INTERPOLASI: METODE LAGRANGE

INTERPOLASI: METODE

LAGRANGE

Dr.Eng. Agus S. Muntohar

Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering 1

Pertemuan ke-12:

20 Desember 2012

Apa Interpolasi?

2

Diberikan data (x

₀

,y

₀

), (x

₁

,y

₁

), …… (x

_n

,y

_n

), nilai “y”

diperoleh pada “x” yang tidak diketahui nilainya.

Interpolan

Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering

3



Bentuk polinomial merupakan interpolan yang

paling sering dipilih karena mudah untuk

melakukan:



Evaluasi



Turunan, dan



Integral

Interpolasi Lagrangian

4



Interpolasi polinomial Langrangian dinyatakan sebagai



Dimana n = pangkat polinomial ke-n yang didekati

dengan fungsi y = f(x) untuk setiap (n+1) titik data

(x

₀

,y

₀

), (x

₁

,y

₁

),…,(x

_n-1

,y

_n-1

),(x

_n

,y

_n

) dan



L

_i

(x) = fungsi bobot (weighting function) untuk hasil ke

(n-1) dimana untuk hasil j = I diabaikan

 

   

0 n i i i i

f x

L x f x







 

0 n j i j _{i j} j i

x x

L x

x

x

 









Contoh 1

Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering

5

0

0

10

227.04

15

362.78

20

517.35

22.5

602.97

30

901.67

Table 1 Data kecepatan dan waktu

Gambar 2 Plot data kecepatan dan waktu

untuk Contoh 1

 

s

,

t

v

   

t

,

m/s

Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1.

Tentukan kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode

Lagrange.

Interpolasi Linier Lagrange (1)

6 10 12 14 16 18 20 22 24 350 400 450 500 550 517.35 362.78 y_s f range( ) f x _{de sire d} x_s 110 x_s 010 xsrangexde sire d

 

 

1 0 0 0 1 1

( )

( ) ( )

( )

( )

i i i

v t

L t v t

L t v t

L t v t



 





 

 

0 0 1 1

15;

362.78

20;

517.35

t

v t

t

v t













Interpolasi Linier Lagrange (2)

Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

7

 

1 1 0 0 0 0 1 j j _j j i

t t

_{t t}

L t

t

t

t

t

 



_











 

1 0 1 0 1 1 0 j j j j i

t t

_{t t}

L t

t

t

t

t

 



_











 

 

 

























0 1 0 1 0 1 1 0

20

15

362.78

517.35

15 20

20 15

16 20

16 15

362.78

517.35

15 20

20 15

0.8 362.78

0.2 517.35

393.7

t t

t t

v t

v t

v t

t

t

t

t

t

t

m s











































Interpolasi Kuadratik Lagrange

8



Interpolasi polinomial pangkat 2 atau kuadratik

dapat dinyatakan sebagai

 

 

 

2 0 0 0 1 1 2 2

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

i i i

v t

L t v t

L t v t

L t v t

L t v t



 







Contoh 2

Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering

9

0

0

10

227.04

15

362.78

20

517.35

22.5

602.97

30

901.67

Table 1 Data kecepatan dan waktu

Gambar 2 Plot data kecepatan dan waktu

untuk Contoh 1

 

s

,

t

v

   

t

,

m/s

Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1.

Tentukan kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode

Kuadratik Lagrange.

Interpolasi Kuadratik Lagrange (2)

10 10 12 14 16 18 20 200 250 300 350 400 450 500 550 517.35 227.04 ys f range( ) f x _{de sire d} 20 10 xsrangexde sire d

 

 

 

0 0 1 1 2 2

10;

227.04

15;

362.78

20;

517.35

t

v t

t

v t

t

v t



















 

2 1 2 0 0 0 0 1 0 2 j j j j i

t t

_{t t}

_{t t}

L t

t

t

t

t

t

t

 















_{ }

_

_



_



_



_



 

2 0 2 1 0 1 1 0 1 2 j j j j i

t t

_{t t}

_{t t}

L t

t

t

t

t

t

t

 















_{ }

_

_



_



_

_



_



 

_

2

t t





t t





t t





Interpolasi Kuadratik Lagrange (3)

Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

11

 

1 2

 

0 2

 

0 1

 

0 1 2 0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1

t t

t t

t t

t t

t t

t t

v t

v t

v t

v t

t

t

t

t

t t

t t

t

t

t

t





































_

_

_



_

_

_

_



_

_

_

_







_



_



_



_















Kesalahan relatif terhadap interpolasi linier

392.19 393.70

100 0.38410%

392.19

a



 





 

















 



 





16 15

16 20

16 10

16 20

16

227.04

362.78

10 15

10 20

15 10

15 20

16 10

16 15

517.35

20 10

20 15

0.08 227.04

0.96 362.78

0.12 527.35

392.19 m/s

v





_





_



_







_



_







_

































_

_



_

_



_

 







Interpolasi Kubik Lagrange

12



Interpolasi polinomial pangkat 3 atau kubik dapat

dinyatakan sebagai

 

 

 

 

3 0 0 0 1 1 2 2 3 3

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

i i i

v t

L t v t

L t v t

L t v t

L t v t

L t v t



 









400 500 600 700 602.97 ys f range( ) f x _{de sire d}

Contoh 3

Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering

13

0

0

10

227.04

15

362.78

20

517.35

22.5

602.97

30

901.67

Table 1 Data kecepatan dan waktu

Gambar 2 Plot data kecepatan dan waktu

untuk Contoh 1

 

s

,

t

v

   

t

,

m/s

Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1.

Tentukan kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode

Kubik Lagrange.

Interpolasi Kubik Lagrange (2)

14 300 400 500 600 700 602.97 ys f range( ) f x de sire d

 

 

 

 

0 0 1 1 2 2 3 3

10;

227.04;

15;

362.78

20;

517.35;

22.5;

602.97

t

v t

t

v t

t

v t

t

v t

























 

3 1 2 3 0 0 0 0 1 0 2 0 3 j j j j i

t t

_{t t}

_{t t}

_{t t}

L t

t

t

t

t

t

t

t

t

 



















_{ }

_

_

_



_



_



_



_



 

3 0 2 3 1 0 1 1 0 1 2 1 3 j j j j i

t t

_{t t}

_{t t}

_{t t}

L t

t

t

t

t

t

t

t

t

 























_{ }

_

_

_

_

_



_



_

_



_

_



_



 

3 0 1 3 2 0 2 2 0 2 1 2 3 j j j j i

t t

_{t t}

_{t t}

_{t t}

L t

t

t

t

t

t

t

t

t

 























_{ }

_

_

_

_

_



_



_

_



_

_



_



 

_

3

t t





t t





t t





t t





Cubic Interpolation (contd)

Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

15

 

1 2 3

 

0 2 3

 

0 1 3

 

1 2 2 0 1 0 2 0 3 1 0 1 2 1 3 2 0 2 1 2 3 1 1 2 3 1 3 1 3 2 t t t t t t t t t t t t t t t t t t v t v t v t v t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t                      _{   } _{   } _{   }     _  _   _  _                      _  _  _    v t

 

3   

Kesalahan relatif terhadap interpolasi kuadratik

%

033269

.

0

100

06

.

392

19

.

392

06

.

392











_a

 













16 15 16 20 16 22.5 16 10 16 20 16 22.5 16 227.04 362.78 10 15 10 20 10 22.5 15 10 15 20 15 22.5 16 10 16 15 16 22.5 16 10 1 517.35 20 10 20 15 20 22.5 22.5 10 v _  _  _  _ _  _  _  _                         _{   } _{ }          









 



 



 





6 15 16 20 602.97 22.5 15 22.5 20 0.0416 227.04 0.832 362.78 0.312 517.35 0.1024 602.97 392.06 m/s       _  _           

Perbandingan Hasil Hitungan Metode

Lagrange dan NDD

16

Pangkat Polinomial:

1

2

3

v(t=16) m/s

393.69

392.19

392.06

Pangkat Polinomial:

1

2

3

v(t=16) m/s

393.69

392.19

392.06

Kesalahan relatif

--- 0.38502 % 0.033427 %

Metode NDD

Metode Lagrange

Distance from Velocity Profile

Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering

17

Find the distance covered by the rocket from t=11s to

t=16s ?

,

00544

.

0

13195

.

0

265

.

21

245

.

4

)

(

_t

_t

_t

2

_t

3

v











10

 t



22

.

5







16 11

)

(

)

11

(

)

16

(

s

v

t

dt

s













16 11 3 2

₀

_.

₀₀₅₄₄

₎

13195

.

0

265

.

21

245

.

4

(

t

t

t

dt

16 11 4 3 2

]

4

00544

.

0

3

13195

.

0

2

265

.

21

245

.

4

[



t



t



t



t



1605



m

)

5727

.

2

)(

3000

650

45

(

)

1388

.

4

)(

3375

5

.

712

5

.

47

(

)

9348

.

1

)(

4500

875

5

.

52

(

)

36326

.

0

)(

6750

5

.

1087

5

.

57

(

)

(

2 3 2 3 2 3 2 3





































t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

v

Acceleration from Velocity Profile

18

,

Find the acceleration of the rocket at t=16s given that

 

 



₄

_.

₂₄₅

₂₁

_.

₂₆₅

_t

₀

_.

₁₃₁₉₅

_t

2

₀

_.

₀₀₅₄₄

_t

3



dt

d

t

v

dt

d

t

a













_

₂₁

_.

₂₆₅

_

₀

_.

₂₆₃₉₀

_{t }

₀

_.

₀₁₆₃₂

_t

2 2

)

16

(

01632

.

0

)

16

(

26390

.

0

265

.

21

)

16

(







a

,

00544

.

0

13195

.

0

265

.

21

245

.

4

)

(

_t

_t

_t

2

_t

3

v











10

 t



22

.

5