BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1. Struktur Beton Bertulang

2.1.1. Pengertian dan Definisi Beton Bertulang

Beton bertulang adalah gabungan antara beton dan tulang baja. Beton merupakan campuran antara semen, pasir, kerikil dan air yang setelah mengeras membentuk massa padat. Sedangkan beton bertulang adalah beton yang ditulangi dengan luas dan jumlah tulangan tertentu untuk mendapatkan penampang yang berdasarkan asumsi bahwa kedua material bekerja bersama – sama dalam menahan gaya yang bekerja.

Gambar 2.1. Kolom beton bertulang

2.1.2. Tipe – Tipe Kolom

Secara umum kolom beton bertulang ada 3 macam menurut bentuknya yaitu : a. Kolom berbentuk bujursangkar atau persegi panjang dengan tulangan

memanjang dan pengikat lateral terpisah (sengkang).

b. Kolom berbentuk lingkaran dengan tulangan melingkar dengan pengikat lateral terus ( spiral ).

c. Kolom dengan bentuk tak tentu dengan tulangan mengikuti bentuk tak tertentu tersebut.

(a) (b)

Gambar 2.2 (a) Kolom persegi dengan tulangan sengkang; (b) kolom lingkaran dengan tulangan melingkar ( Sumber : Reinforced Concrete Mechanics and Design )

2.1.3. Tujuan Perencanaan Struktur Beton

Struktur harus memenuhi 4 (empat) kriteria utama yaitu : 1. Ketetapan

Pengaturan Ruang, bentang, ketinggian plafon, akses dan arus lalu lintas harus memenuhi kebutuhan pemakai. Struktur harus sesuai dengan lingkungan dan Estetika.

2. Ekonomi

Biaya total struktur tidak boleh malampaui anggaran dari pemilik. 3. Persyaratan struktur.

Hal ini meliputi 2 (dua) aspek utama :

a. Struktur harus cukup kuat sehingga dapat menerima semua beban dengan aman.

b. Struktur tidak boleh melendut, terangkat, bergetar atau retak sehingga menggangu fungsi dari bangunan tersebut.

4. Desain struktur harus sedemikian sehingga memerlukan pemeliharaan minimum dam pemeliharaan tersebut dapat dilaksanakan secara sederhana.

(a) (b)

Gambar 2.3 (a) Kolom persegi dengan tulangan sengkang; (b) Kolom lingkaran dengan tulangan spiral

2.1.4. Proses Desain

Proses desain adalah proses pengambilan keputusan yang berurutan dan berulang, 3 tahap utamanya adalah :

1. Penentuan kebutuhan dan prioritas pemilik

Semua bangunan atau struktur lain dibangun sesuai dengan kebutuhan. Pemilik atau pemakai seharusnya terlibat pada penentuam fungsi estetika, anggaran yang diperlukan, dan penyelesaian bangunan yang cepat.

2. Pengembangan Konsep Proyek

Berdasarkan kebutuhan dan prioritas pemilik dapat dikembangkan berbagai kemungkinan anggaran. Rencana anggaran awal dapat menjadi pilihan terakhir untuk memenuhi prioritas kebutuhan pemilik sesuai dengan anggaran yang tersedia. Selama tahap ini dapat dipilih konsep seluruh struktur. Ukuran elemen struktur dapat diestimasi dari hasil analisis besaran momen , gaya geser dan gaya aksial. Tahap desain struktur ini adalah untuk memenuhi kriteria desain yang berhubungan dengan ketepatan, ekonomi, dan pemeliharaan.

3. Perencanaan masing – masing sistim

Setelah dipilih konsep struktur secara umum maka dapat direncanakan sistim, struktur yang meliputi 3 (tiga) langkah utama, yaitu :

a. Analisis struktur untuk menghitung atau menentukan harga momen dan gaya aksial dalam struktur.

b. Merancang ukuran tiap elemen sehingga dapat menahan gaya – gaya tersebut. c. Menyiapkan gambar kerja dan spesifikasi.

2.1.5 Diagram interaksi dari beban aksial – momen lentur

2.1.6 Asumsi Perencanaan Kolom

Asumsi – asumsi yang dipakai dalam perencanaan kolom adalah sebagai berikut :

1. Regangan tekan beton maksimum = 0,003.

2. Regangan pada beton dan tulangan proportional terhadap jarak garis netral. 3. Tegangan tarik dari beton diabaikan dan tidak ikut diperhitungkan.

4. Tegangan pada baja tulangan fs = ε.Es ≤ fy.

Pn (maks) Mb 0 Mn Tension Controls Region M(kNm) P(kN) P0 Compresion Controls Region Pb

2.1.7 Perhitungan Gaya – Gaya Aksial dan Momen Lentur

Jika Kolom dibebani secara bertahap dari mulai nilai beban yang ringan sampai beban batas aman, maka kolom mengalami keadaan lentur. Proses peningkatan beban berakibat terjadinya kondisi tegangan dan regangan yang berbeda pada tahapan pembebanan pola yang berbeda ini dinyatakan dalam sifat elastis dan plastis. Rasio / perbandingan antara momen lentur Mn terhadap beban aksial dinyatakan sebagai

eksentrisitas e, di mana : n n P M e=

Terdapat tiga kondisi utama yang membedakan pola tegangan dan regangan yaitu kondisi seimbang, kondisi beton retak dan kondisi tulangan leleh. Kondisi seimbang adalah kondisi di mana beton dan tulangan bekerja di bawah batas aman, kondisi beton retak adalah kondisi di mana beton retak karena nilai regangan pada serat beton sama dengan atau melebihi regangan hancur beton yaitu 0,003. Kondisi tulangan leleh adalah kondisi tulangan leleh karena regangan tulangan lebih kecil regangan batas tulangan baja, bergantung pada luas tulangan baja.

Dengan adanya momen, kolom akan melentur sehingga timbul tegangan tekan dan tarik pada tepi – tepi serat luar dalam arah momen kerjanya. Bergantung pada besaran relative dari beban aksial dan momen lenturnya, maka kolom akan mengalami keruntuhan dalam berbagai pola yaitu :

1. Keruntuhan Tarik ( Tension Failure )

Keruntuhan terjadi diawali dengan lelehnya tulangan pada sisi serat tarik. 2. Keruntuhan Tekan ( Compresion failure )

Keruntuhan tekan terjadi diawali dengan lelehnya beton pada sisi serat tekan. 3. Keruntuhan Seimbang ( Balance failure )

Keadaan di mana keruntuhan tekan dan tarik terjadi secara simultan/bersamaan. Cb ε' = 0.003 Titik seimbang (a) ε' = 0.003 Cb Cb ε' = 0.003 Titik

seimbang Titik _seimbang

(b) (c)

Gambar 2.6 Diagram tegangan – regangan (a) kondisi seimbang; (b) kondisi beton retak; (c) kondisi tulangan leleh

Beban aksial nominal dinyatakan dengan Pn dan beban aksial nominal dalam

keadaan seimbang dinyatakan dengan Pb, maka 3 macam pola keruntuhan tersebut di

atas dapat ditulis sebagai berikut :

1. Pn < Pb ----> Keruntuhan Tarik.

2. Pn = Pb ----> Keruntuhan Seimbang

3. Pn > Pb ----> Keruntuhan Tekan.

Jika suatu gaya normal bekerja pada suatu kolom pendek yang mempunyai tulangan atas dan bawah, maka dapat dilihat berbagai kasus sehubungan dengan lokasi gaya normal terhadap titik berat plastisnya :

1. Gaya Tekan Aksial (P₀) :

Adalah kasus di mana secara teoritis dianggap bekerja suatu gaya aksial yg besar atau bertitik tangkap pada titik berat plastisnya, tidak ada momen lentur dan

(a) (b)

Gambar 2.7 (a) kolom karena keruntuhan tekan; (b) kolom karena keruntuhan tarik (sumber : pelajaran dari gempa dan tsunami )

eksentrisitas bekerja, e = o, M = 0. Dengan besar reduksi kekuatan untuk P₀ =

0,8.

Untuk mencari P0 digunakan rumus :

(

)

. st

0

0

,

85

.

f

c

.'

A

g

A

st

f

y

.

A

P

=

−

+

0

P = Kuat beban aksial nominal ( N )'

g

A = Luas Bruto Penampang kolom ( mm2 )

' c

f = Kuat Tekan Beton yang disyaratkan ( mpa )

st

A = Luas Total tulangan longitudinal ( mm2 )

y

f

= Tegangan leleh tulangan yang disyaratkan ( mpa ) 2. Gaya Aksial Nominal Maksimum yang Diizinkan Pn ( max ) :

Adalah kasus di mana gaya normal yang bekerja pada penampang mengandung eksentrisitas minimum sesuai dengan Standar Tatacara yang berlaku yaitu 0,7.P₀.

3. Kondisi Keadaan Seimbang ( Pb , Mb )

Pada kasus ini keadaan seimbang dicapai di mana regangan tekan beton mencapai 0,003 dan regangan tarik tulangan mencapai

s y y E f e = secara

bersamaan, dengan demikian keruntuhan beton terjadi bersamaan pada saat tulangan mengalami pelelehan. Dengan reduksi kekuatan 0,7 untuk Pb dan Mb.

Untuk mencarinya digunakan rumus : - Kuat beban aksial

y s s s b c b

f

a

b

A

f

A

f

P

=

0

,

85

.

.'

.

+

.'

'

−

.

' s f = εs'.Es b a = β1.Cb β1 = 0,85 – 0,008 ( f – 30 ) c' y b f d C + = 600 . 600

(

)

003 , 0 . c ' c ' b b s d − = ε b

P = Kuat beban aksial kondisi seimbang ( N )

b

a = Tinggi balok tegangan tekan ( mm )

d = Jarak tulangan terluar ke serat tepi beton ( mm ) '

s

f = Tegangan leleh tulangan yg terjadi ( mpa )

Es = modulus elastisitas besi (200.000 mpa)

d' = selimut ( mm )

b = lebar penampang ( m ) '

s

A = luas tulangan desak ( mm2 )

s

A = luas tulangan tarik ( mm2 )

- Momen Lentur

M

_b

f

_c

a

_b

y

a

b

⎟

+

A

_s

f

_s

(

y

−

d

)

−

A

_s

f

_y

(

d

−

y

)

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

.'

'

.

.

2

.

.'

.

85

,

0

y 2 h =

b

M = Momen Lentur pada saat seimbang ( Nm )

y = titik berat penampang ( mm ) h = panjang penampang ( mm ) 4. Kondisi Lentur Murni

Adalah kasus di mana secara teoritis gaya normal yang bekerja P = 0 disertai dengan momen lentur Mn. Dengan reduksi kekuatan untuk Mn adalah 0,7.

Untuk mencarinya digunakan rumus :

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

2

.

.

f

d

a

A

M

_{n s y}

Karena gaya aksial yang bekerja sama dengan 0 maka untuk mencari a digunakan rumus : '.b . 85 , 0 . c y s f f A a= n

M = Momen Lentur Murni ( Nm )

Untuk penampang bujursangkar dan persegi panjang yang mempunyai tulangan di empat sisinya seperti gambar 2.8

Gambar 2.8 (a) kolom dengan tulangan di semua sisi; (b) diagram tegangan - regangan Cb esc1 esc2 est3 est4 (a) _(b)

Menggunakan rumus :

(

)

. st 0 0,85 . fc .' Ag Ast f y .A P = − +

∑

∑

= = − + = n n stn sn n n scn sn b c b f a b A f A f P 1 1 . ' .' . .' . 85 , 0

(

y d

)

A f

(

d y

)

f A a y a f M _st n n stn sn sc n n scn sn b b c b ⎟+ − + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

∑

∑

= =1 1 . ' .' 2 . .' . 85 , 0

(

y d

)

A f

(

d y

)

f A a d f A M st n n stn sn sc n n scn sn y s n ⎟⎟+ − + − ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

∑

∑

= =1 1 . ' .' 2 . .

Untuk lingkaran diasumsikan perhitungan menggunakan perhitungan persegi panjang dengan tulangan hanya di dua sisi yaitu atas dan bawah dengan asumsi :

- panjang persegi panjang = 0,8 x diameter lingkaran

- lebar persegi panjang = luas lingkaran / panjang persegi panjang - d' = 2 )) selimut -lingkaran (diameter -panjang persegi (lebar contoh :

lingkaran dengan diameter 20 cm dengan selimut 4 cm maka diasumsikan Panjang persegi panjang = 0,8 x 20 cm

= 16 cm

Lebar persegi panjang =

( )

16 20 . 4 14 , 3 2 = 19,63 cm d' =

(

)

3,63cm 2 4 20 63 , 19 − − ₌

Contoh Soal :

Diketahui suatu kolom bujursangkar 400 mm x 400 mm dengan 4 batangan tulangan diameter 32 mm. Mutu beton f = 30 MPa dan baja _c'

f

_y = 400 Mpa dibebani dengan gaya tekan rencana Pu = 1500 Kn dan momen rencana Mu = 180 kN. Apakah kolom tersebut mampu untuk menahan gaya dan momen rencana tersebut ?

Jawab :

d = 400 – 50 – 10 – 32/2 = 324 mm As = As' = 0,01 x 400 x 324 = 1296 mm2

As = As' = 2D - 32 = 1608 mm2

b = 400 mm ; h = 400 mm; d' = 76 mm *Titik P-M pada beban sentris

(

)

. st 0

0

,

85

.

f

c

.'

A

g

A

st

f

y

.

A

P

=

−

+

= (0,85 x 30 x ((160000-3216) + (3216 x 400) = 5284392N= 5284 kN P0 maks = 0,8 x P0 = 4227 kN

Batas maksimum yang diizinkan (Pa) adalah 0,7 dari P0 maks

Pa = 0,7 .4227 = 2959 kN

*Titik P-M pada beban seimbang

y s s s b c b

f

a

b

A

f

A

f

P

=

0

,

85

.

.'

.

+

.'

'

−

.

= 1629,859N dan dengan Φ 0,7 maka Φ0,7 = 1141kN.

(

y

d

)

A

f

(

d

y

)

f

A

a

y

a

f

M

b _{S s s y} b c b

⎟

+

−

−

−

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

0

,

85

.

.'

.

₂

.'

'

.

.

= 350,46 kNm dan dengan Φ 0,7 maka Φ0,7 = 245 kNm.

*Titik P-M pada keadaan lentur murni Pn = 0

M

n

=

A

s

.

f

y

.

( )

d

−

a

₂

= 1608 x 400 ( 324 – (63,059/2))

= 188,12 kNm, dan dengan Φ0,7 untuk lentur murni,maka ΦMun = 132 kNm

* Titik P-M pada C = 295 mm > Cb : keruntuhan tekan

εs'= 0,00222 295 76 295 . 003 , 0 − = fs' = εs'. Es = 0,00222 x 200000 > 400 Mpa fs' = fy = 400 Mpa εs= 0,0029492 295 295 324 . 003 , 0 − = fs = εs . Es = 0,00294 92 x 200000 = 58,983 Mpa ab = 0,85 x 295 = 250,75 mm y s s s b c b

f

a

b

A

f

A

f

P

=

0

,

85

.

.'

.

+

.'

'

−

.

= 3106 kN dengan Φ 0,7 , maka Pb = 2174 kN

(

)

(

)

a

⎞

⎛ −

= 282,38 kNm dengan Φ 0,7 , maka = 198 kNm

* Titik P-M pada C = 108 mm < Cb : keruntuhan tarik

εs'= 8,8889 10 4 108 76 108 . 003 , 0 − = x − fs' = εs'. Es = 8,8889x10−4x 200000 = 177,7778 Mpa εs= 0,006 108 108 324 . 003 , 0 − = fs = εs . Es = 0,006 x 200000 = 1200 Mpa > 400 Mpa fs = fy = 400 Mpa ab = 0,85 x 108 = 91,80 mm y s s s b c b

f

a

b

A

f

A

f

P

=

0

,

85

.

.'

.

+

.'

'

−

.

= 579 kN dengan Φ 0,7 , maka Pb = 405 kN

(

y

d

)

A

f

(

d

y

)

f

A

a

y

a

f

M

b _{S s s y} b c b

⎟

_⎠

+

−

−

−

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

0

,

85

.

.'

.

₂

.'

'

.

.

= 259,50 kNm dengan Φ 0,7 , maka = 182 kNm

Grafiknya :

Gaya tekan rencana dan momen rencana masih masuk didalam grafik, jadi kolom tersebut masih dapat menahan gaya dan momen tersebut.

2.2 Fungsi Parabola 2.2.1. Definisi Parabola

Parabola adalah himpunan titik – titik P yang berjarak sama dari garis arah l tetap (garis arah) dan fokus F – yaitu, yang memenuhi hubungan

|PF| = |PL|

oleh karena parabola itu simetrik terhadap sumbunya, kita dapat menempatkan satu dari sumbu koordinat misal sumbu x pada sumbu simetri kurva tersebut. Kita ambil fokus F di sebelah kanan titik asal, misalnya di ( p , 0 ). Garis arah kita ambil di sebelah kirinya dengan persamaan x = -p. Dengan demikian, puncak parabola ada di titik asal sistem

4227 132 245 1141 180 1500 M(kNm) P(Kn) 0 182 405 198 2174 2959

dari syarat |PF|=|PL| dan rumus jarak, kita peroleh 2 2 2 2 _{( 0) ( ) ( )} ) (x− p + y− = x+ p + y−y

setelah ruas kiri dan kanan dikuadratkan dan kemudian disederhanakan, kita peroleh y2 = 4px

2.2.2. Bentuk Umum Persamaan Parabola

Bentuk umum persamaan parabola adalah fungsi kuadrat yang ditulis dengan :

c bx ax

y= 2 + + dengan a ≠ 0.

2.2.3. Sifat – sifat Parabola

Parabola dengan persamaan y=ax2 +bx+c; a ≠ 0 mempunyai sifat :

(i). Parabola terbuka keatas jika a>0 dan terbuka kebawah jika a < 0.

(ii). Parabola memotong sumbu y pada x = 0. Titik potong dengan sumbu y adalah

( )

0,c . P(x,y) F(p,0) x = - p L = (-p,y) Gambar 2.10 Parabola

(iii). Jika D > 0 maka parabola memotong sumbu x di dua titik Jika D = 0 maka parabola menyinggung sumbu x.

Jika D < 0 maka parabola tidak memotong dan tidak menyingung sumbu x. Dengan D adalah diskriminan dan D = b2 – 4ac.

Titik potong dan titik singgung dengan sumbu x diperoleh pada y = 0. (iv). Parabola mempunyai sumbu simetri dengan persamaan

a b x 2 − =

(v). Parabola mempunyai titik ekstrim yaitu ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − a D a b 4 , 2 untuk a > 0 maka titik ekstrim adalah titik minimum dan untuk a < 0 maka titik ekstrim

adalah titik maksimum.

2.2.4. Menentukan Persamaan Parabola

Persamaan parabola dapat ditentukan jika diketahui tiga titik sembarang yang dilalui parabola, atau titik potong dengan sumbu X dan satu titik sembarang yang dilalui parabola.

(i). Jika diketahui tiga titik yang dilalui, maka persamaan parabola dapat dinyatakan dengan y=ax2 +bx+c.

(ii). Jika diketahui titik – titik potong dengan sumbu X, misalnya

(

x₁,0

)

dan

(

x₂,0

)

dan

satu titik yang dilalui maka persamaan parabola dapat dinyatakan dengany=a

(

x−x₁

)(

x−x₂

)

.

(iii). Jika diketahui titik ekstrim parabola misalnya

(

x ,e ye

)

dan satu titik yang dilalui maka persamaan parabola dapat dinyatakan dengan

(

)

2

e e a x x

y