BESARAN FISIKA DAN.

BESARAN FISIKA

DAN

SISTEM SATUAN

SISTEM SATUAN

Pengamatan

Peristiwa Alam

Pengukuran

Apakah yang diukur ?

Besaran Fisika

Model

Besaran

Fisika

Konseptual

Besaran Pokok

Besaran Turunan

: besaran yang ditetapkan

dengan suatu standar ukuran

: Besaran yang dirumuskan dari besaran-besaran pokok

Fisika

Matematis

Besaran Skalar

Besaran Vektor

: hanya memiliki nilai

Definisi standar besaran pokok

Panjang

Panjang -- meter :

meter :

Satu meter adalah panjang lintasan di dalam ruang hampa yang Satu meter adalah panjang lintasan di dalam ruang hampa yang dilalui oleh cahaya dalam selang waktu 1/299,792,458 sekon. dilalui oleh cahaya dalam selang waktu 1/299,792,458 sekon.

Massa

Massa -- kilogram :

kilogram :

Satu kilogram adalah massa silinder platinum iridium dengan Satu kilogram adalah massa silinder platinum iridium dengan Satu kilogram adalah massa silinder platinum iridium dengan Satu kilogram adalah massa silinder platinum iridium dengan tinggi 39 mm dan diameter 39 mm.

tinggi 39 mm dan diameter 39 mm.

Waktu

Waktu -- sekon

sekon

Satu sekon adalah 9,192,631,770 kali periode (getaran) radiasi Satu sekon adalah 9,192,631,770 kali periode (getaran) radiasi yang dipancarkan oleh atom cesium

yang dipancarkan oleh atom cesium--133 dalam transisi antara 133 dalam transisi antara dua tingkat energi (hyperfine level) yang terdapat pada aras dasar dua tingkat energi (hyperfine level) yang terdapat pada aras dasar (ground state).

Besaran Turunan

Contoh :

Kecepatan

• pergeseran yang dilakukan persatuan waktu

• satuan : meter per sekon (ms

-1

₎

Percepatan

Percepatan

• perubahan kecepatan per satuan waktu

• satuan : meter per sekon kuadrat (ms

-2

)

Gaya

• massa kali percepatan

Besaran Pokok

Massa

Panjang

Satuan

(dalam SI)

kilogram (kg)

meter (m)

Satuan

(sistem Amerika)

pound massa (lb

_m

)

foot (ft)

Waktu

Arus listrik

Suhu

Jumlah Zat

Intensitas

sekon (s)

ampere (A)

kelvin (K,

o

_C)

mole (mol)

kandela (cd)

sekon, hour (s, hr)

ampere (A)

Rankine (

o

R,

o

F)

mole (lbmol)

kandela (cd)

Besaran

Turunan

Energi

Gaya

Daya/power

Satuan

(dalam SI)

joule (J)

newton (N)

watt (W)

Satuan

(sistem Amerika)

Btu , (ft)(lb

_f

)

pound force (lb

_f

)

horse power (hp)

Daya/power

Densitas

Kecepatan

Percepatan

Tekanan

watt (W)

kg/m

3

m/s

m/s

2

N/m

2

, Pa, atm

horse power (hp)

lb

_m

/ft

3

ft/s

ft/s

2

lb

_f

/in

2

atau psi

Kapasitas panas

J/kg.K

Btu/(lb

_m

)(

o

F)

Faktor Konversi

meter inch foot mile 1 39,37 3,2808 6,214 x 10-4 2,54 x 10-2 _{1 8,333 x 10}-2 _{1,58 x 10}-5 0,3048 12 1 1,8939 x 10-4 1,61 x 103 _{6,336 x 10}4 _{5280 1}

Panjang

lbm grains gram 1 7 x 103 _{4,536 x 10}2 1,429 x 10-4 _{1 6,48 x 10}-2 2,20 x 10-3 _{15,432 1}

Massa

Faktor Konversi

oC K oF oR 0 ….. ….. ….. 25 ….. ….. ….. 100 ….. ….. …..

Suhu

mm Hg in.Hg bar atm kPa psia 1 3,937 x 10-2 _{1,333 x 10}-3 _{….. ….. …..} 25,40 1 ….. ….. ….. ….. 750,06 29,53 1 ….. ….. ….. 760,0 29,92 ….. 1 ….. ….. 75,02 0,2954 ….. ….. 1 ….. 51,71 2,036 ….. ….. ….. 1

Tekanan

Faktor Konversi

hp kW (ft)(lbf)/s Btu/s J/s 1 ….. ….. ….. ….. ….. 1 ….. ….. ….. ….. ….. 1 ….. ….. ….. ….. ….. 1 ….. ….. ….. ….. ….. 1

Daya

….. ….. ….. ….. 1

(ft)(lbf) kWh hp-hr Btu calori joule

1 ….. ….. ….. ….. ….. ….. 1 ….. ….. ….. ….. ….. ….. 1 ….. ….. ….. ….. ….. ….. 1 ….. ….. ….. ….. ….. ….. 1 ….. ….. ….. ….. ….. ….. 1

Faktor Konversi

Besar satuan ….. cal/(mol)(K) ….. Btu/(lbmol)(o_R) ….. (psia)(ft3_{)/(lb mol)(}o_R) ….. J/(mol)(K) ….. (L)(atm)/(mol)(K)

Konstanta gas ideal (R)

….. (L)(atm)/(mol)(K) ….. (ft3_{)(atm)/(lb mol)(}o_R)

mengubah menjadi kalikan dengan Angstrom meter 1 x 10-10

Barrel galon (gal) 42 Centipoise (N)(s)/m2 _{1 x 10}-3

Torr (mm Hg, 0o_{C) N/m}2 _{1,333 x 10}2

SISTEM MATRIK DALAM SI

Faktor Awalan

Simbol

10

18

exa-

E

10

15

_peta-

_P

10

12

tera-

T

Faktor Awalan

Simbol

10

-1

_desi-

_d

10

-2

senti-

c

10

-3

_mili-

_m

10

12

tera-

T

10

9

_giga-

_G

10

6

mega-

M

10

3

_kilo-

_k

10

2

hekto-

h

10

1

_deka-

_da

10

-3

_mili-

_m

10

-6

mikro-

µ

10

-9

_nano-

_n

10

-12

piko-

p

10

-15

_femto-

_f

10

-18

ato-

_a

Dimensi

Dimensi menyatakan esensi dari suatu besaran fisika yang

tidak bergantung pada satuan yang digunakan.

Jarak antara dua tempat dapat dinyatakan dalam meter, mil, langkah,dll. Apapun satuannya jarak pada dasarnya adalah “panjang”

.

Besaran

Simbol

Besaran

_Simbol

Besaran

Pokok

Simbol

Dimensi

Massa

M

Panjang

L

Waktu

t

Arus listrik

I

Besaran

Pokok

Simbol

Dimensi

Suhu

ΤΤΤΤ

Jumlah Zat

N

Intensitas

J

Analisa Dimensi

(konsistensi dimensi)

Suatu besaran dapat dijumlahkan atau

Suatu besaran dapat dijumlahkan atau

dikurangkan apabila memiliki dimensi yang

dikurangkan apabila memiliki dimensi yang

sama.

sama.

sama.

sama.

Setiap suku dalam persamaan fisika harus

Setiap suku dalam persamaan fisika harus

memiliki dimensi yang sama.

Contoh :

Perioda ayunan sederhana T dinyatakan dengan rumus

berikut ini :

yang mana l panjang tali dan g percepatan gravitasi dengan

satuan panjang per kwadrat waktu. Tunjukkan bahwa

per-samaan ini secara dimensional benar !

T

=

2

π

_g

l

samaan ini secara dimensional benar !

Jawab :

Dimensi perioda [T] :

t

Dimensi panjang tali [l] :

L

Dimensi percepatan gravitasi [g] :

_Lt

-2

π

: tak berdimensi

2

LT

L

T

=

₋

T

=

VEKTOR POSISI DAN KERANGKA ACUAN

Vektor Posisi

Posisi titik dimana suatu kejadian terjadi dinyatakan dengan vektor jarak dari titik asal ke titik tersebut. Kerangka Acuan

Suatu kerangka yang digunakan untuk menyatakan posisi suatu titik dalam ruang. Dalam banyak hal, digunakan tiga garis sumbu (X,Y,Z) yang saling berpotongan tegak lurus di titik asal, disebut sistem Koordinat Kartesian. Kebutuhan akan kerangka

acuan ini menunjukkan bahwa posisi bersifat relatif, artinya terhadap mana posisi titik tersebut diacukan.

VEKTOR

Besaran vektor : besaran yang dicirikan oleh besar/harga dan arah Contoh : vektor posisi, vektor kecepatan, vektor percepatan, dll Penyajian Vektor :

= vektor satuan yang menyatakan arah

Dalam uraian/komponen sistem koordinat Kartesian:

A

A

e

A

A

_A

r

r

=

=

ˆ

;

A

eˆ

Dalam uraian/komponen sistem koordinat Kartesian:

k

A

j

A

i

A

A

=

_x

ˆ

+

_y

ˆ

+

_z

ˆ

r

PENJUMLAHAN VEKTOR









=

=

B A

e

B

B

e

A

A

ˆ

ˆ

r

r

        ∠ + + ∠ + = ∠ + + = + − ) , ( cos 2 ) , ( cos cos ) , ( cos 2 2 2 1 2 2 B A AB B A B A B A B A AB B A B A

δ

r r







+

+

=

A

i

A

j

A

k

A

_x

ˆ

_y

ˆ

_z

ˆ

r

r







+

+

=

B

i

B

j

B

k

B

_{x y z} z y x

ˆ

ˆ

ˆ

r

(

A

B

) (

i

A

B

) (

j

A

B

)

k

B

A

+

=

_x

+

_x

ˆ

+

_x

+

_x

ˆ

+

_x

+

_x

ˆ

r

r

PERKALIAN VEKTOR

Perkalian Dot :









=

=

B A

e

B

B

e

A

A

ˆ

ˆ

r

r

A

B

B

A

AB

B

A

r

r

r

r

⋅

=

∠

=

⋅

cos

(

,

)









+

+

=

+

+

=

k

B

j

B

i

B

B

k

A

j

A

i

A

A

z y x z y x

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

r

r

z z y y x x

B

A

B

A

B

A

B

A

⋅

=

+

+

Perkalian Kros









=

=

B A

e

B

B

e

A

A

ˆ

ˆ

r

r

)

(

ˆ

)

,

(

sin

A

B

n

B

A

B

A

B

A

r

r

r

r

×

−

=

∠

=

×



+

+

=

A

i

A

j

A

k

A

_x

ˆ

_y

ˆ

_z

ˆ

r

ˆ

ˆ

ˆ

_j

_k

i

r

r









+

+

=

+

+

=

k

B

j

B

i

B

B

k

A

j

A

i

A

A

z y x z y x

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

r

.

ˆ

ˆ

ˆ

z y x z y x

B

B

B

A

A

A

k

j

i

B

A

×

=

r

r

DIFERENSIAL VEKTOR

Suatu besaran (termasuk vektor) fungsi besaran yang lain, sehingga dapat dideferensialkan terhadap variabelnya.

Operator Del atau Nabla

k

t

V

j

t

V

i

t

V

t

V

(

)

=

_x

(

)

ˆ

+

_y

(

)

ˆ

+

_z

(

)

ˆ

r

k

t

V

j

t

V

i

t

V

t

V

dt

t

V

d

z y x

(

)

ˆ

(

)

ˆ

(

)

ˆ

)

(

)

(

r

&

_&

_&

_&

r

+

+

=

=

Operator ini dapat dioperasikan pada fungsi skalar maupun fungsi vektor.

z

k

y

j

x

i

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

r

_ˆ

_ˆ

ˆ

Pengoperasian operator nabla pada fungsi skalar S(x,y,z)

Pengoperasian operator nabla pada fungsi vektor :

z

z

y

x

S

k

y

z

y

x

S

j

x

z

y

x

S

i

z

y

x

S

z

y

x

S

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

=

∇

r

₍

_,

_,

₎

_grad

₍

_,

_,

₎

_ˆ

(

,

,

)

_ˆ

(

,

,

)

ˆ

(

,

,

)

z

z

y

x

V

y

z

y

x

V

x

z

y

x

V

z

y

x

V

z

y

x

V

x y z

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

=

⋅

∇

(

,

,

)

div

(

,

,

)

(

,

,

)

(

,

,

)

(

,

,

)

r

r

r

z

y

x

∂

∂

∂

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(

ˆ

ˆ

ˆ

)

,

,

(

rot

)

,

,

(

z

y

x

V

z

y

x

V

z

y

x

V

z

y

x

k

j

i

z

y

x

V

z

y

x

V

z y x

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

=

×

∇

r

r

r

Besaran Vektor:

Besaran yang memiliki besar (nilai/angka) dan arah

Besaran Skalar:

Besaran yang hanya memiliki besar (nilai/angka) saja

Contoh besaran Vektor:

_{Perpindahan, kecepatan, percepatan,}

gaya,dll

Gambar Vektor

Garis kerja

Gambar Vektor

Besar Vektor

Arah Vektor

Garis kerja

Vektor

Garis kerja

Vektor

Titik tangkap/titik

pangkal Vektor

PENULISAN VEKTOR

A

A

B

A

B

= Vektor

A

Vektor

AB

=

PENJUMLAHAN & PENGURANGAN VEKTOR

Vektor hasil penjumlahan & pengurangan (

R

Soal-soal

Penjumlahan & Pe

ngurangan Vektor

Vektor hasil penjumlahan & pengurangan

= Vektor Resultan

(

R

)

Cara Jajaran Genjang

Cara Poligon

Nilai dan Arah Resultan Dua Buah Vektor Yang

Membentuk Sudut

α

a.

α ≠

90º

A

B

α

cos

2

2 2

AB

B

A

R

=

+

+

α

B

a.

α

₌

90º

A

B

90 cos 2 2 2 AB B A R = + + 0 90 cos = 2 2

B

A

R

=

+

Penguraian Vektor Menjadi

Komponen-Komponennya

A

y

Y

....

=

α

Sudut

Besar

_?

x y

A

A

Tg

α

=













=

x y

A

A

tg

arc

α

A

x

X

α

α

cos

A

A

_x

=

α

sin

A

A

_y

=









A

x

???

Dari Mana

Kesimpulan Dari Beberapa Kasus

Besar Resultan yang mungkin dari dari dua buah vektor A

dan B adalah:

Ι

_A

_–

_B

Ι ≤

_R

≤

Ι

_A

₊

_B

Ι

Ι

3

Ι

= 3

Ι

5

Ι

= 5

Ι

100

Ι

=

100

Ι

3

Ι

= 3

Ι

- 3

Ι

= 3

Ι

100

Ι

=

Ι

5

Ι

=

Ι

- 100

Ι

=

Ι

- 5

Ι

=

Keterangan:

Bila sebuah bilangan diberi tanda mutlak (

Ι

….

Ι

_{), maka diambil nilai yang positif}

5

5

100

100

VECTOR

CROSS PRODUCT

Oleh : Warsun Najib

Vektor Product (Cross Product)

Hasil perkalian Dot product adalah skalar. Dlm beberapa aplikasi, misalkan berkaitan dengan rotasi, diperlukan perkalian vektor

Definisi

v

tor

sebuah vek

adalah

]

,

,

[

dan

]

,

,

[

vektor

antara

Product

Cross

a

x

b

a

=

a

₁

a

₂

a

₃

b

=

b

₁

b

₂

b

₃ Warsun Najib, 2005 30

γ

sin

:

,

length

v

a

b

b

a

v

=

×

=

a

b

v

|v| merupakan luas parallelogram pd gambar di atas.

Arah v = a x b tegaklurus kedua vektor a dan b dan a, b, v sedemikian sehingga membentuk aturan tangan kanan.

Aturan tangan kanan

v = a x b

a

b

v

Warsun Najib, 2005 31

v

a

b

Vektor Product (Cross Product)

Dalam bentuk komponen vektor

a

b

v

]

,

,

[

]

,

,

[

v

1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 3 2 1

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

v

v

v

−

−

−

=

=

Utk mengingat rumus di atas (ingat rumus determinan matrik) 3

∑

Warsun Najib, 2005 32 3 2 1 3 2 1 b b b a a a k j i b a× = alike are indices two any if ijk if ijk if k j i ijk ijk ijk k ijk 0 213 , 132 , 321 1 312 , 231 , 123 1 3 1 = = − = = + = = ×

∑

= ε ε ε ε 2 1 2 1 3 2 1 3 2 1 b b b a j i b b b a a a k j i b a× =

General Properties of Vector Products:

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( i j j i a c c a e Commutativ Not c b c a c b a c a b a c b a f Distributi Sifat b q a b a q b a q Skalar Sifat × ≠ × × ≠ × × + × = × + × + × = + × × = × = × Q Warsun Najib, 2005 33

( )

( )

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( j i i j i i c b a c b a e Associativ Not b a a b e Commutativ Anti i j j i a c c a e Commutativ Not × × ≠ × × × × ≠ × × × − = × × ≠ × × ≠ × Q Q

Penerapan Cross Product

Momen Gaya

Hal 417

Applications of Vector Product

Moment of a force

Find moment of force P about the center of the wheel.

|P|=1000

lb

30

o

1,5

ft

] 0 , 500 , 866 [ ] 0 , 30 sin 1000 , 30 cos 1000 [ − = − = = ° ° = P Warsun Najib, 2005 35 ] 1299 , 0 , 0 [ 500 866 5 . 1 0 0 0 0 500 866 0 5 . 1 0 ) 5 , 1 titik pada roda pusat ( ] 0 , 5 . 1 , 0 [ = − + + = − = × = − = − = k j i k j i p r m y r

Scalar Triple Product

,

,

v

a

c)

(b

a

]

v

,

v

,

[v

v

c

b

andaikan

c)

(b

a

c)

b

(a

sebagai

kan

didefinisi

)

(

ditulis

]

,

,

[

],

,

,

[

,

]

,

,

[

vektor

tiga

dari

product

triple

Scalar

2 1 1 3 3 2 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1

b

b

a

b

b

a

b

b

a

v

a

v

a

v

a

c

b

a

c

c

c

c

b

b

b

b

a

a

a

a

+













−

−

=

=

•

=

×

•

=

=

×

×

•

=

=

=

=

Warsun Najib, 2005 36

shg

pertama,

brs

mnrt

3

orde

determinan

ekspansi

mrpk

Ini

2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 1

c

c

a

c

c

a

c

c

a

_



+









−

−

=

3 2 1 3 2 1 3 2 1

c)

(b

a

c)

b

(a

c

c

c

b

b

b

a

a

a

=

×

•

=

Scalar Triple Product

Geometric representation

a,b,c vektor

β

sudut antara (bxc) dan a

h tinggi parallelogram

c

b x c

a

β

_h

Warsun Najib, 2005 37

b

|

|

luas

mempunyai

c

dan

b

sisi

dg

alas

genjang

jajaran

cos

|

|

cos

|

||

|

|

)

(

|

)

(

c

b

area

h

height

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

Besar

×

=

×

=

×

•

×

•

β

β

c

h