MA5032 ANALISIS REAL

MA5032 ANALISIS REAL

(Semester I Tahun 2011-2012)

Hendra Gunawan∗ ∗_{Dosen FMIPA - ITB} E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id.

1.1 Paradoks Zeno 1.2 Himpunan Terbatas 1.3 Sifat Kelengkapan

Zeno, seorang filsuf dan matematikawan Yunani Kuno (490-435 SM), mengemukakan sebuah paradoks tentang suatu perlombaan lari antara Achilles dan seekor kura-kura. Karena Achilles berlari lebih cepat daripada sang kura-kura, maka sang kura-kura memulai perlombaanx0 meter di depan Achilles. Menurut Zeno, sekalipun Achilles berlari lebih cepat dan akan semakin mendekati sang kura-kura, namun ia takkan pernah dapat menyalip sang

kura-kura. Ketika Achilles mencapai titik di mana sang kura-kura mulai berlari, sang kura-kura telah menempuhx1 meter; dan ketika Achilles mencapai posisi tersebut beberapa saat kemudian, sang kura-kura telah menempuhx2 meter lebih jauh; dan seterusnya.

Apa yang salah dengan paradoks Zeno ini? Dengan pengetahuan tentang bilangan real yang kita kenal sekarang, Achilles akan menyalip sang kura-kura ketika ia telah menempuhx meter, denganx sama dengan ‘bilangan real terkecil yang lebih besar dari semua bilanganx0, x0+x1, x0+x1+x2, . . ..’ Sebagai contoh, bila Achilles berlari dengan kecepatan 6 m/detik sementara sang kura-kura berlari dengan kecepatan 3 m/detik (ditarik roda), maka Achilles akan menyalip sang kura-kura setelah

1 2+ 1 4+ 1 8 +· · ·= 1 detik.

Hal serupa dijumpai pada metodeexhaustionEudoxus (405-355 SM), yang digunakan oleh Archimedes (287-212 SM) untuk menghampiri luas daerah lingkaran dengan luas daerah segi-n

beraturan di dalam lingkaran, yaitu dengan barisan bilangan

A1, A2, A3, . . .. Luas daerah lingkaran kelak didefinisikan sebagai ‘bilangan real terkecil yang lebih besar dari setiap bilangan

Ai, i = 1,2,3, . . .. Argumen ini bergantung pada sebuah sifat bilangan real yang belum terpikirkan oleh Eudoxus dan

Sifat bilangan real yang diperlukan untuk membantah paradoks Zeno atau mendukung argumen Eudoxus dan Archimedes adalah Sifat Kelengkapan, yang menjamin eksistensi bilangan realx yang lebih besar darix0, x0+x1, x0+x1+x2, . . . (pada paradoks Zeno) dan juga bilangan realA yang lebih besar dari

Sifat Kelengkapan bilangan real biasanya tidak diungkapkan secara eksplisit dalam kuliah Kalkulus, namun sesungguhnya merupakan sifat yang sangat penting. (Tanpa Sifat Kelengkapan, Achilles takkan memenangkan perlombaan dan luas daerah lingkaran tak dapat dinyatakan sebagai sebuah bilangan.)

Sebelum membahas Sifat Kelengkapan, kita perlu memperkenalkan sejumlah istilah terlebih dahulu. MisalkanH himpunan bagian dari

R. Himpunan H dikatakan terbatas di atas apabila terdapat suatu

bilangan realM sedemikian sehingga

x≤M

untuk setiapx ∈H. Bilangan M yang memenuhi sifat ini (bila ada) disebut sebagaibatas atasuntuk himpunanH. Jika M

merupakan batas atas untukH, maka semua bilangan yang lebih besar daripadaM juga merupakan batas atas untukH.

Serupa dengan itu, himpunanH dikatakan terbatas di bawah

apabila terdapat suatu bilangan realm sedemikian sehingga

m≤x

untuk setiapx ∈H. Bilangan m yang memenuhi sifat ini (bila ada) disebut sebagaibatas bawahuntuk H. Jikam merupakan batas bawah untukH, maka semua bilangan yang lebih kecil daripadam juga merupakan batas bawah untukH.

HimpunanH dikatakanterbatas apabila ia terbatas di atas dan

Contoh 1

(i) HimpunanA:={1,2,3}terbatas di atas. Sebagai contoh, 100, 10, 5,dan 3 merupakan batas atas untuk A. HimpunanA

juga terbatas di bawah. Sebagai contoh,−5, −1, 0,dan 1 merupakan batas bawah untukA.

(ii) HimpunanI :={x ∈_R : 0≤x <1} terbatas di atas. Sebagai contoh, 100, 10,dan 1 merupakan batas atas untukI. Himpunan

I juga terbatas di bawah. Sebagai contoh,−10, −1,dan 0 merupakan batas bawah untukI.

(iii) Himpunan semua bilangan real positifP :={x ∈R : x>0}

terbatas di bawah namun tidak terbatas di atas. JikaM merupakan batas atas untukP, maka x ≤M untuk setiap x∈P. Dalam hal iniM mesti merupakan bilangan positif. Sebagai akibatnya M+ 1 juga positif danM+ 1≤M, sesuatu yang mustahil.

Proposisi 2

Himpunan H ⊆_Rterbatas jika dan hanya jika terdapat suatu bilangan real K sedemikian sehingga

|x| ≤K untuk setiap x ∈H.

Misalkan himpunanH terbatas dan M adalah suatu batas atas untukH. Bila M ≤b untuk sembarang batas atas b untuk H, makaM disebut sebagai batas atas terkeciluntuk H. Serupa dengan itu, misalkanm adalah suatu batas bawah untukH. Bila

a≤m untuk sembarang batas bawah auntuk H, maka m disebut sebagaibatas bawah terbesar untukH.

Sebagai contoh, himpunanA={1,2,3}mempunyai batas atas terkecil 3 dan batas bawah terbesar 1.

Batas atas terkecil untukH disebut pula sebagai supremum H, ditulis supH. Serupa dengan itu, batas bawah terbesar untukH

disebut pula sebagaiinfimum H, ditulis infH. Jika H mempunyai supremum dan infimum, maka jelas bahwa

infH≤supH.

Secara umum perlu dicatat bahwa supremum maupun infimum suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan itu. JikaH tidak terbatas di atas, kadang kita menuliskan

supH = +∞; dan jika H tidak terbatas di bawah, kita dapat menuliskan infH =−∞.

Contoh 3

(i) HimpunanA={1,2,3} mempunyai batas atas terkecil 3 dan batas bawah terbesar 1; yakni, supA= 3 dan infA= 1.

(ii) MisalkanI ={x : 0≤x <1}. Maka, supI = 1 dan infI = 0. (iii) MisalkanP ={x : x >0}. Maka, supP = +∞ (yakni,P tak terbatas di atas) dan infP = 0.

Soal Latihan

1 Buktikan bahwa batas atas terkecil himpunanI pada Contoh

1(ii) adalah 1.

2 Buktikan bahwa batas bawah terbesar himpunan P pada

Contoh 1(iii) adalah 0.

3 Buktikan Proposisi 2.

4 _{Verifikasi nilai supremum dan infimum pada Contoh 3(ii) dan}

(iii).

5 _{Diketahui H=}1

n : n∈N . Buktikan bahwa supH= 1 dan infH ≥0. (Kelak anda akan diminta membuktikan bahwa infH = 0.)

Sebentar lagi kita akan sampai pada perumusan Sifat Kelengkapan bilangan real, yang kerap kita gunakan pada pembahasan

selanjutnya.

Catat jikaH =∅, maka H terbatas (!) tetapi tidak mempunyai supremum maupun infimum. JikaH 6=∅dan terbatas, apakah H

pasti memiliki supremum dan infimum?

Sebagai contoh, pada sistem bilangan rasionalQ, himpunan

H={x ∈_Q : x >0, x2 <2} merupakan himpunan tak kosong dan terbatas, namun himpunan ini tidak memiliki supremum. (AndaiH memiliki supremum, sebutlah b, maka haruslahb2 = 2. Namun tidak adab∈_Qsedemikian sehingga b2= 2.)

Selain memenuhi Sifat Lapangan dan Sifat Urutan, sistem bilangan realRmemenuhiSifat Kelengkapan, yakni:

C. Setiap himpunan bagian tak kosong dariRyang terbatas di atas

mempunyai batas atas terkecil (supremum). Setiap himpunan bagian tak kosong dariRyang terbatas di bawah mempunyai batas

bawah terbesar (infimum).

Dengan Sifat Kelengkapan, himpunan bilangan realRdapat

dinyatakan sebagai sebuah garis, yang kita kenal sebagaigaris bilangan real. Sifat Kelengkapan menjamin bahwa setiap titik pada garis tersebut menyatakan sebuah bilangan real, dan sebaliknya setiap bilangan real menempati sebuah titik pada garis tersebut.

Sebagai perbandingan, himpunan bilangan rasionalQtidak

memenuhi Sifat Kelengkapan, dan apabila kita memaksakan diri untuk menyatakannya sebagai sebuah garis, maka garis tersebut akan berlubang-lubang (sebagai contoh, bilanganx di antara 1 dan 2 yang memenuhix2= 2 bukan merupakan bilangan rasional, dan karenanya terdapat lubang di antara 1 dan 2).

Teorema 4 (Eksistensi Akar ke-

n

)

Misal a>0 dan n∈_N. Maka terdapat (tepat satu) bilangan real positif x sedemikian sehingga xn_=a.

Bukti. MisalH ={t ∈_R : t >0, tn<a}. MakaH 6=∅ karena

t= _a+1a ∈H. Juga, jika t>a+ 1, makatn ≥t>adan

karenanyat ∈/H. Karena itu a+ 1 merupakan batas atas untukH. Menurut Sifat Kelengkapan,H mempunyai supremum, sebutlahb. Andaikanbn<a. Pilih h sedemikian sehingga 0<h<1 dan

h< _(1+b)a−bnn_−bn. Maka (b+h)n= n Xn k bn−khk ≤bn+h[(1+b)n−bn]<bn+(a−bn) =a.

Sekarang andaikanbn>a. Dengan trick yang serupa, kita dapat memilihk sedemikian sehingga 0<k <1 dan h< _(1+b)bn−n₋a_bn.

Selanjutnya, kita dapat menunjukkan bahwa untukt≥b−k

berlaku

tn≥(b−k)n≥bn−k[(1 +b)n−bn]>bn−(bn−a) =a. Akibatnya,b−k merupakan batas atas untuk H. Ini bertentangan dengan fakta bahwab adalah batas atas terkecil untuk H.

Menurut Hukum Trikotomi, mestilahbn=a. Jadi terdapatx=b

sedemikian sehinggaxn =a. Ketunggalannya jelas, karena jika

x<b, maka xn<a; dan jika x>b, makaxn>a. Jadi hanya

Sifat Kelengkapan tidak hanya menjamin eksistensi akar ke-n dari suatu bilangan positif, tetapi juga menjamin bahwa 1 merupakan bilangan real terkecil yang lebih besar dari 1₂ +1₄ +· · ·+₂1n, dan

terdapat bilangan realπ yang menyatakan luas daerah lingkaran berjari-jari 1 dan nilainya lebih besar dari luas daerah segi-n

beraturan di dalam lingkaran tersebut, untuk setiapn∈N.

Sifat Kelengkapan pula lah yang menjamin bahwa bilangan yang mempunyai bentuk desimal tak berhenti ataupun berulang (yang dibahas pada Sub-bab 0.2) merupakan bilangan real.

Soal Latihan

1 Dengan menggunakan logika, buktikan bahwa himpunan

kosong terbatas. Mengapa ia tidak mempunyai supremum maupun infimum?

2 _{Buktikan jika himpunanH} 6=∅ _{mempunyai supremum, maka}

MisalkanH ⊆_Rdanc ∈_R. Kita definisikan

cH:={cx : x∈H} dan H+c :={x+c : x∈H}. Sebagai contoh, jikaA={1,2,3} danc = 2, maka

Proposisi 5

Misalkan H⊆_Rtak kosong dan terbatas di atas, dan c>0. Maka cH terbatas di atas dan

Bukti. Misalkanv = supH. Ambil sembarangy ∈cH. Maka,

y=cx untuk suatu x∈H. Karenax≤v dan c >0, kita peroleh

y ≤cv.

Jadicv merupakan batas atascH. Selanjutnya, untuk sembarang >0,v−

c bukan batas atas H. Karena itu, terdapat x∈H sedemikian sehingga

v−

c <x.

Kalikan kedua ruas denganc, kita dapatkan

Proposisi 6

Misalkan H⊆_Rtak kosong dan terbatas di atas, dan c<0. Maka cH terbatas di bawah dan

Proposisi 7

Misalkan H ⊆_Rtak kosong dan terbatas di atas, dan c ∈_R. Maka H+c terbatas di atas dan

Soal Latihan

1 Buktikan Proposisi 6. 2 _{Buktikan Proposisi 7.}

3 _{Misalkan H}⊆_{Rtak kosong dan terbatas di atas, danG} ⊆_H

juga tak kosong. Buktikan bahwa G terbatas di atas dan supG ≤supH.

4 Diketahui ∅ 6=H⊆P ={x ∈_R : x >0}. Definisikan

himpunan G =₁

x : x∈H . Buktikan jika H terbatas di atas, maka G terbatas di bawah dan

infG = 1 supH.