1
Sudaryatno Sudirham
Kapita Selekta Matematika
Matriks Sistem Persamaan Linier
Bilangan Kompleks Permutasi dan Kombinasi
Aritmatika Interval
Matriks
2
Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan.
Contoh:
1 2 3
4 2 1
3 0 2 baris
kolom
Nama matriks: huruf besar cetak tebal,
=
1 2 3
4 2 1
3 0 2
A
=
2 0 3
1 4 2 B Contoh:
Notasi:
Bilangan ini bisa berupa bilangan nyata atau kompleks.
Kita akan melihat matriks berisi bilangan nyata.
3
Elemen Matriks
Isi suatu matriks disebut elemen matriks Contoh:
=
2 0 3
1 4 2
B 2, 4, 1 dan 3, 0, 2 adalah elemen-emenenmatriks yang membentuk baris
2, 3 dan 4, 0, dan 1, 2 adalah elemen-elemen matriks yang membentuk kolom
Ukuran Matriks
Secara umum suatu matrik terdiri dari bbaris dan kkolom, sehingga suatu matrik akan terdiri dari b×kelemen-elemen
Ukuran matriks dinyatakan sebagaib×k
Contoh:
=
2 0 3
1 4 2
B adalah matriks berukuran 2×3
=
1 2 3
4 2 1
3 0 2
A
b = k = 3 matriks bujur sangkar 3×3 Nama Khusus
Matriks denganb= kdisebut matriks bujur sangkar.
Matriks dengank= 1 disebut matriks kolomatau vektor kolom. Matriks denganb = 1disebut matriks barisatau vektor baris. Matriks denganb ≠k disebutmatrik segi panjang
Contoh:
=
2 0 3
1 4 2
B
b = 2,k = 3 matriks segi panjang 2×3
=
4 2
p k = 1
vektor kolom q=
[
3 2 4]
b = 1 vektor baris Notasi nama vektor: huruf kecil cetak tebal5
Secara umum, matriks Adapat kita tuliskan sebagai
[ ]
bkmn m
m
n n
a
a a a
a a a
a a a
=
=
L L L L L
L L
2 1
2 22 21
1 12 11 A
elemen-elemen a11…amn disebut diagonal utama
Diagonal Utama
6
Matriks Segitiga
Contoh:
Matriks segitiga bawah :
− =
3 4 3
0 1 1
0 0 2
1 T
Matriks segitiga atas :
− =
3 0 0
3 1 0
1 2 2
2 T Ada dua macammatriks segitiga yaitu matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas
diagonal utamanya bernilai nol.
Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
7
Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
Contoh:
=
0 0 0
0 1 0
0 0 2 D
Matriks Satuan
Jika semua elemen pada diagonal utama adalah 1, sedang elemen yang lain adalah 0, matriks itu disebut matriks satuan.
Contoh:
I
A =
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Matriks Nol
Matriks nol, 0,yang berukuran m×nadalah matriks yang berukuran m×ndengan semua elemennya bernilai nol.
9
Anak matriksatausub-matriks
=
2 0 3
1 4 2 B
[
2 4 1]
[
3 0 2]
- Dua anak matriks 1×3, yaitu:
3 2
0 4
2 1
- Tiga anak matriks 2×1, yaitu:
- Enam anak matriks 1×1yaitu: [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2];
- Enam anak matriks 1×2yaitu:
[
2 4]
[ ]
2 1[ ]
4 1[ ]
3 0[ ]
3 2[
0 2]
0 3
4 2
2 3
1 2
2 0
1 4
- Tiga anak matriks 2×2yaitu:
Contoh:
MatriksBmemiliki:
10
Matriks dapat dipandang sebagai tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor
=
1 2 3
4 2 1
3 0 2 A
=
3 2 1
a a a A dapat kita pandang sebagai matriks
dengan anak-anak matriks berupa vektor baris
[
2 0 3]
1=
a a2=
[
1 2 4]
a3=[
3 2 1]
dapat kita pandang sebagai matriks A=
[
a1 a2 a3]
=
3 1 2
1 a
=
2 2 0
2 a
=
1 4 3
3 a
dengan anak-anak matriks yang berupa vektor kolom Contoh:
Contoh yang lain:
=
1 2 3
4 2 1
3 0 2 A
11
Kesamaan Matriks
Dua matriks A danB dikatakansamajika dan hanya jika berukuran sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama.
A = B
=
0 3
4 2 A Jika
=
0 3
4 2 B
maka haruslah .
Contoh:
Matriks Negatif
Negatif dari matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran
m×nyang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (−1). .
Contoh:
=
0 3
4 2
A
−
− − = −
0 3
4 2 A
13
Penjumlahan
Penjumlahan dua matriks hanya didefinisikan untuk matriks yang berukuran sama
Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran
m×n adalah sebuah matriks Cberukuran m×n yang elemen-elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan
B yang posisinya sama
A B B
A+ = +
(
A+B)
+C=A+(
B+C)
=
0 3
4 2 A
=
2 2
3 1 B Jika
= +
2 5
7 3 B A maka
Sifat-sifat penjumlahan matriks: Contoh:
14
Pengurangan Matriks
Pengurangan matriks dapat dipandang sebagai penjumlahan dengan matriks negatif
A 0 A+ =
0 A A A
A− = +(− )=
=
0 3
4 2
A
=
2 2
3 1 B
− =
− −
− − + = −
2 1
1 1 2 2
3 1 0 3
4 2 B A Contoh:
15
Perkalian Matriks
=
mn m m
n n a a a
a a a
a a a
L L L L L
L L
2 1
2 22 21
1 12 11 A
BA AB≠
16
=
pq m p
q q
a a a
a a a
a a a
L L L L L
L L
2 1
2 22 21
1 12 11
B
Jadi jika matriks A berukuran m×ndanB berukuran p×q
maka perkalian ABhanya dapat dilakukan jika n= p. Hasil kali matriks AB berupa matriks berukuran m×qdengan nilai elemen pada baris ke b kolom kekmerupakan hasil kali internal (dot product) vektor
bariske bdari matriks Adan vektor kolomke kdari matriks B Perkalian antara dua matriks Adan B yaitu C=AB hanya terdefinisikan jika
banyak kolom matriks Asama dengan banyak baris matriks B. Dalam perkalian matriks, urutan hatus diperhatikan.
Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar
Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks berukuran m××××n adalah matriks berukuran m××××nyang seluruh elemennya bernilai a kali.
aA = Aa
= × = × 6 4 6 4 6 2 2 4 4 2 3 2 3 2 3 1 1 2 2 3 2 3 2 3 1 1 2 2 2
Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut
(
A B)
aA aBa + = +
(
a+b)
A=aA+bA[ ]
bA( )
abAa =
Contoh:
17
Perkalian Internal Vektor(dot product)
[ ]
2 3 = a = 3 4 b vektor baris: vektor kolom:. Contoh:
2 kolom
2 baris Perkalian internal antara dua vektoradan byaitu c =abhanya terdefinisikan jika banyak kolom vektorasama dengan banyak baris
vektorb.
Dalam perkalian internal vektor, urutan perkalian harus diperhatikan.
[
]
[
2 4 3 3] [ ]
17 34 3
2 = × + × =
= • =a b c
Jika urutan dibalik, b: 1 kolom, a: 1 baris, perkalian juga dapat dilakukan tetapi memberikan hasil yang berbeda
[
]
= × × × × = = • = 9 6 12 8 3 3 2 3 3 4 2 4 3 2 3 4 a b dperkalian internal dapat dilakukan
Perkalian matriks tidak komutatif.
18
Perkalian Matriks Dengan Vektor
= 4 3 1 2 A = 3 2 b
Misalkan dan
dapat dikalikan 2 kolom 2 baris = × + × × + × = • • = = = 18 7 3 4 2 3 3 1 2 2 2 1 2 1 b a b a b a a Ab C
Jika urutan perkalian dibalik, perkalian tidak dapat dilakukan
karena b terdiri dari satu kolom sedangkan Aterdiri dari dua baris. Contoh:
19
Perkalian Dua Matriks Bujur Sangkar
= 4 3 1 2 A = 3 5 2 4 B dan Contoh: dapat dikalikan
kolom = 2
baris = 2
Matriks A kita pandang sebagai = 2 1 a a A
Matriks B kita pandang sebagai B=
[
b1 b2]
Perkalian dua matriks persegi panjang
=
2 3 1
3 4 2 A
=
3 2
3 4
2 1 B dan
dapat dikalikan
kolom = 3
baris = 3
=
× + × + × × + × + ×
× + × + × × + × + × =
= =
17 17
25 25
3 2 3 3 2 1 2 2 4 3 1 1
3 3 3 4 2 2 2 3 4 4 1 2
3 2
3 4
2 1
2 3 1
3 4 2 AB C Contoh:
21
=
2 1 a a
A B=
[
b1 b2]
[
]
• •
• • =
= =
2 2 1 2
2 1 1 1 2 1 2 1
b a b a
b a b a b b a a AB C
Pernyataan matriks dengan anak matriks pada contoh di atas adalah
, sehingga
. Dalam operasi perkalian matriks:
matriks yang pertama kita susun dari anak matriks yang berupa vektor baris
matriks yang kedua kita susun dari anak matriks yang berupa vektor kolom
Jadi perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom
22
( )
aAB=a( )
AB =A( )
aB( ) ( )
BC ABCA =
(
A+B)
C=AC+BC(
A B)
CA CBC + = +
Sifat-sifat perkalian matriks
b. Tidak komutatif. Jika perkalian ABmaupun BAterdefinisikan, maka pada umumnya AB ≠BA
a. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan
Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0. c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku.
23
Putaran matriks atau transposisi dari matriks Aberukuran m×n
adalah suatu matriks ATyang berukuran n×mdengan
kolom-kolom matriks Asebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa baris-baris matriks Amenjadi kolom-kolom matriks AT
[ ]
bkmn m
m
n n
a
a a a
a a a
a a a
=
=
L L L L L
L L
2 1
2 22 21
1 12 11 A
[ ]
pq mn n nm m
a
a a a
a a a
a a a
=
=
L L L L L
L L
2 1
2 22 12
1 21 11 T A Jika
maka
Putaran Vektor Baris Dan Vektor Kolom
Putaran vektor baris akan menjadi vektor kolom.
Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris.
[
]
= ⇒ =
3 4 2 3
4
2 aT
a
[
5 4 3]
34 5
T= ⇒
= b
b Contoh:
25
Putaran Jumlah Dua Vektor Baris
Putaran jumlah dua vektor baris sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor
[
2 4 3]
dan =[
1 3 2]
= b
a
[
3 7 5]
= +b a(
)
T T T2 3 1
3 4 2
5 7 3
b a b
a = +
+
=
= +
(
)
T T Tb a b
a+ = +
Jika
maka
Secara umum : Contoh:
26
Putaran Hasil Kali Vektor Baris Dan Vektor Kolom
Putaran hasil kali vektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan hasil kali putaran
masing-masing dengan urutan dibalik
[
]
= =
2 3 1 dan 3 4
2 b
a
[
2×1+4×3+3×2]
=ab Jika
maka Contoh:
[
] [
]
TTT
3 4 2 2 3 1 2 3 3 4 1
2 b a
ab =
= × + × + × =
27
Contoh:
Jika dan
[
1 3 2]
34 2
=
= b
a
maka
× × ×
× × ×
× × × =
2 3 3 3 1 3
2 4 3 4 1 4
2 2 3 2 1 2 ab
( )
T[
]
TT3 4 2 2 3 1
2 3 2 4 2 2
3 3 3 4 3 2
1 3 1 4 1 2
a b
ab =
=
× × ×
× × ×
× × × =
Secara umum :
( )
abT=bTaTContoh:
Putaran Matriks Persegi Panjang
= 2 3 1 3 4 2 A = 2 3 3 4 1 2 T A
Jika maka
= m a a A L 1
[
T T]
1 T
m
a a
A = L
Jika matriks Adinyatakan sebagai susunan dari
vektor baris maka
[
a a am]
A= 1 2 L
Jika matriks A dinyatakan dengan
vektor kolom
= m a a A L 1 T maka 29
Putaran Jumlah Matriks
Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah putaran masing-masing matriks.
Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris.
(
)
T T TB A B
A+ = +
[
a am]
A= 1 L B=
[
b1 L bm]
[
a b am bm]
B
A+ = 1+ 1 L +
Jika Dengan demikian dan maka
(
)
(
)
(
)
T T T T 1 T T 1 T T T 1 T 1 T T 1 1T A B
b b a a b a b a b a b a B
A = +
+ = + + = + + = + m m m m m m L L L L 30
Putaran Hasil Kali Matriks
Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini telah kita lihat
pada putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom.
( )
ABT=BTAT = m a a A L 1
[
b bn]
B= 1 L
• • • • = n m n m n b a b a b a b a AB L L L L L 1 1 1
Jika dan
maka
[
]
T T1 1 1
1 1
T a a B A
b b b a b a b a b a AB = = • • • • = m n n m n m n L L L L L L L Dengan demikian maka
31
Matriks Simetris
Jika
dikatakan bahwa matriks Badalah simetris miring.
B BT=−
Matriks simetris adalah matriks yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila
A AT=
Karena dalam setiap putaran matriks nilai elemen-elemen diagonal utama tidak berubah,
maka matriks simetris miring dapat terjadi jika elemen diagonal utamanya bernilai nol. Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal kesimetrisan pada
matriks nyata.
Sistem Persamaan Linier
33
Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui.
Bentuk umum:
m n mn m
n n
n n
b x a x a
b x a x a
b x a x a
= + +
= + +
= + +
L L L
1 1
2 2 1 21
1 1 1 11
. . . . . . . . . . .
Sistem ini mengandung m persamaan dengan nunsur yang tak
diketahui yaitu x1….xn.
Bilangan a11…..amndisebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.
Bilangan-bilangan b1….bmjuga merupakan bilangan-bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol
Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen
34
Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1…xnyang memenuhi sistem persamaan tersebut.
Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x1= 0, …., xn= 0.
Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah:
a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?
b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi?
c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakah himpunan solusi tersebut?
d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi?
35
Operasi Baris
m n mn m
n n
n n
b x a x a
b x a x a
b x a x a
= + +
= + +
= + +
L L L
1 1
2 2 1 21
1 1 1 11
. . . . . . . . . . .
Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut operasi barissebagai berikut:
a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan sistem persamaan tersebut.
c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan.
b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut.
Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah
= m n mn m m n n b b b x x x a a a a a a a a a L L L L L L L L L 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11
Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks
atau secara singkat
Ax
=
b
= = = m n mn m m n n b b b x x x a a a a a a a a a L L L L L L L L L 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 ; ; x b A dengan 37
Dari cara penulisan tersebut di atas, kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi
= m mn m m n n b a a a b a a a b a a a | | | | ~ 2 1 2 2 22 21 1 1 12 11 L L L L L L L L A
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara lengkap. Operasi-operasi barispada sistem persamaan linier kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut
a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama.
b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain.
c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.
38
Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru.
Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir
inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama. Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris dengan matriks
gandengan yang lama.
Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan
asalnya.
Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya.
39
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.
Suatu sistem persamaan linier: Contoh: 0 2 3 4 8 2 5 3 0 2 4 8 = + − + − = − + − = − + − = − D C B A D C B A C B A B A x x x x x x x x x x x x x
Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:
Matriks gandengnya adalah: − − − − − − − 0 | 2 3 4 1 8 | 2 5 3 1 0 | 0 2 4 1 8 | 0 0 1 1
Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks
gandengan adalah mempertahankan baris ke-1(disebut mengambil
baris ke-1 sebagai pivot) dan membuat suku pertamabaris-baris berikutnya menjadi bernilainol.
1) baris ( 1) baris ( baris1) ( pivot 8 | 2 3 3 0 0 | 2 5 2 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1 + − + − − − − −
Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah
41
Langkah-2: Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks gandeng yang baru saja kita peroleh sebagai pivot, dan membuat suku kedua baris-baris berikutnya menjadi nol. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil operasi ini adalah 8 | 2 3 3 0 0 | 2 5 2 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1 − − − − − 2) (-baris 2) baris 2/3 ( (pivot) 0 | 2 1 0 0 3 / 16 | 2 3 / 4 5 0 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1 + − − − − − 42
Kalikan baris ke 3 dengan 3 agar diperoleh bilangan bulat 0 | 2 1 0 0 3 / 16 | 2 3 / 4 5 0 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1 − − − − − 0 | 2 1 0 0 16 | 6 11 0 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1 − − − − 43 0 | 2 1 0 0 16 | 6 11 0 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1 − − − −
Langkah-3: Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot dan membuat suku ke-3 dari baris ke-4 menjadi nol. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:
Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks: 16 16 16 6 11 8 2 3 8 = = − = − = − D D C C B B A x x x x x x x
yang dengan substitusi mundur akan memberikan:
12 ; 4 ; 2 ;
1 = = =
= C B A
D x x x
x Hasil terakhir langkah ketiga adalah: 16 | 16 0 0 0 16 | 6 11 0 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1 − − −
Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier:
= − − − 16 16 8 8 16 0 0 0 6 11 0 0 0 2 3 0 0 0 1 1 D C B A x x x x 45
Sistem-sistem Tertentu Dan Tidak Tertentu
Sistem tertentu adalah sistem yang memberikan tepat satu solusi.
Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyak
dengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan.
Jika persamaan lebih banyak dari unsur yang tak diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan.
Jika unsur yang tak diketahui lebih banyakdari persamaannya, maka
sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi.
Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi.
46
Contoh Sistem Persamaan Yang Memberikan Banyak Solusi
8 2 3 0 2 4 8 − = + − = − + − = − C B C B A B A x x x x x x x Matriks gandeng: − − − − − 8 | 2 3 0 0 | 2 4 1 8 | 0 1 1 Eliminasi Gauss: − − − − 8 | 2 3 0 8 | 2 3 0 8 | 0 1 1 − − 0 | 0 0 0 8 | 2 3 0 8 | 0 1 1 Contoh: 47
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :
0 0 8 2 3 8 = = − = − C B B A x x x x 3 / ) 2 8 ( C B x
x = +
Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan
3 / ) 2 8 ( 8 C A x
x = + +
yang kemudian memberikan
Karena xCtetap sembarang maka kita mendapatkan banyak
solusi. Kita hanya akan memperoleh nilai xAdan xBjika kita menentukan nilai xClebih dulu
Contoh Sistem Yang Tidak Memberikan Solusi 10 2 3 0 2 4 8 − = + − = − + − = − C B C B A B A x x x x x x x
Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan
− − − − − 10 | 2 3 0 0 | 2 4 1 8 | 0 1 1 − − − − 10 | 2 3 0 8 | 2 3 0 8 | 0 1 1 − − − 2 | 0 0 0 8 | 2 3 0 8 | 0 1 1 Contoh: 49
Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah
2 0 8 2 3 8 − = = − = − C B B A x x x x
Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris
terakhir.
Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau
tidak memberikan solusi.
50
Bentuk Eselon
Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, disebut bentuk eselon. − − 0 0 0 2 3 0 0 1 1 − − − 2 | 0 0 0 8 | 2 3 0 8 | 0 1 1 dan
Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah ′ ′ ′ + m r r rn rr n n b b b k k b c c b a a a | 0 | | 0 | | | 0 | 1 2 2 22 1 1 12 11 M L M L L L L L L
Dari contoh di atas, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya adalah
51
dan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan berbentuk m r r n rn r rr n n n n b b b x k x k b x a x c b x a x a x a ′ = ′ = ′ = + + ′ = + + = + + + + 0 0 1 2 2 2 22 1 1 2 12 1 11 M L M L L L L L L L L
dengan a11≠0, a22≠0, krr≠0 , dan r ≤n
a). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka
sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi.
b). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka
sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi.
c). Jika ataupun dan tidak sama dengan nol
atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi.
n
r= br′+1,K,bm′
n
r< br′+1,K,bm′
n
r= r<n br′+1,K,bm′
Perhatikan bentuk ini:
Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika
sama dengan nol atau tidak ada.
m
r b
b′+1,K,′
Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika r=n.
Nilai ryang dimiliki oleh matriks gandengan ditentukan oleh
banyaknya vektor baris yang bebas linierdalam matriks gandeng.
Pengertian tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut ini.
n r<
Jika persamaan akan memberikan banyak solusi.
53
Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-vektor
Misalkan a1 ,a2 ,L am
adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A=[abk].
Kita tinjau suatu persamaan vektor
0 2
2 1
1 +c + +cm m=
ca a L a
Apabila persamaan vektor ini terpenuhi hanya jikasemua koefisien (c1…cm) bernilai nol, maka vektor-vektor baris tersebut adalah
bebas linier.
Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien yang tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada
satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu tidak bebas linier.
54
Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier, maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena
dalam persamaan tersebut di atas semua koefisien bernilai nol untuk dapat dipenuhi.
Vektor a1misalnya, dapat dinyatakan sebagai
0 1 2 1 2
1=− − − m m=
c c c
c
a a
a L
karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol Jika vektor-vektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan tersebut di atas (atau setidak-tidaknya sebagian tidak bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi
linier dari vektor yang lain.
55
Contoh: Dua vektor baris a1=
[
2 3 1 2]
dan a2=[
4 2 6 2]
Vektor a1dan a2adalah bebas linier karena
[
2 3 1 2] [
24 2 6 2]
0 12 2 1
1 +c =c +c =
ca a
hanya akan terjadi jika c1=c2=0
Ambil vektor ketiga a3=
[
4 6 2 4]
Vektor a3dan a1tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3
sebagai
[
2 3 1 2] [
4 6 2 4]
221
3= a = =
a
Vektor a1, a2dan a3juga tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan
a3sebagai
[
2 3 1 2] [
04 2 6 2] [
4 6 2 4]
20
21 2
3= a + a = + =
a
Akan tetapi jika kita hanya melihat a3dan a2saja, mereka adalah
bebas linier.
Rank Matriks
Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank matriks.
Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A= [abk] disebut rankmatriks A disingkat rankA.
Jika matrikB= 0 makarankBadalah nol.
Operasi baris pada suatu matriks menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks
baru sama dengan rank matriks asalnya.
Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah rankmatriks. Jadi ranksuatu matriks dapat diperoleh melalui operasi baris, yaitu
sama dengan rankmatriks yang dihasilkan pada langkah terakhir
eliminasi Gauss.
Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir eliminasi Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas
linier karena vektor yang tak bebas linier telah tereliminasi.
Bagaimana menentukan rank suatu matriks?
57
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem
persamaan yang memberikan solusi tunggaldalam contoh, adalah
− − −
16 0 0 0
6 11 0 0
0 2 3 0
0 0 1 1
− − −
16 | 16 0 0 0
16 | 6 11 0 0
8 | 0 2 3 0
8 | 0 0 1 1
dan
Dalam kasus ini rankmatriks koefisien sama dengan rankmatriks gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rankmatriks sama dengan
banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4 Contoh:
58
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem
persamaan yang memberikan banyak solusi, adalah
Contoh:
− −
0 0 0
2 3 0
0 1 1
− −
0 | 0 0 0
8 | 2 3 0
8 | 0 1 1
dan
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank
matriks gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rankmatriks ini lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui.
59
Contoh:
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari
sistem persamaan yang tidak memberikan solusi, adalah
− −
0 0 0
2 3 0
0 1 1
− − −
2 | 0 0 0
8 | 2 3 0
8 | 0 1 1
dan
Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan
rankmatriks gandengan. Rank matriks koefisien adalah 2 sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak samaan rankdari kedua matriks ini menunjukkan tidak
adanya solusi.
Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum.
c). jika rankmatriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi.
a). agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rank
matriks koefisien harus sama dengan rankmatriks gandengannya;
b). agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank
matriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui;
61
Sistem Persamaan Homogen
Sistem persamaan disebut homogen apabila nilai bdi ruas kanan dari persamaan sistem bernilai nol. Jika tidak demikian maka sistem itu disebut tak homogen. Sistem persamaan homogen berbentuk
0 . . . . . . . . . . . 0 0 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 = + + + = + + + = + + + n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a L L L
Bentuk matriks gandengan sistem ini adalah
= 0 | | 0 | 0 | ~ 2 1 2 22 21 1 12 11 mn m m n n a a a a a a a a a L L L L L L L L A 62
Eliminasi Gauss pada sistem demikian ini akan menghasilkan
′ ′ ′ ′ ′ ′ = ′ 0 | 0 0 0 | 0 | 0 0 |
~ 22 2
1 12 11 mn n n a a a a a a L L L L L L L A
Jika rankmatriks gandengan terakhir ini sama dengan banyaknya
unsur yang tak diketahui, r= n, sistem persamaan akhirnya akan berbentuk 0 0 0 2 2 22 1 2 12 1 11 = ′ = ′ + + ′ = ′ + + ′ + ′ n mn n n n n x a x a x a x a x a x a M L L
Dari sini terlihat bahwa dan substitusi mundur akhirnya
memberikan semua xbernilai nol. Ini merupakan solusi trivial dan solusi trivial ini diakibatkan oleh kenyataan bahwa r= n. Solusi tak
trivial hanya akan diperoleh jika .
0 = n x n r< 63
Sistem Persamaan Homogen Yang Hanya Memberikan Solusi Trivial
0 2 3 4 0 2 5 3 0 2 4 0 = + − + − = − + − = − + − = − D C B A D C B A C B A B A x x x x x x x x x x x x x
Matriks gandengan sistem ini dan hasil eliminasi Gauss-nya adalah
− − − − − − − 0 | 2 3 4 1 0 | 2 5 3 1 0 | 0 2 4 1 0 | 0 0 1 1 − − − 0 | 16 0 0 0 0 | 6 11 0 0 0 | 0 2 3 0 0 | 0 0 1 1
Rank matrik koefisien adalah 4; banyaknya unsur yang tak diketahui juga 4. Sistem persamaan liniernya menjadi
0 16 0 6 11 0 2 3 0 = = − = − = − D D C C B B A x x x x x x x 0 = = =
= C B A
D x x x
x yang akhirnya memberikan
Inilah solusi trivial yang dihasilkan jika terjadi keadaan r=n Contoh:
Sistem Persamaan Yang Memberikan Solusi Tak Trivial 0 6 13 4 0 2 5 3 0 2 4 0 = + − + − = − + − = − + − = − D C B A D C B A C B A B A x x x x x x x x x x x x x
Matriks gandengan dan hasil eliminasinya adalah Contoh: − − − − − − − 0 | 6 13 4 1 0 | 2 5 3 1 0 | 0 2 4 1 0 | 0 0 1 1 − − − 0 | 0 0 0 0 0 | 6 11 0 0 0 | 0 2 3 0 0 | 0 0 1 1 eliminasi Gauss:
Sistem persamaan menjadi
0 0 0 6 11 0 2 3 0 = = − = − = − D C C B B A x x x x x x 65 1 = D x 33 12 ; 33 12 ; 11
6 = =
= B A
C x x
x
Jika kita mengambil nilai maka akan diperoleh
.
Solusi ini membentuk vektor solusi
= 1 11 / 6 33 / 12 33 12 1 / x
yang jika matriks koefisiennya digandaawalkan akan
menghasilkan vektor nol b= 0
= − − − = 0 0 0 0 1 6/11 12/33 12/33 0 0 0 0 6 11 0 0 0 2 3 0 0 0 1 1 1 Ax 66
Jika kita menetapkan nilai xDyang lain, misalnya akan
diperoleh vektor solusi yang lain, yaitu
33 = D x 1 2 33 33 18 12 12 x x = =
Penggandaawalan matriks koefisiennya juga akan menghasilkan vektor nol
Vektor solusi x2ini merupakan perkalian solusi sebelumnya dengan
bilangan skalar (dalam hal ini 33), yang sesungguhnya bisa bernilai sembarang. Secara umum vektor solusi berbentuk
1 x xc=c
dengan cadalah skalar sembarang
67
Vektor solusi yang lain lagi dapat kita peroleh dengan menjumlahkan vektor-vektor solusi, misalnya x1dan x2.
1 1 1 2
1
3 33 34
33 18 12 12 1 11 / 6 33 / 12 33 / 12 x x x x x
x = + =
+ = + =
Jelas bahwa x3juga merupakan solusi karena jika
digandaawalkan akan memberikan hasil vektor nol. Jadi secara umum vektor solusi dapat juga diperoleh dengan menjumlahkan vektor solusi yang kita nyatakan sebagai
∑
= c
j x
x
Jika kita perhatikan lebih lanjut ruang vektor yang terbentuk oleh vektor solusi akan berdimensi (n−r), yaitu selisih antara
banyaknya unsur yang tak diketahui dengan rankmatriks
koefisien. Dalam kasus yang sedang kita tinjau ini, banyaknya unsur yang tak diketahui adalah 3 sedangkan rankmatriks
koefisien adalah 2.
Contoh di atas memperlihatkan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk vektor-vektor yang seluruhnya dapat diperoleh melalui perkalian salah satu vektor solusi dengan skalar serta penjumlahan vektor-vektor solusi. Kita katakan bahwa solusi
dari sistem persamaan homogen membentuk suatu ruang vektor.
Dalam sistem persamaan homogen yang sedang kita tinjau ini, ruang vektor yang terbentuk adalah ber-dimensi satu. Perhatikan bahwa setiap vektor solusi merupakan hasilkali skalar
dengan vektor x1.
69
Sistem Persamaan Dengan Vektor Solusi Berdimensi 2
0 4 10 7 0 2 5 4 0 2 5 4 0 = + − + − = − + − = + − + − = − D C B A D C B A D C B A B A x x x x x x x x x x x x x x Contoh:
Matriks gandengan dan hasil eliminasi Gauss adalah
− − − − − − − 0 | 4 10 7 1 0 | 2 5 4 1 0 | 2 5 4 1 0 | 0 0 1 1 − − 0 | 0 0 0 0 0 | 0 0 0 0 0 | 2 5 3 0 0 | 0 0 1 1
Rank matriks ini adalah 2 sedangkan banyaknya unsur tak diketahui 4. Sistem persamaan menjadi
0 0 0 0 0 2 5 3 0 = = = + − = − D C B B A x x x x x 70 0 dan 1 = = D C x x 5/3 ; 3 / 5 = = A B x x Jika kita memberi nilai
kita akan mendapatkan
. = 0 1 3 / 5 3 / 5 1
x adalah salah satu vektor solusi
Ganda-awal matriks koefisien dengan vektor ini akan memberikan vektor b=0
= + − + − = − − = 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 3 / 5 3 / 5 0 1 3 / 5 3 / 5 0 0 0 0 0 0 0 0 2 5 3 0 0 0 1 1 1 Ax 71
Jika Ax1= 0, maka perkalian dengan skalar kakan memberikan
0 x
Ak11= Ak2x1=0
,
dan Ak1x1+Ak2x1=A(k1+k2)x1=Ac1x1=0
Dengan kata lain, jika x1adalah vektor solusi, maka
) ( , ,
2 1 11 21 1
1x kx kx kx
k +
adalah juga vektor solusi dan sebagaimana kita tahu vektor-vektor ini kita peroleh dengan memberi nilaixC=1 dan xD=0.
1 dan
0 =
= D
C x
x xB=−2/3
3 / 2 − = A
x
Jika akan kita peroleh
dan yang membentuk vektor solusi
− −
=
1 0 3 / 2
3 / 2
2
x
Dengan skalar lsembarang kita akan memperoleh vektor-vektor
solusi yang lain seperti
) ( , ,
2 2 1 2 2 2 2
1x lx lx lx
l +
Secara keseluruhan maka vektor-vektor solusi kita adalah
2 1 x x x=k +l
Inilah vektor-vektor solusi yang membentuk ruang vektor berdimensi 2.
73
Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang menyatakan bahwa solusi sistem persamaan linier homogen
dengan nunsur tak diketahui dan rankmatriks koefisien r
akan membentuk ruang vektor berdimensi (n−r).
74
Kebalikan Matriks Dan Metoda Eliminasi Gauss-Jordan
Pengertin tentang kebalikan matriks (inversi matriks) erat kaitannya dengan pemecahan sistem persamaan linier. Namun demikian pengertian ini khusus ditujukan untuk matriks bujur sangkar n×n.
Kebalikan matriks A (inversi matriks A) didefinisikan sebagai
matriks yang jika digandaawalkan ke matriks Aakan menghasilkan
matriks identitas. Kebalikan matriks Adituliskan sebagai A−1
sehingga definisi ini memberikan relasi
1
1 −
−A=I=AA A
Jika Aberukuran n ×nmaka A−1juga berukuran n ×n dan
demikian pula matriks identitasnya.
75
Jika Aadalah matriks tak singular maka hanya ada
satukebalikan A; dengan kata lain kebalikan matriks adalah unik atau bersifat tunggal.
Hal ini mudah dimengerti sebab jika Amempunyai
dua kebalikan, misalnya Pdan Q, maka AP =I =PA
dan juga AQ =I =QA, dan hal ini hanya mungkin
terjadi jika P= Q.
Q QI AP Q QAP P AQ IP
P= =( ) = = ( )= =
Tidak semua matriks bujur sangkar memiliki kebalikan; jika
Amemiliki kebalikan maka Adisebut matriks tak singular
dan jika tak memiliki kebalikan disebut matriks singular.
Persamaan ini menunjukkan bahwa kita dapat memperoleh vektor solusi xdari sistem persamaan linier jika kebalikan matriks koefisien
Aada, atau jika matriks Atak singular.
Jadi persoalan kita sekarang adalah bagaimana mengetahui apakah
matriks Asingular atau tak singular dan bagaimana mencari
kebalikan matriks A jika ia tak singular. Berbekal pengertian kebalikan matriks, kita akan meninjau
persamaan matriks dari suatu sistem persamaan linier tak homogen, yaitu
b Ax=
Jika kita menggandaawalkan kebalikan matriks Ake ruas kiri dan
kanan persamaan ini, akan kita peroleh
b A x Ix b A Ax
A−1 = −1 → = = −1
77
Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa jika matriks koefisien Aadalah matriks bujur sangkar n×n, maka solusi tunggal
akan kita peroleh jika rankAsama dengan n. Hal ini berarti bahwa vektor xpada persamaan di atas dapat kita peroleh jika rank A−1sama
dengan n. Dengan perkataan lain
matriks Ayang berukuran n ×ntak singular jika
rankA=n
dan akan singular jika rankA <n.
Mencari kebalikan matriks Adapat kita lakukan dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Metoda ini didasari oleh persamaan Ax = b.
I AX=
Jika X adalah kebalikan matriks A maka
78
[
A I]
A~=
[
U H]
[
U H]
[
I X]
Untuk mencari X kita bentuk matriks gandengan
A~
Jika kita lakukan eliminasi Gauss pada
matriks gandengan ini berubah menjadi
dengan Uberbentuk matriks segitiga atas.
yaitu dengan mengeliminasi unsur-unsur segitiga atas pada U sehingga Uberbentuk matriks identitas I. Eliminasi Gauss-Jordan selanjutnya beroperasi pada
Langkah akhir ini akan menghasilkan
79
Contoh: Kita akan mencari kebalikan dari matriks
− − =
1 4 2
2 2 3
2 2 1
A
Kita bentuk matriks gandengan
[
A I]
[
]
− − =
1 0 0 | 1 4 2
0 1 0 | 2 2 3
0 0 1 | 2 2 1
I A
Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks gandengan ini
1 baris 2
1 baris 3
pivot 1 0 2 | 5 8 0
0 1 3 | 4 8 0
0 0 1 | 2 2 1
× +
× −
− − −
2 baris pivot 1 1 1 | 1 0 0 0 1 3 | 4 8 0 0 0 1 | 2 2 1 + − − − −
Kemudian kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan
) 8 / 1 ( 1 1 1 | 1 0 0 0 8 / 1 8 / 3 | 2 / 1 1 0 0 0 1 | 2 2 1 − × − − baris3 5 . 0 3 baris 2 1 1 1 | 1 0 0 2 / 1 8 / 5 8 / 7 | 0 1 0 2 2 3 | 0 2 1 × − × − − − − − − 2 baris 2 1 1 1 | 1 0 0 2 / 1 8 / 5 8 / 7 | 0 1 0 1 8 / 6 8 / 10 | 0 0
1 − ×
− − − − − 81
Hasil terakhir ini memberikan kebalikan matriks A, yaitu
− − − − − = − 1 1 1 2 / 1 8 / 5 8 / 7 1 8 / 6 8 / 10 1 A
Dengan demikian untuk suatu sistem persamaan linier tak homogen yang persamaan matriksnya
= − − 0 0 8 1 4 2 2 2 3 2 2 1 3 2 1 x x x
vektor solusinya adalah
− = − − − − − = − − = − 8 7 10 0 0 8 1 1 1 2 / 1 8 / 5 8 / 7 1 8 / 6 8 / 10 0 0 8 1 4 2 2 2 3 2 2 1 1 3 2 1 x x x 82
Kebalikan Matriks Diagonal
Kebalikan matriks diagonal dapat dengan mudah kita peroleh.
= − nn nn a a a a / 1 0 0 0 0 0 0 / 1 0 0 0 0 0
0 1 11
11
L L
Kebalikan Dari Kebalikan Matriks
Kebalikan dari kebalikan matriks adalah matriks itu sendiri.
( )
A−1−1=A83
Kebalikan Dari Perkalian Matriks
Kebalikan dari perkalian dua matriks adalah perkalian dari kebalikan masing-masing matriks dengan urutan dibalik.
( )
AB−1=B−1A−1Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut
( )( )
−1 =AB AB I( )( )
( )
( )
( )
( )
Bilangan Kompleks
85
Definisi
Dalam buku Erwin Kreyszig kita baca definisi bilangan bilangan kompleks sebagai berikut
Bilangan komplekszialah suatu pasangan terurut (x,y) dari bilangan nyatax, y, yang kita tuliskan
)
,
(
x
y
z
=
y z x z= Im = Re
Kita akan mencoba memahami definisi ini secara grafis, mulai dari pengertian tentang bilangan nyata. kita tuliskan
bagian nyata (real part) dariz
bagian khayal (imaginary part) dariz
86
Bilangan Nyata
Kita mengenal bilangan nyata bulat seperti 1, 2, 3 dan seterusnya; bilangan nyata pecahan ¼, ½, ¾ dan seterusnya, serta bilangan nyata
yang hanya dapat di angankan sepertiπ. Walaupun hanya dapat
diangankan, bilangan ini tetap nyata, nilainya adalah 3,14……., dengan angka desimal yang tak diketahui ujungnya.
Secara grafis, bilangan nyata dapat digambarkan posisinya di suatu
sumbu yang disebutsumbu nyata,
| | | | | | | |
-2 -1 0 1 2 3 4 5 m
87
Tinjaulah suatu fungsi y= x
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
x tidak ada nilai y yang nyata untuk xnegatif
namun untukx yang negatif dapat didefinisikan suatu
bilangan imajiner(khayal)
j = −1
89
Jika bilangan nyata 1 menjadi satuan dari bilangan nyata, misalnya
seterusnya dan
1 10 10
1 5 5
× =
× =
maka bilangan imajinerj = √−1 menjadi satuan dari bilangan imajiner, misalnya
seterusnya dan
9 9 imajiner
3 3 imajiner
2 2 imajiner
j j j
= = =
Pernyataan Bilangan Kompleks
Satu bilangan komplekszmerupakan jumlah dari komponen nyata
dan komponen imajiner dan dituliskan
jb a z= +
bagian nyata
bagian imajiner bilangan kompleks
90
Bilangan kompleks dapat digambarkan di
bidang kompleks
yang dibatasi oleh
sumbu nyata(diberi tanda Re) dan
sumbu imajiner(diberi tanda Im) yang saling tegaklurus satu sama lain
setiap titik di bidang kompleks menunjukkan posisibilangan-kompleks
(x,,y)
denganxadalahkomponen nyatadanyadalahkomponen imajiner-nya
91 92
ρ
a Re
Im
jb
θ
cosθ ρ = a
θ ρ = sin
b
) sin (cosθ+ θ ρ
= j
z
disebut argumen disebut modulus
= θ
= −
a b
z tan1
arg
2 2 modulusz=ρ= a +b
) sin (cos 2
2+ θ+ θ
= a b j
z
•
z=a+jbCONTOH
Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai
4 3 1 j
z = +
Sudut dengan sumbu nyata adalah
o 1
1=tan (4/3)≈53,1
θ −
Pernyataanz1dapat kita tuliskan
(
)
(
o o)
o o
2 2 1
1 , 53 sin 1 , 53 cos 5
1 , 53 sin 1 , 53 cos 4 3
j j z
+ =
+ +
=
93
CONTOH
Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai
(
o o)
2 10cos20 jsin20
z = +
Pernyataan ini dapat kita tuliskan
(
)
4 , 3 4 , 9 ) 34 , 0 94 , 0 ( 10
20 sin 20 cos
10 o o
2
j j
j z
+ = + ≈
+ =
94
Kesamaan Bilangan Kompleks
2 2 b
a + =
ρ merupakan nilai mutlak
Modulus
Dua atau lebih bilangan kompleks bisa saja memiliki nilaiρyang
sama akan tetapi dengan sudutθyang berbeda; atau sebaliknya
mempunyai nilaiθsama akan tetapi memilikiρyang berbeda.
Dua bilangan kompleks dikatakan sama besar jika mereka
mempunyai baikρmaupunθyang sama besar.
Dengan kata lain, mereka memiliki bagian nyata dan bagian imajiner yang sama besar..
95
Negatif dari Bilangan Kompleks
Nilai negatif dari suatu bilangan kompleks adalah nilai negative dari kedua komponennya
jb a
z= + −z=−a−jb
Jika maka
jb a z= +
•
Re
Im
a jb
jb a z=− −
−
θ
o 180 + θ
ρ ρ
•
CONTOH
o 1
1=tan (6/4)=56,3
θ −
o o o
2=56,3 +180 =236,3 θ
Sudut dengan sumbu nyata
z1dapat dinyatakan sebagai
(
)
(
o o)
o o
2 2 1
3 , 56 sin 3 , 56 cos 2 , 7
3 , 56 sin 3 , 56 cos 6 4
j j z
+ =
+ +
=
(
)
(
0,55 0,83)
3,96 6 2, 7
) 180 3 , 56 sin( ) 180 3 , 56 cos( 2 ,
7 o o o o
1
j j
j z
− − = − − =
+ +
+ =
− 6 4
1 j
z = +
Jika maka z2=−z1=−4−j6
97
Konjugat Bilangan Kompleks
Konjugat dari suatu bilangan komplekszadalah bilangan kompleksz*
yang memiliki komponen nyata sama denganztetapi komponen
imajinernya adalah negatif dari komponen imajinerz.
jb a z jb
a
z= + maka ∗= − Jika
jb a z= + •
Re
Im ρ
θ θ − jb
jb −
a
jb a z = − • ∗
98
CONTOH:
6 5 j z= +
Jika makaz∗=5−j6
Sudut dengan sumbu nyata
o 1(6/5) 50,2
tan =
=
θ −
o 2 , 50 − = θ∗
zdapat dinyatakan sebagai
(
)
(
o o)
o o 2 2
2 , 50 sin 2 , 50 cos 8 , 7
2 , 50 sin 2 , 50 cos 6 5
j j z
+ =
+ +
=
(
cos50,2o sin50,2o)
8 ,
7 j
z∗= −
6 5 * z = −j •
Re
Im
6 5 z= +j •
99
CONTOH:
6 5 j z=− −
Jika makaz∗=−5+j6
• − − = 5 j6
z
Re
Im • + − =
∗ 5 j6
z
6 5 j z= −
Jika maka
z
∗=
5
+
j
6
6 5 z= −j •
Re
Im
6 5 z = +j • ∗
Operasi-Operasi Aljabar
101
Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks
Hasil penjumlahan dua bilangan kompleks merupakan bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan jumlah komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan jumlah komponen imajiner.
Hasil selisih dua bilangan kompleks adalah bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan selisih komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan selisih komponen imajiner.
)
(
)
(
)
(
)
(
2 1 2 1
2 2 1 1 2 1
b
b
j
a
a
jb
a
jb
a
z
z
+
+
+
=
+
+
+
=
+
) ( ) (
) ( ) (
2 1 2 1
2 2 1 1 2 1
b b j a a
jb a jb a z z
− + − =
+ − + = −
102
CONTOH:
4 3 dan 3
2 2
1 j s j
s = + = +
7 5
) 4 3 ( ) 3 2 (
2 1
j j j s s
+ =
+ + + = +
1 1
) 4 3 ( ) 3 2 (
2 1
j j j s s
− − =
+ − + = −
Diketahui
103
Perkalian Bilangan Kompleks
2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 1 1 2 1
2
) )( ( ) )( (
b b a jb a a
b b a jb a jb a a
jb a jb a z z
− + =
− + + =
+ + =
Perkalian dua bilangan kompleks dilaksanakan seperti halnya kita melakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukan perkalian komponen per komponen
2 2
2 2
1 1
) )( (
b a
b jba jba a
jb a jb a z z
+ =
+ + − =
− + = × ∗ ∗ = 1 2 z z
Jika
Perhatikan:
(
2 2)
2 2 2 22 1 1 1
a b a b
jb a z z z
+ = + =
+ = = × ∗
CONTOH: z1=2+j3 dan z2=3+j4
17 6
12 9 8 6
) 4 3 )( 3 2 ( ) )( (1 2
j j j
j j z z
+ − =
− + + =
+ + =
CONTOH: z1=2+j3 dan z2=z1∗=2−j3
13 9 4
9 6 6 4
) 3 2 )( 3 2 ( ) )( (1 1
= + =
+ + − =
− + =
∗
j j
j j z z
(
22 32)
2 4 9 132 1 1
1z∗=z = + = + = z
105
Pembagian Bilangan Kompleks
Hasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jika pembagian itu dikalikan dengan 1
1 2 2
2 2 =
− − jb a
jb a
CONTOH: z1=2+j3 dan z2=3+j4
25 1 25 18 4
3 ) 9 8 ( ) 12 6 ( 4 3
4 3 4 3
3 2
2 2 2
1 j j
j j j j z
z = +
+ + − + + = − − × + + =
2 2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1
2 2
2 2 2 2
1 1 2 1
) ( ) (
b a
a b a b j b b a a
jb a
jb a jb a
jb a z z
+ − + + =
− − × + + =
106
Pernyataan Bilangan Kompleks Bentuk Polar
107
Fungsi Eksponensial Kompleks
Jikax adalah bilangan nyata maka fungsi ekponensial
x
e y=
merupakan fungsi ekponensial nyata;
ymemiliki nilai nyata
Jikazadalah bilangan kompleksz=σ+jθ
fungsi eksponensial kompleks didefinisikan
riil` al eksponensi fungsi adalah dengan
; ) sin (cos ) (
σ σ θ +
σ = θ+ θ
= e
j e e
ez j
Melalui identitas Eulerejθ=cosθ+jsinθ
fungsi exponensial kompleks dapat kita tuliskan
θ σ
= j
z e e
e
Bentuk Polar
Representasi bilangan kompleks dalam bentuk polar adalah
θ ρ = ej
z
θ = ∠ = z z arg
Re
Im •
θ ρ
θ
ρ = ej
z
CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks z = 10 e j0,5
Modulus bilangan kompleks ini adalah |z| = 10 dan
argumennya∠z= 0,5 rad
Bentuk sudut sikunya adalah:
8 , 4 8 , 8 ) 48 , 0 88 , 0 ( 10
) 5 , 0 sin 5 , 0 (