BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN

TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN

Pada bab 1 ini akan dibahas definisi kode, khususnya kode linier atas pencacah bobot Hammingnya

invarian dan strukturnya.

2.1. Teori Koding

Teori koding adalah ilmu yang mempelaja

saluran komunikasi yang tidak bebas gangguan secara efisien dan akurat. Teori ini berkembang pesat terutama dalam penerapan sistem telekomunikasi.

Perhatikan diagram sistem transmisi informasi pada gambar 1. Gangguan pada saluran informasi dapat menyebabkan pesan yang diterima tidak sama dengan pesan yang dikirim. Akan tetapi, jika digunakan kode yang dapat mendeteksi bahkan mengoreksi kesalahan, pesan dapat terkirim lebih efisien dan akurat.

BAB II

TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN

1 ini akan dibahas definisi kode, khususnya kode linier atas

pencacah bobot Hammingnya. Di samping itu, akan dijelaskan invarian, ring invarian dan strukturnya.

Teori Koding

Teori koding adalah ilmu yang mempelajari metode transmisi data melalui saluran komunikasi yang tidak bebas gangguan secara efisien dan akurat. Teori ini berkembang pesat terutama dalam penerapan sistem telekomunikasi.

Perhatikan diagram sistem transmisi informasi pada gambar 1. Gangguan saluran informasi dapat menyebabkan pesan yang diterima tidak sama dengan pesan yang dikirim. Akan tetapi, jika digunakan kode yang dapat mendeteksi bahkan mengoreksi kesalahan, pesan dapat terkirim lebih efisien dan

TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN

1 ini akan dibahas definisi kode, khususnya kode linier atas
_ dan . Di samping itu, akan dijelaskan invarian, ring

ri metode transmisi data melalui saluran komunikasi yang tidak bebas gangguan secara efisien dan akurat. Teori ini berkembang pesat terutama dalam penerapan sistem telekomunikasi.

Perhatikan diagram sistem transmisi informasi pada gambar 1. Gangguan saluran informasi dapat menyebabkan pesan yang diterima tidak sama dengan pesan yang dikirim. Akan tetapi, jika digunakan kode yang dapat mendeteksi bahkan mengoreksi kesalahan, pesan dapat terkirim lebih efisien dan

Kode atas

Misalkan
suatu himpunan hingga. Maka
^ adalah himpunan semua - pasangan terurut (-tuple) elemen
atau himpunan vektor yang setiap koordinatnya adalah elemen
,
^ =  , _, … , _  ∈
,  = 1, … , .

 dikatakan kode atas
dengan panjang  jika  adalah subhimpunan tak kosong dari
^. Anggota atau elemen dari kode  disebut katakode.

Kode linier atas
_

Misalkan
_ suatu lapangan hingga dengan  elemen,  = ^,  suatu bilangan prima dan  bilangan bulat positif.  suatu kode linier [, ] atas
_ merupakan subruang berdimensi  dari
_^.

Misalkan , ∈
_^. Hasil kali dalam antara vektor  dan (ditulis  ∙ ) didefinisikan sebagai  ∙ = ∑^_{! } di
_. Jika  ∙ = 0 %di
_&,  dan dikatakan (saling) ortogonal. Kode dual (dinotasikan ^') dari kode  didefinisikan sebagai ^' = ( ∈
_^ ( ∙ ) = 0 %di
_&, untuk setiap ) ∈ .

Kode ini merupakan kode linier [,  − ] atas
_ atau subruang berdimensi

 −  dari
_^.

Jika ^' = , maka kode  dikatakan kode swa-dual dan merupakan subruang berdimensi /2 dari
_^. Eksistensi kode swa-dual atas
_ ditentukan lemma berikut.

Lemma 2.1.1 (Pless, 1968)

Misalkan  ≡ 167 4, kode swa-dual atas
_ panjang  ada ⟺  genap.

Misalkan  ≡ 367 4, kode swa-dual atas
_ panjang  ada ⇔  habis dibagi empat.

Bobot, Distribusi Bobot, dan Pencacah Bobot Hamming

Misalkan =  , _, … , _ ∈
_^, bobot Hamming dari , <=  adalah banyaknya koordinat yang tak nol pada vektor .

Contoh : <=101 = 2, <=102023 = 4.

Distribusi bobot Hamming >_? yaitu banyaknya katakode yang memiliki bobot Hamming = atau ditulis |A) ∈ |<=) = =B|.

Pencacah bobot Hamming dari suatu kode  adalah sukubanyak

C_D(, E = F (^GH?IE^H?I

I∈D

= F >_? (^G?E^?



?!J

Contoh : kode  = A00, 11B memiliki C_DK(, E = (^ + E^.

_ kode swa-dual linier [8,4] atas
_ dengan bobot terkecil dari setiap katakode tak nol adalah 4, memuat kata-katakode 11000101

00000000 11101000 01110100 00111010 10011100 10100110 11010010 11111111 00010111 10001011 01100011 10110001 01011001 00101101 01001110

Kode ini memiliki pencacah bobot Hamming C_DM(, E = (^N + 14(^OE^O+ E^N. Dari persamaan ini dapat kita ketahui informasi distribusi bobot katakodenya.

Hubungan antara pencacah bobot Hamming kode dual dan pencacah bobot Hamming kodenya disebut identitas MacWilliams, yang ditunjukkan dalam teorema berikut.

Teorema 2.1.2 (MacWilliams, 1963)

Jika  kode linear atas
_ maka :

C_D^P(, E = 1

|| C^D( +  − 1E, ( − E.

2.2. Teori Invarian

Misalkan R, R_, … , R_S matriks-matriks kompleks  ×  yang mempunyai invers. Jika dilakukan operasi perkalian matriks-matriks tersebut dalam semua kemungkinan, dapat dibentuk suatu grup U. Maka U memuat V, R, R_, … , R_S, RR_, … , R_R^G, R_^GR_W, … , dan dikatakan AR, R_, … , R_SB membangun U.

Asumsikan X = 6Y7ZU) yaitu banyaknya elemen U adalah berhingga (jika U tak berhingga maka teori invariant tidak berlaku).

Misalkan [( = [(, (_, … , (_ suatu sukubanyak dalam  variabel dengan koefisien kompleks, maka [( dapat ditulis sebagai jumlah dari

\_K…](^K (_^M … (_^] . Jika \_K…] tidak nol, \_K…](^K (_^M … (_^] disebut

bagian (term) dengan derajat + _+ ⋯ + _, dan derajat dari sukubanyak adalah derajat tertinggi dari bagian-bagian pada sukubanyak. Jika [( = 0 atau setiap bagian dari [( mempunyai derajat sama maka [( dikatakan homogen.

ℂ[(, (_, … , (_] adalah himpunan semua sukubanyak dalam variabel (, (_, … , (_ dengan koefisien kompleks.

Misalkan R suatu matriks kompleks  × , aksi matriks R terhadap [( adalah R ∙ [( = [R ∙ (, fungsi sukubanyak yang variabel-variabelnya ditransformasikan terhadap matriks R, dengan menganggap ( = (, (_, … , (_ sebagai vektor kolom.

Invarian

Jika R ∙ [( = [R ∙ ( = [(, sukubanyak tersebut tidak berubah (invarian) terhadap aksi matriks R. [( invarian terhadap aksi oleh matriks-matriks di U atau cukup dikatakan [( invarian dari U, jika untuk setiap matriks R_{`</sub> ∈ U berlaku R<sub>`}∙ [( = [R_`∙ ( = [(.

Contoh : Misalkan ab−1 00 −1c , b1 0

0 1cd grup matriks, maka (^, E^, (E dan (^O+ (^WE + 5(^+ 2(E adalah sukubanyak yang merupakan invarian dari grup matriks tersebut.

Bagaimana cara mencari suatu invarian dari U? Teorema berikut menunjukkan invarian dapat dicari dengan merata-ratakan sebarang sukubanyak atas grup U.

Teorema 2.2.1

Misalkan [( sebarang sukubanyak maka

[f( =1

X F R^`∙ [(

g

`!

adalah invarian dari U.

Bukti :

Ambil sebarang R_h ∈ U, maka R_i = R_h∙ R_{`</sub> ∈ U untuk suatu R<sub>`} ∈ U karena U grup. Dengan demikian, jika dilakukan aksi R_h pada [f( =_g∑^g_{`!</sub>R<sub>`}∙ [(,

R_h∙ [f( = 1

X F%R^hR_`& ∙ [(

g

`!

= 1

X F Rⁱ∙ [(

g i!

= [f(.

[f( tak berubah terhadap aksi oleh matriks-matriks di U.

Jadi [f( adalah suatu invarian dari U. ■

Lebih lanjut, sebarang fungsi simetri dari g sukubanyak R ∙ [(, … , R_g ∙ [(

adalah suatu invarian dari U.

Ring invarian

Jika [, ℎ invarian dari U maka [ + ℎ, [ℎ, )[ () suatu bilangan kompleks), juga invarian dari U, maka himpunan semua invarian dari U dinotasikan ℂ[(]^k

= A[(|[> ∙ ( = [(, untuk setiap > ∈ UB membentuk ring.

Salah satu masalah dalam bahasan dalam teori invarian adalah bagaimana mendeskripsikan ℂ[(]^k = ℂ[(, (_, … , (_]^k. Karena transformasi oleh matriks- matriks di U tak mengubah derajat dari sukubanyak, maka cukup dipelajari invarian yang homogen (sebarang invarian adalah jumlah dari invarian-invarian homogen).

Contoh : [( = (^O + (^WE + 5(^+ 2(E adalah invarian dari grup matriks AV, −VB, merupakan jumlah dari invarian homogen berderajat 4 dan 2, [( =

(^O+ (^WE + 5(^+ 2(E.

Langkah selanjutnya adalah mencari basis untuk invarian, yaitu suatu himpunan invarian dimana sebarang invarian dapat diekpresikan dalam bagian-bagian dari himpunan ini.

Bebas aljabar

Suku-sukubanyak [(, [_(, … , [_S(, dikatakan bergantung aljabar jika terdapat suatu sukubanyak  dengan koefisien-koefisien kompleks, yang tak semuanya nol, sehingga %[(, [_(, … , [_S(& = 0. Jika tidak demikian disebut bebas aljabar.

Teorema 2.2.2 (Jacobson, 1964)

 + 1 buah sukubanyak dalam  variabel bergantung aljabar.

Tipe basis pertama yang kita cari adalah himpunan  invarian [, [_, … , [_ yang bebas aljabar. Berdasarkan teorema ini, sebarang invarian adalah bergantung aljabar pada [, [_, … , [_ dan merupakan suatu akar dari persamaan sukubanyak dalam [, [_, … , [_. Teorema berikut menjamin adanya basis tersebut.

Teorema 2.2.3 (Burnside, 1955)

Selalu ada  buah invarian [, [_, … , [_ di ℂ[(]^k yang bebas aljabar.

Deskripsi yang lebih sesuai mengenai basis yaitu himpunan invarian A[, [_, … , [_lB, dimana sebarang invarian adalah suatu sukubanyak dalam [, [_, … , [_l. Basis ini kita sebut basis sukubanyak.

Teorema 2.2.4 (Noether, 1916)

Ring invarian dari U, grup berhingga matriks kompleks  × , mempunyai basis sukubanyak yang memuat tak lebih dari m + X n buah invarian dengan derajat tak melebihi X = 6Y7ZU.

Lebih lanjut basis ini diperoleh dengan merata-ratakan atas U semua suku (^oK(_^oM⋯ (_^o] yang total derajatnya ∑ p^_{q! q} tak melebihi X.

Bukti :

Misalkan U grup berhingga matriks kompleks  ×  dan ( = (, … , (_^r suatu vektor kolom. Aksi R_{`</sub>∙ (, untuk setiap matriks R<sub>`}∈ U merupakan transformasi linier

s^{`</sup> ∶ (<sub>q</sub> → (<sub>q</sub><sup>`} = F \_q,(_ ; w = 1, 2, … , 



!

. 1

Misalkan sebarang invarian di U adalah sukubanyak

[(, (_, … , (_ = F )_x(^xK(_^xM⋯ (_^x];

x

)_x suatu bilangan kompleks (jumlah diperluas untuk semua Z = Z, Z_, … , Z_, sehingga tidak ada bagian yang nol).

Karena [( = [(, (_, … , (_ invarian maka tak berubah jika dirata-ratakan atas grup U, yaitu

[(, (_, … , (_ = 1

X [%(^, (_^, … , (_^& + ⋯ + [%(^g, (_^g, … , (_^g&

= 1

X F )_x ^xa%(^&^xK ⋯ %(_^&^x]+ ⋯ + %(^g&^xK ⋯ %(_^g&^x]d

= 1

X F )^x y_x

x

;

Dengan demikian setiap invarian merupakan kombinasi linier dari (tak hingga banyaknya) invarian khusus y_x = ∑ %(^g<sub>`!</sub> <sup>`</sup>&^xK ⋯ %(_^`&^x].

y_x (tanpa faktor konstanta) merupakan koefisien dari ^xK_^xM⋯ _^x] pada sukubanyak

z_x = F%(^{`</sup>+ ⋯ + <sub></sub>(<sub></sub><sup>`}&^x

g

`!

,

dimana Z = Z+ Z_+ ⋯ + Z_. Dengan kata lain, z_x adalah jumlah dari pangkat- pangkat (^+ ⋯ + _(_^, … , (^g+ ⋯ + _(_^g.

Sebarang z_x dapat ditulis sebagai suatu sukubanyak dengan koefisien- koefisien rasional dalam X jumlah pangkat z, … , z_g. Maka sebarang y_x untuk Z = ∑ Z^_{q! q} > Xdapat ditulis sebagai suatu sukubanyak dalam invarian khusus y_x

dengan Z+ Z_+ ⋯ + Z_≤ X (yang merupakan koefisien-koefisien z, … , z_g).

Kemudian kita dapat menuliskan sebarang invariant adalah suatu sukubanyak dalam bentuk y_x dengan ∑ Z^_q! q ≤ X. Banyaknya y_x yang seperti itu, yaitu sejumlah Z, Z_, … , Z_ yang memenuhi Z_q ≥ 0 dan Z+ Z_+ ⋯ + Z_ ≤ X yaitu m + X n. Akhirnya, derajat y_x ≤ X dan y_x diperoleh dengan merata-ratakan (^xK(_^xM⋯ (_^x] atas grup. ■

Teorema 2.2.5 (Miller dkk, 1961)

Banyaknya invarian berderajat 1 dari U yang bebas linier adalah

\ = 1

X F =Y\)ZR^`

g

`!

.

Bukti :

Misalkan ~ =_g∑^g_{`!</sub>R<sub>`}. Lakukan perubahan variabel-variabel dari (, (_, … , (_

ke E, E_, … , E_, dimana s(, (_, … , (_^r = E, E_, … , E_^r, mengakibatkan ~ berubah ke ~’ = s~s^G. Dapat kita pilih s sehingga ~’ diagonal. Jika ~^ = ~ maka

~’^ = ~’ dan entri diagonal dari ~’ adalah 0 atau 1.

Maka dengan suatu perubahan variabel, dapat kita asumsikan

~ =

€



‚ 1 0

⋱

0

1 0

⋱ 0 „…………† ;

~ matriks dengan Y entri diagonalnya bernilai 1, maka ~ ∙ E_q = E_q, jika 1 ≤ w ≤ Y dan ~ ∙ E_q = 0, jika Y + 1 ≤ w ≤ .

Sebarang invarian linier (berderajat 1) dari U ditentukan oleh ~, maka \ ≤ Y.

Dengan teorema 2.2.1, ~ ∙ E_q =_g∑^g_{`!</sub>R<sub>`}∙ E_q adalah suatu invarian dari U untuk sebarang w, dan \ ≥ Y. ■

Deret Molien

Jika \_‡ menyatakan banyaknya invarian homogen berderajat 7 yang bebas linier maka Φ_k‰ = ∑^Š_‡!J\_‡‰^‡ disebut deret Molien.

Dari teorema 2.2.4, kita ketahui basis untuk invariant dari U selalu ada. Untuk mengetahui bagaimana menemukannya, kita gunakan teorema Molien.

Sebelum ke teorema Molien, perlu didefinisikan matriks terinduksi ke-7 dari R.

Matriks terinduksi ke-7 dari R_{`</sub>, dinotasikan R<sub>`}^[‡], menyatakan bagaimana R_` mentransformasikan hasil kali dari (_q sebanyak 7 kali, yaitu

Contoh :

Misalkan R = b\ p) 7c mentransformasikan

(^ \^(^‡+ 2\p((_ + p^(_^ ((_ ‹Z \)(^‡+ \7 + p)((_+ p7(_^

(^ )^(^+ 2)7((_ + 7^(_^

Maka matriks terinduksi ke-2 nya adalah R^[] = Œ\^ 2\p p^

\) \7 + p) p7 )^ 2)7 7^.

Teorema 2.2.6 (Molien, 1897)

Untuk U suatu grup hingga matriks bilangan kompleks, deret Moliennya

Φ_k‰ = 1

|U| F 1

det V − ‰R

Ž∈k

Bukti :

Perhatikan bahwa \_‡ adalah banyaknya invariant berderajat 1 dari U^[‡] = aR_{`</sub><sup>[‡]</sup>  = 1, … , Xd. Berdasarkan teorema 2.2.5, \<sub>‡</sub> = <sub>g</sub>∑<sup>g</sup><sub>`!}=Y\)ZR_`^[‡].

Cukup dibuktikan =Y\)ZR_`^[‡] sama dengan koefisien ‰^‡ di 1

detV − ‰R_` = 1

1 − ‰‘ ⋯ 1 − ‰‘_, 2

Dimana ‘, … , ‘_ adalah nilai-nilai eigen dari R_`. Dengan perubahan variabel yang sesuai, dapat dipilih

R_` = Œ‘ ⋯ 0

⋮ ⋱ ⋮

0 ⋯ ‘_ , R_`^[‡] =

€





‚‘^‡

‘_^‡

⋱ ‘^‡G‘_

⋱

„… …… …… …†

dan =Y\)ZR_`^[‡] adalah jumlah dari hasil kali ‘, … , ‘_ sebanyak 7 dan ini merupakan koefisien dari ‰^‡ pada persamaan 2. ■

Struktur Ring Invarian

Sebelum kita tuliskan ring invariant, kita definisikan operasi atau jumlah langsung. Sebagai contoh, ring invarian yang dibentuk grup U ditulis ℂ[(]^k =

“ ⊕ ~ berarti tiap invarian dapat dituliskan secara tunggal dalam bentuk Y + •, dimana Y ∈ “ dan • ∈ ~.

Secara umum, basis sukubanyak yang “bagus” untuk ℂ[(]^k adalah himpunan invarian homogen A[ , [_, … , [_lB – ≥ , dimana [ , [_, … , [_ bebas aljabar dan berlaku hubungan

ℂ[(]^k = ℂ[[ , [_, … , [_l], jika – = ; atau ℂ[(]^k = ℂ[[ , [_, … , [_] ⨁[_™ℂ[[ , [_, … , [_]⨁ … ⨁[_l ℂ[[ , [_, … , [_], jika – > .