BAB II
KELENGKAPAN BILANGAN REAL
Sebagaimana telah digambarkan pada bab sebelumnya bahwa sistem bilangan rasional,
memenuhi aksioma lapangan dan aksioma urutan, sehingga system bilangan rasional
merupakan lapangan terurut. Tetapi telah ditunjukkan bahwa 3 bukan bilangan
rasional, disini akan ditunjukkan bahwa ℝ ℚdengan menunjukan bahwa 3 adalah
bilangan real. Sehingga perlu suatu aksioma tambahan untuk menggambarkan
karakteristik sistem bilangan real. Aksioma itu adalah “Aksioma Kelengkapan” (biasa
disebut sifat kelengkapan). Dengan demikian bilangan real dikatakan sebagai lapangan
terurut yang lengkap.
2.1 Aksioma Kelengkapanℝ
Untuk memahami aksioma kelengkapan, terlebih dahulu harus memahami pengertian
batas atas dan batas bawah suatu sub himpunan dariℝ.
Definisi 2.1 Batas Atas dan Batas Bawah
Misalkan S sebuah himpunan bagian tak kosong dariℝ.
(i). Sebuah bilangana∈ℝdikatakanbatas atasS apabila xa untuk semua xS.
(ii). Sebuah bilanganb∈ℝdikatakanbatas bawahS apabila xb untuk semua xS.
Berdasarkan definisi diatas, jika S memiliki batas atas, maka S akan memiliki tak
Definisi 2.2 Himpunan Terbatas
Misalkan S sebuah himpunan bagian tak kosong dariℝ.
(i). Himpunan S dikatakanterbatas di atasapabila S memiliki batas atas.
(ii). Himpunan S dikatakanterbatas di bawahapabila S memiliki batas bawah.
(iii). Himpunan S dikatakanterbatasapabila S memiliki batas atas dan batas bawah.
Contoh 2.1
a. Himpunan A = { 1, 3, 7, 11, 19}. Bilangan 1 dan sembarang bilangan yang lebih
kecil dari 1 merupakan batas bawah A, kemudian bilangan 19 dan sembarang
bilangan yang lebih besar dari 19 merupakan batas atas A. Artiya, A merupakan
himpunan terbatas.
b. Himpunan B = {x∈ ℝ:x< 5 } adalah himpunan terbatas di atas, bilangan 5 dan
sembarang bilangan yang lebih besar dari 5 merupakan batas atas B.
c. Himpunan C = {x∈ ℝ:x > 3 } adalah himpunan terbatas di bawah, bilangan 3
dan sembarang bilangan yang lebih kecil dari 3 merupakan batas bawah C.
d. Himpunan D = {x∈ ℝ: -1 <x7 } adalah himpunan terbatas artinya terbatas di
bawah dan terbatas di atas, bilangan -1 dan sembarang bilangan yang lebih kecil
dari -1 merupakan batas bawah D. Sedangkan bilangan 7 dan sembarang bilangan
yang lebih besar dari 7 merupakan batas atas D.
e. Himpunan E = {x∈ ℝ:x < 4 ataux> 9 } bukan merupakan himpunan terbatas
karena tidak memiliki batas atas maupun batas bawah. Sembarang bilangan b ∈
ℝ bukan batas atas, karena selalu terdapatx∈ E sehinggab < x. Demikian juga,
untuk sembarang bilangana∈ ℝ bukan batas bawah, karena selalu terbapaty∈
f. Himpunan F = {1/n:n ∈ℕ } merupakan himpunan terbatas. Himpunan F dapat
dinyatakan dalam bentuk lain, yaitu
F =
, 4 1 , 3 1 , 2 1 , 1
Karena elemen F menurun, dapat disimpulkan bahwa bilangan 1 dan sembarang
bilangan yang lebih besar dari 1 merupakan batas atas F, kemudian karena 1/n
0,n∈ℕ,bilangan 0 dan sembarang bilangan yang lebih kecil dari 0 merupakan
batas bawah F.
Perlu dicatat, bahwa himpunan B pada contoh 2.1 bukan merupakan himpunan terbatas
karena tidak memiliki batas bawah, demikian juga himpunan C bukan himpunan terbatas
(kenapa?).
Sekarang masuk pada definisi utama, yaitu definisi supremum dan infimum dari sebuah
himpunan bagian dari bilangan real.
Definisi 2.3 Supremum dan Infimum
Misalkan S sebuah himpunan bagian tak kosong dariℝ.
(i). Sebuah bilanganu∈ℝdikatakansupremum (batas atas terkecil)S apabila
a) ubatas atas S,
b) jikawbatas atas S, makawu.
(ii). Sebuah bilanganv∈ℝdikatakaninfimum (batas bawah terbesar)S apabila
a) vbatas atas S,
b) jikawbatas bawah S, makawv.
Untuk selanjutnya,
sup S dan inf S,
Lema 2.4 Ketunggalan Supremum dan Infimum
Misalkan S sebuah himpunan bagian tak kosong dariℝ.
(i). Jika S mempunyai supremum, maka sup S tunggal.
(ii). Jika S mempunyai infimum, maka inf S tunggal.
Bukti. (i) Misalkan udan vadalah supremum dari S. Karena udan vadalah batas atas dari S dan u = sup S, diperoleh u v. Sebaliknya, karena v = sup S diperoleh v u.
Akibatnya,v=u.Bukti (ii) ditinggalkan untuk pembaca.
Kembali pada definisi batas atas dan batas bawah, a ∈ ℝ batas atas S apabila xa,
xS dan b ∈ ℝ batas bawah S apabila bx, xS. Sehingga definisi 2.3 dapat
dinyatakan sebagai berikut
(i) Bilanganu= sup S apabila a) xu,xS,
b) jikawbatas atas S, makawu.
(ii). Bilanganv= inf S apabila a) vx,xS,
b) jikawbatas bawah S, makawv.
Apakah setiap himpunan bagian dari R mempunyai supremum dan infimum? Jawabnya
belum tentu (kenapa?). Sebuah himpunan bagian R mempunyai supremum apabila
mempunyai batas atas dan akan mempunyai infimum apabila mempunyai batas bawah.
Sedangkan terdapat empat kemungkinan sebuah himpunan bagian dari R dihubungkan
dengan batas atas dan batas bawah, yaitu:
(i) mempunyai batas atas dan batas bawah;
(ii) mempunyai batas bawah tetapi tidak mempunyai batas atas;
(iv) tidak mempunyai batas bawah dan tidak mempunyai batas atas
Oleh kerena itu terdapat empat kemungkinan pula, apabila dihubungkan dengan
supremum dan infimum (uraikan apa saja kemungkinan itu?).
Lema berikut akan bermanfaat untuk menguji, apakah sebuah batas atas himpunan
merupakan supremum.
Lema 2.5 Supremum
Misalkan S sebuah himpunan terbatas di atas di ℝ. Bilangan u = sup S jika dan hanya
jika untuk sembarang> 0 terdapats∈S sehinggau-<s.
Bukti. Untuk membuktikan Lema Supremum diatas harus ditunjukkan dua arah, untuk
Misalkan u= sup S dan > 0. Karena u u berarti u bukan batas atas S.Akibatnya terdapat suatus∈S sehingga u -<s.
Untuk sebaliknya
Misalkanubatas atas S demikian sehingga untuk sembarang> 0terdapats∈S sehinggau-<s.. Jika vu, maka uv > 0, karena itu adas∈S
sehingga u-<s.. Padahalu-=v, berartivbukan batas atas S. Karenavmerupakan
sebarang bilangan yang kurang dari u, sehingga dapat disimpulkan bahwauadalah batas
atas terkecil, dengan kata lainu= sup S.
Contoh 2.2
Perhatikan kembali himpunan himpunan pada contoh 2.1.
a. Perhatikan himpunan A = {1, 3, 7, 11, 19}. Bilangan 1 merupakan inf A, karena 1
∈A dan merupakan batas bawah A. Bilangan 19 merupakan sup A, karena 19∈ A dan merupakan batas atas A.
b. Himpunan B = {x ∈ ℝ : x < 5 } tidak mempunyai batas bawah, sehingga tidak
memiliki infimum (kenapa?). Pada himpunan B, bilangan 5 merupakan batas atas.
wsembarang batas bawah B maka w5. Sekarang andaikan terdapatwbatas atas
B sedemikian sehingga w < 5. Karena w < 5, terdapat z = (w + 5)/2 ∈ B
sedemikian sehingga w<z< 5. Akibatnya w bukan batas atas. Karenawdiambil sembarang, jadi jikawbatas atas maka w5.
c. Himpunan C = {x ∈ ℝ : x > 3 } tidak memiliki supremum (kenapa?) dan 3
adalah infimumnya (kenapa?).
d. Himpunan D = {x ∈ ℝ : -1 < x 7 } memiliki supremum 7 dan infimum -1
(tunjukkan!).
e. Himpunan E = {x ∈ ℝ : x < 4 atau x > 9 } tidak memiliki supremum maupun
infimum (tunjukkan!).
f. Sebagaimana telah dikemukakan pada contoh 2.1 bahwa himpunan F = {1/n :n
∈ℕ } merupakan himpunan terbatas. Jadi ada batas atas dan batas bawahnya. Himpunan F dapat dinyatakan dalam bentuk lain, yaitu
F =
, 4 1 , 3 1 , 2 1 , 1
Karena elemen F menurun dan 1 elemen terbesar, maka 1 merupakan supremum
F (kenapa?). Sekarang akan ditunjukkan bahwa 0 adalah infimum F. Karena
untuk setiap n ∈ℕ berlaku 1/n 0, maka 0 merupakan batas bawah. Sehingga
untuk menunjukkan 0 = inf F tinggal ditunjukkan bahwa 0 adalah batas bawah
terbesar. Andaikan terdapat w batas bawah F sedemikian sehingga w > 0. Pilih bilangan asli k (apakah pasti ada?) sedemikian sehingga kw > 1, sehingga 1/k<w.
Karena w > 0 dan k ∈ ℕ, maka 0 < 1/k < w. Padahal 1/k adalah elemen F,
Berikut ini menyatakan aksioma penting padaℝyaitu aksioma kelengkapan atau disebut
juga sifat kelengkapan ℝ . Dengan aksioma kelengkapan, ℝ menjadi suatu lapangan
terurut lengkap.
Aksioma 2.6 Kelengkapanℝ
Setiap himpunan bilangan real tak kosong dan memiliki batas atas memiliki supremum
diℝ.
Aksioma kelengkapan ini disebut juga Sifat Kelengkapan atau Sifat Supremum.
Aksioma kelengkapan diatas dapat pula dinyatakan dalam kalimat yang sedikit berbeda,
yaitu, setiap himpunan tak kosong yang terbatas diatas mempunyai supremum.
2.2 Sifat Aksioma Kelengkapan
Disini terdapat sifat kelengkapan serupa untuk infimum, namun sifat infimum dapat
diturunkan dari sifat supremum, sebagaimana ditunjukkan pada teorema berikut:
Teorema 2.7 Sifat Infimum
Setiap himpunan bilangan real tak kosong dan memiliki batas bawah memiliki infimum
diℝ.
Bukti. Misalkan S himpunan bilangan real tak kosong dan memiliki batas bawah.
Definisikan
S-= {-s:s∈S }.
Karena himpunan S terbatas dibawah, diperoleh himpunan S- terbatas diatas dan
berdasarkan aksioma kelengkapan terdapat u ∈ ℝ sedemikian sehingga u = sup S-.
batas bawah. Sekarang misalkan r batas bawah S maka –r merupakan batas atas S-, kemudian karena-rudiperolehr-u=v.Jadivmerupakan infimum S.
Dari aksioma kelengkapan ini dapat diturunkan beberapa lema yang berkaitan dengan
supremum dan infimum dari himpunan bilangan real .
Lema 2.8
Misalkan S himpunan bilangan real tak kosong yang terbatas diatas.
(i) Jikaasebuah bilangan real, maka supremum himpunan
a +S = {a + s:s∈S } adalaha +sup S.
(ii) Jikaa> 0, maka supremum himpunan
aS = {a s:s∈S } adalaha(sup S).
Bukti. (i). Misalkan u = sup S. Karena u batas atas S, sehingga diperoleh s u untuk
setiaps∈S dana + sa + uuntuk setiaps∈S. Artinyaa + umerupakan batas atasa
+ S. Kemudian, untuk menunjukkan bahwa a + u supremum a + S, misalkan w
merupakan batas atasa +S, artinyaa + swuntuk setiaps∈S. Lebih lanjut, diperoleh
sw – a untuk setiaps∈S yang berartiw–amerupakan batas atas S. Karenau =sup
S diperoleh uw – a,sehingga a + uw. Karena w sembarang batas atasa +S dapat disimpulkan bahwa sup (a +S) = a + u = a +sup S.(ii).Misalkanu =sup S. Karena u
batas atas S dan a > 0, sehingga diperoleh s u untuk setiap s ∈ S dan as au untuk
setiaps∈S. Artinya aumerupakan batas atasaS. Sekarang tinggal menunjukkan bahwa
a uadalah supremumaS. Untuk itu, misalkanwmerupakan batas atasaS, artinyaa s
w untuk setiaps ∈ S. Karenaa> 0, diperoleh sw/a untuk setiap s∈ S yang berarti
Karenaw sembarang batas atasa S dapat disimpulkan bahwa sup (aS) =a u = a ( sup
S).
Teorema dibawah dikenal dengan sifat Archimedean yang menyatakan bahwa untuk
sembarang bilangan real x terdapat bilangan asli n sehingga x < n. Disini disajikan pembuktian dengan memanfaatkan aksioma kelengkapan.
Teorema 2.9 Sifat Archimedean
Jikax∈ℝ, maka tedapatnx∈ℕsedemikian sehinggax < nx.
Bukti. Misalkanx∈ℝ. Andaikan tidak adan∈ℕ sedemikian sehinggax < n, dengan
kata lain nx untuk setiap n ∈ ℕ. Akibatnya, x merupakan batas atas ℕ. Karena
terbatas diatas, berdasarkan aksioma kelengkapan ℕ memiliki supremum. Tuliskan u =
sup ℕ, berartiu - 1 bukan supremum dan akibatnya terdapat k∈ ℕ sehingga u- 1 < k.
Karena u < k + 1 dan k + 1 ∈ ℕ, sehingga u bukan batas atasℕ. Hal ini bertentangan
dengan ℕterbatas diatas. Jadi haruslah adanx∈ℕsedemikian sehinggax < nx.
Sifat Archimeden secara tidak langsung telah menunjukkan bahwa himpunan semua
bilangan asli tidak terbatas diatas. Lebih lanjut, sifat Archimedean mengakibatkan untuk
sembarang bilangan real positif selalu terdapat bilangan
n
1
yang lebih kecil untuk suatu
bilangan aslin.
Lema 2.10 Akibat Sifat Archimedean
Jikaxbilangan real positif, maka terdapatn∈ℕsehingga x n
1
0 .
Bukti. Misalkan x > 0, sehingga diperoleh
x
1
> 0. Berdasarkan sifat Archimedean
terdapatn∈ℕsedemikian sehingga n x
1
0 . Akibatnya x
n
1
Dengan lema akibat sifat Archimedean diatas pertanyaan yang berkaitan dengan
eksistensi pada contoh 2.2 (f) telah terjawab. Pada kasus lain akan diperlukan akibat sifat
Archimedean yang lainnya, sebagaimana dinyatakan pada lema dibawah.
Lema 2.11 Akibat Sifat Archimedean
Jika ydanzdua bilangan real positif, maka
(i) terdapatn∈ℕsehinggaz < ny;
(ii) terdapatn∈ℕsehingga n1zn.
Bukti.Ditinggalkan untuk pembaca.
Contoh 2.3 Diberikan himpunan
A = {
n n1
:n∈ ℕ}.
Tunjukkan bahwa sup A = 2 dan inf A = 1.
Sebelum menunjukkan supremum dan infimum, himpunan A dapat dinyatakan dalam
bentuk lain yaitu {1 + 1/n: n∈ ℕ }atau dengan mendaftar elemennya yaitu
{2, 2 1 1 ,
3 1 1 ,
4 1
1 , . . . }.
Sekarang akan ditunjukkan bahwa sup A = 2. Untuk sembarangn∈ ℕ berlaku
n +1 n + n ⇔ n+ 12n ⇔ n n1
Akibatnya 2 merupakan batas atas A. Kemudian karena 2 ∈ A dan
n n1
2, sehingga
tidak mungkin terdapat batas atas yang kurang dari 2. Jadi haruslah 2 merupakan
supremum A. Kemudian untuk menunjukkan inf A = 1, perhatikan bahwa untuk
sembarangn∈ ℕ berlaku
n +1 n ⇔ n n1
1.
Akibatnya 1 merupakan batas bawah A. Selanjutnya, andaikan terdapatwbatas bawah A
yang lebih besar dari 1. Karena w > 1, maka w – 1 > 0 dan 1 1
w > 0. Labih lanjut,
berdasarkan sifat Archimedean terdapat k∈ ℕ sedemikian sehingga
1 1
w <k ⇔ 1 <k(w– 1)
⇔ 1 <kw – k
⇔ k+ 1 <kw
⇔
k k1
<w.
Karena k ∈ ℕ, diperoleh
k k1
∈ ℕ. Akibatnya, wbukan bukan batas bawah A. Jadi
haruslah 1 = inf A.
Untuk menunjukkan supremum dan infimum A dapat juga ditunjukkan menggunakan
lema 2.8 (ii) Perhatikan himpunan F pada contoh 2.2 (f), pandang A sebagai 1 + F.
Berdasarkan lema 2.8 (ii) sup A = 1 + sup F dan inf A = 1 + inf A. Karena sup F = 1 dan
Latihan 2.1
1. Misalkan S = {x∈ ℝ:x> 9 }. Tunjukkan
a. Himpunan S mempunyai batas bawah;
b. Himpunan S tidak mempunyai batas atas;
c. Inf S = 9.
2. Misalkan S = {
n
n ) 1 (
:n∈ ℕ }. Tentukan inf S dan sup S.
3. Tentukan supremum dan infimum dari himpunan {
m n
1 1
:n, m∈ ℕ }.
4. Buktikan bahwa infimum sebuah himpunan jika mesti tunggal (lema 2.4 (ii)).
5. Buktikan lema 2.11 (akibat sifat Archimedean).
6. Misalkan S himpunan terbatas diℝ.Buktikan bahwa inf Ssup S.
7. Misalkan A dan B himpunan terbatas diℝ.
a. Buktikan bahwa AB terbatas;
b. Inf (AB) = inf {inf A, inf B}.
8. Misalkan S himpunan terbatas diℝ.Jika TS, tunjukkan bahwa
a. inf Sinf T;
b. sup Tsup S.
9. Misalkan S himpunan terbatas diℝ,a< 0 danaS = {as:s∈S }.
a. inf (aS) =asup S;
2.3 Kerapatan Bilangan Rasional Dalamℝ
Padaℝ terdapat bilangan rasional dan bilangan irrasional,sebagaimana telah ditunjukkan
bahwa 3 merupakan bilangan irrasional. Lema 1.7 telah ditunjukkan bahwa diantara
dua bilangan rasional terdapat bilangan rasional lainnya. Pada bagian ini akan
ditunjukkan bahwa 3 merupakan bilangan real, selain itu juga akan di uraikan tentang
sifat bilangan rasional yaitu diantara dua bilangan real yang berdeda selalu terdapat
bilangan rasional diantara keduanya. Selanjutnya sifat ini dikatakan sebagai sifat
“kepadatan” himpunan bilangan rasional.
Aksioma kelengkapan menjamin eksistensi bilangan real. Dengan aksioma kelengkapan
dapat ditunjukkan bahwa 3 merupakan bilangan real. Bukti ini dapat digunakan untuk
menunjukkan eksistensi bilangan irrasional yang lainnya sebagai bilangan real.
Teorema 2.12 Eksistensi Bilangan Irrasional
Terdapat bilangan real positifxsedemikian sehinggax2= 3.
Bukti. Untuk menunjukkan aksistensi x ∈ ℝ sedemikian sehingga x2 = 3, perhatikan
himpunan S = { s ∈ ℝ :s 0, s2 < 3 }. S tidak kosong, karena 1 ∈ S dan S terbatas
diatas karena 22 = 4 sehingga s < 2, s ∈ S. Berdasarkan Aksioma Kelengkapan S
memiliki supremum. Sekarang misalkan sup S = x∈ ℝdanx> 0, karena 1∈ S. Akan
ditunjukkan bahwa x2 = 3 melalui pengandaian x2 < 3 atau x2 > 3 (Sifat Trichotomy). Pertama, andaikan x2 < 3. Sekarang akan ditunjukkan bahwa pengandaian x2 < 3 salah, karena akan terjadi kontradiksi dengan fakta bahwa sup S = x. Dengan menggunakan
fakta bahwa 12
= 2
Berdasarkan Lema Akibat Sifat Archimedean, terdapatk∈ℕsedemikian sehingga
k
Artinya terdapat k∈ℕ sedemikian sehingga
x 1 ∈S. Hal ini kontradiksi denganx
sebagai supremum S. Jadi pengandaian x2< 3 tidak benar. Selanjutnya, andaikanx2> 3. Seperti pada pengandaian pertama akan ditunjukkan bahwa pengandaian x2 > 3 tidak
benar. Untuk sembarangn∈ℕ,berlaku
2
Berdasarkan Lema Akibat Sifat Archimedean, terdapatm∈ℕsedemikian sehingga
m
2
Artinya terdapat m ∈ ℕ sedemikian sehingga
x 1 merupakan batas atas, hal ini
kontradiksi dengan dengan xsebagai batas atas terkecil S. Jadi pengandaianx2 > 3 tidak benar. Karenax2< 3 danx2> 3 tidak memungkinkan, haruslahx2= 3.
Bukti teorema 1.2 dapat diadopsi untuk membuktikan bilangan irrasional yang lain
sebagai bilangan real. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa himpunan bilangan rasional
dan irrasional padat diℝ.
Teorema 2.13 Kepadatan Himpunan Bilangan Rasional
Misalkan xdanybilangan real. Jikax< y,maka terdapat bilangan rasionalrsedemikian sehinggax < r < y.
Bukti. Untuk memudahkan pembuktian, masalah dibagi dalam beberapa kasus.
Kasus (i): x > 0.
Karena x < y, sehingga y – x > 0. Kemudian berdasarkan lema 2.10 akibat sifat
Archimedean terdapatn∈ℕsehingga
x
Selanjutnya karena x > 0, diperoleh nx > 0 dan berdasarkan lema 2.11 (ii) akibat sifat
Archimedean terdapatm∈ℕsehingga
m-1 <nx<m ⇒ m<nx+ 1 dannx < m
⇒ nx<m<nx+ 1 <ny…………..dari (*)
Jadi ada bilangan rasionalr=
n m
sedemikian sehinggax<r<y.
Kasus (ii):x= 0, sehingga 0 <y.
Berdasarkan lema 2.10 akibat sifat Archimedean terdapat n ∈ ℕ sehingga y n
1
0 .
Akibatnya ada bilangan rasional r =
n
Pilih x1= 0, kemudian tunjukkan seperti kasus (i).
Kasus (iv): y < 0.
Pembuktian serupa dengan kasus (i). Karena nx < 0 sehingga –nx > 0 akibatnya diperoleh
bilangan rasional r =
n m
.
Dari teorema tentang kepadatan bilangan rasional dapat ditunjukkan bahwa himpunan
bilangan irrasional juga padat.
Teorema 2.14 Kepadatan Himpunan Bilangan Irrasional
Misalkanxdanybilangan real. Jikax<y, maka terdapat bilangan irrasionalrsedemikian sehinggax < r < y.
. Gunakan teorema 2.13, untuk mendapatkan bilangan rasionalrsehingga
3
x
<r< 3
y
Latihan 2.2
1. Tunjukkan bahwa 2 bukan bilangan rasional, kemudian tunjukkan bahwa 2
adalah bilangan real.
2. Untuka> 0, tunjukkan bahwa a bukan bilangan rasional, kemudian tunjukkan
bahwa a adalah bilangan real.
3. Tunjukkan bahwa terdapat bilangan real positifxsehinggax3= 3.
4. Carilah bilangan rasional yang terletak antara 3 1
dan 2 1 .
5. Carilah bilangan rasionalrsedemikian sehingga 2 <r< 3 .
6. Misalkana,b∈ ℝdengan 0 <a<b. Carilah bilangan rasionalrsedemikian
sehingga a <r< b.
7. Carilah bilangan irrasional yang terletak antara 4 1
dan 3 1 .
8. Carilah bilangan irrasionaltsedemikian sehingga 2 <t< 3 .
9. Misalkana,bbilangan rasional dengan a<b. Carilah bilangan irrasionalt
