Nur Erawaty
†Abstrak
Modul yang saling isomorfik mempunyai struktur yang mirip satu sama lain. Demikian pula halnya bagi barisan modul yang saling isomorfik. Jika yang satu eksak, yang lainnya juga eksak. Begitu pula barisan eksak yang sebagian besar modulnya saling isomorfik maka dapat ditunjukkan bahwa semua modulnya isomorfik.
Kata Kunci : Isomorfik, barisan eksak.
1. Pendahuluan
Salah satu obyek aljabar yang lebih umum dari grup, gelanggang, lapangan maupun ruang vektor adalah modul. Seperti pada obyek aljabar yang lain, modul dapat dibandingkan dengan modul yang lain, apakah mereka isomorfik atau tidak, apakah cuma pemetaan satu-satu atau pada saja. Tulisan ini akan difokuskan pada barisan eksak dari modul, apakah isomorfik mempertahankan sifat eksak dari barisan modul.
2. Pembahasan
Tulisan ini diawali dengan memperkenalkan modul dan homomorfisma modul. Definisi 1.
Misalkan
R
gelanggang. Grup abel
A,
disebut modul atasR
atau lebih sederhanaR
-modul jika ada operasi RxA A yang ditulis
r,a r*a sedemikian sehingga untuk setiapA
b
a
,
danr
,
s
R
memenuhi kondisi berikut: 1. r*
ab
r*a2.
rs
*ar*as*a 3.
rs *ar*
s*a
Jika
R
memiliki unsur 1 sedemikian sehingga 4. 1*aa untuk setiap aA makaA
disebutR
-modul uniter. Contoh:a. Jika
K
lapangan makaK
-modul uniter merupakan ruang vektor atasK
.b.
Z
-modul uniter sama dengan grup abel, aksiZ
ditulis n*a a...a jikan
0
.c. Setiap grup abel
A
dapat dijadikan suatu modul atas gelanggangR
sebarang dengan aksi trivial r*a0 untuk setiapr
R
dan setiap aA.
d. Misalkan
R
gelanggang, jikaI
idealR
makaI
suatuR
-modul dengan r*x:rx (perkalian dalamR
) dan gelanggang kuosien R I suatuR
-modul dengan
y I
ry Ir* : .
Berikut ini akan didefinisikan submodul dan homomorfisma modul. Untuk menyederhanakan notasi, selanjutnya aksi * ditulis dalam notasi justaposition.
Definisi 2.
Misalkan
A
suatuR
-modul.a. Dubgrup U A disebut
R
-modul dariA
jika ruU untuk setiapr
R
dan setiap uU , yaitu U sendiri merupakan modul atas aksi padaR
.b. Jika U A suatu
R
-submodul maka grup kuosien AU menjadiR
-modul dengan
a U
r a
Ur : . Modul ini disebut modul kuosien dari
A
modulo U . Definisi 3.Misalkan
A
danB
R
-modul. Pemetaanf
:
A
A
disebut homomorfismaR
-modul jika
a a'
f
a f a'f dan f
ra
rf
a untuk semuaa
,
a
'
A
danr
R
. Dengan kata lain, homomorfismaR
-modul merupakan homomorfisma grup yangR
-linear dalam artian komutatif dengan aksiR
.Homomorfisma modul yang bijektif
f
disebut isomorfisma modul. Dalam kasus ini, pemetaan inversnya f 1 juga merupakan homomorfisma modul.Teorema-teorema yang berlaku pada grup juga berlaku di dalam modul.
Teorema isomorfisma.
1. Misalkan
:
A
B
homomorfismaR
-modul makaim
ker
. 2. Misalkan ABC submodul atasR
-modul makaC
B
A
B
A
C
.3. Misalkan
A
,
B
submodul dariR
-modul C makaB A A B B A .
Berikut ini akan dipaparkan konsep barisan eksak modul-modul.
Definisi 4.
Misalkan
R
gelanggang. Barisan...
1
1
1
...
n f n f n
A
A
A
n nR
-modul danBarisan eksak dalam bentuk khusus
0 A B C
0 disebut barisan eksak pendek. Di sini
injektif,
surjektif dan im
ker
.Perhatikan diagram berikut.
Diagram ini komutatif dalam artian komutatif modul dan isomorfisma dengan
,
,
isomorfisma dapat ditulis
h
f
dank
g
. Barisan atas eksak jika dan hanya jika barisan bawah eksak. Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut.Misalkan barisan atas eksak, artinya im
h ker
k .1. Ambil xim
h sebarang, maka xh
a' untuk suatu a'A'. Karena
isomorfisma, ada aA sehingga . xh
a' h
a
h
a
f a . Karena diagramnya komutatif,h
f
.Dan k
x k
f
a
k
f a . Karena diagramnya komutatif,k
g
sehingga
x
g f a
g
f
a
0 0k (karena im
f ker
g dan
homomorfisma). Dengan demikian k
x 0 danx
ker
K
. Jadi im
h ker
k .2. Ambil y'ker
k sebarang, maka k
y' 0. Karenay
'
B
'
dan
pada maka y'
k untuk suatuy
B
y' 0 k
y
0 k
Karenak
g
maka
g
y
k
y 0.
homomorfisma 1-1 sehingga g
y 0 akibatnya yker
g im
f . Tulis y f
a untuk suatu aA.Sekarang y'
y
f
a
f a h
a h
a
. Sebut
a a', berarti ada a'A' sedemikian sehingga y'h
a' . Dengan demikiany'im
h , dan
k im
hker .
Dari 1 dan 2, im
h ker
k . Dengan kata lain barisan bawah eksak.Sebaliknya misalkan barisan bawah eksak, im
h ker
k . Akan dibuktikan bahwa barisan atas eksak atau im
f ker
g .(i). Jika xim
f sebarang, maka x f
a untuk setiap aA sehingga
x
k
f
a
k
f
a
k
h
a
k
dan k
f
a
k
f a
g f a . Perhatikan bahwa k
h
a
0 karena im
h ker
k . Akibat
g f a 0. Karena
homomorfisma satu-satu maka gf
a 0. Dengan demikian g
x 0 (karena x f
a ). Jadi xker
g dan im
f ker
g .
a a'
0 Af Bg C
0
0 A'h B'k C'
0(ii). Jika xker
g maka g
x 0 dan k
x
k
x
g x
g
x
0 0 akibatnya
x ker
k im
h dan
x ha' untuk suatu a'A'.Perhatikan bahwa
pada, sehingga
a
A
a'
a . Dengan demikian
f
a
f
a
a
h
a
h
a
h
x
'
Dan
pemetaan satu-satu, sehingga x f
a . Jadi ada aA sehingga x f
a atau
f imx dan ker
g im
f .Dari (i)dan (ii) im
f ker
g , artinya bahwa barisan bawah eksak.Selanjutnya hasil ini dapat diperluas menjadi barisan eksak dari 5 modul yang dikenal hasilnya dengan Lemma Lima (five lemma).
Lemma Lima.
Diagram komutatif berikut mempunyai barisan-barisan eksak
Jika
,
,
dan
isomorfisma maka
juga isomorfisma. Bukti:Misalkan barisan atas dan barisan bawah merupakan barisan eksak.
Sehingga pemetaan p,q,r,s,t,u,v,w merupakan pemetaan homomorfisma dan
,
,
,
,
juga homomorfisma. Dan
v
w
im
v
u
im
u
t
im
s
r
im
r
q
im
q
p
im
ker
,
ker
,
ker
,
ker
,
ker
,
ker
Diketahui pula
t
p
,
u
q
,
v
r
danw
s
.Jika
,
,
,
isomorfisma, jelas bahwa
homomorfisma, sehingga tinggal ditunjukkan bahwa
pemetaan bijektif.Jika xker
,
x 0, sehingga
r
x
r x v
x v
x
v0 0 dan
suatu homomorfisma satu-satu, maka r
x 0 sehingga xker
r im
q .Misalkan xq
y untuk suatuy
B
x
q
y
q y u
y u
y
0 . Dengan demikian
y ker
u im
t .E
D
C
B
A
'
'
'
'
'
B
C
D
E
A
E
D
C
B
A
p
q
r
s ' ' ' ' ' B C D E A t u v w
Tulis
y t a' untuk suatu a'A'. Karena
pada, diperoleh aA, a'
a sehingga
y t
a
t
a
p a
p
a
.
satu-satu mengakibatkan y p
a . Dengan demikian yim
p ker
q . Jadi q
y 0 padahal xq
y . Jadi x0 sehingga
pemetaan satu-satu.Selanjutnya akan ditunjukkan
pemetaan pada.Misalkan c'C' sebarang. Perhatikan bahwa v
c' 0. Karena
pada, maka v
c'
d untuk suatu dD sehingga w
d
w
v
c'
0 (ker
w im
v ).Padahal w
d
w
d
s d
s
d
. Akibatnya
s
d
0. Dengan demikian karena
satu-satu, s
d 0 dan dker
s im
r .Selanjutnya tulis d r
c dengan cC dan
c
d
r
c
r c v
c v
c
' sehingga v
c' v
c
0.
homomorfisma,
c'
c
0 dengan demikian c'
c ker
v im
u artinya ada '' B
b sedemikian sehingga c'
c u b' . Karena
pada, ada bB sehingga b'
b dan c'
c ub' u
b
u
b
q b
q
b
Atau c'
c
q
b
cq
b
. Sebut cq
b c1. Sehingga ada c1C sehingga
1' c
c
. Jadi
pemetaan pada.Kesimpulannya
homomorfisma satu-satu pada atau
isomorfisma.3. Kesimpulan
Dari hasil penjabaran di atas dapat disimpulkan :
1. Barisan modul yang isomorfik, akan sama-sama eksak atau sama-sama tidak eksak. 2. Jika dipunyai barisan-barisan eksak yang beberapa modulnya saling isomorfik maka
dapat dipastikan seluruh barisan tersebut isomorfik.
Daftar Pustaka
1. Lang, S., Algebra, Addison-Wesley. 1965.
2. Passman, D. S., A Course in Ring Theory, Wadsworth. Inc., Belmont, California, 1991. 3. Spindler, K., Abstract Algebra with Applications, Volume II, Marcel Dekker Inc., 1994.