#4 Sifat Kelengkapan Dari Bilangan Real

1.1 Sifat Kelengkapan dari

1.1 Sifat Kelengkapan dari Bilangan RealBilangan Real

Pada subbab ini kita akan membahas sifat ketiga dari

Pada subbab ini kita akan membahas sifat ketiga dari R R ,, yaitu sifat kelengkapan. Sepertiyaitu sifat kelengkapan. Seperti yang telah dikatakan pada pendahuluan bab ini, sifat

yang telah dikatakan pada pendahuluan bab ini, sifat kelengkapan berkaitakelengkapan berkaitan dengan konsepn dengan konsep supremum atau batas atas terkecil. Untuk itu, kita akan bahas terlebih dahulu apa yang supremum atau batas atas terkecil. Untuk itu, kita akan bahas terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan batas atas dari suatu himpunan bilangan real, dan kebalikannya, yaitu dimaksud dengan batas atas dari suatu himpunan bilangan real, dan kebalikannya, yaitu batas bawahnya.

batas bawahnya.

Definisi 1.19.

Definisi 1.19. MisalkanMisalkan  X  X  adalah himpunan bagian tak kosong dariadalah himpunan bagian tak kosong dari R R .. a.

a. HimpunanHimpunan  X  X  dikatakan terbatas atas jika terdapatdikatakan terbatas atas jika terdapat aaR R  _{sedemikian sehinggasedemikian sehingga} a a _ xx_,, untuk setiap

untuk setiap  x  x _X X _{. Bilangan real. Bilangan real} aa _{yang demikian disebut sebagai batas atas dariyang demikian disebut sebagai batas atas dari}  X  X _.. b.

b. HimpunanHimpunan  X  X  _{dikatakan terbatas bawah jika tdikatakan terbatas bawah jika terdapaterdapat} bb_{R R sedemikian sehinggasedemikian sehingga} b b _xx_,,

untuk setiap

untuk setiap  x  x _X X _{. Bilangan real. Bilangan real} bb _{yang demikian disebut sebagai batas bawah dariyang demikian disebut sebagai batas bawah dari}

 X   X _.. c.

c. HimpunanHimpunan  X  X  dikatakan terbatas jikadikatakan terbatas jika  X  X  terbatas atas dan terbatas bawah. Himpunanterbatas atas dan terbatas bawah. Himpunan  X 

 X  _{dikatakan tidak terbatas jikadikatakan tidak terbatas jika}  X  X  _{tidak terbatas atas atau tidak ttidak terbatas atas atau tidak terbatas bawah.erbatas bawah.}

Sebagai contoh, perhatikan himpunan

Sebagai contoh, perhatikan himpunan





 x x_R R ::xx 00



_{. Setiap elemen pada himpunan. Setiap elemen pada himpunan}





bb_R R ::bb00



_{merupakan batas bawah darimerupakan batas bawah dari}





 x x_{R R ::}xx_00



_{. Setiap kita mengambil elemen. Setiap kita mengambil elemen}





 :: 00





  x x xx  x

 x _{R R  maka maka selalu selalu kita kita dapatkan dapatkan bahwabahwa}  x  x _{ } xx_

₁

₁

_{, , sedangkansedangkan}





:: 00



1 1      x x xx  x

 x _{R R  . Yang demikian mengandung arti bahwa tidak ada. Yang demikian mengandung arti bahwa tidak ada} aa_{R R  sedemikiansedemikian} sehingga

sehingga a a _ xx_{, untuk setiap, untuk setiap}  x x





 x x_R R ::xx₀₀



_{. Jadi himpunan. Jadi himpunan}





 x x_{R R ::}xx_{ 00}



_{terbatasterbatas}

bawah tetapi tidak terbatas atas, atau juga dapat dikatakan bahwa himpunan tersebut tidak bawah tetapi tidak terbatas atas, atau juga dapat dikatakan bahwa himpunan tersebut tidak terbatas.

terbatas.

Contoh lain, pandang himpunan

Contoh lain, pandang himpunan





 x x_R R :: xx11



_{. Himpunan. Himpunan}





aa_{R R ::}aa_11



_{merupakan koleksimerupakan koleksi}

semua batas atas dari

semua batas atas dari





 x x_R R ::xx11



_{. Tidak ada. Tidak ada} bb_{R R  sedemikian sehinggasedemikian sehingga} b b _ xx_{, untuk, untuk}

semua

semua  x x





 x x_R R ::xx11



_{, karena setiap kita mengambil, karena setiap kita mengambil}  x x_





 x x_{R R ::}xx_11



_{maka selalumaka selalu}

dapat kita peroleh bahwa

dapat kita peroleh bahwa  x  x _{  }

1

1

_ xx_{, sedangkan, sedangkan}  x x_{11}





 x x_{R R ::}xx_11



_{. Akibatnya, himpunan. Akibatnya, himpunan}





 x x_R R ::xx11



_{tidak mempunyai batas bawah. Jadi himpunantidak mempunyai batas bawah. Jadi himpunan}





 x x_{R R ::} xx_11



_{terbatas atasterbatas atas}

tetapi tidak terbatas bawah, atau juga dapat dikatakan bahwa himpunan tersebut tidak tetapi tidak terbatas bawah, atau juga dapat dikatakan bahwa himpunan tersebut tidak terbatas.

Berdasarkan paparan sebelumnya, himpunan

Berdasarkan paparan sebelumnya, himpunan





 x x_R R ::00 xx11



_{memiliki batas atas danmemiliki batas atas dan} batas bawah, atau dengan kata lain

batas bawah, atau dengan kata lain himpunan tersebut merupakan himpuhimpunan tersebut merupakan himpunan terbatas. Darinan terbatas. Dari batas-batas bawahnya, kita dapat memilih batas bawah yang terbesar, yaitu elemen 0. batas-batas bawahnya, kita dapat memilih batas bawah yang terbesar, yaitu elemen 0. Sedangkan dari batas-batas atasnya, kita dapat memilih batas atas yang terkecil, yaitu Sedangkan dari batas-batas atasnya, kita dapat memilih batas atas yang terkecil, yaitu elemen 1. Berikut ini adalah definisi secara formal dari batas atas terkecil, disebut elemen 1. Berikut ini adalah definisi secara formal dari batas atas terkecil, disebut supremum,

supremum,dan batas bawah terbesar, disebutdan batas bawah terbesar, disebut infimuminfimum, dari suatu himpunan bilangan real., dari suatu himpunan bilangan real.

Definisi 1.20.

Definisi 1.20. MisalkanMisalkan  X  X  _{adalah himpunan bagian tak kosong dariadalah himpunan bagian tak kosong dari R R ..} a.

a. MisalkanMisalkan  X  X  _{terbatas atas. Elementerbatas atas. Elemen} aa_{R R  dikatakan supremum daridikatakan supremum dari}  X  X  _{jika memenuhijika memenuhi}

syarat-syarat : syarat-syarat : (1)

(1) aa _{adalah batas atas dariadalah batas atas dari}  X  X  (2)

(2) a a _vv_{,, untuk setiapuntuk setiap} vv_{, batas atas dari, batas atas dari}  X  X _.. b.

b. MisalkanMisalkan  X  X  terbatas bawah. Elementerbatas bawah. Elemen bbR R  _{dikatakan infimum daridikatakan infimum dari}  X  X  jika memenuhijika memenuhi syarat-syarat :

syarat-syarat : (1)

(1) bb _{adalah batas bawah dariadalah batas bawah dari}  X  X  (2)

(2) b b _ww_{,, untuk setiapuntuk setiap} ww_{, batas bawah dari, batas bawah dari}  X  X _..

Selanjutnya, mungkin timbul pertanyaan, apakah perbedaan antara supremum (infimum) Selanjutnya, mungkin timbul pertanyaan, apakah perbedaan antara supremum (infimum) dengan maksimum (minimum)? Contoh sebelumnya tentang himpunan

dengan maksimum (minimum)? Contoh sebelumnya tentang himpunan





 x x_R R ::00 xx11



_,, bisa menjadi ilustrasi untuk menjelaskan hal ini. Himpunan

bisa menjadi ilustrasi untuk menjelaskan hal ini. Himpunan





 x x_R R ::00 xx11



_{tidaklahtidaklah} mempunyai minimum dan maksimum, karena tidak ada

mempunyai minimum dan maksimum, karena tidak ada mm,, M  M 





 x x_R R ::00 xx11



sedemikian sehingga

sedemikian sehingga m m  xx dandan  M  M _xx_{, untuk setiap, untuk setiap}  x x_





 x x_{R R ::00} xx_11



_{. Sedangkan. Sedangkan}

untuk supremum dan infimum, himpunan

untuk supremum dan infimum, himpunan





 x x_R R ::00 xx11



_{memilikinya, yaitu 1 dan 0,memilikinya, yaitu 1 dan 0,} masing-masing secara berurutan. Elemen minimum dan maksimum haruslah elemen dari masing-masing secara berurutan. Elemen minimum dan maksimum haruslah elemen dari himpunan yang bersangkutan, tetapi elemen infimum dan supremum tidaklah harus himpunan yang bersangkutan, tetapi elemen infimum dan supremum tidaklah harus demikian. Jadi elemen infimum dan supremum bisa termasuk atau tidak termasuk ke dalam demikian. Jadi elemen infimum dan supremum bisa termasuk atau tidak termasuk ke dalam himpunan yang bersangkutan. Himpunan

himpunan yang bersangkutan. Himpunan





 x x_R R ::00 xx11



_{memiliki infimum danmemiliki infimum dan} supremum, yaitu elemen 1 dan 0, yang termasuk ke dalam himpunan

supremum, yaitu elemen 1 dan 0, yang termasuk ke dalam himpunan





 x x_R R ::00 xx11



_..

Selanjutnya, kita akan memberikan formulasi lain dari definisi supremum dan infimum pada Selanjutnya, kita akan memberikan formulasi lain dari definisi supremum dan infimum pada definisi 1.20. Kita mulai dengan definisi supremum. Elemen

definisi 1.20. Kita mulai dengan definisi supremum. Elemen aa _{adalah batas atas dariadalah batas atas dari}  X  X 

ekuivalen dengan

ekuivalen dengan a a  xx, untuk setiap, untuk setiap  x  x _X X _{. Pernyataan. Pernyataan} a a _vv_{,, untuk setiapuntuk setiap} vv_{, batas atas, batas atas} dari

dari  X  X _{, mengandung arti bahwa jika, mengandung arti bahwa jika}  z  z _ aa _{makamaka  z  z  adalah bukan batas atas dariadalah bukan batas atas dari}  X  X _{. Jika. Jika}

 z 

Jadi kita mempunyai fakta bahwa

Jadi kita mempunyai fakta bahwa jika jika z z aa _{maka terdapatmaka terdapat}

z z x

x _XX _{sedemikian sehinggasedemikian sehingga}

z z x

x _ zz_{. Selanjutnya, jika diberikan. Selanjutnya, jika diberikan}   00 makamaka a a      aa. Dengan menggunakan fakta. Dengan menggunakan fakta

sebelumnya

sebelumnya, , maka terdapatmaka terdapat  x  x X X 

 

   sedemikian sehinggasedemikian sehingga  x  x      aa   . Jadi kita memperoleh. Jadi kita memperoleh

fakta baru, yang ekuivalen dengan fakta sebelumnya, yaitu

fakta baru, yang ekuivalen dengan fakta sebelumnya, yaitu untuk setiapuntuk setiap    00 terdapatterdapat

x x XX

 

  sedemikian sehinggasedemikian sehingga x x    aa   . Dengan demikian kita memperoleh fakta-fakta. Dengan demikian kita memperoleh fakta-fakta

yang ekuivalen dengan definisi 1.20. yang ekuivalen dengan definisi 1.20.

Teorema 1.21.

Teorema 1.21. ElemenElemen aaR R _{, batas atas dari, batas atas dari}  X  X _{, himpunan bagian tak kosong dari, himpunan bagian tak kosong dari R R ,,} adalah supremum dari

adalah supremum dari  X  X  _{jika dan hanya jika apabilajika dan hanya jika apabila}  z  z _ aa _{maka terdapatmaka terdapat}

 z   z   x  x _X X  sedemikian sehingga sedemikian sehingga  x  x  z  z   z z .. Teorema 1.22.

Teorema 1.22. ElemenElemen aaR R _{, batas atas dari, batas atas dari}  X  X _{, himpunan bagian tak kosong dari, himpunan bagian tak kosong dari R R ,,} adalah supremum dari

adalah supremum dari  X  X  _{jika dan hanya jika untuk setiapjika dan hanya jika untuk setiap}   00 terdapatterdapat  x  x X X      sedemikian sehingga sedemikian sehingga  x  x aa          ..

Fakta-fakta serupa yang berkaitan dengan elemen infimum adalah sebagai berikut. Fakta-fakta serupa yang berkaitan dengan elemen infimum adalah sebagai berikut.

Teorema 1.23.

Teorema 1.23. ElemenElemen bbR R _{, batas bawah dari, batas bawah dari}  X  X _{, himpunan bagian tak kosong dari, himpunan bagian tak kosong dari R R ,,} adalah infimum dari

adalah infimum dari  X  X  _{jika dan hanya jika apabilajika dan hanya jika apabila}  z  z _bb _{maka terdapatmaka terdapat}

 z   z   x  x _ X X  _{sedemikiansedemikian} sehingga sehingga  x  x  z  z   z z .. Teorema 1.24.

Teorema 1.24. ElemenElemen bbR R _{, batas bawah dari, batas bawah dari}  X  X _{, himpunan bagian tak kosong dari, himpunan bagian tak kosong dari R R ,,} adalah infimum dari

adalah infimum dari  X  X  _{jika dan hanya jika untuk setiapjika dan hanya jika untuk setiap}   00 terdapatterdapat  x  x X X       sedemikiansedemikian sehingga sehingga  x  x bb         ..

Bukti Teorema 1.23 dan Teorema 1.24 ditinggalkan sebagai latihan bagi para pembaca. Bukti Teorema 1.23 dan Teorema 1.24 ditinggalkan sebagai latihan bagi para pembaca.

Selanjutnya, mungkin kita mempertanyakan apakah elemen supremum atau infimum Selanjutnya, mungkin kita mempertanyakan apakah elemen supremum atau infimum tunggal atau tidak. Mari kita kaji masalah ini. Misalkan

tunggal atau tidak. Mari kita kaji masalah ini. Misalkan uu_,,vvR R  _{adalah supremum dariadalah supremum dari}

himpunan yang terbatas atas

himpunan yang terbatas atas U U _{. Untuk menunjukkan bahwa supremum dari. Untuk menunjukkan bahwa supremum dari} U U  _adalahadalah

tunggal, berarti kita harus menunjukkan bahwa

tunggal, berarti kita harus menunjukkan bahwa u u _vv_{. Untuk menunjukkannya, perhatikan. Untuk menunjukkannya, perhatikan} bahwa

bahwa u u ww dandan v v  ww, untuk setiap, untuk setiap ww_{, batas atas dari, batas atas dari} U U _{. Karena. Karena} uu _dandan vv _{juga batasjuga batas}

atas dari

U 

U  _{adalah tunggal. Dengan mudah, dapat pula kita tunjukkan bahwa infimum dari suatuadalah tunggal. Dengan mudah, dapat pula kita tunjukkan bahwa infimum dari suatu} himpunan yang terbatas bawah juga tunggal.

himpunan yang terbatas bawah juga tunggal.

Berdasarkan semua penjelasan pada subbab ini, kita mempunyai suatu aksioma yang Berdasarkan semua penjelasan pada subbab ini, kita mempunyai suatu aksioma yang sangat esensial. Aksioma inilah yang dimaksud dengan sifat Kelengkapan dari

sangat esensial. Aksioma inilah yang dimaksud dengan sifat Kelengkapan dari R R , atau, atau biasa

biasa juga juga disebut disebut sifat sifat supremum supremum dari dari ..

Aksioma 1.25 (Sifat

Aksioma 1.25 (Sifat KelengkapaKelengkapan darin dari R R ).). Setiap himpunan bagian dariSetiap himpunan bagian dari R R  yang terbatasyang terbatas atas memiliki supremum di

atas memiliki supremum di R R ..

 Aksioma

 Aksioma tersebut tersebut mengatakan mengatakan bahwabahwa R R , digambarkan sebagai himpunan titik-titik pada, digambarkan sebagai himpunan titik-titik pada

suatu garis, tidaklah “berlubang”.

suatu garis, tidaklah “berlubang”. Sedangkan himpunan bilangan-bilangan rasionalSedangkan himpunan bilangan-bilangan rasional QQ,, sebagai himpunan bagian dari

sebagai himpunan bagian dari R R  yang juga memenuhi sifat aljabar (lapangan) dan terurut,yang juga memenuhi sifat aljabar (lapangan) dan terurut,

memiliki “lubang”. Inilah yang membedakan

memiliki “lubang”. Inilah yang membedakan R R  dengandengan QQ. Karena tidak “berlubang” inilah,. Karena tidak “berlubang” inilah,

R 

R , selain merupakan lapangan terurut, juga mempunyai sifat, selain merupakan lapangan terurut, juga mempunyai sifat lengkaplengkap. Oleh karena itu,. Oleh karena itu, R R 

disebut sebagai lapangan terurut yang lengkap. Penentuan supremum dari himpunan disebut sebagai lapangan terurut yang lengkap. Penentuan supremum dari himpunan



:: 00,, 22 :: t t  t t  t t 22 

T 

T  _{QQ bisa dijadikan ilustrasi untuk menjelaskan terminologi “lubang”bisa dijadikan ilustrasi untuk menjelaskan terminologi “lubang”}

pada himpunan

pada himpunan QQ. Supremum dari. Supremum dari T T QQ _yaituyaitu 22 _{, yang merupakan akar dari persamaan, yang merupakan akar dari persamaan} 2

2 2 2

 x

 x _{ , bukanlah bilangan rasional. Bilangan, bukanlah bilangan rasional. Bilangan} 22 _{ini merupakan salah satu “lubang” padaini merupakan salah satu “lubang” pada} Q

Q. Maksudnya, supremum dari. Maksudnya, supremum dari T T QQ _adalahadalah 22 _{yang bukan merupakan elemen dariyang bukan merupakan elemen dari QQ..}

Sehingga dapat dikatakan bahwa aksioma kelengkapan tidak berlaku pada

Sehingga dapat dikatakan bahwa aksioma kelengkapan tidak berlaku pada QQ. Tetapi jika. Tetapi jika kita bekerja pada

kita bekerja pada R R , yang demikian tidak akan terjadi., yang demikian tidak akan terjadi.

Sekarang, misalkan

Sekarang, misalkan V V  _{adalah himpunan yang terbatas bawah, artinya terdapatadalah himpunan yang terbatas bawah, artinya terdapat} l l _R R 

sedemikian sehingga

sedemikian sehingga l l _ xx_{, untuk setiap, untuk setiap}  x  x V _V _{. Darinya, kita memperoleh bahwa. Darinya, kita memperoleh bahwa   }l l _{ }xx_,,

untuk setiap

untuk setiap  x V  x _V _{. Dengan demikian, himpunan. Dengan demikian, himpunan}





_{ }  x  x x

_::

x V _V 



_{terbatas atas. Menurutterbatas atas. Menurut}

 Aksioma

 Aksioma 1.25., 1.25., himpunahimpunann





_{ }  x  x x

::

x V _V 



_{memiliki supremum. Misalkanmemiliki supremum. Misalkan}  s s _{adalah supremumadalah supremum} dari

dari





_{ }  x  x x

::

x V _V 



_{. Yang demikian berarti. Yang demikian berarti}  s  s _{ }xx_{, untuk setiap, untuk setiap}  x  x V _V _{, dan, dan}  s  s _r r _{, untuk setiap, untuk setiap}

r 

r _{, batas atas dari, batas atas dari}





_{ }  x  x x

_::

x V _V 



_{. . Darinya, Darinya, kita kita memilikimemiliki   } s  s _xx_{, untuk setiap, untuk setiap}  x  x V _V _{, dan, dan}

 s  s r r 



   , untuk setiap, untuk setiap r r _{, batas atas dari, batas atas dari}





_{ }  x  x x

_::

x V _V 



_{. . Dapat Dapat ditunjukkaditunjukkan n bahwabahwa} r r  _batasbatas

atas dari

atas dari





_{ }  x  x x

::

x V _V 



_{jika dan hanya jikajika dan hanya jika }r r  _{adalah batas bawah dariadalah batas bawah dari} V V _{. Jadi kita memiliki. Jadi kita memiliki}

 s  s xx



kata lain,

kata lain, _ s s _{adalah infimum dari himpunanadalah infimum dari himpunan} V V _{. Berdasarkan penjelasan tersebut, kita. Berdasarkan penjelasan tersebut, kita}

memiliki hal yang serupa dengan Aksioma 1.25, yaitu bahwa setiap himpunan bagian dari memiliki hal yang serupa dengan Aksioma 1.25, yaitu bahwa setiap himpunan bagian dari

R 

R  yang terbatas bawah memiliki infimum diyang terbatas bawah memiliki infimum di R R ..

Contoh 1.26.

Contoh 1.26. Tentukan supremum dari himpunanTentukan supremum dari himpunan S S 





 x x_R R ::xx11



_..

Penyelesaian.

Penyelesaian. Kita klaim terlebih dahulu bahwa supKita klaim terlebih dahulu bahwa sup S S _{, supremum dari, supremum dari} S S _{, adalah 1. Klaim, adalah 1. Klaim}

kita benar jika dapat ditunjukkan bahwa : kita benar jika dapat ditunjukkan bahwa : 1.

1. Batas Batas atas atas daridari S S  _{adalah 1, atauadalah 1, atau}  x x

₁

₁

, untuk setiap, untuk setiap  x  x _S S _..

2.

2. vv_

1

1

_{, untuk setiap, untuk setiap} vv_{, batas atas dari, batas atas dari} S S _..

Jelas bahwa 1 adalah batas atas dari

Jelas bahwa 1 adalah batas atas dari S S _{. Selanjutnya, misalkan. Selanjutnya, misalkan} vv_

₁

₁

_{. Perhatikan elemen. Perhatikan elemen}

1

1// 2

2

_vv

// 2

2

_{. Dapat ditunjukkan bahwa. Dapat ditunjukkan bahwa} v v _{ }

_{1// 2}

₁

₂

_{ } vv

_{// 2}

_{2 1}

_

₁

_{. Artinya, setiap elemen. Artinya, setiap elemen} vv_

₁

₁

bukanlah batas atas dari

bukanlah batas atas dari S S _{. Jelas bahwa. Jelas bahwa} vv _{batas atas daribatas atas dari} S S  _{jika dan hanya jikajika dan hanya jika} vv

₁

₁

. Hal. Hal ini sekaligus menunjukkan bahwa 1 merupakan batas atas terkecil dari

ini sekaligus menunjukkan bahwa 1 merupakan batas atas terkecil dari S S _{. Dengan. Dengan}

demikian, 1 merupakan supremum dari

demikian, 1 merupakan supremum dari S S _..

Selanjutnya, kita akan menggunakan Teorema 1.21

Selanjutnya, kita akan menggunakan Teorema 1.21 untuk menunjukkan 1 adalah supremumuntuk menunjukkan 1 adalah supremum

dari

dari S S _{. Jika. Jika} vv

₁

₁

, berdasarkan pembahasan tadi, dengan memilih, berdasarkan pembahasan tadi, dengan memilih  s  s vv   11// 2 2 vv// 22, kita, kita peroleh bahwa

peroleh bahwa  s  s vvS S  dandan v v  ssvv. Jadi 1 merupakan supremum dari. Jadi 1 merupakan supremum dari S S ..

Kita akan coba

Kita akan coba cara lain untuk menunjukkan bahwa 1 merupakan supremum daricara lain untuk menunjukkan bahwa 1 merupakan supremum dari S S _{, seperti, seperti}

yang tertulis pada Teorema 1.22. Diberikan

yang tertulis pada Teorema 1.22. Diberikan   

0

0

. Di sini kita akan memilih apakah ada. Di sini kita akan memilih apakah ada

 s  s S S 

 

   sedemikian sehinggasedemikian sehingga11     ss   (pemilihan(pemilihan  s s   yang demikian tidaklah unik). Jika kitayang demikian tidaklah unik). Jika kita

memilih

memilih  s s 1 1 // 22

 

       maka kita memperoleh apa yang kita harapkan, karena jelas bahwamaka kita memperoleh apa yang kita harapkan, karena jelas bahwa

1

1 // 2 2 11

 s  s  

          , atau dengan kata lain, atau dengan kata lain  s  s    S S  dandan 1 1         s s    1 1 // 2   2. Yang demikian selalu. Yang demikian selalu

mungkin untuk

mungkin untuk sembarangsembarang   00 yang diberikan. Jadi memang 1 adalah supremum dariyang diberikan. Jadi memang 1 adalah supremum dari S S ..

■ ■

Contoh 1.27.

Contoh 1.27. Tentukan infimum dariTentukan infimum dari  I  I 





 x x_R R ::xx 00



_..

Penyelesaian.

Penyelesaian. Kita klaim terlebih dahulu bahwa inf Kita klaim terlebih dahulu bahwa inf  I  I _{, infimum dari, infimum dari}  I  I _{, adalah 0. Klaim kita, adalah 0. Klaim kita}

benar jika dapat

benar jika dapat ditunjukkan bahwa :ditunjukkan bahwa :

1.

1. Batas Batas bawah bawah daridari  I  I  _{adalah 0, atauadalah 0, atau} 00_ xx_{, untuk setiap, untuk setiap}  x  x _I I _..

2.

Jelas 0 merupakan batas bawah dari

Jelas 0 merupakan batas bawah dari  I  I _{. Berikutnya, misalkan. Berikutnya, misalkan} ww

₀

₀

. Perhatikan bahwa. Perhatikan bahwa

0

0

_{ } w w

// 2

2

_ww_{. Di sini. Di sini} w w

_{// 2}

₂

_I I _{. Artinya, jika. Artinya, jika} ww_

₀

₀

_makamaka ww _{bukan batas bawah daribukan batas bawah dari}  I  I _{. Jelas. Jelas} bahwa

bahwa ww_

0

0

_{jika dan hanya jikajika dan hanya jika} ww _{adalah batas bawah dariadalah batas bawah dari}  I  I _{. Hal ini sekaligus. Hal ini sekaligus} menunjukkan bahwa 0 adalah batas bawah terbesar dari

menunjukkan bahwa 0 adalah batas bawah terbesar dari  I  I _..

Berikutnya, kita akan menggunakan Teorema 1.23 untuk menunjukkan 0 adalah infimum Berikutnya, kita akan menggunakan Teorema 1.23 untuk menunjukkan 0 adalah infimum dari

dari  I  I _{. Misalkan. Misalkan} ww

₀

₀

. Berdasarkan pembahasan sebelumnya, dengan memilih. Berdasarkan pembahasan sebelumnya, dengan memilih i i ww ww// 22,, kita peroleh bahwa

kita peroleh bahwa i i wwI I  dandan i i ww ww. Akibatnya, 0 adalah infimum dari. Akibatnya, 0 adalah infimum dari  I  I ..

Cara lain, adalah dengan menunjukkan seperti apa yang tercantum pada Teorema 1.24. Cara lain, adalah dengan menunjukkan seperti apa yang tercantum pada Teorema 1.24. Diberikan

Diberikan   

0

0

. Kita akan memilih apakah ada. Kita akan memilih apakah ada i i I I 

 

   sedemikian sehinggasedemikian sehingga ii      00      ..

Jika

Jika ii // 22

 

     makamaka i i   I I  dandan ii      . Hal ini selalu mungkin untuk sembarang. Hal ini selalu mungkin untuk sembarang   

0

0

yangyang

diberikan. Dengan demikian, 0 adalah infimum dari

diberikan. Dengan demikian, 0 adalah infimum dari  I  I _..

■ ■

Contoh 1.28.

Contoh 1.28. Tunjukkan bahwa jika himpunanTunjukkan bahwa jika himpunan S S R R  _{terbatas atas danterbatas atas dan} aa _00 _makamaka

supremum dari

supremum dari aaS S

: :

_{ }





aas s s

::

s S  _S  



_{, sup, sup}aS aS _aa_supsupS S _..

Penyelesaian.

Penyelesaian. Ada beberapa cara untuk menyelesaikan masalah tersebut. Kita mulaiAda beberapa cara untuk menyelesaikan masalah tersebut. Kita mulai dengan cara yang pertama, yaitu bahwa kita harus menunjukkan bahwa

dengan cara yang pertama, yaitu bahwa kita harus menunjukkan bahwa aa_supsupS S  _adalahadalah batas atas dari

batas atas dari aS aS  _atauatau aa_supsupS S _asas_{, untuk setiap, untuk setiap}  s  s S S , dan, dan aa_supsupS S vv, untuk setiap, untuk setiap vv_,,

batas atas dari

batas atas dari aS aS _{. Karena. Karena} S S  _{adalah himpunan yang terbatas atas,adalah himpunan yang terbatas atas,} S S  _{mempunyaimempunyai} supremum, menurut sifat Kelengkapan dari

supremum, menurut sifat Kelengkapan dari R R . Karenanya, sup. Karenanya, supS S _ss_{, untuk setiap, untuk setiap}  s  s _S S _..

Karena

Karena aa

0

0

,, aa_supsupS S _asas_{, untuk setiap, untuk setiap}  s  s S S . Artinya,. Artinya, aa_supsupS S  _{adalah batas atas dariadalah batas atas dari} aS aS _..  Akibatnya,

 Akibatnya, aS aS  _{memiliki supremum. Selanjutnya, misalkanmemiliki supremum. Selanjutnya, misalkan} ww _{adalah sembarang batas atasadalah sembarang batas atas} dari

dari aS aS  _atauatau w w _asas_{, untuk setiap, untuk setiap}  s  s _S S _{. Karena. Karena} aa _00_{, kita peroleh bahwa, kita peroleh bahwa} w a w

_//

a _ss_{, untuk, untuk} setiap

setiap  s  s _S S _{. Di sini. Di sini} w aw

_//

a _{adalah batas atas dariadalah batas atas dari} S S _{. Akibatnya,. Akibatnya,} w aw

_//

a_supsupS S  _atauatau w w aasupsup S 

S _{. Kita peroleh bahwa. Kita peroleh bahwa} aa_supsupS S ww, untuk setiap, untuk setiap ww_{, batas atas dari, batas atas dari} aS aS _{. Jadi sup. Jadi sup}aS aS _aa sup

supS S _..

Cara kedua untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah dengan menunjukkan bahwa Cara kedua untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah dengan menunjukkan bahwa aa sup

supS S  _{adalah batas atas dariadalah batas atas dari} aS aS  _{dan untuk setiapdan untuk setiap} v v _aa_supsupS S  _{terdapatterdapat}  s  s _vvaS aS  _{sedemikiansedemikian} sehingga

sehingga v v ssvv. Telah ditunjukkan bahwa. Telah ditunjukkan bahwa aasupsupS S  adalah batas atas dariadalah batas atas dari aS aS . Sekarang,. Sekarang,

misalkan

misalkan v v _aa_supsupS S _{. Karena. Karena} aa

₀

₀

,, v v a

//

a_supsupS S _{. Akibatnya, terdapat. Akibatnya, terdapat}

// v v aa

 s

sehingga

sehingga v v a //a ssv v a_//a. Karenanya, kita memperoleh. Karenanya, kita memperoleh v v asasv av _//a. Di sini jelas bahwa. Di sini jelas bahwa aas s v v a_//aaaS  S  ..

Dengan memilih

Dengan memilih  s  s v v asasv av _//a, kita mempunyai, kita mempunyai  s  s vvaS aS  dandanv v  ssvv. Jadi. JadisupsupaS aS aasupsupS S ..

■ ■

Lebih jauh, kita akan melihat bagaimana sifat kelengkapan dari

Lebih jauh, kita akan melihat bagaimana sifat kelengkapan dari R R  ini digunakan untukini digunakan untuk menunjukkan bahwa himpunan semua bilangan asli

menunjukkan bahwa himpunan semua bilangan asli NN tidak mempunyai batas atas. Artinyatidak mempunyai batas atas. Artinya tidak terdapat

tidak terdapat  x xR R _{sedemikian sehinggasedemikian sehingga} n n  xx, untuk setiap, untuk setiap nnNN_{, atau dengan kata lain, atau dengan kata lain}  jika diberikan