Barisan Bilangan Fibonacci

(1)

BARISAN BILANGAN FIBONACCI

SEJARAH

Penemu bilangan Fibonacci adalah Leonardo da Pisa atau Leonardo Pisano

Penemu bilangan Fibonacci adalah Leonardo da Pisa atau Leonardo Pisano (1175-1250). Beliau(1175-1250). Beliau adalah seorang matematikawan Italia, yang juga dikenal sebagai Fibonacci yang juga memiliki peran adalah seorang matematikawan Italia, yang juga dikenal sebagai Fibonacci yang juga memiliki peran dalam mengenalka

dalam mengenalkan sistem penulisan n sistem penulisan dan perhitungan bilangan Arab ke dan perhitungan bilangan Arab ke dunia Eropa.dunia Eropa.

Leonardo adalah orang yang memperkenalkan deret. Setelah meninggal, ia sering disebut sebagai Leonardo adalah orang yang memperkenalkan deret. Setelah meninggal, ia sering disebut sebagai Fibonacci (dari kata

Fibonacci (dari kata filius Bonacci filius Bonacci, anak dari Bonacci). Ayahnya bernama William atau dikenal, anak dari Bonacci). Ayahnya bernama William atau dikenal sebagai Bonacci. Untuk itu

sebagai Bonacci. Untuk itu Leonardo memLeonardo memiliki jiliki julukanulukanFibonacciFibonacciyang berasal dariyang berasal dari kata

kata Filius Filius Bonacci Bonacciyang artinya anak dari yang artinya anak dari Bonacci.Bonacci.

William memimpin sebuah pos perdagangan dan beberapa catatan menyebutkan bahwa beliau adalah William memimpin sebuah pos perdagangan dan beberapa catatan menyebutkan bahwa beliau adalah perwakilan dag

perwakilan dagang untuk Pisa dang untuk Pisa di Bugia, Afrika Utai Bugia, Afrika Utara (sekarara (sekarang bernamng bernama Bejaia, Aljaza Bejaia, Aljazair). Sebagair). Sebagaiai anak muda, Fibonacci berkelana ke sana untuk menolong ayahnya, dan di sanalah beliau belajar anak muda, Fibonacci berkelana ke sana untuk menolong ayahnya, dan di sanalah beliau belajar tentang sistem bilangan Arab.

tentang sistem bilangan Arab. Melihat

Melihat sistem bilangan Arab sistem bilangan Arab lebih sederhana dan lebih sederhana dan efisien dibandingkan bilangan Romawi, Fibonacciefisien dibandingkan bilangan Romawi, Fibonacci kemudian berkelana ke penjuru daerah Mediterania untuk belajar kepada matematikawan Arab yang kemudian berkelana ke penjuru daerah Mediterania untuk belajar kepada matematikawan Arab yang terkenal pada masa itu, dan baru pulang kembali sekitar tahun 1200-an.

terkenal pada masa itu, dan baru pulang kembali sekitar tahun 1200-an. Pada 1202, diusia 27, ia

Pada 1202, diusia 27, ia menuliskan apa yang telah dipelajari dalam bukumenuliskan apa yang telah dipelajari dalam buku Liber Abaci, Liber Abaci, atau buku atau buku perhitungan. Buku in

perhitungan. Buku ini menunjukkai menunjukkan kepraktisan sisten kepraktisan sistem bilangan Am bilangan Arab dengan crab dengan cara meneara menerapkannya krapkannya kee dalam pembukuan dagang, konversi berbagai ukuran dan berat, perhitungan bunga, pertukaran uang dalam pembukuan dagang, konversi berbagai ukuran dan berat, perhitungan bunga, pertukaran uang dan berbagai aplikasi lainnya. Buku

dan berbagai aplikasi lainnya. Buku ini disambut baik ini disambut baik oleh kaum terpelajar Eropa, dan oleh kaum terpelajar Eropa, dan menghasilkamenghasilkann dampak yang penting kepada pemikiran Eropa, meski penggunaannya baru menyebarluas setelah dampak yang penting kepada pemikiran Eropa, meski penggunaannya baru menyebarluas setelah ditemukannya percetak

ditemukannya percetakan sekitar an sekitar tiga abad tiga abad berikutnya.berikutnya.

Leonardo pernah menjadi tamu Kaisar Frederick II, yang juga gemar sains dan matematika. Tahun Leonardo pernah menjadi tamu Kaisar Frederick II, yang juga gemar sains dan matematika. Tahun 1240 Republik Pisa memberi penghormatan kepada Leonardo, dengan memberikannya gaji.

(2)

Namun, sebelum barisan ini ditemukan di dunia Barat oleh Leonardo da Pisa, berdasarkan buku The Art of Computer Programming karya Donald E. Knuth, barisan ini pertama kali dijelaskan oleh matematikawan India,Gopala dan Hemachandra pada tahun 1150, ketika menyelidiki berbagai kemungkinan untuk memasukkan barang-barang ke dalam kantong.

ASAL-USUL

Fibonacci banyak menulis buku, salah satu yang terkenal dan menjadi tonggak awal penggunaan

angka Arab adalah “Liber Abaci”. Pada bab 12 buku tersebut, terdapat sebuah permasalahan yang

mampu mengusik akal sehat matematikawan, yaitu tentang masalah kelinci beranak-pinak.

Pertanyaan sederhana tetapi diperlukan kejelian dalam berpikir. Inilah masalah yang terdapat dalam buku tersebut :

“a certain man put a pair of rabbits in a place surrounded by a wall. How many pairs of rabbits can be produced from that pair in a year if i t is supposed that every month each pair begets a new pair which from the second month on becomes productive ?”

Bila diterjemahkan, “Berapa banyak pasangan kelinci yang beranak pinak selama satu tahun jika

diawali dari sepasang kelinci (jantan dan betina) dan kelinci tersebut tumbuh jadi dewasa bisa kawin setelah mereka berumur satu bulan, sehingga setiap bulan kedua, masing-masing kelinci betina selalu

melahirkan sepasang kelinci baru ?”

Dari gambaran diatas, dapat diketahui bahwa :

 Jumlah kelinci pada bulan ke-1 : 1 pasang (namakan A)  Jumlah kelinci pada bulan ke-2 : 1 pasang (A)

 Jumlah kelinci pada bulan ke-3 : 2 pasang (A dan B; B adalah anak dari A)  Jumlah kelinci pada bulan ke-4 : 3 pasang (A, B dan C; C adalah anak dari A)  Jumlah kelinci pada bulan ke-5 : 5 pasang (A, B, C, D dan E; D adalah anak dari A,

sedangkan E adalah anak dari B)

(3)

 ....

Sehingga Fibonacci menggambarkan jumlah kelinci dalam setahun melalui barisan bilangan 1 1 2 3 5 8 13 21 . . .

Atau dinotasikan dengan

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 . . .

Karena mencari banyak pasangan kelinci yang beranak-pinak dalam setahun, maka yang dimaksud adalah mencari F12 pada barisan bilangan tersebut.

DEFINISI

Barisan bilangan Fibonacci adalah barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut :

Sehingga diperoleh Barisan Fibonacci seperti di bawah ini :

Dari barisan bilangan fibonacci di atas, kita dapat mengkuadratkan masing-masing bilangan tersebut, sehingga

Berdasarkan pada pengkuadratan bilangan fibonacci diatas, kita bisa mendapatkan hal baru yaitu :

1=1 x 1 = F1 x F2 1 + 1 = 1 x 2 = F2 x F3 1 + 1 + 4 = 2 x 3 = F3 x F4 1 + 1 + 4 + 9 = 3 x 5 = F4 x F5 1 + 1 + 4 + 9 + 25 = 5 x 8 = F5 x F6 1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 = 8 x 13= F6 x F7 ... ....

(4)

0 1 1 2 3 5 8 13 21

cara mendapatkan suku suku bilangan di tas adalah

Perhatikan:

U1 = 0

U2 = 1

U3 = U1 + U2 = 0 + 1 = 1

U4 = U2 + U3 = 1 + 1 = 2

U5 = U3 + U4 = 1 + 2 = 3

U6 = U4 + U5 = 2 + 3 = 5

U7 = U5 + U6 = 3 + 5 = 8

U8 = U6 + U7 = 5 + 8 = 13

U9 = U7 + U8 = 8 + 13 = 21

Perhatikan pola di atas, suku-suku berikutnya selalu merupakan

penjumlahan dari dua suku sebelumnya.

Jadi untuk mendapatkan suku-suku berikutnya, kita tinggal menjumlahkan

dua suku terakhir dari basisan bilangan di atas.

Rumus matematika untuk mendapatkan suku ke-n dari barisan di a tas:

Dengan menikuti pola di atas, suku ke-n dapat ditulis sebagai

Un = Un-2 + Un-

1, untuk n = 3, 4, 5, …

Barisan bilangan di atas telah secara umum dikenal oleh matematikawan

sebagai

(5)

Fakta-Fakta Bilangan Fibonacci

1. Jumlah Daun pada Bunga (petals)

Mungkin sebagian besar tidak terlalu memperhatikan jumlah daun pada sebuah

bunga. Dan bila diamati, ternyata jumlah daun pada bunga itu menganut deret

Fibonacci. contohnya:



jumlah daun bunga 3 : bunga lili, iris



jumlah daun bunga 5 : buttercup (sejenis bunga mangkok)



jumlah daun bunga 13 : ragwort, corn marigold, cineraria,



jumlah daun bunga 21 : aster, black-eyed susan, chicory



jumlah daun bunga 34 : plantain, pyrethrum



Barisan Bilangan Fibonacci