Mahdhivan Syafwan
Pasal 7
Ayat 6 :
Harga jual eceran BBM bersubsidi tidak mengalami kenaikan.
Ayat 6(a) [tambahan]:
Dalam hal harga rata-rata minyak Indonesia
(Indonesia Crude Oil Price/ICP) dalam kurun waktu berjalan mengalami kenaikan atau penurunan rata-rata sebesar 15 persen dalam enam bulan terakhir dari harga minyak internasional yang diasumsikan dalam APBN Perubahan Tahun Anggaran 2012, maka pemerintah berwenang untuk melakukan
penyesuaian harga BBM bersubsidi dan kebijakan pendukungnya
Ketua tim peneliti haruslah berpendidikan S3
atau S2 dengan jabatan minimal Lektor Kepala.
Yang diperbolehkan ikut dalam proyek penelitian
itu adalah mahasiswa fakultas ekonomi dan mahasiswa fakultas kedokteran angkatan ’88.
Suami saya yang tinggal di Bandung sangat
romantis.
Semua cowok sama aja!
Ia tidak bisa menyanyi karena memang tidak bisa
menyanyi.
Banyak orang yang melakukan sholat, tetapi
prilakunya buruk. Sementara itu ada orang yang tidak sholat, tetapi kelakuannya baik dan
Secara etimologis
berasal dari kata ‘logos’ (Yunani)
= kata, ucapan, pikiran secara utuh, ilmu pengetahun
Secara terminologis
logika = suatu cabang ilmu yang mengkaji
penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih
(valid, correct) dan yang tidak sahih (tidak valid, incorrect).
Proses berpikir yang terjadi saat menurunkan
atau menarik kesimpulan tersebut dinamakan penalaran (reasoning).
Kalimat Kalimat berarti Kalimat deklaratif (pernyataan) Bernilai benar Bernilai salah Kalimat tidak deklaratif Kalimat tak-berarti Contoh: 5 habis dibagi 2.
Agus habis dibagi 3.
Presiden RI pertama adalah Soekarno.
1 adalah presiden pertama bilangan asli.
(kalimat berarti)
(kalimat berarti)
(kalimat tak-berarti)
Kalimat Kalimat berarti Kalimat deklaratif (pernyataan) Bernilai benar Bernilai salah Kalimat tidak deklaratif Kalimat tak-berarti Contoh:
Apakah pintu itu tertutup? Tutup pintu itu!
Pintu itu tertutup.
Tolong pintunya ditutup.
(kalimat tanya->tidak deklaratif)
(kalimat deklaratif)
(kalimat perintah ->tidak deklaratif)
Kalimat Kalimat berarti Kalimat deklaratif (pernyataan) Bernilai benar Bernilai salah Kalimat tidak deklaratif Kalimat tak-berarti Contoh:
Apakah pintu itu tertutup? Tutup pintu itu!
Pintu itu tertutup.
Tolong pintunya ditutup.
(kalimat tanya->tidak deklaratif)
(kalimat deklaratif)
(kalimat perintah ->tidak deklaratif)
Kalimat Kalimat berarti Kalimat deklaratif (pernyataan) Bernilai benar Bernilai salah Kalimat tidak deklaratif Kalimat tak-berarti
Proposisi = kalimat yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya.
Dasar penalaran dalam penarikan kesimpulan ada
dua:
Deduksi Induksi
Deduksi = penarikan kesimpulan merupakan
konsekuensi logis dari premis-premisnya (hipotesis-hipotesisnya)
Argumen deduktif dinyatakan valid atau tidak valid,
bukan benar atau salah.
Contoh argumen deduktif
Hipotesis:
Setiap mamalia punya sebuah jantung. Semua kuda adalah mamalia.
Kesimpulan:
Induksi
= penalaran yang berangkat dari
serangkaian fakta-fakta khusus untuk
mencapai kesimpulan umum.
Contoh argumen induktif
Fakta-fakta:
Kuda Sumba punya sebuah jantung.
Kuda Australia punya sebuah jantung.
Kuda Amerika punya sebuah jantung.
Kuda Inggris punya sebuah jantung.
Kesimpulan:
Satu atau lebih hipotesis bisa jadi salah
Suatu deduksi memberikan Anda alasan untuk yakin pada kesimpulannya jika Anda yakin hipotesisnya.
Hipotesis bisa jadi gagal dalam merumuskan suatu kesimpulan
Hipotesisnya mungkin benar, kesimpulannya bisa jadi salah (deduksinya lemah)
Nilai kebenaran
Benar atau salah dikatakan sebagai nilai kebenaran dari suatu pernyataan/proposisi.
Kebenaran logis
Kontingensi -> pernyataan yang bisa benar atau bisa
salah
Tautologi -> pernyataan yang selalu benar secara
logika
Kontradiksi -> pernyataan yang selalu salah secara
logika Ekivalensi
Dua buah pernyataan dikatakan ekivalen jika kedua pernyataan itu mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Hari ini hujan.
Hari ini hujan atau tidak hujan. Hari ini hujan dan tidak hujan.
Contoh lain ?
(kontingensi)
(tautologi)
Setelah mencuci piring, Andi pergi ke toko. Sebelum pergi ke toko, Andi mencuci piring. 3 adalah bilangan prima.
Tidak benar bahwa 3 bukan prima prima. Jika terjadi devaluasi, maka banyak timbul
pengangguran.
….
Suatu deduksi dikatakan valid jika dan hanya jika kesimpulannya benar bilamana semua
hipotesisnya benar. Sebaliknya, suatu deduksi dikatakan tidak valid.
Catatan: untuk memeriksa kevalidan suatu deduksi, cukup dibuktikan bahwa konjungsi dari semua
hipotesis yang mengakibatkan kesimpulan adalah sebuah tautologi (dipelajari nanti).
Contoh (1)
Hipotesis:
Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang.
Air laut surut setelah gempa di laut.
Kesimpulan: Tsunami datang.
Deduksi di atas valid.
Contoh (2)
Hipotesis:
Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang.
Tsunami datang.
Kesimpulan: Air laut surut setelah gempa di laut.
Contoh (1)
Hipotesis:
Jeruk adalah buah-buahan atau instrumen musik. Jeruk bukan buah-buahan.
Kesimpulan: Jeruk adalah instrumen musik.
Deduksi di atas valid meskipun hipotesis dan kesimpulannya mungkin salah secara faktual.
Contoh (2)
Hipotesis:
London ada di Inggris
Jakarta ada di Indonesia.
Kesimpulan: Paris ada di Perancis.
Meskipun hipotesis dan kesimpulannya benar secara faktual, deduksi di atas tidak valid karena kesimpulan tidak ada hubungannya dengan hipotesis.
Mahdhivan Syafwan
Untuk kemudahan dan penyederhanaan, proposisi
dapat dilambangkan dengan huruf (dalam hal ini kita gunakan huruf besar).
Contoh
Hipotesis:
Es mencair di kutub.
Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik. Kesimpulan: Permukaan air laut naik.
Misalkan kita gunakan simbolisasi proposisi sbb:
A: Es mencair di kutub.
B: Permukaan air laut naik.
Maka deduksi di atas, dapat disederhanakan menjadi
Hipotesis: A
Jika A, maka B Kesimpulan: B
Proposisi yang disimbolkan dengan suatu huruf tunggal dinamakan dengan proposisi atomik/tunggal.
Dua atau lebih proposisi tunggal dapat dikombinasikan dengan menggunakan
operator logika.
Proposisi baru yang diperoleh dari
pengkombinasian tersebut dinamakan
Simbol Nama Arti
~
negasi “Tidak benar bahwa …”Λ konjungsi “ … dan …”
V disjungsi “ … atau …” implikasi “ Jika …, maka …” biimplikasi “ … jika dan hanya jika …”
Negasi (ingkaran) dari proposisi P adalah proposisi
“Tidak benar bahwa P” dan dilambangkan dengan ~P.
Sebagai contoh, perhatikan proposisi-propisisi
berikut:
1. Maya bermukim di Padang.
2. Maya tidak bermukim di Padang.
3. Maya bermukim di suatu kota selain Padang.
Misalkan proposisi 1 kita simbolkan dengan M. Proposisi 2 dan 3 mempunyai maksud yang sama,
yaitu “Tidak benar bahwa Maya bermukim di
Padang”. Jadi, kita dapat menyatakan proposisi 2 dan 3 dengan ~M.
Bagaimana menyimbolkan pernyataan “Tidak benar
bahwa Maya tidak bermukim di Padang”? Jawab: ~~M (ekivalen dengan M).
Contoh lain, misalkan
P: x adalah bilangan bulat negatif.
Apakah proposisi “x adalah bilangan bulat positif” dapat dinyatakan dengan ~P ?
Jawab: Tidak, karena …
Nilai kebenaran dari ~P berlawanan dengan nilai kebenaran P.
P ~P
B S
Mahdhivan Syafwan
Buktikan
Bukti.
Misalkan
P
benar.
(argumentasi)
Maka
Q
benar.
.
Q
P
Perhatikan bahwa Buktikan . Bukti. Misalkan Q salah. (argumentasi) Maka P salah.
Q
P
.
P
Q
Q
P
Perhatikan bahwa . Buktikan .
Bukti.
Misalkan P benar dan Q salah. (argumentasi)
Hal ini merupakan suatu kontradiksi.
Oleh karena itu mestilah berlaku .
Q
P
Q
P
Q
P
Q
P
(
)
Teorema.
Bilangan bulat berurutan non-negatif a, b, dan c yang memenuhi
a2 + b2 = c2 hanyalah 3, 4 dan 5.
Pernyataan pada teorema di atas setara dengan:
“Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat berurutan non-negatif yang memenuhi a2 + b2 = c2, maka a, b, dan c adalah 3, 4 dan 5”.
Bukti.
Misalkan a, b, dan c adalah bilangan bulat berurutan non-negatif yang memenuhi a2 + b2 = c2 dan a, b, dan c bukan 3, 4 dan 5. Karena a, b, dan c adalah bilangan bulat berurutan non-negatif,
maka dapat ditulis b = a + 1 dan c = a + 2. Karena a2 + b2 = c2, maka
a2 + (a + 1)2 = (a + 2)2 a2 -2a-3 = 0 (a-3)(a+1)=0. Jadi a=3 atau
a=-1. Namun hal ini kontradiksi dengan a ≠ 3 dan a bilangan non-negatif. Dengan demikian teorema di atas terbukti.
Perhatikan bahwa
. Buktikan .
Bukti.
Kasus 1: Misalkan P benar. ...(argumentasi). Maka R benar.
Kasus 2: Misalkan Q benar. ...(argumentasi). Maka R benar.
)
(
)
(
)
(
P
Q
R
P
R
Q
R
R
Q
P
)
(
Teorema.
Misalkan n bilangan bulat. Maka n2 + n adalah bilangan genap.
Bukti.
Kasus 1: Misalkan n genap, sehingga dapat ditulis n = 2k untuk suatu bilangan bulat k.
Perhatikan bahwa n2 + n = … = 2(2k2+k). Karena
k bilangan bulat, maka 2k2+k juga bilangan bulat. Oleh karena itu n2 + n adalah bilangan genap.
Perhatikan bahwa Buktikan Bukti. Misalkan P benar. ….(argumentasi). Maka Q benar. Misalkan Q benar. ….(argumentasi). Maka P benar.
.
Q
P
).
(
)
(
P
Q
Q
P
Q
P
)
(
)
(
Teorema.
Misalkan a dan b bilangan bulat tak-nol. Maka a|b dan b|a jika dan hanya jika a = b atau a = -b.
Bukti.
Misalkan a|b dan b|a, yaitu am = b dan bk = a, untuk suatu m dan k bilangan bulat. Dari dua
persamaan terakhir diperoleh am = b (bk)m=b b(km)=b. Karena b≠0, maka km=1. Karena k dan m bilangan bulat, maka haruslah k=1 dan m=1 yang mengakibatkan a=b, atau k=-1 dan m=-1 yang mengakibatkan a=-b.
Misalkan a = b. Maka a∙1=b sehingga a|b, dan b∙1=a sehingga b|a. Sekarang misalkan a=-b. Maka a∙(-1)=b sehingga a|b, dan b∙(-1)=a sehingga b|a.
) ( ) (
Buktikan
Pernyataan di atas ekivalen dengan “Jika x di U, maka P(x) benar”.
Bukti.
Ambil sebarang x0 di U. …(argumentasi).
Maka P(x0) benar.
Bisa juga dengan bukti tak-langsung.
).
(
)
Buktikan
Pernyataan di atas ekivalen dengan “Jika x=z0 di U, maka P(x) benar”.
Bukti. Pilih z0=… …(argumentasi). Maka z0 di U. …(argumentasi). Maka P(z0) benar.
