = 6m + 2. Dari teorema dinyatakan bahwa ⌈_1+∆(C^p

n[F lm])⌉ ≤ γ(C_n[F l_m]) ≤ p − ∆(C_n[F l_m]) maka diperoleh bahwa

γ(Cn[F lm]) ≥ ⌈ p

1 + ∆(Cn[F lm])⌉

≥ ⌈ 2nm + n 1 + 6m + 2⌉

≥ ⌈9n 27⌉

≥ ⌈n 3⌉

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa γ(Cn[F lm]) ≤ 9n − 23 dengan memilih himpunan dominasi, yaitu {D = x_1,3i−1 dan x_1,3i; 1 ≤ i ≤ ⌈ⁿ₃⌉ untuk n ≡ 1(mod 3)} {D = x_1,3i−1; 1 ≤ i ≤ ⌈ⁿ₃⌉ untuk n lainnya}. Dapat dilihat jelas bahwa setiap titik di G bertetangga dengan {x_1,3i−1, x_1,3i∈ D}, sehingga |D| =

⌈ⁿ₃⌉. Terbukti bahwa γ(Cn[F lm]) = ⌈ⁿ₃⌉. 2

3 Teorema 5 Misal G adalah graf hasil operasi cartesian product dari (Fn) dan (Pm), untuk n ≥ 2 dan m ≥ 3, maka γ(Fn2Pm) = ⌈^5m₆ ⌉.

Bukti. Graf cartesian product (Fn2Pm) memiliki himpunan titik V (Fn2Pm) = {xij; 1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ m}, E(Fn2Pm) = {xijx_ij+1; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ i ≤ m}

∪ xijx_i+1j; 1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ m} ∪ xnjx_1j; 1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ m − 1}

∪ {xnjx_nj+m; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ i ≤ m}, |V (Fn2Pm)| = nm + m, |E(Fn2Pm)| = 3nm−n−1 dan ∆F_n2Pm= n+2. Dari teorema dinyatakan bahwa ⌈_1+∆(F^p

n2P^m)⌉ ≤ γ(Fn2Pm) ≤ p − ∆(Fn2Pm) maka diperoleh bahwa

γ(F_n2Pm) ≥ ⌈ p

1 + ∆(Fn2Pm)⌉

≥ ⌈nm+ m n+ 1 + 1⌉

≥ ⌈4m + m 4 + 2 ⌉

≥ ⌈5m 6 ⌉

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa γ(Fn2Pm) ≤ 5m − 5 dengan memilih him- punan dominasi, yaitu {D = x_1,j; dimana j adalah semua dari m}. Dapat dilihat jelas bahwa setiap titik di G bertetangga dengan {x_1,j ∈ D}, sehingga

|D| = ⌈^5m₆ ⌉ untuk (F42P3) . Terbukti bahwa γ(Fn2Pm) = ⌈^5m₆ ⌉. 2

3 Teorema 6 Misal G adalah graf hasil operasi amalgamation dari graf Fn, dimana n ≥ 3 dan r ≥ 2, maka γ (Amal (Fn, v = A, r)) = 1.

Bukti. Graf Amal (Fn, v = A, r) adalah graf dengan himpunan titik V (Amal (Fn, v = A, r)) = {xi,j; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ r}, E(Amal (Fn, v = A, r)) = {Ax_i,j; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ r} ∪ {x_i+1, j; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ r}, |V (Amal (Fn, v= A, r))| = nr + 1, dan |E(Amal (Fn, v= A, r))| = 2nr − r, dan ∆ (Amal (Fn, v = A, r)) = nr. Dari teorema dinyatakan bahwa ⌈_1+∆Amal(F^p

n,v=A,r)⌉ ≤

γAmal(Fn, v= A, r) ≤ p − ∆Amal(Fn, v= A, r) maka diperoleh bahwa γAmal(F_n, v= A, r) ≥ ⌈ p

1 + ∆Amal(Fn, v = A, r)⌉

≥ ⌈nr+ 1 nr+ 1⌉

≥ 1

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa γAmal(F_n, v= A, r) ≤ 1 dengan memilih himpunan dominasi, yaitu D = A. Dapat dilihat jelas bahwa setiap titik di G bertetangga dengan A ∈ D, sehingga |D| = 1 untuk Amal(Fn, v = A, r) .

Terbukti bahwa γAmal(F_n, v = A, r) = 1. 2

3 Teorema 7 Misal G adalah graf hasil operasi Shackle dari graf F ln, dimana n≥ 2 dan r ≥ 2, maka γ (Shack(F ln, r)) = ⌈^2nr+1_2n+1 ⌉.

Bukti. Graf (Shack(F ln, r)) adalah graf dengan himpunan titik V (Shack(F ln, r)) = {Aj, xi,j, yi,j; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ r} dan himpunan sisinya E(Shack(F ln, r)) = {Ax_i,j, Ay_i,j; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ r} ∪ {x_i,jy_i,j, x_i,jx_i+1,j; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ r},

|V (Shack(F ln, r))| = 2nr+1, |E(Shack(F ln, r))| = 4nr dan ∆ (Shack(F ln, r)) = 2n. Dari Teorema dinyatakan bahwa ⌈1+∆(Shack(F l^p n,r))⌉ ≤ γ(Shack(F ln, r)) ≤ p− ∆(Shack(F ln, r)) maka diperoleh bahwa

γ(Shack(F ln, r)) ≥ ⌈ p

1 + ∆(Shack(F ln, r))⌉

≥ ⌈2nr + 1 2n + 1⌉

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa γ(Shack(F ln, r)) ≤ 2nr − 2n + 1 dengan memilih himpunan dominasi, yaitu {D = Aj; dimana j adalah semua dari r}.

Dapat dilihat jelas bahwa setiap titik di G bertetangga dengan Aj ∈ D, sehingga

|D| = ⌈^2nr+1_2n+1⌉ untuk (Shack(F l_n, r)) . Terbukti bahwa γ(Shack(F l_n, r)) =

⌈^2nr+1_2n+1⌉. 2

Kesimpulan

Dominating set pada hasil operasi graf khusus diperoleh yaitu:

1. γ(Cn+ F lm)=1, untuk n ≥ 3 dan m ≥ 2

2. γ(Fn+ Lm)=1, untuk n ≥ 3 dan m ≥ 3 3. γ(Cn[F lm]) = ⌈ⁿ₃⌉, untuk n ≥ 3 dan m ≥ 2 4. γ(F_nPm) = ⌈^5m₆ ⌉, untuk n ≥ 2 dan m ≥ 2

5. γ(Amal(Fn, v = A, r)) = 1, untuk n ≥ 2 dan m ≥ 2.

6. γ(Shack(F ln, r)) = ⌈^2nr+1_2n+1⌉, untuk n ≥ 2 dan r ≥ 2

References

[1] J.L. Gross, J. Yellen and P. Zhang, Handbook of Graph Theory, Second Edition, CRC Press, Taylor and Francis Group, 2014

[2] T. W. Haynes and S. T. Hedetniemi and P. J. Slater (Eds.), Fundamentals of Domination in Graphs, Marcel Dekker, Inc., New York, 1998.

[3] T.W. Haynes, S.T. Hedetniemi, P.J. Slater (Eds.), Domination in Graphs:

Advanced Topics, Marcel Dekker, Inc., New York, 1998.

[4] E.J. Cockayne, R.M. Dawes and S.T. Hedetniemi, Total domination in graphs. Networks, 10 (1980), 211219.

[5] S. Arumugam and J. Paulraj Joseph, Domination in graphs, International Journal of Management and Systems , 11 (1995), 177-182

[6] Haynes, T.W and Henning, M.A. Total Domination Good Vertices in Graphs. Australasian Journal of Combinatorics, 26 (2002), 305-315.

[7] Henning, M. A. Trees with Large Total Domination Number. Util. Math. 60 (2001) 99-106.

[8] Henning, M. A and Yeo, A. Total Domination in Graphs with Given Girth.

Graphs Combin. 24 (2008) 333-348.

[9] Henning, M. A and Yeo, A. Girth and Total Dominating in Graphs. Graphs Combin. 28 (2012) 199-214.

[10] Goddard, W and Henning, M.A. Independent Domination in Graphs: A Survey and Recent Results. South African National Research Foundation and The University Of Johannesburg, 2006.

[11] Murugesan, N., et al. The Domination and Independence of Some Cubic Bipartite Graphs. Int. J. Contemp. Math. Sciences. 6 13 (2009),611-618.

[12] Tarr, Jennifer M. Domination in Graphs, (2010). Graduate Theses and Dis- sertations.

[13] Yannakakis, M. and Gavril, F. Edge Dominating Sets in Graphs. SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol 338, No.3 (Jun 1980), pp.364-372.