BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Baja 2.1.1 Pendahuluan - Analisa Tekuk Lateral pada Balok Crane Baja I dengan Perhitungan Manual dan Abaqus

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Baja

2.1.1 Pendahuluan

Baja merupakan material struktur yang memiliki ketahanan terhadap

kekuatan tarik yang tinggi tetapi cukup lemah dalam menahan kuat tekan. Baja umumnya merupakan bahan campuran besi (Fe), zat arang atau karbon (C),

mangan (Mn), silicon (Si), dan tembaga (Cu).

Berdasarkan kadar karbon yang terkandung di dalamnya, baja karbon dapat dibagi menjadi:

 Baja karbon rendah (low carbon steel) (C < 0,15%)  Baja karbon ringan (mild carbon steel) (C=0,15%–0,29%)

 Baja karbon menengah (medium carbon steel) (C = 0,30%–0,59%)

 Baja karbon tinggi (high carbon steel) (C = 0,60%–1,70%)

Baja yang sering digunakan dalam struktur adalah baja karbon ringan. Semakin besar persentase karbon yang dikandung baja, maka tegangan leleh dari baja akan semakin bertambah, tetapi daktilitas dari baja tersebut akan semakin berkurang,

Menurut SNI 2002, baja struktur dapat dibedakan berdasarkan kekuatannya

Tabel 2.1 Tegangan leleh dan kuat tarik batas

2.1.2 Sifat Baja

Ada beberapa keuntungan dari sifat baja yang membuat baja menjadi

bahan yang dipilih sebagai bahan material konstruksi, keuggulan dari sifat baja adalah:

 Mempunyai kekuatan yang tinggi, sehingga dapat mengurangi ukuran

struktur serta juga mengurangi mengurangi berat sendiri dari struktur.

Hal ini cukup menguntungkan bagi struktur-struktur yang bersifat memanjang, bahkan pada bangunan dengan kondisi tanah buruk.  Memiliki keseragaman dan keawetan yang tinggi, tidak seperti halnya

material beton bertulang yang terdiri dari bermacam bahan penyusun.

Dan juga memiliki tingkat keawetan yang tinggi.

 Bersifat elastis, dimana baja mempunyai perilaku yang cukup dekat

tinggi mengikuti hukum hooke. Dan momen Inersia dari suatu profil

baja juga dapat dihitung dengan pasti sehingga memudahkan dalam melakukan analisa struktur.

 Daktilitas baja cukup tinggi, karena suatu batang baja yang menerima

tegangan tarik yang tinggi akan mengalami regangan tarik cukup

besar sebelum terjadinya keruntuhan.

 Dan beberapa keuntungan lain dari pemakaian baja adalah kemudahan

dalam penyambungan antarelemen yang satu dengan yang lainnya dengan menggunakan baut sehingga pembentukan secara

makrostruktur dapat lebih fleksibel dan mampu membentuk struktur dengan kualitas daya seni tinggi.

Sifat-sifat bahan struktur yang paling penting dari baja adalah sebagai berikut:  Modulus geser (G) dihitung berdasarkan persamaan:

G = E/2(1+μ)

Dimana: μ = Angka perbandingan poisson

 Modulus elastisitas (E) berkisar antara 193000 Mpa sampai 207000

Mpa. Nilai untuk desain lazimnya diambil 210000 Mpa.

Dengan mengambil μ = 0.30 dan E = 210000 Mpa, akan memberikan G = 81000

Mpa

 Koefisien ekspansi (α), diperhitungkan sebesar : α = 11,25 × 106 per

ºC

 Berat jenis baja (γ), diambil sebesar 7.85 t/m³.

paling tepat untuk mendapatkan sifat-sifat mekanik dari material baja adalah

dengan melakukan uji tarik terhadap material baja. Uji tekan tidak dapat memberikan data yang akurat terhadap sifat-sifat mekanik material baja, karena

disebabkan beberapa hal antara lain adanya potensi tekuk pada benda uji yang mengakibatkan ketidakstabilan dari benda uji tersebut, selain itu perhitungan tegangan yang terjadi di dalam benda uji lebih mudah dilakukan untuk uji tarik

daripada uji tekan. Gambar 2.1 dan 2.2 menunjukkan suatu hasil uji tarik material baja yang dilakukan pada suhu kamar serta dengan memberikan laju regangan

yang normal.

Tegangan nominal (f) yang terjadi dalam benda uji diplot pada sumbu vertikal, sedangkan regangan (ε) yang merupakan perbandingan antara

pertambahan panjang dengan panjang mula-mula (ΔL/L) diplot pada sumbu horizontal. Gambar 2.1 merupakan hasil uji tarik dari suatu benda uji baja yang

dilakukan hingga benda uji mengalami keruntuhan, sedangkan Gambar 2.2 menunjukkan gambaran yang lebih detail dari perilaku benda uji hingga mencapai regangan sebesar ± 2 %.

Gambar 2.2 Bagian Kurva Tegangan-Regangan yang Diperbesar

Titik-titik penting dari kurva tegangan-regangan adalah: 𝑓𝑝 : batas proporsional

𝑓𝑒 : batas elastis

𝑓𝑦𝑢,𝑓𝑦 : tegangan leleh atas dan bawah

𝑓𝑢 : tegangan putus

𝜀𝑠𝑕 : regangan saat mulai terjadi efek strain-hardening (penguatan regangan

𝜀𝑢 : regangan saat tercapainya tegangan putus

Titik-titik penting tersebut membagi kurva tegangan-regangan menjadi

beberapa daerah sebagai berikut:

 Daerah linear antara 0 dan 𝑓_𝑝, dalam daerah ini berlaku Hukum

 Daerah elastis antara 0 dan 𝑓_𝑒, pada daerah ini jika beban dihilangkan

maka benda uji ini akan kembali ke bentuk semula atau dikatakan bahwa benda uji tersebut masih bersifat elastis.

 Daerah plastis yang dibatasi oleh regangan antara 2% hingga

1,2-1,5%, pada bagian ini dapat menunjukkan pula tingkat daktilitas dari

material baja tersebut. Pada baja mutu tinggi terdapat pula daerah plastis, namun pada daerah ini tegangan masih mengalami kenaikan. Karena itu baja jenis ini tidak mempunyai daerah plastis yang

benar-benar datar sehingga tak dapat dipakai dalam analisa plastis.

 Daerah penguatan regangan (strain-hardening) antara 𝜀_𝑠𝑕 dan 𝜀_𝑢 .

Untuk regangan lebih besar dari 15 hingga 20 kali regangan elastis

maksimum, tegangan kembali mengalami kenaikan namun dengan kemiringan yang lebih kecil daripada kemiringan daerah elastis.

Daerah ini dinamakan daerah penguatan regangan (strain-hardening), yang berlanjut hingga mencapai tegangan putus. Kemiringan daerah

ini dinamakan modulus penguatan regangan (Est)

2.1.3 Profil Baja

Profil baja struktural yang tersedia di pasaran terdiri dari banyak jenis dan bentuk. Semua bentuk profil tersebut mempunyai kelebihan dan kelemahan

masing-masing. Beberapa jenis profil baja menurut ASTM bagian I diantaranya adalah profil IWF, O, C, profil siku (L), tiang tumpu (HP), dan profil T structural.

mempunyai penampang melintang yang pada dasarnya sama dengan profil W, dan

juga memiliki aplikasi yang sama.

Profil S adalah balok standar Amerika. Profil ini memiliki bidang flens

yang miring, dan web yang relatif lebih tebal. Profil ini jarang di gunakan dalam konstruksi, tetapi masih digunakan terutama untuk beban terpusat yang sangat besar pada bagian flens.

Profil HP adalah profil jenis penumpu (bearing type shape) yang mempunyai karakteristik penampang agak bujur sangkar dengan flens dan web

yang hampir sama tebalnya. Biasanya digunakan sebagai fondasi tiang pancang. Bisa juga digunakan sebagai balok dan kolom, tetapi umumnya kurang efisien.

Profil C atau kanal mempunyai karakteristik flens pendek, yang mempunyai kemiringan permukaan dalam sekitar 1:6. Biasnya diaplikasikan sebagai penampang tersusun, bracing tie, ataupun elemen dari bukaan rangka (frame

opening).

Profil siku atau profil L adalah profil yang sangat cocok untuk digunakan sebagai bracing dan batang tarik. Profil ini biasanya digunakan secara gabungan,

yang lebih di kenal sebagai profil siku ganda. Profil ini sangat baik untuk digunakan pada struktur truss.

2.2 Balok

2.2.1 Pendahuluan

Balok merupakan bagian struktur yang digunakan sebagai dudukan lantai

dan pengikat kolom lantai atas. Fungsinya adalah sebagai rangka penguat horizontal bangunan akan beban-beban. Balok menerima beban yang arahnya tegak lurus dengan sumbu memanjang batangnya, hal tersebutlah yang

menyebabkan balok melentur.

Pada sistem struktural bangunan gedung, elemen balok merupakan paling banyak

digunakan dengan pola berulang dalam susunan hirarki balok. Susunan hirarki ini terdiri atas ; susunan satu tingkat, dua tingkat, dan susunan tiga tingkat sebagai

batas maksimum. Tegangan aktual yang timbul pada elemen struktur balok tergantung pada besar dan distribusi material pada penampang melintang balok tersebut. Semakin besar ukuran balok, semakin kecil tegangan yang terjadi.

Apabila suatu gelagar balok bentangan sederhana menahan beban yang mengakibatkan timbulnya momen lentur akan terjadi deformasi (regangan) lentur di dalam balok tersebut. Regangan-regangan balok tersebut mengakibatkan

timbulnya tegangan yang harus ditahan oleh balok, tegangan tekan di sebelah atas dan tegangan tarik dibagian bawah. Agar stabilitas terjamin, batang balok sebagai

bagian dari sistem yang menahan lentur harus kuat untuk menahan tegangan tekan dan tarik tersebut karena tegangan baja dipasang di daerah tegangan tarik bekerja, di dekat serat terbawah, maka secara teoritis balok disebut sebagai bertulangan

2.2.2 Balok Sederhana

Balok sederhana adalah suatu balok yang disangga secara bebas pada kedua ujungnya. Istilah “disangga secara bebas” menyatakan secara tidak langsung

bahwa ujung penyangga hanya mampu menahan gaya-gaya pada batang dan tidak mampu menghasilkan momen. Dengan demikian tidak ada tahanan terhadap rotasi pada ujung batang jika batang mengalami tekukan karena pembebanan. Batang

sederhana diilustrasikan pada Gambar 2.4.

Gambar 2.4 Balok dengan perletakan sederhana

Perlu diperhatikan bahwa sedikitnya satu dari penyangga harus mampu menahan pergerakan horizontal sedemikian sehingga tidak ada gaya yang muncul pada arah

sumbu balok.

Balok pada Gambar 2.4a dikatakan dikenai gaya terkonsentrasi atau gaya tunggal;

sedang batang pada Gambar 2.4b dibebani pasangan beban terdistribusi seragam. Balok sederhana merupakan balok statis tertentu, yaitu balok dimana reaksi-reaksi gayanya dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan kesetimbangan statis.

2.2.3 Tekuk Lateral Pada Balok

Tekuk lateral adalah tekuk arah tegak lurus bidang kerja gaya luar, terjadi pada balok-balok langsing dimana Iy< Ix. Seperti pada kolom dengan beban

aksial, balok tidak mungkin mengalami pembebanan yang sempurna, tidak homogen seluruhnya, dan biasanya tidak dibebani tepat pada bidang yang dianggap dalam perencanaan dan analisis. Tinjau gambar 2.5 di bawah ini.

Menurut teori balok yang umum, pembebanan pada bidang badan balok akan menimbulkan tegangan yang sama besar di titik A dan B. Namun

ketidaksempurnaan pada balok dan eksentrisitas tak terduga pada pembebanan akan menyebabkan tegangan di A dan B berlainan. Sayap segiempat yang berlaku

sebagai kolom biasanya akan tertekuk dalam arah lemah akibat lentur terhadap suatu sumbu seperti sumbu 1-1 pada gambar 2.5b, namun badan memberi sokongan menerus untuk mencegah tekuk ini. Bila beban tekan diperbesar, sayap

Untuk memahami kelakuan ini secara lebih tepat, harus disadari bahwa sayap

tekan tidak saja ditopang (braced) dalam arah lemah oleh badan yang menghubungkan ke sayap tarik yang stabil, tetapi badan juga memberikan

pengekangan momen dan geser yang menerus sepanjang pertemuan sayap dan badan. Jadi, kekakuan lentur badan menyebabkan seluruh penampang ikut bekerja bila pergerakan lateral atau ke samping terjadi.

2.2.4 Beban Tengah Terpusat

Jika balok dengan perletakan sederhana di bentang tengahnya diberi gaya

terpusat, maka diagram momennya adalah bilinear seperti pada gambar. Disini, seperti pada kasus momen ujung tidak merata, persamaan diferensialnya akan

menghasilkan koefisien variabel.

Sebagai gambaran, balok dengan perletakan sederhana yang dibebani gaya terpusat P dipusat geser pada bentang tengah penampang seperti pada gambar

dibawah. Untuk memperoleh persamaan diferensial, kita perlu mencari hubungan momen eksternal yang ditimbulkan yang bekerja pada pada balok pada keadaan terdeformasi dengan momen internalnya.Dalam hal ini kita menggunakan dua koordinat system, yaitu (x-y-z) dan (x’-y’-z’) seperti pada gambar. Pada balok

yang tertekuk lateral, reaksi vertical (P/2) dan reaksi torsi , dimana perpindahan

lateral bidang luar dari pusat geser ditengah penampang akan mendapat sokongan. Dengan mengingat penampang sejauh z dari titik awalnya, variasi komponen dari momen external yang bekerja pada penampang tersebut yang mengenai koordinat

x-y-z, dengan menggunakan aturan sekrup tangan kanan untuk vector momen,

Mx ext = P 2

P

𝑀𝑦 _𝑒𝑥𝑡 = 0 2.2

𝑀𝑧 𝑒𝑥𝑡 = −𝑃₂ 𝑢𝑚− 𝑢 2.3

Komponen dari momen external yang bekerja pada penampang pada balok yang terdeformasi yang mengenai koordinat x’-y’-z’ adalah :

𝑀𝑥′ _𝑒𝑥𝑡 ≈ 𝑀_{𝑥 𝑒𝑥𝑡} −𝑑𝑢

Gambar 2.7 Tekuk Lateral pada Balok dengan Perletakan Sederhana dengan

Pembebanan Di Tengah Bentang

Sumber :STRUCTURAL STABILITY, Theory and Implementation.W.F.Chen, Ph.d. dan E.M. Lui, Ph.d

Tanda minus pada persamaan 2.7 di atas menunjukkan bahwa Momen positif 𝑀𝑥′ 𝑖𝑛𝑡menghasilkan gradien negative(𝑑2𝑣)/𝑑𝑥2, sesuai dengan aturan sekrup

tangan kanan. Dengan menyamakan momen external dan momen internal dan mengabaikan syarat orde tertinggi, dapat ditetapkan persamaan keseimbangan:

𝐸𝐼𝑥𝑑

persamaan 2.6 diatas, yang menggambarkan perilaku lentur bidang dalam balok, tidak digabungkan dengan dua persamaan lainnya.Oleh karena itu hal tersebut

digambarkan pada persamaan 2.10 dan persamaan 2.11. Dengan mengeliminasi u

dari persamaan 2.10 dan persamaan 2.11 dan mencatat bahwa 𝑑𝑢_𝑚 𝑑𝑧 = 0,dapat

ditulis persamaan diferensial:

Solusi untuk persamaan diferensial ini ditetapkan dengan metode deret tak terhingga. Hasilnya diplot dalam bentuk garis tebal pada gambar di bawah.Kurva

tersebut masing-masing sesuai pada kasus pada saat beban bekerja pada sayap atas, pusat geser, dan pada sayap bawah pada penampang.

Pada kasus dimana beban bekerja pada sayap atas merupakan keadaan yang paling berbahaya, karena lengan torsi bertambah besar. Di sisi lain hal yang

berbahaya ialah bekerjanya beban pada sayap bawah sehingga menyebabkan pengurangan lengan torsi. Jika beban bekerja pada sayap atas maka persamaan 2.6 menjadi :

𝑀𝑧 𝑒𝑥𝑡 = −𝑃₂ 𝑢𝑚 +𝛾𝑚₂𝑕− 𝑢 2.14

Dan pada saat beban bekerja pada sayap bawah, maka persamaan 2.6 menjadi:

𝑀𝑧 𝑒𝑥𝑡 = −𝑃₂ 𝑢𝑚 −𝛾𝑚₂𝑕− 𝑢 2.15

Dimana 𝑢_𝑚 dan 𝛾_𝑚 merupakan perpindahan lateral bidang luar dan putaran dari penampang bentang tengah balok masing-masing. Nilai dari 𝛾𝑚𝑕 2(𝑎𝑡𝑎𝑢 − 𝛾𝑚𝑕 2) menggambarkan jumlah kenaikan atau penurunan pada

lengan torsi yang diakibatkan beban yang bekerja dan kenaikan atau penurunan

semakin kecil dan sebaliknya. Maka pendekatan nilai teoritis 𝑃_𝑐𝑟 dari persamaan

2.1 di atas adalah:

𝑀𝑐𝑟 =𝑃𝑐𝑟₄𝐿= 𝐶𝑏𝑀0𝑐𝑟 2.16

Gambar 2.8 Perbandingan Nilai Teoritis dan Nilai Pendekatan (Beban Terpusat)

Sumber : STRUCTURAL STABILITY, Theory and Implementation.W.F.Chen, Ph.d. dan E.M. Lui, Ph.d

Dengan:

𝐶𝑏 =

𝐴𝐵 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘𝑏𝑒𝑏𝑎𝑛𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠𝑎𝑦𝑎𝑝𝑏𝑎𝑤𝑎𝑕

𝐴 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘𝑏𝑒𝑏𝑎𝑛𝑝𝑎𝑑𝑎𝑝𝑢𝑠𝑎𝑡𝑔𝑒𝑠𝑒𝑟 𝐴 𝐵 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘𝑏𝑒𝑏𝑎𝑛𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠𝑎𝑦𝑎𝑝𝑎𝑡𝑎𝑠

2.17

Nilai A dan B dirumuskan oleh Nethercot dan Rockey sebagai berikut.

𝐴 = 1.35 2.18

𝐵= 1 + 0.649𝑊 −0.180𝑊2 2.19

Nilai pendekatan untuk nilai 𝑃_𝑐𝑟 dengan menggunakan persamaan 2.16 dan 2.19

diatas diplot atau digambarkan dengan garis putus-putus pada gambar di atas. Dapat kita lihat bahwa solusi pendekatan diatas memberikan gambaran solusi yang pasti secara teoritis.

2.2.5 Pengaruh Kondisi Pembebanan

Kasus dasar tekuk lateral dan puntiran yang terjadi pada balok WF dengan

perletakan sederhana yang dibebani momen seragam pada sumbu utamanya telah diterima dan dapat dipertanggungjawabkan sesuai dengan solusi persamaan diatas. Rumus ini akan menghasilkan hasil yang konservatif dalam sebagian besar kasus.

Akan tetapi sebagian besar balok dalam strukturnya tidak dibebani dengan momen seragam, dan sebagian besar kondisi perletakannya tidaklah sederhana. Kondisi

pembebanan dan kondisi batas yang praktis dan sangat penting sayangnya tidak dapat memecahkan persamaan diferensial yang sangat rumit dan bahkan tidak mungkin dapat diselesaikan dengan analitis.

2.2.6 Perilaku Balok Tanpa Kekangan Lateral

Pada balok yang memikul beban transversal selain melentur terhadap

sumbu kuatnya, juga dapat melentur ke arah sumbu lemahnya. Sebagaimana kita ketahui bahwa bagian sayap tekan balok dihubungkan dengan bagian sayap tarik

melalui badan balok sehingga dapat mencegah terjadinya ketidakstabilan sayap tekan terhadap tekuk. Komponen tekan dari suatu balok disokong seluruhnya oleh komponen tarik yang stabil. Jadi, tekuk global dari komponen tekan tidak terjadi

sebelum kapasitas momen batas penampang belum tercapai.

Namun apabila sayap tekan cukup besar, bagian sayap tekan dapat

mencegah terjadinya lateral torsional buckling ini, balok dapat diberi lateral

support pada jarak tertentu, atau dengan memilih balok yang mempunyai momen

inersia terhadap sumbu lemah mendekati sama besar dengan momen inersia

sumbu kuatnya.

2.2.7 Kekuatan Balok Akibat Beban Momen Murni

o _{Kuat Lentur Nominal Balok}

Kuat lentur nominal balok ditinjau dari kegagalan tekuk lateral sangat tergantung kepada panjang balok tanpa sokongan (unbraced length) didefinisikan parameter

berikut ini:

𝐹𝑟 = Tegangan sisa

𝐴 = Luasan Penampang Profil

Pada bagian berikut ada 4 (empat) kondisi balok dengan momen plastis dan kapasitas

rotasi yang berbeda-beda.

o _{Penampang kompak dengan} 𝐿_𝑏 ≤ 𝐿_𝑝𝑑

Momen plastis tercapai 𝑀_𝑛 =𝑀_𝑝 dengan kapasitas rotasi besar 𝑅 ≥3

o _{Penampang kompak dengan} 𝐿_𝑏 ≤ 𝐿_𝑝𝑑

Momen plastis tercapai 𝑀_𝑛 =𝑀_𝑝 dengan kapasitas rotasi besar 𝑅< 3

o _{Penampang kompak dengan} 𝐿_𝑝 <𝐿_𝑏 <𝐿_𝑟

Momen plastis tidak tercapai 𝑀_𝑟 ≤ 𝑀_𝑛 <𝑀_𝑝. Karena terjadinya tekuk lateral pada

daerah inelastis. Maka:

𝑀𝑛 =𝑀𝑝 − 𝑀𝑝− 𝑀𝑟 𝐿_𝐿𝑏− 𝐿𝑝

𝑟− 𝐿𝑝 ≤ 𝑀𝑝

o _{Penampang kompak dan tidak kompak dengan} 𝐿_𝑏>𝐿_𝑟

Pada kasus ini akan terjadi lateral torsional buckling pada daerah elastis 𝑀_𝑛 <𝑀_𝑟

𝑀𝑛 =𝑀𝑐𝑟 =𝑆𝑥𝑋1 2

𝐿𝑏 𝐿𝑟 1 +

𝑋1𝑋2 2 𝐿_𝑏 𝐿_𝑟 2

Gambar 2.9 Kuat Momen Nominal akibat beban 𝐿_𝑏

Telah dijelaskan pada bab sebelumnya kuat lentur nominal 𝑀_𝑛terhadap tekuk lateral

dikembangkan dari analisis balok di atas dua perletakan dengan beban yang bekerja

adalah momen lentur murni seragam. Bila momen yang bekerja tidak seragam atau beban

yang bekerja adalah beban transversal, maka kuat lentur nominal𝑀_𝑛 akan bertambah.

Untuk memperhitungkan pengaruh momen yang tidak seragam atau beban yang bekerja

adalah beban transversal, maka kuat lentur nominal dikalikan dengan faktor modifikasi

𝐶𝑏. Peraturan AISC 1986 menetapkan faktor seperti 𝐶𝑏yang diusulkan Salvadori:

𝐶𝑏 = 1,75 + 1,05 𝑀_𝑀1

Pengaruh distribusi beban sepanjang bentang balok yang tidak disokong/dikekang

terhadap kekuatan atau kapasitas tekuk lateral torsi elastis telah diteliti secara numerik

oleh sejumlah peneliti. Hasil dari sejumlah buku atau tulisan, solusi pada bentuk

persamaan 2.20 diatas sering dipakai untuk mencari nilai beban kritis. Solusi untuk

kondisi pembebanan yang secara umum untuk beban yang bekerja pada pusat gesernya

dapat dilihat pada tabel dibawah. Dengan menggunakan tanda atau nilai 𝑀_𝑐𝑟 pada kolom

ketiga dan nilai 𝐶_𝑏 pada kolom keempat dengan nilai 𝑀_0𝑐𝑟 pada persamaan 2.20 d iatas

dapat kita hitung nilai beban kritisnya.

Untuk pembebanan yang diagaram momennya tidak menyerupai dengan yang terdapat

pada table 2.2a dibawah tersebut. Rumus empiris dirumuskan oleh Kirby dan Nethercot

untuk nilai 𝐶_𝑏.

𝐶𝑏 =

12

3 𝑀₁ 𝑀_𝑚𝑎𝑥 + 4 𝑀₂ 𝑀_𝑚𝑎𝑥 + 3 𝑀₃ 𝑀_𝑚𝑎𝑥 + 2 2.21

Dimana 𝑀1,𝑀2, dan 𝑀3 momen pada ¼ panjang bentang, tengah bentang dan ¾ panjang

bentang masing-masing dan 𝑀_𝑚𝑎𝑥 adalah momen maksimum sebagaimana ditunjukkan

pada tabel 2.2b di bawah. Jika letak pembebanan tidak pada pusat geser, nilai-nilai beban

kritis akan berbeda-beda. Untuk dua kasus pembebanan pada tabel di bawah Nethercot,

untuk memberikan nilai pendekatan beban kritis. Gambar di bawah menunjukkan

perbandingan antara nilai beban kritis secara teoritis yang ditetapkan oleh Timoshenko

dan Gere untuk kasus beban yang terdistribusi dengan seragam dengan solusi pendekatan

yang dirumuskan oleh Nethercot dan Rockey.

Tabel 2.2 Nilai 𝐶_𝑏 untuk berbagai jenis kasus pembebanan yang berbeda (Beban yang

diberikan seluruhnya pada pusat geser penampang)

(Sumber : Structural stability Theory of implementation W.F. Chen, Phd.)

2.3 Konsep Teori Stabilitas Struktur

Keunggulan bahan struktur dari baja yang paling utama adalah kekuatan dan sifat keliatannya (ductility) yang tinggi sehingga mampu berdeformasi secara nyata sebelum terjadi kegagalan. Pada perencanaan suatu konstruksi baja

diharapkan struktur yang dihasilkan akan dapat menahan beban rencana tanpa terjadi deformasi yang dapat menyebabkan struktur bangunan mengalami

keruntuhan. Dalam hal ini biasanya struktur dirancang dengan kekakuan yang baik sehingga beban rencana yang dipikul oleh struktur berada pada kondisi aman. Konsep stabilitas pada suatu struktur baja biasanya diterapkan sebagai prinsip

dasar, maka pada setiap perencanaan kondisi keseimbangan harus dipertimbangkan, karena sistem struktur akan terganggu keseimbangannya apabila

diberi beban. Ada 3 alternatif dasar yang dapat menjadi prinsip dasar keseimbangan tersebut, antara lain:

2. Jika sistem struktur menerima besar beban tertentu, apabila beban

tersebut dihilangkan maka sistem akan kembali seperti semula, tetapi apabila beban ditambah sedikit saja maka sistem tersebut tidak lagi

kembali seperti semula walaupun beban ditiadakan, kondisi ini dikatakan netral, artinya besar beban itu adalah beban kritis. Gambar 2.11(B)

3. Jika sistem struktur terus bergerak dan cenderung tidak mampu mendukung beban, maka sistem itu dikatakan tidak stabil. Gambar

2.11(C).

Konsep stabilitas dari ketiga keseimbangan tersebut divisualisasikan dengan

sebuah bola yang bergulir di atas bidang pada gambar 2.11

Gambar 2.11 Tiga Kondisi Keseimbangan Statis

Akibat karakter ketidakstabilan tersebut akan terjadi perubahan geometri uang dihasilkan oleh kehilangan kemampuan memikul beban tersebut. pada

bagian (A) beban P <P_𝑐𝑟 maka struktur berada pada kondisi stabil, lalu pada

bagian (B) beban P = P_𝑐𝑟 maka struktur berada pada kondisi mulai tidak stabil,

dan pada bagian (C) beban P >P_𝑐𝑟 maka struktur akan mengalami pola keruntuhannya dan tidak dapat kembali lagi pada kondisi semula, dengan kata lain

pertimbangan tercapainya kekuatan maksimum, kekakuan juga harus

diperhitungkan untuk kestabilan.

2.4 Teori Umum Lentur

Sejauh ini pembahasan hanya terbatas pada bentuk-bentuk profil simetris, sehingga rumus f = M.c/I dapat digunakan untuk menghitung tegangan lentur elastis. Pembahasan berikut akan lebih memperumum lenturan pada batang

prismatis (batang yang mempunyai bentuk penampang melintang sama di setiap potongannya). Diasumsikan pula dalam balok ini tidak terjadi puntir.

Perhatikan balok dengan penampang seragam pada Gambar 2.12 yang dikenal momen pada bidang ABCD. Bidang ABCD membentuk sudut γ terhadap bidang xz. Momen ini direpresentasikan dengan vektor normal terhadap ABCD.

Gambar 2.12 Balok Prismatis Dengan Lentur Murni

Perhatikan pula potongan sejarak z pada gambar 2.12 Syarat kesetimbangan dalam free body dipenuhi bila:

fz = 0→ σdA = 0 2.22

My = 0→My = _A x.σdA 2.24

Momen Mxdan Mypositif bila menghasilkan lentur positif, artinya lentur yang

mengakibatkan tekan pada bagian atas balok dan tarik pada bagian bawah.

2.4.1 Lentur dalam Bidang YZ

Jika lentur terjadi dalam bidang yz, tegangan σ proposional terhadap y, sehingga:

σ= k₁. y 2.25

Gunakan persamaan 2.22 hingga 2.24 memberi hasil:

k₁ ydA = 0

A 2.26

Mx → k1 _A y2dA = k1Ix 2.27

M_y → k_{1 A} xydA = k₁I_xy 2.28

Gambar 2.13 Free Body balok pada potongan berjarak z

Persamaan 2.26 menunjukkan bahwa x haruslah sumbu berat. Dari persamaan 2.27 dan 2.28 memberikan:

k1 =

M_x

Ix

=

M_y Iy

2.29

Dan sudut γ dapat ditentukan sebagai:

tan γ = Mx

I

=

My

Bila penampang memiliki minimal satu sumbu simetri (Ixy= 0, γ = π/2) maka

beban dan lentur terjadi dalam bidang yz.

2.4.2 Lentur dalam Bidang XZ

Bila lentur terjadi dalam bidang xz, tegangan σ proposional terhadap x, sehingga:

σ= k2. x 2.31

Gunakan persamaan 2.1 hingga 2.3 memberi hasil:

k2 _A xdA = 0 2.32

M_x → k₂ xydA = k₂I_xy

A 2.33

M_y → k₂ x2dA = k₂I_y

A 2.34

Dan sudut γ haruslah:

tan γ = Mx

Ix

=

M_y Iy

2.35

Dalam kasus penampang yang memiliki paling sedikit satu sumbu simetri Ixy= 0 dan tan γ = 0, maka beban dan lentur terjadi dalam bidang xz.

2.4.3 Lentur di luar Bidang XZ dan YZ

Tegangan total σ merupakan penjumlahan dari tegangan akibat lentur dalam

bidang xz dan yz.

σ= k₁. y + k₂. x 2.36

Mx = k1Ix+ k2Ixy 2.37

M_y = k₁I_xy + k₂I_y 2.38

σ= MxIy−MyIxy

IxIy+Ixy2

.

y+MyIx−MxIxy

I_xI_y−I_xy2 .x 2.39

Persamaan 2.18 merupakan persamaan umum lentur, dengan mengasumsikan: balok lurus, prismatis, sumbu x dan y adalah dua sumbu berat saling tegak lurus,

material elastis linear, tak ada pengaruh puntir.

Bila penampang mempunyai setidaknya satu sumbu simetri, maka dengan

mensubstitusikan Ixy= 0, persamaan 2.39 menjadi:

σ =Mx I_x .y=

M_y

I_y .x 2.40

Dari persamaan 2.30 dan 2.35 didefinisikan tan γ = Mx M_y

Bila tegangan dalam sumbu netral sama dengan nol, σ dalam persamaan 2.39 dapat disubstitusi dengan nol, selesaikan untuk -x/y, akan diperoleh bentuk:

- x

Jika penampang memiliki paling tidak satu buah sumbu simetri ( 𝐼_𝑥𝑦= 0):

tan α = Iy

2.5 Torsi

2.5.1 Pendahuluan

Pengaruh torsi/puntir terkadang sangat berperan penting dalam desain

struktur. Kasus torsi sering dijumpai pada balok induk yang memiliki balok-balok anak dengan bentang yang tak sama panjang. Profil yang paling efisien dalam memikul torsi adalah profil bundar berongga (seperti cincin). Penampang ini lebih

kuat memikul torsi daripada penampang bentuk I, kanal, T, siku, atau Z dengan luas yang sama.

Suatu batang pejal bulat bila dipuntir, maka tegangan geser pada penampang di tiap titik akan bervariasi sesuai jaraknya dari pusat batang, dan

penampang yang semula datar akan tetap datar serta hanya berputar terhadap sumbu batang.

Pada tahun 1853 muncul teori klasik torsi dari Saint-Venant, ia

mengatakan bahwa jika batang dengan penampang bukan lingkaran, bila dipuntir maka penampang yang semula datar tidak akan menjadi datar lagi setelah dipuntir, penampang ini menjadi terpilin (warping) keluar bidang.

2.5.2 Torsi Murni pada Penampang Homogen

Perhatikan momen torsi, T, yang bekerja pada batang pejal homogen. Asumsikan

tidak ada pemilinan (warping) ke luar bidang. Kelengkungan torsi θ diekspresikan sebagai:

θ = d∅

dz

2.44

Dan regangan geser γ, dari suatu elemen sejarak r dari pusat adalah :

γ = r.d∅

Dari hukum Hooke, tegangan geser akibat torsi:

τ = γ.G 2.46

Gambar 2.14 Torsi Pada Batang Pejal

Torsi T adalah sedemikian sehingga:

dT = τ. d. A. r = γ. G. d. A. r = r2. d∅

dz .G.dA 2.47

Mengintegralkan persamaan 2.47 sehingga akan diperoleh:

T = r2. d∅ dz . G. dA = d∅ dz . G r2. dA = GJ d∅ dz 2.48

Dimana : G = modulus geser = E

2 1+v

J = konstanta torsi, atau momen inersia polar (untuk penampang

lingkaran)

Tegangan geser, τ, dari persamaan 2.45 dan 2.46 adalah:

τ = r.d∅ dz.G =

T.r

Dari persamaan 2.49 dapat disimpulkan bahwa regangan geser akibat torsi

sebanding dengan jarak dari titik pusat torsi.

Penampang Lingkaran

Perhatikan penampang berbentuk lingkaran dengan jari-jari r1 dan r2 dimana

r₁ < r₂

Gambar 2.15 Penampang Lingkaran

τmaks = T. (d 2)

Perhatikan penampang persegi yang mengalami geser akibat torsi, pada gambar Regangan geser = γ

Gambar 2.16 Torsi Pada Penampang Persegi Regangan geser, γ adalah:

Berdasarkan hukum Hooke, tegangan geser, τ, diekspresikan sebagai:

τ = γ.G = t.G. d∅ dz=

T.t

Dari teori elastisitas, τ_{𝑚𝑎𝑘𝑠} terjadi di tengah dari sisi panjang penampang persegi

dan bekerja sejajar sisi panjang tersebut. Besarnya merupakan fungsi dari rasio b/t dan dirumuskan sebagai:

τ𝑚𝑎𝑘𝑠 =

k₁.t

b.t2 2.52

Dan konstanta torsi penampang persegi adalah:

J = k₂. b. t2 2.53

Besarnya k₁ dan k₂ tergantung dari rasio b/t, dan ditampilkan dalam tabel 2.3

b/t 1 1,2 1,5 2 2,5 3 4 5 ∞

k₁ 4,81 4,57 4,33 3,88 3,88 3,75 3,55 3,44 3

k₂ 0,141 0,166 0,196 0,229 0,249 0,263 0,281 0,291 0,333

Tabel 2.3 Harga k₁ dan k₂ untuk persamaan 2.52 dan 2.53

Profil I, Kanal, T dan Siku

Dari Tabel 2.3 tampak untuk b/t yang besar maka harga dan akan cenderung

konstan. Untuk penampang-penampang berbentuk I, kanal, T dan siku, maka perhitungan konstanta torsinya diambil dari penjumlahan konstanta torsi masing-masing komponenya yang berbentuk persegi, sehingga dalam hal ini:

J = 1

3 .b.t

2.5.3 Tegangan Puntir pada Profil I

Pembebanan pada bidang yang tak melalui pusat geser akan mengakibatkan batang terpuntir jika tidak ditahan oleh pengekang luar. Tegangan

puntir akibat torsi terdiri dari tegangan lentur dan geser. Tegangan ini harus digabungkan dengan tegangan lentur dan geser yang bukan disebabkan oleh torsi. Torsi dapat dibedakan menjadi dua jenis, yakni torsi murni (pure

torsional/Saint-Venant‟s torsion) dan torsi terpilin (warping torsion). Torsi murni

mengasumsikan bahwa penampang melintang yang datar akan tetap datar setelah mengalami torsi dan hanya terjadi rotasi saja. Penampang bulat adalah satu-satunya keadaan torsi murni. Torsi terpilin timbul bila flens berpindah secara

lateral selama terjadi torsi.

Gambar 2.17 Penampang dengan Beban Torsi

2.5.3.1 Torsi Murni (Saint-Venant’s Torsion)

Seperti halnya kelengkungan lentur (perubahan kemiringan per satuan panjang)

dapat diekspresikan sebagai M/EI =𝑑2𝑦 𝑑𝑧2, yakni momen dibagi kekakuan

Ms = GJ d∅

dz 2.55

Dimana:

Ms : Momen torsi murni (Saint-Venant‟s Torsion)

G : Modulus Geser J : Konstanta torsi

Menurut persamaan tegangan akibat Mssebanding dengan jarak ke pusat torsi.

2.5.3.2 Torsi terpilin (Warping)

Sebuah balok yang memikul torsiMz , maka bagian flens tekan akan melengkung

ke salah satu sisi lateral, sedang flens tarik melengkung ke sisi lateral lainnya. Penampang pada Gambar 2.17 memperlihatkan balok yang puntirannya ditahan di

ujung-ujung, namun flens bagian atas berdeformasi ke samping (arah lateral)

sebesar uf. Lenturan ini menimbulkan tegangan normal lentur (tarik dan tekan) serta tegangan geser sepanjang flens. Secara umum torsi pada balok dianggap

sebagai gabungan antara torsi murni dan torsi terpilin.

2.6 Keran Angkat (Crane) 2.6.1 Pendahuluan

Fungsi utama dari keran angkat (crane) adalah mengangkat dan

memindahkan barang ke tempat yang diinginkan. Sistem pemindahan barang dengan keran angkat (crane) terdiri dari keran angkat (crane) yang menggantung di udara dan disokong suatu struktur, hal tersebut yang membedakan sistem

pemindahan barang dengan keran angkat dengan alat pemindah barang lainnya seperti forklift dan konveyor. Dengan mengangkat dan memindahkan barang

langsung ke tujuan tanpa ada rintangan dalam perjalanan menyebabkan penggunaan keran angkat dapat menghemat waktu, biaya produksi, dan

menghemat ruang dikarenakan barang-barang dapat disusun serta meningkatkan keamanan. Keuntungan dari penggunaan keran angkat (crane) hanya akan diperoleh jika crane yang digunakan sesuai dengan desain, aplikasi, dan

perawatan jika sudah mencapai umur operasi. Hal lain yang perlu untuk diperhatikan adalah dalam pengoperasian alat ini, sebagai operator, orang yang menjalankan sistem pemindahan barang dengan crane kadang dalam

pekerjaannya sudut pandang untuk melihat posisi beban dan posisi sekitar terbatas. Jika tidak diperhatikan akan menimbulkan kerugian dan sangat berbahaya. Tetapi

2.6.2 Jenis-jenis Keran Angkat

Pemindahan barang dengan keran angkat (crane) biasanya digunakan dalam industri, pelabuhan, dan usaha bongkar muat kapal Ada beberapa jenis keran

angkat (crane) yang sering digunakan, antara lain: 2.6.2.1 Monorail

Sistem Crane monorail adalah sistem pengangkatan barang yang

berjalan di rel tunggal. Monorail merupakan sistem pengangkatan yang paling efisien dan cepat dalam memindahkan barang. Rel tunggal dapat dimodifikasi

menjadi rel ganda. Akibat dari modifikasi ini mengakibatkan daya angkat dari crane meningkat.

Pengaplikasian monorail biasanya pada pekerjaan produksi yang berulang seperti pabrik perakitan kendaraan atau pabrik perakitan mesin,industri peleburan baja. Monorail dapat bergerak terhadap dua sumbu gerakan kait yaitu atas/bawah dan

depan/belakang sepanjang balok monorail.

Gambar 2.19 Monorail Crane

Yang membedakan bridge crane dengan sistem crane yang lain adalah

adanya struktur penopang kolom sebagai landasan untuk bergeraknya crane sehingga dapat bergerak terhadap sumbu X, Y, dan Z. Beban bergerak

atas-bawah, troli bergerak kanan-kiri, dan jembatan crane bergerak maju-mundur. Keuntungan menggunakan bridge crane adalah daya jangkau yang sangat luas dan sedikit penghalang dalam memindahkan barang karena posisi dari bridge crane

cukup tinggi.

Gambar 2.20 Bridge Crane

2.6.2.3 Gantry Crane

Gantry crane dapat menjadi salah satu alternatif dalam sistem pengangkatan

barang. Gantry crane mirip dengan bridge crane, hal utama yang membedakannya adalah terdapatnya roda di struktur penopang kolom, sehingga crane dapat

Gambar 2.21 Gantry Crane

Gantry crane tidak memerlukan jalur khusus, sehingga bisa langsung digunakan di atas lantai. Gantry crane biasanya digunakan untuk pemakaian di

dalam maupun di luar ruangan dengan panjang bentang hingga 150 m.

2.6.2.4 Jib Crane

Jib crane merupakan tipe crane yang bagian atasnya dapat berputar sambil

membawa hoist dan troli. Struktur penopangnya merupakan tiang yang dapat berputar 180o hingga 360o. Kapasitas maksimum dari gantry crane sekitar 10T dan memiliki motor untuk berotasi. Fungsi utama dari jib crane adalah untuk

mengangkut beban yang ringan. Penggunaan jib crane biasanya untuk industri kecil, misalnya peralatan mesin las, industri perakitan kecil, dan bongkar muat

Gambar 2.22 Jib Crane

2.7 Metode Energi 2.7.1. Pendahuluan

Konservasi energi pada ilmu statika di definisikan bahwa apabila suatu gaya (beban) dilakukan terhadap suatu konstruksi akan mengakibatkan deformasi, artinya adanya suatu kesetaraan sebab dan akibat. Dalam hal ini kita sebutlah

bahwa gaya gaya potensial dari luar akan mengakibatkan perobahan di dalam konstruksi berupa deformasi yang disebut regangan. Sehingga keseimbangan

antara potensi yang bekerja harus sama dengan efek yang ditimbulkan ke dalam konstruksi tersebut, dengan anggapan tidak ada energi yang hilang (Energi Potensial = Energi Regangan) dalam kondisi statik, pengertian energi adalah gaya

Gambar 2.23 Energi Regangan Oleh Beban Gaya P

Strain energy (energi regangan) dU = P.d Δ

U = P. d∆

Complementary energy (energi potensial) dU’ = Δ.dP

U = ∆. dP

Sebenarnya masih ada sesatan kecil bahwa U≠U’ ’ _{atau U’}’ _{= U+ΔU, oleh karena}

asumsi energi linier atau ΔU <<< , maka cukup U = U’

2.7.2 Energi regangan (Strain energy) a. Akibat gaya aksial P.

Energi regangan akibat gaya aksial P, Gambar 2.24 U = 0,5.P.x (luas segitiga)

x = ε.L, dan ε = σ/E dan σ = P/A, sehingga

𝑈 =𝑃.𝑥

2 =

𝜎.𝐴.𝜀.𝐿

2 =

𝜎.𝐴.𝜎_𝐸.𝐿

2 =

𝑈 = 𝜎 2

2𝐸.𝐴𝐿

Di sini 𝜎

2

2𝐸 , merupakan energi regangan per satuan volume

Gambar 2.24 Energi Regangan oleh Beban Aksial

b. Akibat momen lentur M.

Energi regangan akibat momen lentur M, Gambar 2.25

Gambar 2.25 Energi Regangan oleh Beban Momen Lentur

𝑑𝑈= 𝜎

2

2𝐸 𝑑𝑥.𝑑𝐴

𝑑𝑈= 𝑑𝑥

2𝐸 𝜎 2_.𝑑𝐴

𝑑𝑈= 𝑑𝑥

2𝐸

𝑀2_.𝑦2_.𝑑𝐴

𝐼2 =

𝑀2 2𝐸𝐼 𝑑𝑥

𝜎= 𝑀

Untuk suatu balok yang menerima momen lentur berlaku : EI.y” = Mx

Maka:

a. Energi lentur arah sumbu x-x

𝑈 =𝐸𝐼𝑥

2 𝑣′′

2_𝑑𝑧

𝐿

0

b. Energi lentur arah sumbu y-y

𝑈 =𝐸𝐼𝑦

2 𝑢′′ 2_𝑑𝑧

𝐿

c. Energi torsi warping

𝑈 =𝐸𝐼𝑤

2 𝛽′′

2_𝑑𝑧

d. Energi torsi murni

𝑈 =𝐺𝐽

2 𝛽′

2_𝑑𝑧

2.7.3 Energi potensial (Potensial energy)

Sebuah batang dengan panjang L, oleh gaya P melentur sehingga posisi P berpindah Δb dan energi potensial =P.Δb Gambar 2.26

Gambar 2.26 Pergeseran Batang karena Melentur

a. Perpindahan (Δb) karena balok melentur oleh gaya axial P Δb = S – L

𝑑𝑠= 𝑑𝑥2+𝑑𝑦2 1 2 = 1 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥

2 1 2 𝑑𝑥

𝑆= 1 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥

2 1 2 𝑑𝑥

𝐿

Dari teori bentuk binomial:

semakin menjadi sangat kecil atau diabaikan saja. Maka panjang S adalah:

Anggap energi potensial adalah V, dan ΔV = P. Δb, maka:

dV =𝑃1

Gambar 2.27 Balok Melentur karena Beban Tunggal Energi potensial nya adalah : V = P.y

c. Perpindahan (y) karena balok melentur oleh beban merata q Gambar 2.28

Gambar 2.28 Balok Melentur karena Beban Merata Energi potensial nya adalah :

𝑉= 𝑞. 𝑦.𝑑𝑥

𝐿