INTERPOLASI: METODE POLINOMIAL NDD (NEWTON’S DIVIDED DIFFERENCE)

(1)

INTERPOLASI: METODE

POLINOMIAL NDD

(NEWTON’S DIVIDED

DIFFERENCE)

Dr.Eng. Agus S. Muntohar

Dr.Eng. Agus S. Muntohar 1

(2)

Apa Interpolasi?

2

Diberikan data (x

₀

,y

₀

), (x

₁

,y

₁

), ……

(x

_n

,y

_n

), nilai “y”

diperoleh pada “x” yang tidak diketahui nilainya.

(3)

Interpolan

3



Bentuk polinomial merupakan interpolan yang

paling sering dipilih karena mudah untuk

melakukan:



Evaluasi



Turunan, dan

(4)

Interpolasi Linier Metode NDD

4



Diberikan data (x

₀

,y

₀

), (x

₁

,y

₁

), dan bentuk

interpolan linier yang melalui data tersebut adalah



dengan

)

(

)

(

₀ ₁ ₀

1

x

b

x

f







)

(

₀

0

f

x

b



0 1

1

)

(

)

(

x

f

x

f

b

(5)

Contoh 1

5

0 0 10 227.04 15 362.78 20 517.35 22.5 602.97 30 901.67

Table 1 _{Data kecepatan dan waktu}

Gambar 2_{Plot data kecepatan dan waktu}

untuk Contoh 1

 

s ,

t v

   

t , m/s

Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1. Tentukan kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode Interpolasi Linier

(6)

Interpolasi Linier Metode NDD

6

10 12 14 16 18 20 22 24 350

400 450 500 550 517.35

362.78 ys

f range( ) f x de sire d

xs 110

xs

010 xsrangexde sire d

)

(

)

(

t

b

₀

b

₁

t

₀

v







0 0

1 1

15;

( )

362.78

20;

( )

517.35

t

v t

t

v t











0

( )

0

362.78

b



v t



1 0

1

1 0

( )

30.914

v t

b

t





(7)

Interpolasi Linier Metode NDD

7

10 12 14 16 18 20 22 24 350

400 450 500 550 517.35

362.78 ys f range( ) f x de sire d

x_s 110 x_s

010 xsrangexde sire d

) (

)

(t b₀ b₁ t t₀

v   

 362.7830.914(t 15), 15 t  20

At t 16

) 15 16

( 914 . 30 78

. 362 )

16

(   

v

(8)

Interpolasi Quadratic Metode NDD

8

)

)(

(

)

(

)

(

₀ ₁ ₀ ₂ ₀ ₁

2

x

b

x

b

x

f











)

(

₀

0

f

x

b



0 1 0 1 1

)

(

)

(

x

f

x

f

b





0 2 0 1 0 1 1 2 1 2 2

)

(

)

(

)

(

)

(

x

f

x

f

x

f

x

f

b





(9)

Contoh 2

9

0 0 10 227.04 15 362.78 20 517.35 22.5 602.97 30 901.67

untuk Contoh 1

 

s ,

t v

   

t , m/s

(10)

Interpolasi KuadratMetode NDD

10

10 12 14 16 18 20

200 250 300 350 400 450 500 550 517.35

227.04 ys f range( ) f x _{de sire d}

20 10 xsrangexde sire d

,

10

0



t

v

(

t

₀

)



227

.

04

,

15

1



t

v

(

t

₁

)



362

.

78

,

20

2



t

v

(

t

₂

)



517

.

35

(11)

Interpolasi KuadratMetode NDD

11

)

(

₀ 0

v

t

b



227

.

04

0 1 0 1 1

)

(

)

(

t

v

t

v

b





10

15

04

.

227

78

.

362





27

.

148

(12)

Quadratic Interpolation (contd)

12

)

)(

(

)

(

)

(

t

b

₀

b

₁

t

₀

b

₂

t

₀

t

₁

v













227

.

04



27

.

148

(

t



10

)



0

.

37660

(

t



10

)(

t



15

),

10



t



20

At

t



16

,

v

(

16

)



227

.

04



27

.

148

(

16



10

)



0

.

37660

(

16



10

)(

16



15

)



392

.

19

m/s

Nilai kesalahan perkiraan dari hasil interpoasi linier dan kuadrat yaitu :

a



x

100

19

.

392

69

.

393

19

.

392





(13)

Bentuk Umum: Interpolasi Kuadrat

Metode NDD

13

)

)(

(

)

(

)

(

₀ ₁ ₀ ₂ ₀ ₁

2

x

b

x

b

x

f











dimana

Ditulis kembali menjadi

)

)(

](

,

[

)

](

,

[

]

[

)

(

₀ ₁ ₀ ₀ ₂ ₁ ₀ ₀ ₁

2

x

f

x

f

x

f

x

f











)

(

]

[

₀ ₀

0

f

x

f

x

b



(14)

Bentuk Umum

14

Untuk (n1) titik data,



x₀,y₀

 

, x₁, y₁



,...,



x_n_₁,y_n_₁

 

, x_n,y_n



yang dituliskan sebagai

) )...(

)( (

.... )

( )

(  ₀  ₁  ₀   _n  ₀  ₁  _n_₁

n x b b x x b x x x x x x

f

dimana

] [ ₀

0 f x

b 

] , [ ₁ ₀

1 f x x

b 

] , ,

[ ₂ ₁ ₀

2 f x x x

b 



] ,...., ,

[ ₁ ₂ ₀

1 f x x x

b_n_  _n_ _n_

] ,...., ,

[x x ₁ x₀ f

(15)

Bentuk Umum

15

Bentuk polinomial derjat tiga dari

(

x

₀

,

y

₀

),

(

x

₁

,

y

₁

),

(

x

₂

,

y

₂

),

dan

(

x

₃

,

y

₃

),

adalah

)

)(

](

,

[

)

)(

](

,

[

)

](

,

[

]

[

)

(

2 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 2 0 0 1 0 3

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f















0 b 0

x f(x₀) b₁

] , [x₁ x₀

f b₂

1

x f(x₁) f[x₂,x₁,x₀] b₃

] , [x₂ x₁

f f[x₃,x₂,x₁,x₀]

2

x f(x₂) f[x₃,x₂,x₁]

] , [x₃ x₂ f

3

(16)

Contoh 3

16

0 0 10 227.04 15 362.78 20 517.35 22.5 602.97 30 901.67

 

s ,

t v

   

t , m/s

(17)

Contoh 3

17

Profil kecepatan untuk polinomial derajat tiga

)

)(

(

)

)(

(

)

(

)

(

t

b

₀

b

₁

t

₀

b

₂

t

₀

t

₁

b

₃

t

₀

t

₁

t

₂

v















Diperlukan 4 titik data yang terdekat dengan t = 16

, 10

0 

t

v(t₀)  227.04

, 15

1 

t

v(t₁)  362.78

, 20

2 

t

v(t₂)  517.35

,

5 . 22

3 

t v(t₃)  602.97

Diperoleh nilai dari konstanta yaitu

:

(18)

Contoh 3

18

b

₀

= 227.04; b

₁

= 27.148; b

₂

= 0.37660; b

₃

= 5.4347×10

−3

0

b

10

0 

t 227.04 b₁

27.148 b₂

, 15

1 

t 362.78 376600. b₃

30.914 5.4347103

, 20

2 

t 517.35 444530.

34.248 ,

5 . 22

3 

(19)

Contoh 3

19

The absolute relative approximate error

_a

obtained is

a



x

100

06

.

392

19

.

392

06

.

392





Maka

v(t) b0 b1(t t0)b2(tt0)(t t1) b3(t t0)(tt1)(t t2) ) 20 )( 15 )( 10 ( 10 * 4347 . 5 ) 15 )( 10 ( 37660 . 0 ) 10 ( 148 . 27 04 . 227

3   

        t t t t t t

Pada t = 16

) 20 16 )( 15 16 )( 10 16 ( 10 * 4347 . 5 ) 15 16 )( 10 16 ( 37660 . 0 ) 10 16 ( 148 . 27 04 . 227 ) 16 (

3   

        v

(20)

Perbandingan Hasil

20

Pangkat

Polinomial:

1

2

3

v (t=16) m/s

393.69

392.19

392.06

(21)

Distance from Velocity Profile

Dr.Eng. Agus S. Muntohar

21

Find the distance covered by the rocket from t=11s to

t=16s ?

) 20 )( 15 )( 10 ( 10 * 4347 . 5 ) 15 )( 10 ( 37660 . 0 ) 10 ( 148 . 27 04 . 227 ) (

3   

        t t t t t t t v 5 . 22 10 t 

 4.2541 21.265t 0.13204t2 0.0054347t3 10 t  22.5

So

   

 



 

16

11

16 s v t dt

s

( 4.2541 21.265t 0.13204t2 0.0054347t3)dt

16 11     



16 11 4 3 2 4 0054347 . 0 3 13204 . 0 2 265 . 21 2541 . 4 _         

(22)

Acceleration from Velocity Profile

22

Find the acceleration of the rocket at t=16s given that

3 2

0054347

.

0

13204

.

0

265

.

21

2541

.

4

)

(

t

v









2 3



0054347

.

0

13204

.

0

265

.

21

2541

.

4

)

(

)

(

t

dt

d

t

v

dt

d

t

a









21

.

265



0

.

26408

t



0

.

016304

t

2

)

16

(

016304

.

0

)

16

(

26408

.

0

265

.

21

)

16

(





a