Bilangan Real Dalam Kehidupan Manusia

Bilangan Real Dalam Kehidupan Manusia Bilangan Real Dalam Kehidupan Manusia

Oleh Ardi Yardan Oleh Ardi Yardan

(Matematika merupakan suatu

(Matematika merupakan suatu konsep kehidupan sehingga matematika konsep kehidupan sehingga matematika tidaks bisa ltidaks bisa lepas epas dalamdalam menjalani

menjalani kehidupan kehidupan ini)ini)

Bilangan Real selalu ada disetiap materi-materi mata pelajaran matematika pada jenjang Bilangan Real selalu ada disetiap materi-materi mata pelajaran matematika pada jenjang  pendidikan

 pendidikan SD, SD, SMP SMP dan dan SMA. SMA. Namun, Namun, kata kata bilangan bilangan real real sangat sangat jarang jarang di di gunakan gunakan padapada  penampaian

 penampaian materi-materi materi-materi tersebut. tersebut. Padahal Padahal bilangan bilangan real real termasuk termasuk dasar dasar dari dari materi-materimateri-materi  pelajaran

 pelajaran matematika. matematika. Bilangan Bilangan real real jarang jarang diperdengarkan diperdengarkan mungkin mungkin karena karena bahasana bahasana angang terlal

terlalu u tinggi dan tinggi dan sulit dimengesulit dimengerti. Barulah rti. Barulah dijenjdijenjang ang perkuliperkuliahan pr!di ahan pr!di pendidipendidikan kan matemmatematikaatika mempelajari tentang bilangan real ini dalam mata kuliah analisis real.

mempelajari tentang bilangan real ini dalam mata kuliah analisis real.

Bilangan Real adalah bilangan ang men"akup semua bilangan ang ada. Dalam bagan Bilangan Real adalah bilangan ang men"akup semua bilangan ang ada. Dalam bagan  bilangan

 bilangan bilangan bilangan real real menaungi menaungi beberapa beberapa jenis jenis bilangan bilangan ang ang sering sering kita kita jumpai jumpai dalam dalam matamata  pelajaran

 pelajaran matematika. matematika. Bilangan-bilangan Bilangan-bilangan tersebut tersebut akni akni bilangan bilangan rasi!nal, rasi!nal, irasi!nal, irasi!nal, bilanganbilangan  bulat dan bilangan asli.

 bulat dan bilangan asli.

Dalam kehidupan sehari-hari manusia selalu dipertemukan pada

Dalam kehidupan sehari-hari manusia selalu dipertemukan pada bilanbilangan gan real, terutamareal, terutama  bilangan bulat p!

 bilangan bulat p!siti# dan negasiti# dan negati#. Dalam bilangan ti#. Dalam bilangan ini, menimpan suini, menimpan suatu k!nsep atu k!nsep kehidupan angkehidupan ang tidak disadari !leh manusia. $!nsep-k!nsep seperti inilah ang akan diungkapkan dalam tulisan tidak disadari !leh manusia. $!nsep-k!nsep seperti inilah ang akan diungkapkan dalam tulisan ini.

ini.

Bilangan bulat terdiri atas bilangan bulat p!siti# dan negati#. %ika bilangan bulat p!siti#  Bilangan bulat terdiri atas bilangan bulat p!siti# dan negati#. %ika bilangan bulat p!siti#  dmisalkan dengan simb!l & dan bilangan bulat negati# dengan ' , kemudian dide#enisikan dmisalkan dengan simb!l & dan bilangan bulat negati# dengan ' , kemudian dide#enisikan tehadap perkalian ( maka )

tehadap perkalian ( maka )   & ( - * -& ( * -  - - ( ( & * & * --  - - ( ( - * - * && 

 & ( & * && ( & * &

%ika !perasi diatas dibahas dalam kehidupan sehari-hari, maka memiliki maksud ang %ika !perasi diatas dibahas dalam kehidupan sehari-hari, maka memiliki maksud ang artina )

+ x =

-+ x - = - artina jika sesuatu ang benar dinatakan salah maka itu salah, artina jika sesuatu ang benar dinatakan salah maka itu salah, - x + = -- x + = - artina artina

 jika sesuatu ang

 jika sesuatu ang salah dinatakan benar salah dinatakan benar maka itu salah,maka itu salah, - x - = +- x - = + artina jika sesuatu ang salah artina jika sesuatu ang salah

dinatakan salah maka itu benar dan

dinatakan salah maka itu benar dan + x + = ++ x + = + artina jika sesuatu ang benar dinatakan benar  artina jika sesuatu ang benar dinatakan benar 

maka itu benar. maka itu benar.

Pernataan-pernataan diatas merupakan l!gika sederhana tentang peng!perasian p!siti#  Pernataan-pernataan diatas merupakan l!gika sederhana tentang peng!perasian p!siti#  dan negati#. Operasi matematika tidak serta merta ada karena k!nsep dari bilangan itu sendiri, dan negati#. Operasi matematika tidak serta merta ada karena k!nsep dari bilangan itu sendiri, akan tetapi juga memiliki makna tersendiri didalamna. Makna tersebut dapat direlasikan dengan akan tetapi juga memiliki makna tersendiri didalamna. Makna tersebut dapat direlasikan dengan kehidupan manusia.

kehidupan manusia.

Sebagai "!nt!h ' ( ' * & artina jika sesuatu ang salah dinatakan salah maka itu benar. Sebagai "!nt!h ' ( ' * & artina jika sesuatu ang salah dinatakan salah maka itu benar. Pernataan apapun didunia ini jika sesuatu ang salah disalahkan maka sesuatu itu berarti benar. Pernataan apapun didunia ini jika sesuatu ang salah disalahkan maka sesuatu itu berarti benar. Misalkan menulis dengan tangan kiri itu salah tetapi pada dasarna pernataan ini salah karena Misalkan menulis dengan tangan kiri itu salah tetapi pada dasarna pernataan ini salah karena  beberapa

 beberapa manusia manusia ang ang sejak sejak ke"il ke"il hingga hingga de+asa de+asa hana hana dapat dapat menulis menulis dengan dengan baik baik  menggunakan tangan kiri saja, maka berarti menulis dengan tangan kiri adalah benar.

menggunakan tangan kiri saja, maka berarti menulis dengan tangan kiri adalah benar.

Menurut $BB, real berarti nata, dengan demikian bilangan real dapat diartikan sebagai Menurut $BB, real berarti nata, dengan demikian bilangan real dapat diartikan sebagai  bilangan ang

 bilangan ang nata. Bilangan atau nata. Bilangan atau sebut saja angsebut saja angka adalah ka adalah sesuatu ang sesuatu ang abstrak dan abstrak dan tidak dapattidak dapat digambarkan bentukna se"ara k!ntekstual. Misalna angka , angka dua tidak memiliki bentuk, digambarkan bentukna se"ara k!ntekstual. Misalna angka , angka dua tidak memiliki bentuk, angka  hana ada dalam pikiran kita dedukti#/. %ika pikiran mengasumsikan bah+a  dapat angka  hana ada dalam pikiran kita dedukti#/. %ika pikiran mengasumsikan bah+a  dapat digamb

digambar pada ar pada papan tulis atau kertas, maka itu papan tulis atau kertas, maka itu bukanlbukanlah . ah . Akan tetapAkan tetapi hana i hana tinttinta spid!l ataua spid!l atau  pulpen ang dilukisakan pada !bjek tertentu. %adi bagaimana mendes

 pulpen ang dilukisakan pada !bjek tertentu. %adi bagaimana mendeskripsikan angka 0kripsikan angka 0

Bilangan adalah simb!l atau istilah ang digunakan untuk menatakan suatu jumlah Bilangan adalah simb!l atau istilah ang digunakan untuk menatakan suatu jumlah ter

tertententu. tu. MatMatematematika ika bibilanlangan/ gan/ dikdikenaenal l akan akan keabkeabstrstrakanakanna, na, akan akan tettetapi api bukbukan an beraberartirti matematika atau bilangan tidak dapat dideskripsikan. Pada pendeskripsian ini, bukan berarti matematika atau bilangan tidak dapat dideskripsikan. Pada pendeskripsian ini, bukan berarti  bentuk

 bentuk bilangan bilangan ialah ialah ang ang sering sering kita kita tulis tulis di di papan papan tulis tulis atau atau kertas. kertas. Bilangan Bilangan dapatdapat dideskripsikan apabila dihubungkan dengan kehidupan sehari-hari. Misalna  tangan, 1 r!da dideskripsikan apabila dihubungkan dengan kehidupan sehari-hari. Misalna  tangan, 1 r!da m!bil, 2 r!da be"ak,  pintu jendela dan lain-lain. Bilangan ang pada a+alna abstrak dapat m!bil, 2 r!da be"ak,  pintu jendela dan lain-lain. Bilangan ang pada a+alna abstrak dapat menjadi nata apabila dihubungkan dengan kehidupan sehari-hari.

menjadi nata apabila dihubungkan dengan kehidupan sehari-hari.

Matematika merupakan suatu k!nsep kehidupan ang tentuna tidak bisa lepas dari Matematika merupakan suatu k!nsep kehidupan ang tentuna tidak bisa lepas dari kehidupan manusia. Sama halna dengan bilangan real, bilangan real juga merupakan suatu kehidupan manusia. Sama halna dengan bilangan real, bilangan real juga merupakan suatu k!nsep kehidupan manusia. Sebagai "!nt!h akni aksi!ma-aksi!ma dalam bilangan real dapat k!nsep kehidupan manusia. Sebagai "!nt!h akni aksi!ma-aksi!ma dalam bilangan real dapat dihubungkan dengan manusia dalam menjalani kehidupan ini. Baik itu ditinjau dari aspek  dihubungkan dengan manusia dalam menjalani kehidupan ini. Baik itu ditinjau dari aspek   prinsip-prinsip hidup, nilai dan n!rma, dan lain-lain.

Aksi!ma-aksi!ma bilangan real mengandung makna ang tersimpan didalamna. Suatu misteri rahasia/ matematika ang tertuang dalam bentuk bilangan, ternata memiliki hubungan dengan kehidupan manusia. 3ubungan tersebut berupa suatu makna dan dapat menjadi suatu  prinsip untuk menjalani kehidupan ini. 4ntuk lebih jelasna berikut aksi!ma-aksi!ma bilangan

real)

Pada sistem bilangan real R kita dapat mende#inisikan dua buah !perasi, aitu  penjumlahan &/ dan perkalian 5/. 4ntuk semua a, b, " R, kedua !perasi ini memenuhi semua

si#at berikut)

 Si#at $!mutati# a & b * b & a, a.b * b.a

 Si#at As!siati# a & b/ & " * a & b & "/, a.b/." * a.b."/  Si#at Distributi# a.b & "/ * a.b & a." dan b & "/.a * b.a & ".a  dentitas Penjumlahan 6erdapat 7 R sehingga 7 & a * a.

 dentitas Perkalian 6erdapat elemen 8 R sehingga 8.a * a untuk semua a R   n9ers Penjumlahan 4ntuk setiap a R terdapat :a R sehingga a & :a/ * 7.

 n9ers Perkalian 4ntuk setiap a 7 di R terdapat satu elemen 8;a R sehingga a ( 8;a * 8

Aksi!ma diatas sangat sering dijumpai pada mata pelajaran matematika SMP materi  penjumlahan dan perkalian. %ika memba"a sepintas maka sebuah kebingungan dan pertanaan  besar di!tak kita akan bergemuruh tentang apa hubungan aksi!ma-aksi!ma tersebut dengan

kehidupan manusia. ja+abanna sebagai berikut)

Sifat Komutatif a + b = b + a, a.b = b.a, %ika dimisalkan !perasi p!siti# &/ adalah

 perbuatan baik maka apabila a berbuat baik kepada b maka tentu b akan berbuat baik juga terhadap a. Si#at ini sangatlah penting dalam kehidupan manusia bah+a sebagai makhluk s!sial kita harus berbuat baik kepada setiap !rang. %ika ingin disenangi !rang lain, maka perlu pula  berbuat baik kepadana dan !rang tersebut tentu akan senang dan melakukan hal ang sama  pula.

Si#at ini dapat menjadi m!ti9asi diri bah+a manusia tidak bisa hidup tanpa manusia lainna makhluk s!"ial/. %anganlah berbuat buruk kepada !rang lain karena dapat merusak  hubungan persaudaraan sesama manusia. Selain itu Perbuatan ang kita lakukan dapat menentukan perbuatan !rang lain terhadap kita. Apabila kita berbuat baik maka kita akan mendapatkan perbuatan baik pula dan begitupun sebalikna.

Sifat Asosiatif (a + b + ! = a + (b + !, (a.b.! = a.(b.!, As!siati# berarti

 pengel!mp!kkan. Dalam kehidupan ini manusia di"iptakan berbeda suku, agama, keturunan, daerah dan lain-lain. Perbedaan tersebut pada dasarna membentuk suatu kel!mp!k sesuai dengan jenisna sendiri.

 Negara ini memiliki banak suku-suku, ras dan agama. Perbedaan tersebut tidak menjadi temb!k untuk berhubungan dengan !rang ang berbeda dengan kita. Dalam perbedaan tersebut akan ada penengah atau pemimpin diantara kel!mp!k-kel!mp!k dan mampu menatukan  perbedaan menjadi satu kesatuan.

Si#at as!siati# menjadi k!nsep manusia untuk berhubungan dengan ang berbeda denganna. Maksudna a & b/ & " * a & b & "/ adalah apabila a dapat berhubungan dengan b maka tentulah b dapat berhubungan dengan ". Maknana ialah kita dapat berhubungan dengan siapapun, menjalin tali persaudaraan dengan siapapun karena persaudaran dapat membentuk  suatu kerjasama ang baik dalam bermasarakat.

Simb!l b pada si#at ini dapat diartikan sebagai k!nsep pemimpin ang harus memperhatikan !rang-!rang disamping kiri dan kananna. Pemimpin diharuskan dapat berbaur  dan melebur dengan setiap kel!mp!k-kel!mp!k masarakat ang diba+ahina. Apabila b dapat menjalankan tugasna dengan baik, tentu Negara ini akan damai, aman dan sejahtera. 6idak ada lagi permusuhan-permusuhan antar kel!mp!k suku, agama, daerah, keturunan dan lain-lain.

Sifat Dist"ibutif a.(b + ! = a.b + a.! dan (b + !.a = b.a + !.a, sama halna dengan si#at

as!siati#, si#at distributi# juga bermakna bah+a manusia dapat berhubungan dengan manusia lainna ang berbeda denganna.

 a.b&"/* a.b&a." maksudna ialah a dapat menjalin hubungan dengan b maupun ". ini menandakan akan pentingnna t!leransi diantara manusia untuk dapat menerima manusia ang lainna. Manusia di"iptakan berbeda dan menjadi tugas manusia untuk menjadikan perbedaan tersebut menjadi kesatuan sesuai dengan sila ketiga pan"asila. Apabila k!nsep ini dapat ditanamkan dengan baik maka !utputna merupakan kedamaian dan ketentraman dalam menjalani kehidupan ini.

Si#at disitributi# mengajarkan manusia akan pentingna pluralisme, menghargai sesama manusia dan menjalin hubungan ang baik dengan manusia ang lainna. Sebagai makhluk s!sia ,kita harus dapat berbaur dengan manusia atau !rang-!rang ang berbeda dengan kita. Negara ini akan han"ur apabila selalu terjadi pertikaian atau peperangan didalamna. Sehingga perlu dijalin

hubungan persaudaraan sesama manusia untuk menjaga dan melindungi Negara ini. Perbedaan dapat menjadi p!ndasi kebersamaan untuk mengenal, memahami dan saling menjaga satu sama lain.

#dentitas $en%umlahan &e"dapat ' R sehingga ' + a = a atau #dentitas $e"alian &e"dapat elemen ) R sehingga ).a = a untu semua a R, identitas penjumlahan atau

 perkalian ialah apabila suatu bilangan dijumlahkan atau dikalikan dengan bilangan tertentu akan menghasilkan bilangan itu sendiri, misalna < & 7 * < dan 87 ( 8 * 87. Dari "!nt!h tersebut dapat di simpulkan bah+a =lemen dentitas adalah unsur netral.

 Netral artina tidak berpihak atau tidak ikut membantu salah satu pihak $BB/. Negara saat ini sedang krisis keper"aaan, pernataan ini terbukti dengan hilangna keper"aaan masarakat terhadap pengadilan karena banakna hakim-hakim pengadilan ang tidak  menanamkan si#at netral dengan baik. Banak kasus-kasus suap dalam pengadilan atau menerima suatu materi agar berpihak kepada !rang ang memberi materi tersebut. Si#at buruk ini dapat merugikan bahkan menghan"urkan pihak-pihak ang didiskriminasi dalam suatu  pengadilan.

3akim atau pengadil merupakan penengah dalam menelesaikan suatu masalah. Sehingga mereka harus benar-benar memahami dan menanamkan dalam dirina tentang netral dengan baik. Sikap netral ini sangatlah penting dalam meme"ahkan suatu masalah. 6idak hana dalam pr!ses pengadilan tetapi dalam kehidupan bermasarakatpun sikap ini perlu ditanamkan dengan baik. 3ingga tidak ada ketimpangan-ketimpangan dalam meme"ahkan suatu masalah dan kehidupan bermasarakat akan damai serta tentram.

#n*e"s $en%umlahan ntu setiap a R te"dapat a R sehingga a + (a = ' atau #n*e"s $e"alian ntu setiap a ' di R te"dapat satu elemen )a R sehingga a x )a = ) ,

in9ers adalah la+an atau kebalikan dari suatu bilangan. Suatu bilangan dapat dikatakan memiliki in9ers dalam penjumlahan atau perkalian apabila hasilna merupakan unsur identitas. Dalam  penjumlahan elemen identitasna 7 n!l/, sedangkan perkalian elemen identitasna 8 satu/.

Dalam penjumlahan, misalkan a elemen R la+an dari a adalah 'a, sedangkan la+an dari  'a adalah -a sedemikian sehingga berlaku a & -a/ * 7 atau 'a & a * 7. Sedangkan dalam  perkalian misalkan a elemen R la+an dari a adalah 8;a seper a/ sedemikian sehingga berlaku a (

6etapi "!nt!h diba+ah ini akan menjelaskan in9ers dalam penggunaanna pada "!nt!h-"!nt!h s!al ang sering ditemui pada mata pelajaran matematika. Perhatikan "!nt!h-"!nt!h diba+ah ini)

-a, a R  -a & a * 7

-a & a & a * 7 & a kedua ruas ditambahkan a  -a & a / & a * -a si#at as!siati# 

7 & a * a memiliki elemen identitas a * a atau -a * -a

-a * -a atau a * a merupakan sebuah nilai ang berupa hasil dari penelesaian 'a & a * 7. Dalam kehidupan ini, setiap perbuatan manusia akan memiliki balasanna diakhirat kelak. Pernataan ini bermakna bah+a segala sesuatu ang dilakukan manusia memiliki kebalikan dari  perbuatanna. Apabila melakukan perbuatan baik maka akan menhasilkan ang baik pula

pahala/ dan apabila melakukan perbuatan buruk akan menghasilkan perbutan buruk pula d!sa/.  Misalkan tanda * samadengan/ dimisalkan sebagai sebuah re#leksi atau "ermin dari kehidupan manusia. Maka hasil dari apa ang manusia lakukan adalah "erminan dari perbuatan  perbuatan selama didunia. Dalam #irman Allah surah Al-3asr aat 8> ang artina )

“Hai orang-orang yang beriman, bertakwalah kepada Allah dan hendaklah Setiap diri memperhatikan apa yang telah diperbuatnya untuk hari esok (akhirat); dan bertakwalah kepada  Allah, Sesungguhnya Allah Maha mengetahui apa yang kamu kerjakan!

Aat diatas menjelaskan kepada manusia bah+a hari es!k akhirat/ menunggu kita. Sehingga Allah S?6 memerintahkan untuk senantiasa bertak+a kepadana dan memperhatikan  perbuatan-perbuatanna dimasa sekarang. Perbuatan manusia menentukan kehidupan kita

diakhirat kelak kerena kehidupan manusia adalah "ermin dari keputusan ang telah dibuatna. Banak ben"ana-ben"ana alam sepeti l!ngs!r, tsunami, gempa dan #en!ma-#en!ma lainna ang menimpa Negara kita saat ini. ni dapat pula berupa sebagian "!nt!h dari keputusan ang telah diambil sebelumna. Banakna pengerusakan alam !leh manusia menebabkan  ben"ana-ben"ana alam melanda. Maka dari itu kita sebagai manusia patut menjaga alam ini dan

Sebagai kesimpulan, matematika tidak sekedar suatu pelajaran ang dipelajari dalam sek!lah begitu saja. Matematika menimpan rahasia-rahasia didalamna sehingga sangat penting  bagi manusia mempelajari matematika. 6idak sampai disitu saja, apabila matematika ini ditelaah dengan dalam ternata menimpan suatu pelajaran dan dapat menjadi m!ti9asi diri dalam menjani kehidupan ang #ana ini.

Pada hakikatna matematika bukanlah m!m!k ang menakutkan dan menulitkan. Pernataan tersebut dapat dibuktikan karena matematika ada disetiap seluk beluk kehidupan manusia. Segala sesuatu ang di"iptakan 6uhan didunia ini tidak bisa lepas dari matematika. Mungkin hal inilah ang melandasi matematika sehingga sering disebut sebagai ibu atau ratu dari ilmu pengetahuan.

ilai mutla

 Nilai mutlak 

 Nilai mutlak adalah sesuatu ang selalu bernilai p!siti#, ini juga disebut harga mutlak. Nilai mutlak dilambangkan dengan @(@ aitu untuk menatakan ukuran atau besaran tanpa

memperhatikan tandana. Misalna @2@*@2@, dan @-2@*@2@. De#inisi nilai mutlak)

 jika (  7  @(@*

 jika ( C 7 !nt!h)

8/  Nilai mutlak dari  adalah @@* karena   7 /  Nilai mutlak dari 7 adalah @7@ * 7 karena 77

2/  Nilai mutlak dari -2 adalah @-2@*--2/*2 karena -2C7

Dari de#inisi diatas dapat diperluas sehingga diper!leh de#inisi berikut) a( & b jika a( & b  7

@a( & b@ *

-a( & b/ jika a( & b C 7 !nt!h)

( & 8 jika ( & 8  7 @( & 8@ *

-( & 8/ juka ( & 8 C 7 Si#at-si#at nilai mutlak)

8/ @-(@*@(@ / -@(@E ( E @(@ 2/ @(@ * F(G

1/ @(@G * @-(G@ * (G

</ 4ntuk sebarang (, a H bilangan real dan a H 7, berlaku sebagai berikut) 8.  jika @(@ E a maka 'a E ( E a.

. %ika @(@  a maka ( E -a atau (  a

I/ 4ntuk sebarang (,  H bilangan real berlaku sebagai berikut. 8. %ika @(@E @@ maka (GEG

. @(-@* @-(@ 2. %ika @(@ * @@ maka ( * J  1. @(@*@(@@@ <. * ,  K 7 I. @( & @ E @(@ & @@ L. @(@ - @@ E @(-@

!nt!h ' "!nt!h nilai mutlak dalam matematika 8/ @<( & 87@* - @2( & I@

arana) @<( & 87@ * - @2( & I@ <@( & @ * - 2@( & @

>@( & @ * 7 @(&@ * 7

 * - / @2@ & @1@ & @L@ - @7@

arana) @2@ & @1@ & @L@ - @7@ * @-I@* --I/ * I 2/ -<@(-L@& * - 82 arana) -<@(-L@ &  * -82 -<@(-L@* -8< @(-L@* 2 (-L * -2 atau (-L * 2 (* 1 atau ( * 87

!nt!h ' "!nt!h nilai mutlak dalam kehidupan sehari-hari

8/ Se!rang anak bermain l!mpat-l!mpatan di lapangan. Dari p!sisi diam, si anak mel!mpat ke depan  langkah, kemudian 2 langkah ke belakang, dilanjutkan  langkah ke depan, kemudian 8 langkah ke belakang, dan akhirna 8 langkah ke belakang.

6entukan berapa langkah ang dijalani anak tersebut.... %A?AB )

$edepan &/ ke belakang  -/

Banak langkah anak tersebut) @@ & @-2@ & @@ & @-8@ & @-8@*  langkah.

/ Suhu n!rmal air laut di samudra hindia adalah . Suhu tersebut dapat naik atau turun tergantung #akt!r "ua"a. %ika pengaruh "ua"a membuat suhu air laut menimpang kurang dar! 7,< , tentukan inter9al perubahan suhu air laut samudra hindia.

%A?ABAN) misalkan 6 * suhu di air laut samudra hindia akibat pengaruh "ua"a. Maka) Penimpangan C 7,< @6- suhu n!rmal@ C 7,< @6-@ C 7,< -7,< C @6-@7,< >,< C 6 C ,<

%AD, inter9al perubahan suhu air laut di samudra 3india adalah >,< C 6 C ,<.

2/ Pada sebuah kandang aam , sese!rang memberi makan aamna. Pada a+alna jumlah aam  pada kandang itu berjumlah 2< ek!r, setelah se!rang anak ke"il membelina terjadi pengur angan

aam lebih dari > ek!r, tentukan inter9al jumlah aam dalam kandang setelah se!rang anak membelina

%A?AB )

%ika dimisalkan  merupakan inter9al jumlah aam dalam kandang setelah se!rang anak membelina. MA$A ) nter9al C > @ ' 2<@ C > -> C @-2<@ C > L C  C 12

MA$A inter9al jumlah aam dalam kandang setelah se!rang anak membelina adalah L C  C 12

Persamaan nilai mutlak 

 persamaan nilai mutlak adalah persamaan ang 9ariabelna di dalam tanda mutlak.

Penelesaianna adalah bilangan-bilangan pengganti dari 9ariabel ang membuat persamaan menjadi pernataan ang benar. Dalam penelesaiaan persamaan nilai mutlak, gunakan  pengertian dan si#at-si#at nilai mutlak.

!nt!h )

6entukan nilai ( ang memenuhi @(-8@*  %a+ab)

Berdasarkan pengertian nilai mutlak diper!leh) (-8 jika (-8/  7 @(-8@ -(-8/ jika (-8/ C 7 8/ jika (-8/  7 maka @(-8@* (-8/ @(-8@ *  (-8 *  ( * 2 / %ika (-8/ C 7 maka @(-8@ * - (-8/ @(-8@*  -(-8/ *  (-8 * - ( * -8

uji nilai ( * 2 dan ( * -8 ke persamaan semula. @2-8@*  bernilai benar dan @-8-8@*  bernilai benar. %adi, penelesaian @(-8@ *  adalah 2 dan -8

Penelesaian persamaan @(-a@ * b adalah (-a/ * b atau '(-a/ * b

!nt!h ' "!nt!h persamaan nilai mutlak dalam matematika 8/ Penelesaiaan persamaan @Q&<@ * <

arana) 8/ %ika Q-</  7 maka @Q-<@ * Q-</ @Q-<@ * < Q-< * < Q* 87 / %ika Q-</ C 7 maka @ Q-<@ * -Q-</ @Q-<@ * < -Q-</ * < Q-< * -< Q * 7

@87-<@ * < bernilai benar dan @7-<@ * < bernilai benar. %adi penelesaian @Q-<@ * < adalah 87 dan 7.

/ Selesaikan persamaan) '<@ " ' L@ &  * '82.

$embahasan Pertama, kita is!lasi nilai mutlak, aitu membuat simb!l nilai mutlak berada pada

satu ruas sedangkan suku-suku lainna kita letakkan di ruas ang lain.

Sekarang perhatikan bah+a " ' L merupakan  #  pada si#at persamaan nilai mutlak, sehingga

Dengan mensubstitusi ke persamaan semula akan memastikan bah+a himpunan selesaianna adalah T1, 87U.

/atatan 4ntuk persamaan seperti pada "!nt!h 8 di atas, hati-hati untuk tidak memperlakukan

simb!l nilai mutlak seperti tanda kurung biasa. Persamaan '< " ' L/ &  * '82 hana memiliki

selesaian " * 87, dan tidak memiliki selesaian kedua karena persamaan tersebut memiliki bentuk

sederhana " ' L * 2. Persamaan '<@ " ' L@ &  * '82 dapat disederhanakan menjadi @ " ' L@ * 2

ang memiliki dua selesaian.

Persamaan nilai mutlak dapat mun"ul dari berbagai bentuk. 6etapi dalam menelesaikan

 persamaan tersebut, kita harus mengis!lasi simb!l nilai mutlak baru kemudian menerapkan si#at  persamaan nilai mutlak.

2/ 6entukan himpunan selesaian dari persamaan) @< ' ;2 "@ '  * >.

$embahasan Dengan mengis!lasi simb!l nilai mutlak baru kemudian menerapkan si#at

 persamaan nilai mutlak, kita mendapatkan

Sehingga, himpunan selesaian dari persamaan tersebut adalah T'8>, 22U.

4ntuk beberapa persamaan, seringkali kita membutuhkan si#at perkalian persamaan nilai mutlak untuk menelesaikanna.

Sifat $e"alian $e"samaan ilai Mutla 

%ika A dan B adalah bentuk-bentuk aljabar, maka @AB@ * @A@@B@.

Perhatikan bah+a jika A * '8 maka menurut si#at tersebut @'  $@ * @'8@@ $@ * @ $@. Se"ara umum, si#at

tersebut berlaku untuk sembarang k!nstanta A.

!nt!h persamaan nilai mutlak dalam kehidupan sehari- hari.

8/ Pada m!bil- m!bil baru, angka kil! meter per literna tergantung bagaimana m!bil itu

digunakan, apakah sering digunakan untuk perjalanan jarak jauh ataupun jarak dekat. 4ntuk suat merek m!bil tertentu, angka kil! meter per literna berkisar di angka ,> kurang atau lebihna dari 8 km;V. Berapakah jangkauaan dari angka km;V dari m!bil tersebut0

%A?AB)

Misalkan m adalah km;V dari m!bil tersebut. Maka selisih m dan 8 tidak b!leh lebih dari ,> atau dapat ditulis dengan @m-8@ E ,>.

@m-8@ E ,>

-,> E @m-8@ E ,> , E m E 81,>

Sehingga jangkauaan dari angka km;V m!bil tersebut adalah dari angka , km;V sampai 8,> km;V.

/ Pintu air manggarai merupakan bagian dari sistem pengendalian banjir di jakarta. Wungsi pintu air ini mengalihkan air sungai "ili+ung ke bagian luar jakarta. $etinggian air di pintu manggarai

dipertahankan L<7 "m. %ika karena pengaruh "ua"a membuat ketinggian air menimpang lebih dari >7 "m, tentukan inter9al perubahan ketinggian air di pintu air manggarai tersebut.

%A?AB )

%$A DMSAV$AN X merupakan ketinggian air berdasarkan perubahan "ua"a. Maka

Penimpangan C >7 @X ' L<7@ C >7

->7 C @X ' L<7@ C >7 IL7 C X C >27

 %AD, inter9al perubahan ketinggian air berdasarkan perubahan "ua"a adalah IL7 C X C >27. 2/ Sebuah air dimasak hingga mendidih. Pada a+alna air berukuran <7 "". Setelah dipanaskan

hingga mendidih ukuran air menimpang lebih dari 17 "". 6entukan jangkauan dari ukuran air "" dari pan"i tersebut0

%A?AB )

Misalkan A merupakan jangkauaan air berdasarkan air mendidih . MA$A)

Selisih C 17 @A ' <7 @ C 17 -17 C @A ' <7@ C 17 87C A C 7

%AD jangkauan ukuran "" dari pan"i tersebut adalah 87 sampai dengan 7. P=R6DA$ SAMAAN NVA M46VA$ 

Pertidak samaan nilai mutlak adalah suat kalimat terbuka ang menggunakan pertidak samaan C,E,H, dan . Misalkan a₁(₁ & a₂(₂ & a₃(₃ & ... H 7 dengan setiap k!e#isien dan 9ariabelna

merupakan bilangan real. Penelesaian pertidak samaan nilai mutlak adalah bilangan- bilangan pengganti dari 9ariabel ang membuat pertidak samaan menjadi pernataan bernilai  benar.

!nt!h)

Penelesaian @(-8@ E  adalah -8 E ( E 2 karena nilai ( pada inter9al -8 E ( E 2 membuat  perpertidaksamaan menjadi pernataan bernilai benar.

4ntuk (* -8 diper!leh @-8-8@ E   E  benar/, 4ntuk ( * 7 diper!leh @7-8@ E  8 E   benar/, 4ntuk ( *8 diper!leh @8-8 @ E  7 E  benar/, Dan seterusna.

 berikut.

8. %ika @(@ E a maka 'a E ( E a %ika @(@  a maka ( E -a atau (  a.

!nt!h- "!nt!h pertidaksamaan nilai mutlak)

8. 6entukan himpunan penelesaian pertidaksamaan, @-2b&@ H >. Penelesaian)

• -2b &  C -> atau -2b & H> • -2bC-87 atau -2b HI

•  bH atau b C •  b H atau b C - •  b C - atau b H

%adi, himpunan penelesaianna Tb@ b C- atau b H

/ 6entukan himpunan selesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan) @2 " & @;1 E 8 dan @ " ' L@ C ' 

<.

$embahasan 4ntuk menelesaikan pertidaksamaan @2 " & @;1 E 8, kita harus mengis!lasi simb!l

nilai mutlak di satu ruas.

Sehingga, himpunan selesaian dari pertidaksamaan @2 " & @;1 E 8 adalah T " @ ' E " E ;2, "

 bilangan realU. Selanjutna, perhatikan pertidaksamaan @ " ' L@ C '<. $arena nilai mutlak dari

setiap bilangan adalah p!siti# atau n!l, maka himpunan selesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah himpunan k!s!ng, .

2/ 6entukan himpunan selesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan) '8;2 @2 & ";@ C ' dan @< " &

@  2;.

$embahasan Perhatikan bah+a '8;2 @2 & ";@ C ' merupakan pertidaksamaan kurang dari.

6etapi jika kita mengalikan kedua ruas dengan '2, kita harus membalik tanda pertidaksamaanna menjadi lebih dari.

Sehingga himpunan selesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah T " @ " C '8> atau " Z I, "

 bilangan realU. $arena nilai mutlak dari semua bilangan adalah p!siti# maka selesaian dari @< " &

@  2; adalah semua bilangan real. Sehingga himpunan selesaianna adalah himpunan bilangan real.

ON6O3 ' ON6O3 P=R6DA$SAMAAN NVA M46VA$ DAVAM $=3D4PAN S=3AR-3AR.

8/ Pada sebuah pabrik sepatu, sepatu ang sudah siap di pasarkan berjumlah 7 pasang sepatu, jika  pada 7 pasang sepatu itu terjadi kerusakan sekitar 2 pasang sepatu, tentukan berapakah

inter9al sepatu ang rusak itu0 %a+ab)

nter9al sepatu ang rusak ) D Maka

@D-7@E 2

-2 E D ' 7 E 2

-2 & 7 E D ' 7 & 7 E 2& 7 IL E D E 882

%AD, inter9al sepatu ang rusak adalah IL E D E 882.

/ Se!rang peternak melakukan pemerasan susu terhadap sapina, pada saat pemerasan susu, lebih dari 8< b!t!l susu ang diperas tumpah, jangkauaan susu ang tumpah adalah 87. Berapakah kira  ' kira susu ang tersedia pada a+al pemerasan0

%A?AB )

%ika susu ang tersedia pada a+al pemerasan dimisalkan R. MA$A ) @R ' 87@ H 8< MA$A R ' 87/ C -8< atau R ' 87 / H 8< R C -8< & 87 R H 8< & 87 R C -< R H <

%AD, kira ' kira susu ng tersedia pada a+al pemerasan adalah RC-< dan R H <.

Operasi Bilangan Bulat dan Penggunaanna dalam $ehidupan Sehari-hari 7 Desember 781 81)11)1< Diperbarui) 8L %uni 78< 81)<2)22 Diba"a ) 2L $!mentar ) 8 Nilai ) 8 Dalam

menjalankan kehidupan sehari-hari kita tidak terlepas dengan ang namana Matematika. Matematika selalu kita gunakan dalam setiap akti9itas. Di sini kami akan menjelaskan sedikit mengenai Bilangan Bulat ang selalu kita gunakan dalam kehidupan. Apa itu bilangan Bulat[0 Bilangan Bulat adalah bilangan ang terdiri dari bilangan negati#, bilangan n!l dan Bilangan n!n negati# atau bilangan p!siti#. Operasi dalam Matematika tentuna kita sudah pada tau semua, aitu Operasi tambah penjumlahan/, !perasi kurang pengurangan/, !perasi kali perkalian/, dan !perasi bagi pembagian/. Dalam penggunaan !perasi di atas pada bilangan  bulat selalu terpenuhi si#at-si#at sebagai berikut) 8/6ertutup terhadap penjumlahan dan

 pengurangan, aitu untuk sembarang bilangan bulat a,b, maka berlaku a & b * " dan a ' b * d. dengan " dan d juga bilangan bilat. Sebagai "!nt!h bilangan < dan , < &  * L dan < '  * 2. Maka dari "!nt!h tersebut bisa dilihat bah+a a*<, b*, "*L dan d*2. /$!mutati# terhadap  penjumlahan dan perkalian aitu untuk sembarang bilangan bulat a,b selalu berlaku a&b * b&a

dan a ( b * b ( a. sebagai "!nt!h) bilangan I dan 1, maka berlaku I&1*1&I*87 dan I(1*1(I*1 2/Ass!siati#) aitu a&b/&" * a&b&"/ dan a ( b/ ( " * a ( b ( "/ 1/Distributi# aitu perkalian terhadap penjumlahan dan perkalian terhadap pengurangan aitu) a ( b&"/ * a ( b & a ( ", dan a ( b-"/ * a ( b ' a ( ". Penggunaan !perasi bilangan bulat bagi bu Rumah 6angga Man#aat !perasi bilangan bulat bagi bu Rumah 6angga adalah untuk memanajemen pengeluaran setiap  bulanna, uang saku anak, dan uang sek!lah anak. !nt!h memanajemen uang bagi bu Rumah

6angga ) Se!rang bu setiap bulan mendapat gaji sebesar Rp .<77.777,77. a diberi uang

tambahan dari suamina sebesar Rp 2.777.777,77 per bulan. Dibutuhkan Rp 8.777.777,77 untuk uang belanja per bulan. 4ang kesehatan Rp <77.777,77 dan 8.777.777,77 untuk di tabung.

Sisana digunakan untuk keperluan uang sek!lah dari ke-2 anakna. Sang bu bingung, berapa uang sakuper!rangan ang harus ia berikan untuk ketiga anakna dalam seminggu. %ika sang bu itu sedikit memahami Matematika maka tentuna beliau dapat menentukan uang saku tersebut se"ara tepat, tapi jika tidak memahami sama sekali. 3mm[ kira-kira apa ang terjadi a[0 Nah ini dia "ara mengerjakanna dengan menggunakan !perasi bilangan bulat) Pertama kita harus menghitung dulu sisa uang itu berapa0 .<77.777,77&2.777.777,77/ * 8.777.777,77 &

<77.777,77 & 8.777.777,77 & sisa <.<77.777,77 * .<77.777,77 & sisa Maka sisa * <.<77.777,77  ' .<77.777,77 * 2.777.777,77 Berarti keperluan uang sek!lah ketiga anakna adalah

Rp.2.777.777,77 Sekarang kita hitung uang saku ketiga anakna dalam seminggu. $ita anggap satu minggu sebagai \. $arena ada 2 anak maka masing-masing anak akan memper!leh uang saku sebagai berikut) 2(1\/ * 2.777.777,77 8\ * 2.777.777,77 \ * 2.777.777,77 ) 8 *

<7.777,77 %adi, uang saku setiap anak dalam seminggu adalah Rp.<7.777,77. %ika anada mau men"ari uang saku anak dalam sehari tinggal di bagi saja dengan L karena 8 minggu ada L hari. "ukup simple kan0 Penggunaan !perasi bilangan bulat bagi para Pedagang. Operasi bilangan  bulat dapat membantu pedagang untuk menghitung besar ke"il keuntungan atau kerugian ang

dapat diper!lehna, dan dapat menentukan besar m!dal ang dibutuhkan. !nt!h penerapan dalam kehidupan pedagang adalah sebagai berikut) Se!rang pedagang buahmembeli 87 kg Apel dengan harga Rp.7.777,77;kg. Dengan 87 kg apel tersebut beliau ingin menjual kembali dengan keuntungan sebesar Rp.877.777,77. Maka berapakah harga jualna;kg na0 %ika pedagang itu  pandai Matematika, pasti akan mudah mengetahuina, sebalikna, jika tidak, apa ang akan

terjadi0 Bisa dibaangkan sendiri segala kemungkinan ang akan terjadi dalam angan masing-masing. ara mengerjakan menggunakan sistem !perasi bilangan bulat) 4ntung * 3arga jual ' harga beli 877.777,77 * 3arga jual '87 ( 7.777,777 3arga jual * 877.777,77 & 77.777,77

3arga jual * 277.777,77 3arga jual;kg * 277.777,77 ) 87 * 27.777,77 %adi, harga jual ang bisa diterapkan agar keuntungan ang diper!leh Rp.877.777,77 adalah sebesar Rp.27.777,77;kg. simple aja kan0

Selengkapna ) http);;+++.k!mpasiana."!m;ruslim]a]gani;!perasi-bilangan-bulat-dan- penggunaanna-dalam-kehidupan-sehari-hari]<1#da22288LI72>b1L>

)enerapan *ilangan *ulat +alam ,ehidupan ehari-ari

)enerapan *ilangan *ulat +alam ,ehidupan

ehari-ari

*an$a seali penerapan bilangan bulat dalam ehidupan sehari misaln$a pada disiplin ilmu sia bidang edoteran pendidian maupun bidang ekonomi. )ada postingan ini ita han$a membahas penerapan bilangan bulat pada termometer pada saat uian penerimaan mahasis#a baru dan edalaman suatu permuaan di bumi.

)enerapan pada ermometer

)ernahah 3nda memperhatian termometer4 ermometer adalah alat $ang digunaan untu menguur suhu suatu at. )ada

penguuran menggunaan termometer untu men$ataan suhu di ba#ah 06 7 digunaan tanda negatif.

elama bulan 8anuari suhu tertinggi di ota Berlin 8erman 26 7 di atas titi beu 06 7 dan suhu terendah &6 7 di ba#ah titi beu. *ilangan apaah $ang digunaan untu ondisi cuaca seperti di ota *erlin4 7uupah bilangan asli atau bilangan cacah untu men$ataan ondisi suhu tersebut4

)erhatianlah uraian beriut ini. ;ntu suhu 26 7 di atas titi beu 06 7 biasa ditulis <26 7 atau 26 7 sedangan untu suhu &6 7 di ba#ah titi beu 06 7 biasa ditulis =&6 7. *ilangan <2 dan =&

bulat positif dan bilangan bulat negatif <2 dibaca positif 2 dan =& dibaca negatif &.

Penerapan pada Seleksi Penerimaan

Mahasiswa Baru

)ara peserta selesi penerimaan mahasis#a baru )>* pada uian matematia ditetapan aturan bah#a ia sis#a mena#ab benar suatu butir soal diberi sor % ia tida mena#ab diberi sor 0 dan ia mena#ab salah diberi sor =1. >isaln$a ia ada %0 soal. ,amu bisa mena#ab 25 soal dan dari a#aban soal

tersebut tern$ata $ang benar han$a 10 soal. *erapaah nilai amu adin$a4

+ari %0 soal $ang tera#ab dengan benar ada 10 soal $ang tera#ab salah ada 15 soal dan sisan$a lagi 15 soal tida di

 a#ab. 8ia mena#ab benar di beri sor % maa nilai amu untu  a#aban benar adalah 10 ? % @ %0 sedangan arena amu uga

mena#ab 15 soal dengan salah maa sor amu diurangi lagi mena#ab soal salah diberi sor =1 15 A =1 @ =15. ;ntu tida mena#ab soal diberi sor 0 nol adi untu tida mena#ab soal adalah 15 ? 0 @ 0. 8adi sor totaln$a adalah sor mena#ab benar < sor mena#ab salah < sor tida mena#ab: %0 < =15 < 0 @ 25

Penerapan pada Kapal Selam

elain digunaan pada termometer dan tes uian )>* bilangan bulat uga digunaan pada apal selam. ,apal selam digunaan

untu epentingan penagaan perang dan operasi-operasi pen$elamatan.

Bleh arena itu para pen$elam dan apten apal selam perlu mengetahui tingat edalaman laut. 8ia permuaan air laut din$ataan 0 meter maa tinggi di atas permuaan laut

din$ataan dengan bilangan positif dan edalaman di ba#ah permuaan laut din$ataan dengan bilangan negatif. >isaln$a edalaman 10 m di ba#ah permuaan laut ditulis =10 m.

7ontoh oal

+ietahui suhu di dalam suatu ruangan laboratorium 1'6 7. ,arena aan digunaan untu sebuah penelitian maa suhu di ruangan tersebut diturunan 256 7 lebih rendah dari suhu semula. *erapaah suhu di ruangan itu searang4

)en$elesaian:

uhu a#al 1'6 7 dan diturunan 256 7 maa suhu ahir $ani: @C 1'6 7 = 256 7 @ ="6 7

 8adi suhu di ruangan laboratorium searang adalah ="6 7 atau " 67 di ba#ah titi 06.

Be demiian postingan >aa Bnline tentang penerapan

bilangan bulat dalam ehidupan sehari-hari dan contoh soaln$a. >ohon maaf ia ada ata atau perhitungan $ang salah dalam postingan di atas. alam >aa @C ,ita pasti bisa.

3)DE,3E *ED3FG3F *;D3 +3D3>

,HE+;)3F H3IE-3IE

*ilangan bulat memilii ban$a manfaat dalam ehidupan sehari-hari. ida semua terapan >atematia harus menggunaan

bilangan real. 3pliasi bilangan bulat dalam ehidupan sehari-hari misaln$a:

1. )lat >otor semuan$a bilangan bulat dan tida ada plat motor $g beranga pecahan.

2. Fomor telepon nomor handphone &. Fomor reening ban

%. Fomor Endu is#a Fo.;rut dan slain-lain

emua contoh-contoh di atas merupaan bilangan bulat. 8adi mesipun ada himpunan bilangan $ang lebih luas dari himpunan bilangan bulat $aitu bilangan real bilangan bulat tetap perlu digunaan dan dipelaari. ,ita ingat embali bilangan cacah

$aitu : 0 1 2 & J. asil penumlahan dua bilangan cacah adalah bilangan cacah uga. edangan pada operasi pengurangan dua bilangan cacah aan muncul masalah etia pengurangn$a lebih besar dari $ang diurangi sehingga muncullah bilangan bulat negatif. Gambaran lain untu menunuan munculn$a bilangan bulat negatif misaln$a sebagai beriut :

+alam penguuran suhu dengan termometer bersala 7elsius titi didih air adalah100 dan titi beu air adalah 0. ;ntu suhu di ba#ah titi beu air maa sala termometer diperpanang e

7elsius di ba#ah nolL. ;ntu suhu di atas nol ditulis tanpa tanda < sehingga suhu &2di atas nol cuup ditulis &2.

*erdasaran gambaran di atas ita dapat membuat garis bilangan $ang memuat bilangan bulat negatif nol dan bilangan bulat

positif. impunan bilangan bulat positif nol dan himpunan bilangan bulat negatif membentu himpunan bilangan bulat. +alam garis bilangan bilangan bulat negatif terleta di sebelah iri nol dan bilangan bulat positif terleta di sebelah anan nol. )enumlahan dan )engurangan *ilangan *ulat )enumlahan dan pengurangan dua bilangan bulat dapat digambaran dalam cara beralan pada garis bilangan beriut ini :

1. >ulai beralan start pada posisi 0 dan menghadap e anan 2. *eralan mau untu men$ataan bilangan positif dan beralan munduruntu men$ataan bilangan negatiMe.

&. etap di tempat untu men$ataan nol.

%. 3rah terus untu men$ataan operasi penumlahan <.5. 3rah berbali untu men$ataan operasi pengurangan -

7ontoh :

1. ;ntu menentuan hasil penumlahan % < & pada garis bilangan :>ulai dari 0 menghadap e anan.% berarti mau %

langah< berarti terus& berarti mau & langahmaa diperoleh % < & @'2.

2. ;ntu menentuan hasil pengurangan 5 =-2 pada garis bilangan :>ulai dari 0 menghadap e anan.5 berarti mau 5 langah- berarti berbali arah-2 berarti mundur 2 langahmaa diperoleh 5=-2 @ '

*erdasaran pengalaman di atas dapat dilauan operasi penumlahan danpengurangan pada bilangan bulat negatif lainn$a sehingga diperoleh aturan beriut ini :

1. =a < -b @ -a < b 2. 2. =a = -b @ -a < b

http://datapelangan-alfath.blogspot.co.id/201%/09/penerapan-bilangan-bulat-dalam.html

ika terdapat 87 mahasis+a matematika atau pendidikan matematika baik dijenjang strata satu maupun  pas"a sarjana ditana, mata kuliah apa ang paling sulit0 Saa akin setidakna  dari 87 mahasis+a akan menja+ab Analisis Real betul ndak0 6idak per"aa0 !ba saja sur9e sendiri,[. 3e[he..he[ bahkan sekarangpun saa ang "ukup mengandrungi mata kuliah ini mengakui bah+a memang tidak mudah untuk bisa menguasaina +alaupun rasana sungguh leQat dan mengg!da,[..

$ebetulan di bandung ini, d!sen Real saa "ukup kreati# dalam menampaikan k!nsep-k!nsep abstrak  ang sering buat kening berkerut-kerut atau bahkan sakit perut seperti ang dialami salah se!rang teman sekelas saa setiap tiba mata kuliah ini,.. he..he..he[ dasat a0 Beliau, d!sen saa seringkali memberikan ilustrasi-ilustrasi dari k!nteks kehidupan sehari-hari berkaitan dengan k!nsep ang "ukup abstrak. Bahkan tugas akhir  kamipun harus membuat sebuah makalah tentang aplikasi dari k!nsep-k!nsep abstrak tersebut dalam kehidupan sehari-hari beserta sebuah p!ster ang bertema anal!g.

Sempat terkejut juga ketika ternata saa menemukan begitu banak k!nteks-k!nteks nata ang dapat membantu menjelaskan keabstrakan dari k!nsep-k!nsep dalam analisis real. Berikut beberapa saja ang ingin saa ungkapkan^

Konsep 0atu dengan sistem bilangan "eal

Dalam sistem bilangan realterdapat suatu si#at urutan ang dinatakan dalam pernataan sebagai berikut^

Sifat u"utan da"i himpunan Real

%ika P adalah himpunan tak k!s!ng subset dari R, maka P disebut himpunan bilangan p!siti# kuat apabila memenuhi sarat sebagai berikut^

i/ %ikaa, b angg!ta dari P , maka a %b juga angg!ta dari P

ii/ %ikaa, bangg!ta dari P, makaab juga angg!ta dari P

iii/ %ikaa angg!ta dari P, maka dengan tepat satu dari relasi berikut haruus dipenuhi^ a & ',a   , * a&   ' 

Sedangkan beberapa de#inisi tentang +aktu antara lain^

• Rangkaian ang bebas ruang dimana kejadian-kejadian terjadi dalam satu rangkaian ang tidak dapat

• Sebuah sstem dimana inter9al-inter9al dihitung atau dihubungkan dengan bilangan-bilangan • Sebuah bilangan ang maknana dapat berupa tahun, hari atau menit.

Berdasarkan de#inisi-de#inisi di atas dapat disusun sebuah de#inisi +aktu sebagai berikut^

Definisi 0atu

?aktu adalah sebuah sstem ang terdiri dari serangkaian kejadian-kejadian bebas ruang ang terjadi dalam suatu rangkaian tertentu ang tidak dapat berubah serta dapat dinatakan dalam sebuah inter9al dengan ukuran-ukuran tertentu ang dapat disimb!lkan dengan sebuah bilangan.

%ika di"ermati dari de#inisi 8 tentang +aktu maka dapat dikaji bah+a +aktu dapat dianal!gikan dengan himpunan bilangan real serta memiliki si#at keter-urutan. Berikut penjelasanna^

Andaikan ? adalah sebuah sstem +aktu dan 3 adalah subset dari ?, merupakan himpunan kejadian-kejadian ang dalam sebuah inter9al tertentudengan ukuran tahun maka dapat ditunjukkan bah+a 3 memenuhi si#at keterurutan.

i/ %ika 9 dan + adalah sebarang +aktu ang dinatakan dalam ukuran tahun angg!ta dari 3 maka 9 & +adalah juga sebuah satuan +aktu ang juga angg!ta dari 3aitu himpunan +aktu ang dinatakan dalam ukuran tahun. Yang dapat dijelaskan sebagai rangkaian kejadian 9 dan + ang terjadi dalam inter9al ang dinatakan dalam ukuran tahun.

ii/ %ika 9 dan + adalah sebarang tahun ang dinatakan dalam ukuran tahunangg!ta dari 3 maka 9. + adalah juga sebuah satuan +aktu ang juga angg!ta dari 3. 3al ini dapat dijelaskansebagai sebuah upaa  pengulangan kejadian pada inter9al +aktu tertentu dalam ukuran tahun.

iii/ %ika 9 adalah sebuah angg!ta dari 3 maka berlaku si#at trik!t!mi di sini aitu dapat dianal!gikan sebagai berikut^

9 angg!ta dari 3 ang berarti kejadian 9 terjadi saat itu atau tahun ituang menunjukkan berada  pada suatu inter9al ang termuat dalam 3

9 * 7 ang dapat dijelaskan berarti terjadi saat ini atau tahun ang berjalan

 ' 9 angg!ta dari 3 ang berarti ang berarti tidak terjadi kejadian 9 pada  saat itu atau tahun itu ang berada dalam inter9al 3.

Berdasatkan uraian di atas maka dapat disimpulkan dalam +aktu juga berlaku si#at keterurutan anal!g dengan si#at uurutan ang terjadi dalam sstem bilangan real.

Batas atas dan batas ba0ah

dalam sstem bilangan real terdapat si#at ang kenal sebagai si#at kelengkapan dari bilangan real. %ikaS adalah subset dari R maka^

i/. Sebuah elemenu angg!ta dari R dikatakan batas atas apabila s E u untuk setiap s angg!ta S

ii/. Sebuah elemen + angg!ta dari R dikatakan batas ba+ah apabila s  u untuk setiap s angg!ta S iii/. %ika S terbatas di atas, sebuah batas atas dari S dikatakan sebagai sup"emum dari S apabila batas

atas tersebut lebih ke"il dari sebarang batas atas dari S

i9/. %ika S terbatas di ba+ah, sebuah batas ba+ah dari S dikatakan infimum dari S apabila batas ba+ah

tersebut lebih besar dari sebarang batas ba+ah S

%ika ditinjau dari de#inisi k!nsep +aktu maka si#at-si#at kelengkapan dalam real dapat diaplikasikan dalam banak k!nteks ang berkaitan dengan +aktu. Sebagai "!nt!h sederhana adalah k!nteks usia manusia ang  berkaitan dengan +aktu.

Manusia hidup di dunia dalam inter9al +aktu tertentu, sesuai dengan te!ri dalam ilmu ked!kteran dan agama maka sesungguhna sejak dalam kandungan manusia sudah dapat dikatakan hidup dalam ang memiliki arti  berna+a. Maka, dapat dianal!gikan bah+a batas ba+ah usia se!rang manusia ang hidup adalah masa kehidupan dalam kandungan selama kurang lebih  bulan, kemudian batas atas dari usia manusia adalah masa sesudah kematian atau sudah tidak lagi berna+a hingga suatu saat nanti akan mengalami #ase kehidupan ang lain/C'_i#  supp!rtW!!tn!tes`'Z_8`C'_endi#`'Z. Berikut ilustrasi dalam sebuah garis kehidupan manusia

Dari gambar tersebut dapat dilihat k!nsep dalam kehidupan ang sangat dekat dengan manusia sebagai indi9idu sekaligus mahluk 6uhan memiliki batas ba+ah serta batas atas atas usia ang berkaitan erat dengan k!nsep +aktu. Selain itu, dari gambar juga dapat terlihat dengan jelas bah+a kelahiran merupakan batas ba+ah terbesar  dari inter9al kehidupan manusia di dunia dan kematian merupakan batas atas terke"il dari kehidupan manusia di dunia.$!nsep ini berlaku untuk setiap manusia ang hidup di dunia.

$!nsep ini sesuai dengan #irman Allah s+t dalam surat Al-Mukmin ) IL ^

 +ia-lah yang meniptakan kamu dari tanah kemudian dari setetes, air mani, sesudah itu dari segumpal  darah, kemudian dilahirkannya kamu sebagai seorang anak, kemudian (kamu dibiarkan hidup) supaya kamu  sampai kepada masa (dewasa), kemudian (dibiarkan kamu hidup lagi) sampai tua, di antara kamu ada yang 

diwafatkan sebelum itu (ami perbuat demikian) supaya kamu sampai kepada ajal yang ditentukan dan supaya kamu memahami (nya)!

 Nah, apakah kita sudah paham ternata dalam bait di atas ternata terkandung makna ang dalam tentang arti perjalanan hidup manusia0 Yang ternata juga dapat dianal!gikan dengan k!nsep supremum dan in#imum dalam t!p!l!gi ruang kartesius sebagian dari Analisis real.

Selain dalam k!nteks kehidupan manusia, k!nsep si#at kelengkapan dari real ini juga dapat digunakan untuk mengkaji tentang a+al dan akhir dari dunia ang mungkin menjadi pertanaan banak manusia. Mau "!ba08 Silahkan saja, tidak rumit k!k. Atau mau mem"!ba memberi "!nt!h lain0[[ ternata banak lh!,[.. bahkan dalam sarapan pagipun saa bisa melihatna lh![.

 Nah, setuju kan kalau ternata Analisis real itu terlihat lebih sederhana ketika dilirik dari ka"a mata dunia sekitar kita

3al ini sesuai dengan keakinan penulis bah+a akan terdapat #ase kehidupan ang lain