Operational Research 1
(
IE G2M3)
Program Studi Teknik Industri Fakultas Rekayasa Industri Telkom University
Murni dwi Astuti ST MT
Amelia Kurniawati. ST., MT. Aji Pamoso
Puti Renosori
PERUMUSAN MODEL LINEAR
PROGRAMMING
Quantitative Problem
Linear Programming
Integer Programming
Perumusan Model
Solusi
Grafis
Basic Feasible Fungsi
Tujuan
Variabel Keputusan
Pembatas
Solusi Optimal
Solusi Khusus
Vektor
Matriks Basis
Matriks Inverse
Tabel Simplex
Umum Khusus
Big M 2 Fasa Primal - Dual
Dual Simplex
Analisis Sensitivitas Metode Cutting
Plane Metode Transportasi
North West
Corner Vogel Approximation Assignment
Analisis Jaringan Shortest
Route
Spanning
Tree Maximum Flow
TSP
Software
Metode Branch and Bound Least Cost
Permasalahan Sederhana Pemodelan
Matematika
Seorang pedagang menjual buah
mangga dan pisang dengan
menggunakan gerobak. Pedagang
tersebut membeli mangga dengan
harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp.
6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp.
1200.000,00 dan gerobaknya hanya
dapat memuat mangga dan pisang
sebanyak 180 kg. Jika harga jual
mangga Rp.9200,00/kg
dan pisang Rp.7000,00/kg,
maka laba
Pemodelan Matematika
Jawab:
Misal : x = mangga ; y = pisang Model matematikanya:
x ≥ 0 ; y≥ 0
8000x + 6000y ≤ 1200.000 ….(1) 4x + 3y ≤ 600 ….(1)
x + y ≤ 180 ….(2)
Titik pojok 1200x + 1000y
(0, 0) 0
7
SPM : 150.000 DWT (INCOMING/OUTGOING CRUDE & DCO)
SPM : 35.000 DWT (INCOMING NAPHTA)
SPM : 17.500 DWT (OUTGOING WHITE PRODUCT)
SPM : 6.500 DWT
JETTY LPG
INCOMING/OUTGOING FACILITY INCOMING/OUTGOING FACILITY
Sistem Adalah…
Sistem (
system
) merupakan
representasi dari dunia nyata dengan
pengidentifkasian faktor faktor yang
dominan dan relevan yang
Pemodelan Sistem Adalah
Pemodelan sistem merupakan proses
pembentukan model berdasarkan
sistem yang dipelajari. Adapun
konsekuensi dari pembuatan suatu
model adalah akan terjadi suatu galat
antara sistem nyata dan model dari
sistem tersebut.
Jika Ilmuan Biologi
Menggunakan Kelinci Lalu
sarjana Teknik Industri
Proses
Pemodelan
Matematika
(Murthy, 1990,
halaman 69)
Real world Problem
System Approach
System/Goal
System Characterization
(Steo 1)
Mathematical Model (Step 2)
Analyisis (Step 3)
Validation (step 4)
Adequate Mathematical
Model
Solution to Problem Make Change Not adequate
Tipologi Model
Termas
uk
Model
Apakah
Globe
tadi?
Termas
uk
model
apakah
persoal
an
penjual
buah
tadi?
Model
Model Fisik MatematisModel
Model Analitik
Model deskriptif
Model Normatif
(Model Optimisasi)
MODEL OPTIMISASI MATEMATIK
(Mathematical Optimization Model)
Model matematik yang
merepresentasikan masalah optimisasi.
Istilah lain: model pemrograman
matematik (mathematical programming
model)
Model matematik yang
merepresentasikan masalah optimisasi.
Istilah lain: model pemrograman
matematik (mathematical programming
model)
INGAT!!!
Masalah optimisasi: masalah yang terkait dengan
penentuan keputusan yang memberikan ukuran kinerja terbaik dari sekumpulan alternatif
MODEL OPTIMISASI MATEMATIK
-Klasifkasi-Model Optimisasi Matematik
Model Optimisasi Matematik
Jumlah variabel keputusan
Jumlah variabel keputusan
Sifat variabel keputusan
Sifat variabel keputusan
Eksistensi pembatas Eksistensi pembatas Sifat fungsi
Sifat fungsi Jumlah
fungsi tujuan Jumlah
fungsi tujuan
Sifat besaran Sifat besaran
PENDAHULUAN (1)
Sumber: Eiselt & Sandblom (2010)
Elemen Utama OR
QUANTITATIVE
MODEL
QUANTITATIVE
MODEL
SOLUTION
SOLUTION
Klasifkasi Pemodelan
Matematika (Operation
Research)
Queueing ProblemInventory Problem Allocation Problem
Scheduling and Routing Problem
Replacement And Maintenance Problem Search Problem
Competition
pendekatan yang dilakukan Ackof dan rivett (Wilson, 1985)
Antrian Kendaraan Di Gerbang Tol Penyimpanan Barang di Gudang Penugasan dan Pembagian Tugas
Penjadwalan Kereta
Maintenance Pabrik Web Search
Model Pelelangan
Model Matematika
s/t:
Batasan Terkait KAPASITAS SPM FUNGSI TUJUAN
Total Nilai Jual Naphtha
Total Nilai Beli Naphtha
Const. Pada satu slot hanya boleh satu kapal (Kapasitas SPM)
Const. jarak kedatangan antar kapal
Total jumlah kapal dikirim dari kilang - i
Nilai Integer
Jumlah kapal yang dikirim sesuai kapasitas SPM bulanan
Exact/ Analytical Technique
(langsung ketemu)
SOLUTION
SOLUTION
Heuristic/ Numerical Technique
(Coba-coba) set of
Instructions
PENDAHULUAN (4)
Tujuan PEMBELAJARAN
MEMAHAMI KONSEP FUNGSI TUJUAN, VARIABEL KEPUTUSAN, DAN PEMBATAS
MAMPU MERUMUSKAN PERMASALAHAN NYATA KE DALAM MODEL MATEMATIS LINEAR PROGRAMMING
LINEAR PROGRAMMING (1)
Merupakan salah satu teknik OR yang
digunakan
paling luas
dan diketahui
dengan baik.
Merupakan metode matematik dalam
mengalokasikan
sumber daya yang langka
untuk mencapai suatu tujuan seperti
memaksimumkan keuntungan dan
meminimumkan biaya.
LINEAR PROGRAMMING (2)
diterapkan dalam masalah ekonomi,
industri, militer, sosial dan lain-lain. LP
berkaitan dengan penjelasan suatu dunia
nyata sebagai suatu model matematik
yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan
linier dan beberapa kendala linier
pada tahap awal, penerapan-penerapan LP
banyak dijumpai pada masalah-masalah
militer seperti logistik, transportasi, dan
LINEAR PROGRAMMING (3)
dapat diterapkan dalam masalah-masalah
sektor pemerintah dan swasta. Hasilnya, LP
disadari sebagai pendekatan penyelesaian
masalah yang sangat ampuh untuk analisis
keputusan dalam bidang bisnis
•
mempelajari
sistem relevan
•
mengembangkan pernyataan
permasalahan:
o
pernyataan tujuan
o
sumber daya yang membatasi
o
alternatif keputusan yang mungkin
o
hubungan antara bagian
o
dan lain-lain.
LANGKAH-LANGKAH MEMBANGUN
MODEL LP
1. Formulasi
Permasalahan
① Mengidentifkasikan variabel yang tak diketahui
yang akan ditentukan nilainya (decision variable) dan menyatakannya dengan simbol-simbol
matematis.
② Mengidentifkasi semua pembatas (constraint) dan menyatakannya dengan persamaan atau
pertidaksamaan linier sebagai fungsi dari variabel keputusan.
③ Mengidentifkasi tujuan atau kriteria dan
menyatakannya sebagai suatu fungsi linier dari variabel keputusan yang hendak dimaksimumkan atau diminimumkan (fungsi tujuan)
LANGKAH-LANGKAH MEMBANGUN
MODEL LP
2. Pembentukan model
matematik
Menunjukkan kontribusi setiap
variabel keputusan terhadap fungsi
tujuan.
MODEL UMUM LP (1)
Maksimumkan/Minimumkan:
Z = C1X1 + C2X2+…+CnXn
Dengan Kendala:
a11X1 + a22X2 +…+ a1nXn b1
a21X1 + a22X2 +…+ a2nXn b2
a31X1 + a32X2 +…+ a3nXn b3
am1X1 + am2X2 +…+ amnXn bm
X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, … ,Xn ≥ 0
Fungsi Tujuan
Variabel keputusan
Koefsien cost/beneft
min max
Jumlah aktivitas yang akan
dilakukan
MODEL UMUM LP (2)
Maksimumkan/Minimumkan:
Z = C1X1 + C2X2+…+CnXn
Dengan Kendala:
a11X1 + a22X2 +…+ a1nXn
b1a21X1 + a22X2 +…+ a2nXn
b2a31X1 + a32X2 +…+ a3nXn
b3am1X1 + am2X2 +…+ amnXn
bmX1 ≥ 0, X2 ≥ 0, … ,Xn ≥ 0
Fungsi Pembata
s
penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang
membatasi
bisa berbentuk persamaan (=)
atau
pertidaksamaa n (≤ atau ≥)
Jumlah pembatas
Kapasitas maks/ Permintaan
min
batasan non negatif
Area
feasible
/ layak dan solusi
optimal
Area feasible
Sekumpulan titik yang memenuhi semua pembatas pada programa linear termasuk pembatas tanda
Solusi optimal
Pada kasus maksimasi adalah sebuah titik di area feasible
yang memiliki nilai fungsi tujuan terbesar.
Pada kasus minimasi adalah sebuah titik di area feasible
yang memiliki nilai fungsi tujuan terkecil.
Permasalahan Sederhana Pemodelan
Matematika
Seorang pedagang menjual buah
mangga dan pisang dengan
menggunakan gerobak. Pedagang
tersebut membeli mangga dengan
harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp.
6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp.
1200.000,00 dan gerobaknya hanya
dapat memuat mangga dan pisang
sebanyak 180 kg. Jika harga jual
mangga Rp.9200,00/kg
dan pisang Rp.7000,00/kg,
maka laba
TARGET MODEL:
Lambang Penjelasan Satuan
VARIABEL KEPUTUSAN:
Lambang Penjelasan Satuan
PARAMETER:
Lambang Penjelasan Satuan Nilai
CONSTRAINT:
Lambang Penjelasan Nilai Satuan
Gaji Mathematical Modeller
Mathematical modellers use maths to make computer
simulations so that a number of scenarios can be investigated without any physical experiments taking place. Computer
models are particularly important in areas such as setting
quotas for fsheries; modelling trafc patterns; and predicting the outcome of chemical reactions.
Pay rates depend on qualifcations, experience and the industry:
$50-55,000 starting salary for mathematical modellers
$45-55,000 for statisticians with one to fve years’ experience $65-100,000 for statisticians with more than fve years’
experience
$60-95,000 for mathematicians with a Master’s degree or PhD working in research
Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4
m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200
kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada
kendaraan pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah....
Tentukan komponen dari tiap program linear
sumber:
http://matematikastudycenter.com/kelas-12-sma/72-12-sma-program-linier#ixzz3P4WyM 6O9
Latihan 2.a Komponen Model Programa LInear
Jawablah pertanyaan di atas.(Dengan cara pengerjaan) Jawaban dituliskan pada buku catatan dengan Heading =
LATIHAN 2.a Komponen Programa Linear
Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4
m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200
kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada
kendaraan pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah....
Rencang Model Matematika nya
sumber:
http://matematikastudycenter.com/kelas-12-sma/72-12-sma-program-linier#ixzz3P4WyM 6O9
Latihan 2.b Model Formulation
Jawablah pertanyaan di atas.(Dengan cara pengerjaan) Jawaban dituliskan pada buku catatan dengan Heading =
LATIHAN 2.a Model Formulation
Seorang peternak memiliki 200 kambing yang mengkonsumsi 90 kg pakan khusus setiap harinya. Pakan tersebut disiapkan
menggunakan campuran jagung dan bungkil kedelai dengan komposisi sebagai berikut :
Kebutuhan pakan kambing setiap harinya adalah paling banyak 1% kalsium, paling sedikit 30% protein dan paling banyak 5% serat. Tentukan biaya minimum
Formulasikan permasalahan di atas ke dalam model matematiknya !
Bahan Kandungan per kg bahan
Kalsium (kg) Protein (kg) Serat (kg) Biaya (Rp/kg)
Jagung 0.001 0.09 0.02 2000
Bungkil kedelai 0.002 0.60 0.06 5500
43
Latihan 2.c Model Formulation 2
Jawablah pertanyaan di atas.(Dengan cara pengerjaan) Jawaban dituliskan pada buku catatan dengan Heading =
LATIHAN 2.c Model Formulation 2
(1) PT OR merupakan sebuah toko kue.
(2) PT OR mempunyai dua jenis produk, yaitu rainbow cake dan cupcake. (3) Untuk membuat rainbow cake, dibutuhkan tepung 100 gr, sedangkan
untuk membuat cupcake dibutuhkan tepung 20 gr, jumlah tepung yang tersedia dalam sehari adalah 600 gr.
(4) Untuk membuat rainbow cake, dibutuhkan cream cheese 60 gr,
sedangkan untuk membuat cupcake dibutuhkan cream cheese 10 gr, jumlah cream cheese yang tersedia dalam sehari adalah 400 gr.
(5) Permintaan untuk cupcake paling banyak empat kali lipat dari rainbow cake .
(6) Harga jual rainbow cake adalah Rp 80.000 dan harga jual cupcake adalah Rp 20.000.
Formulasikan kasus tersebut ke dalam model matematiknya !
CONTOH KASUS :
tujuan yang ingin dicapai adalah :
SOLUSI
Alternatif keputusan adalah:
Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, identifikasi tujuan, alternatif, keputusan & batasan sumber daya adalah sebagai berikut:
Sumber daya yang membatasi adalah:
45
memaksimumkan pendapatan
jumlah rainbow cake dan cake yang akan diproduksi.
tujuan yang ingin dicapai adalah memaksimumkan pendapatan
SOLUSI
Sumber daya yang membatasi :
semakin besar pendapatan akan semakin disukai oleh pemilik toko
kue
Jumlah cream cheese yang tersedia Jumlah tepung yang
tersedia
menggunakan pertidaksamaan ≤,
cream cheese yang digunakan tidak mungkin melebihi cream cheese yang
tersedia
menggunakan pertidaksamaan ≤, tepung yang digunakan tidak mungkin
melebihi tepung yang tersedia
SOLUSI
Sumber daya yang membatasi :
Pembatas non negatif
Permintaan rainbow cake
dan cupcake
menggunakan pertidaksamaan ≥, jumlah
rainbow cake ataupun cupcake yang
diproduksi tidak dapat bernilai negatif
menggunakan pertidaksamaan ≤ atau ≥, tergantung pendefnisian variabelnya
SOLUSI
Kita defnisikan :
x1 = jumlah rainbow cake yang akan diproduksi x2 = jumlah cupcake yang akan diproduksi
Model umum Linear Programming kasus di atas adalah :
Fungsi tujuan :
Maksimumkan z = 80000 x1 + 20000 x2
Pembatas :
100 x1 + 20 x2 ≤ 600 (tepung)
60 x1 + 10 x2 ≤ 400 (cream cheese) 4 x1 ≥ x2 atau 4 x1 – x2 ≥ 0 (permintaan) x1 , x2 ≥ 0 (non negatif)
