PENERAPAN METODE EMPIRICAL BAYES
PADA PENDUGAAN AREA KECIL
(Studi Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2003)
ARTA YUNITA
G14103014
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
RINGKASAN
ARTA YUNITA. Penerapan Metode Empirical Bayes pada Pendugaan Area Kecil (Studi Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2003). Di bawah bimbingan INDAHWATI dan ANANG KURNIA.
Pendugaan area kecil (small area estimation) sangat dibutuhkan untuk mendapatkan informasi pada suatu area dengan ukuran contoh kecil. Pendugaan langsung yang dilakukan memiliki nilai keragaman yang besar karena ukuran contohnya kecil. Salah satu solusi yang digunakan adalah melakukan pendugaan tidak langsung dengan cara menambahkan peubah-peubah pendukung berupa informasi dari dalam maupun luar area tersebut untuk menduga parameter. Pendugaan tidak langsung pada area kecil dalam penelitian ini diterapkan untuk kasus pendugaan pengeluaran per kapita di Kota Bogor tahun 2003. Salah satu metode yang dapat digunakan dalam kasus tersebut adalah metode empirical Bayes (EB).
Pendugaan area kecil dengan metode EB menghasilkan nilai RRMSE (Relative Root Mean Squared Error) yang lebih kecil daripada nilai RRMSE dari hasil pendugaan langsung. Hal ini juga berlaku untuk kondisi keragaman antar desa di Kota Bogor yang besar dan ragam sampling error yang heterogen. Hasil tersebut memperlihatkan bahwa pendugaan tidak langsung menggunakan metode EB-jackknife dapat memperbaiki hasil pendugaan langsung.
PENERAPAN METODE EMPIRICAL BAYES
PADA PENDUGAAN AREA KECIL
(Studi Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2003)
Arta Yunita
Skripsi
sebagai salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Departemen Statistika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul : Penerapan Metode Empirical Bayes pada Pendugaan Area Kecil (Studi
Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2003)
Nama : Arta Yunita
NRP : G14103014
Menyetujui:
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Ir. Indahwati, M.Si
Anang Kurnia, M.Si
NIP.131909223
NIP. 132158749
Mengetahui:
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Dr. Drh. Hasim, DEA
NIP. 131578806
PRAKATA
Alhamdulillahirobbil’alamin, segala puji dan syukur Penulis panjatkan kepada Allah SWT, atas segala rahmat, hidayah serta karunia-Nya sehingga Penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam semoga selalu tercurahkan kepada Rasulullah SAW, keluarga, sahabat, dan umatnya hingga akhir zaman.
Karya ilmiah ini berjudul “Penerapan Metode Empirical Bayes pada Pendugaan Area Kecil (Studi Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor Tahun 2003)”. Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji metode empirical Bayes pada pendugaan area kecil dan menerapkan metode tersebut untuk menduga pengeluaran per kapita di Kota Bogor tahun 2003.
Terima kasih Penulis ucapkan kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian karya ilmiah ini, terutama kepada:
• Ibu Ir. Indahwati, M.Si dan Bapak Anang Kurnia, M.Si terima kasih atas segala bimbingan, saran, dan kritik sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan.
• My family: bapak, ibu, adik, serta seluruh keluarga besar yang aku sayangi, terima kasih atas do’a, dukungan, semangat, dan kasih sayang yang selalu diberikan kepada Penulis.
• Seluruh staf pengajar Departemen Statistika FMIPA IPB terima kasih atas pengajaran yang diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dan karya ilmiah ini.
• Seluruh staf pegawai Departemen Statistika FMIPA IPB: Bu Markonah, Bu Sulis, Bu Dedeh, Pak Ian, Pak Sudin, Pak Dur, Pak Herman, Pak Heri, dan Bu Aat yang selalu siap membantu segala keperluan dalam penyelesaian studi dan karya ilmiah ini.
• My closed friend Enta, Proe, Dina, Tiwi, dan Cecep terima kasih atas do’a, kebersamaan, dan dukungannya.
• Sahabatku Chichie, Muti, Lala, Mba Dian, Aril, Edo, Rosit, dan Dwi terima kasih untuk semua bantuannya.
• Rekan-rekan Statistika 40 tercinta yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu. Keep contact!
• Seluruh kakak kelas dan adik-adik Statistika angkatan 41,42, dan 43.
• Teman-teman GAMAPURI, asrama A1 027 (Wnie, Veni, Anjar dan Wywy) serta teman satu kosan di Citra Islamic 2 dan Pondok Adinda.
• Semua pihak yang telah memberikan dukungan kepada penulis yang tidak dapat disebutkan satu per satu.
Penulis menyadari bahwa banyak kekurangan dalam karya ilmiah ini karena kesempurnaan hanyalah milik Allah SWT. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.
Bogor,
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Purworejo, Jawa Tengah pada tanggal 30 Juni 1985 dari pasangan Bapak Suhendro dan Ibu Supriyati. Penulis merupakan putri pertama dari dua bersaudara dengan adik bernama Huda Arta Bahri.
Penulis menyelesaikan sekolah dasar di SD Negeri Butuh I pada tahun 1997. Pendidikan selanjutnya ditempuh di SLTP Negeri I Kutoarjo yang diselesaikan pada tahun 2000. Penulis melanjutkan ke SMU Negeri I Purworejo dan lulus tahun 2003. Pada tahun yang sama berhasil masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih jurusan Statistika.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis ikut serta dalam kegiatan Himpunan Profesi Gamma Sigma Beta (GSB) sebagai staf Departemen Kewirausahaan periode 2003/2004 dan staf Departemen Kesekretariatan periode 2004/2005, anggota Keluarga Mahasiswa Muslim Statistika periode 2004/2005, serta divisi PSDM Keluarga Mahasiswa Purworejo IPB periode 2004/2005. Penulis juga berkesempatan melaksanakan kegiatan praktek lapang di IFF PT.Essence Indonesia pada tanggal 5 Februari 2007 sampai dengan 5 April 2007.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL...viii
DAFTAR LAMPIRAN ...viii
PENDAHULUAN...1
Latar Belakang ...1
Tujuan...1
TINJAUAN PUSTAKA...1
Pengeluaran Per Kapita ...1
Pendugaan Area Kecil ...1
Penduga Sintetik...2
Model Area Kecil ...2
Metode Empirical Bayes...2
Pendekatan Jackknife dalamPendugaan MSE ...3
BAHAN DAN METODE ...3
Bahan...3
Metode...4
HASIL DAN PEMBAHASAN ...4
Eksplorasi Data...4
Pendugaan Langsung...4
Pendugaan Tidak Langsung...5
KESIMPULAN ...7
DAFTAR PUSTAKA ...7
viii
DAFTAR TABEL
Halaman
1. Hasil Pendugaan Beta ...5 2. Pendugaan pengeluaran per kapita (x Rp. 10.000,00) dengan pendugaan langsung dan
pendekatan EB - jackknife beserta nilai RRMSE (%)...5 3. Perbandingan statistik MSE ...6
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1. Scatterplot, boxplot, dan nilai korelasi peubah-peubah pendukung (xi)...9
2. Pendugaan langsung pengeluaran per kapita (x Rp. 10.000,00) beserta nilai Di...10
3. Pendugaan pengeluaran per kapita (x Rp. 10.000,00) untuk desa yang tidak disurvei beserta nilai RRMSE (%) ...11
1
PENDAHULUAN
Latar BelakangDewasa ini permintaan akan statistik area kecil (small area statistics) semakin meningkat dalam berbagai bidang. Pendugaan area kecil sangat dibutuhkan untuk mendapatkan informasi-informasi pada area kecil, misalnya pada lingkup kabupaten/kota, kecamatan, maupun kelurahan/desa. Informasi tersebut menjadi sangat penting seiring dengan berkembangnya era otonomi daerah di Indonesia karena dapat digunakan sebagai acuan menyusun sistem perencanaan, pemantauan, dan kebijakan daerah lainnya tanpa harus mengeluarkan biaya besar untuk mengumpulkan data sendiri. Metode yang terus dikembangkan untuk menduga statistik area kecil adalah pendugaan area kecil (small area estimation).
Pendugaan secara langsung (direct estimation) pada area kecil akan menghasilkan nilai ragam yang besar jika contoh yang diambil berasal dari data survei yang dirancang untuk skala besar/nasional. Hal ini disebabkan oleh ukuran contoh yang terambil pada area tersebut kecil. Salah satu solusi yang digunakan adalah melakukan pendugaan tidak langsung dengan cara menambahkan peubah-peubah pendukung dalam menduga parameter. Peubah pendukung tersebut berupa informasi dari area lain yang serupa, survei terdahulu pada area yang sama, atau peubah lain yang berhubungan dengan peubah yang ingin diduga.
Evaluasi hasil pendugaan tidak langsung dapat diketahui dengan membandingkan nilai RRMSE (Relative Root Mean Squared Error) pendugaan langsung dengan nilai RRMSE pendugaan tidak langsung. Pendugaan tidak langsung untuk area kecil dalam penelitian ini diterapkan untuk kasus pendugaan pengeluaran per kapita di Kota Bogor tahun 2003. Metode yang digunakan untuk menduga pengeluaran per kapita tersebut adalah metode empirical Bayes dengan pendekatan jackknife untuk menghitung MSE.
Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1.Mengkaji metode empirical Bayes pada pendugaan area kecil.
2.Menerapkan metode empirical Bayes untuk menduga pengeluaran per kapita di Kota Bogor tahun 2003.
TINJAUAN PUSTAKA
Pengeluaran Per KapitaPengeluaran per kapita menunjukkan besarnya pengeluaran setiap anggota rumah tangga dalam kurun waktu satu bulan (BPS, 2003). Pengertian rumah tangga yang dimaksud pada definisi di atas yaitu sekelompok orang yang mendiami sebagian atau seluruh bangunan fisik dan biasanya tinggal bersama serta makan dari satu dapur (BPS, 2003). Satu rumah tangga bisa terdiri dari satu, dua, atau lebih kepala keluarga.
Perhitungan pengeluaran per kapita dirumuskan sebagai berikut:
q p y = dimana;
y = pengeluaran per kapita
p = pengeluaran rumah tangga sebulan q = jumlah anggota rumah tangga
Pendugaan Area Kecil
Pendugaan area kecil saat ini sangat umum digunakan dalam survey sampling, dimana banyak metode analisis data telah dikemukakan dalam beberapa literatur. Area kecil (small area) diartikan sebagai bagian dari wilayah populasi (small domain) baik berdasarkan geografi, ekonomi, sosial budaya, ataupun yang lainnya (Rao, 2003). Suatu daerah disebut small area jika dalam daerah tersebut jumlah contoh yang terambil kurang besar untuk mendapatkan nilai pendugaan langsung yang akurat. Nilai pendugaan langsung pada area kecil merupakan penduga tak bias tetapi memiliki ragam yang besar karena diperoleh dari ukuran contoh yang kecil (Ramsini et.al (2001) dalam Kurnia dan Notodiputro (2006b)).
Metode pendugaan yang dapat digunakan untuk mendapatkan pendugaan area kecil yaitu pendugaan langsung dan pendugaan tidak langsung. Pendugaan tidak langsung (indirect
estimation) dilakukan dengan cara
memanfaatkan informasi peubah lain yang berhubungan dengan parameter yang diamati. Contoh informasi yang dapat digunakan adalah catatan sensus ataupun survei pada area tersebut. Ada beberapa metode pada pendugaan tidak langsung untuk area kecil antara lain EBLUP (Empirical Best Linear Unbiased Prediction), EB (Empirical Bayes), dan HB (Hierarchical Bayes).
2
Small area estimation merupakan
pendugaan suatu area yang lebih kecil dengan memanfaatkan informasi dari luar area, informasi dari dalam area itu sendiri, dan dari luar survei (Longford, 2005). Pendugaan secara tidak langsung pada small area estimation mempunyai beberapa keuntungan, yaitu mendapatkan penduga optimal, memperoleh model valid yang berasal dari data contoh, serta dapat menjelaskan berbagai macam model berdasar pada respon alami suatu peubah dan kekomplekan struktur data (Rao, 2003).
Penduga Sintetik
Penduga sintetik merupakan penduga tak bias yang diperoleh dari sebuah survei contoh untuk area yang besar, ketika penduga ini digunakan sebagai penduga untuk sub-area (area yang lebih kecil) dengan mengasumsikan bahwa sub-area tersebut memiliki karakteristik yang sama dengan area besar (Gonzales (1973) dalam Ghosh dan Rao (1994)). Metode ini cocok digunakan untuk semua desain sampling.
Penduga sintetik pada pendugaan area kecil dapat digunakan untuk menduga nilai respon pada sub-area yang tidak disurvei. Penduga sintetik dapat memberikan dugaan dengan memanfaatkan informasi dari area kecil lain yang diasumsikan mirip dengan area kecil yang akan diduga.
Model Area Kecil
Pendugaan area kecil terdiri atas dua jenis model dasar yaitu basic area level model dan basic unit level model (Rao, 2003).
a. Basic area level (type A) model yaitu model yang didasarkan pada ketersediaan data pendukung yang hanya ada untuk level area tertentu, misalkan xi = (x1i,…,xpi)T dan
parameter yang akan diduga θi, diasumsikan mempunyai hubungan dengan xi. Data
pendukung tersebut digunakan untuk membangun model: θi = xiT β + bivi ,
i =1,…,m dengan vi ~ N(0, σ2v), sebagai (ii) θ
pengaruh acak yang diasumsikan normal. Kesimpulan mengenai θi, dapat diketahui
dengan mengasumsikan bahwa model penduga langsung yi telah tersedia yaitu: yi = θi + ei , i =1,…,m dengan sampling
error ei ~N(0, σ2ei) dan σ2ei diketahui.
Pada akhirnya, kedua model digabungkan dan menghasilkan model gabungan:
yi= xiT β + bivi + ei , i =1,…,m dimana bi
diketahui bernilai positif konstan (diasumsikan bernilai 1).
Model tersebut merupakan bentuk khusus dari model linier campuran (general linear mixed model) yang terdiri dari pengaruh tetap (fixed effect) yaitu β dan pengaruh acak (random effect) yaitu vi (Saei dan Chambers,
2003).
b. Basic unit level (type B) model yaitu suatu model dimana data-data pendukung yang tersedia bersesuaian secara individu dengan data respon, misal xij = (xij1,...,xijp)T, sehingga
dapat dibuat suatu model regresi tersarang yij = xijTβ + vi + eij; i=1,…,m dan j=1,...,Ni
dengan vi ~N(0, σ2v) dan ei ~N(0, σ2ei).
Penelitian ini menggunakan model basic area level (type A) karena data pendukungnya hanya ada untuk level area tertentu yaitu pada level desa.
Metode Empirical Bayes
Metode empirical Bayes (EB) merupakan salah satu pendekatan yang dapat digunakan pada pendugaan area kecil. Hal pertama yang ingin didapatkan pada metode Bayes adalah sebaran posterior untuk parameter yang diamati yang dinotasikan f (θi |yi, β, σ2v), dengan asumsi
β dan σ2
v diketahui. Sedangkan pada metode
EB, inferensia yang diperoleh berdasar pada dugaan sebaran posterior dari θi dengan memasukkan nilai dugaan β dan σ2
v yaitu
f(θi|yi, ,βˆ σˆv2).
Model Fay dan Heriot (1979) untuk model basic area level adalah:
yi= xiTβ+ vi + ei
dimana vi ~N(0, σ2v) dan ei ~N(0, σ2ei), vi dan
ei saling bebas. β dan σ2v tidak diketahui
sedangkan σ2
ei diasumsikan diketahui (Kurnia
dan Notodiputro, 2006b). Misal σ2
v dan σ2ei disimbolkan dengan A
dan Di, selanjutnya merupakan penduga
Bayes untuk θ Β
i
θˆ
i, dengan mengikuti model
Bayes:
(i) yi|θi ~N(θi, Di)
i ~ N(xiTβ, A) adalah sebaran prior
untuk θi, i=1,2,...,m.
Model Bayes dijelaskan oleh:
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − = 2 i i i i i 2Di(y ) 1 exp D 2 1 ) | y ( f θ π θ dan ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− − = ( )2 2 1 exp 2 1 ) ( θ β π θ π T i i i x A A dan
∏
= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = m 1 i 2 i i i i i i (y ) D 2 1 exp D 2 1 ) A , | , y ( f θ π β θ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ( − )2 2 1 exp 2 1 θ β π T i i x A A untuk yi = (y1, y2,...,ym)T dan θi = (θ1,θ2,...,θm)T.3
Lihat dua fungsi eksponensial tanpa faktor (-1/2) dari f(yi, θi |β, A), 2 2 1( ) ) ( 1 θ θ Tβ i i i i i x A y D − + − ) ) ( 2 ( 1 ) 2 ( 1 2 θ θ2 θ2 θ β Tβ 2 i T i i i i i i i i x x A y y D − + + − + = * i i T i i i 2 i i a A x D y 2 A 1 D 1 + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = θ β θ * i i T i i i i T i i i i T i i i i 2 i i a A 1 D 1 A x D y A 1 D 1 A x D y A 1 D 1 A x D y 2 A 1 D 1 + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + × ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = β β β θ θ * i 2 i T i i i i i a A 1 D 1 A x D y A 1 D 1 + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = θ β
dengan ai* adalah konstanta dan bebas dari θi.
⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + Ν −1 1 1 , ~ ) , , | ( A D D A x D Ay A y i i T i i i i i β β θ
(
)
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + + Ν i i T i i i T i D A AD β x y D A Α β x , ~ ) A , , y | (θi i βBerdasarkan formula tersebut diperoleh suatu penduga: Β i
θ
ˆ
= E (θi | yi, β, A) = xiTβ + (1 – B B i)(yi - xiTβ), dengan Bi = Di / (A + Di) MSE(θˆiΒ ) = Var (θi | yi, β, A) = ADi / (A + Di )Parameter A pada formula diatas dapat diduga dengan metode momen, minimum variance quadratic unbiased estimation (MIVQUE), maximum likelihood (ML), atau restricted/residual maximum likelihood (REML). Sedangkan parameter β dapat diduga dengan metode momen ataupun weighted least square (WLS).
Jika A dan β diduga, maka akan diperoleh suatu penduga empirical Bayes:
(
)
(
β)
β θˆ ˆ 1 ˆ T ˆ i i i i i = x + −Β y −x Τ ΕΒ , dengan Βˆi =Di/(Αˆ+Di)Berdasarkan metode Bayes, diperoleh: MSE( ΕΒ) = Var (θ i θˆ i |yi, ,βˆ ˆΑ) =
(
)
i i/Aˆ D D Aˆ +Penduga MSE tersebut menjadi bersifat underestimate karena adanya pendugaan pada nilai A dan β. Hal tersebut dapat dikoreksi dengan menggunakan pendekatan jackknife (Jiang, Lahiri, dan Wan, 2002) maupun dengan pendekatan bootstrap (Butar dan Lahiri (2003) dalam Rao (2003)). Penelitian ini menggunakan metode jackknife untuk mengoreksi MSE tersebut.
Pendekatan Jackknife dalam Pendugaan MSE(θˆiΕΒ)
Pendekatan jackknife merupakan salah satu metode yang sering digunakan dalam survei karena konsepnya yang sederhana (Jiang, Lahiri, dan Wan, 2002). Metode ini diperkenalkan oleh Tukey (1958) dan berkembang menjadi suatu metode yang dapat mengoreksi bias suatu penduga. Prosedur yang dilakukan yaitu dengan menghapus observasi ke-i untuk i = 1,2,...,m dan selanjutnya melakukan pendugaan parameter.
Small area estimation menerapkan metode jackknife untuk mengoreksi pendugaan MSE akibat adanya pendugaan β dan A, dengan: MSE( Β) = AD
i
θˆ i / (A + Di ) = g1i(A) dimana A
diduga oleh s2
v (Kurnia dan Notodiputro,
2006a). Tahapan-tahapan untuk menghitung MSEJ(θˆiΕΒ) adalah sebagai berikut:
1.Hitung nilai h1i dengan rumus:
( )
∑
[
(
) (
]
= − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = m 1 u 2 v i 1 2 ) u ( v i 1 2 v i 1 i 1 g s g s m 1 m s g h)
dimana g1i(s2v(-u)) diperoleh dengan
menghapus pengamatan ke-u pada himpunan data g1i(s2v).
2.Hitung nilai h2i dengan rumus:
( ) ( )
[
]
2 1 ) ( 2 ˆ ˆ 1∑
= ΕΒ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = m u EB i u i i m m h θ θdimana ( ) diperoleh dengan menghapus pengamatan ke-u pada himpunan data .
( ) ΕΒ −u i θˆ ΕΒ i θˆ
3.Hitung nilai MSE: MSEJ(θˆiΕΒ) = h1i + h2i
BAHAN DAN METODE
Bahan
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data SUSENAS 2003 dengan informasi data berbasis rumah tangga serta PODES 2003 sebagai sumber data peubah pendukung .
Peubah respon yang menjadi perhatian dalam penelitian ini adalah pengeluaran per kapita anggota rumah tangga pada beberapa desa di Kota Bogor. Peubah pendukung xi yang
diasumsikan mempengaruhi dan menggambarkan pengeluaran per kapita yaitu,
x1 = persentase keluarga prasejahtera dan
sejahtera 1
x2 = persentase keluarga pengguna listrik
PLN
x3 = persentase surat miskin yang
dikeluarkan desa x4 = jumlah penduduk
4
Metode
Tahapan-tahapan pada penelitian ini adalah: 1.Memilih peubah pendukung xi yang
diasumsikan mempengaruhi dan menggambarkan pengeluaran per kapita berdasarkan eksplorasi data serta penelitian-penelitian sebelumnya.
2.Menduga pengeluaran per kapita rumah tangga untuk masing-masing kelurahan/ desa secara langsung (direct estimation).
3.Melakukan pendugaan A dan β dengan metode momen.
4.Menduga pengeluaran per kapita rumah tangga untuk masing-masing kelurahan/ desa dengan metode empirical Bayes ( ΕΒ).
i
θˆ
5.Menghitung MSEJ( ) dengan konsep
jackknife menggunakan proc IML pada SAS 9.1.
ΕΒ
i
θˆ
6.Membandingkan nilai RRMSE pendugaan langsung dan nilai RRMSEJ( ), dengan
perhitungan RRMSE sebagai berikut: ΕΒ i θˆ
( )
ˆ MSEˆ( )
ˆ 100% RRMSE i i i = × θ θ θSoftware yang digunakan adalah Minitab 14, Microsoft Excell dan SAS 9.1.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi DataEksplorasi untuk masing-masing peubah dilakukan dengan menggunakan scatterplot, boxplot, dan nilai korelasi Pearson yang tersaji pada Lampiran 1. Scatterplot data menunjukkan bahwa desa dengan pengeluaran per kapita yang besar diindikasikan oleh persentase keluarga pengguna listrik dan jumlah penduduk yang besar pula. Selain itu, desa dengan pengeluaran per kapita yang besar diindikasikan oleh persentase keluarga prasejahtera dan sejahtera 1 serta persentase surat miskin yang dikeluarkan desa kecil. Nilai korelasi Pearson yang dihasilkan juga sesuai dengan hasil scatterplot.
Boxplot digunakan untuk mengetahui
ukuran pemusatan data. Boxplot untuk peubah x1, x2, dan x4 menunjukkan bahwa tidak ada
data yang jauh dari kumpulan data, sedangkan pada peubah x3 ada satu data yang agak jauh
dari kumpulan data.
Berdasarkan eksplorasi data yang telah dilakukan, terlihat bahwa hasilnya sesuai dengan logika. Peubah tersebut juga digunakan dalam penelitian sebelumnya pada skripsi
(Dewi, 2006). Berdasar alasan-alasan di atas, peubah x1, x2, x3, dan x4 cukup sesuai
digunakan untuk menggambarkan pengeluaran per kapita rumah tangga pada beberapa desa di Kota Bogor.
Pendugaan Langsung
Hasil yang didapatkan dari pendugaan langsung pengeluaran per kapita yaitu besarnya pengeluaran per kapita anggota rumah tangga pada beberapa desa di Kota Bogor dan nilai simpangan bakunya. Jumlah desa/kelurahan yang diamati adalah 34 desa/kelurahan yang ada di Kota Bogor.
Nilai ragam sampling error (Di) yang
menjadi perhatian diduga oleh si2/ni yang
merupakan rasio antara ragam di dalam area dengan banyaknya contoh. Nilai Di dapat
dihitung dari hasil pendugaan langsung. Hasil pendugaan langsung dan nilai ragam sampling error (Di) dapat dilihat pada Lampiran 2.
Pendugaan langsung pengeluaran per kapita rumah tangga pada beberapa kelurahan/desa di Kota Bogor dilakukan berdasarkan data survei dengan objek survei sebanyak 16 rumah tangga untuk masing-masing desa, kecuali untuk desa Sukadamai sebesar 15 rumah tangga. Jumlah tersebut termasuk kecil untuk merepresentasikan seluruh rumah tangga pada masing-masing desa, sehingga memberikan hasil dugaan dengan ragam yang besar.
Penelitian sebelumnya (Dewi, 2006) menggunakan prosedur proc tabulate pada SAS 9.1 untuk menghitung pengeluaran per kapita, menggunakan lima peubah pendukung, dan menggunakan metode REML untuk menduga parameter A dan β. Perbedaan penelitian ini dengan penelitian tersebut adalah perhitungan pengeluaran per kapita menggunakan rumus sebagai berikut: 16 ,..., 2 , 1 j ; q p y j j = =
∑
∑
dimana;y = pengeluaran per kapita suatu desa
∑
p
j= jumlah pengeluaran seluruh rumah tangga contoh selama sebulan∑
q
j= jumlah seluruh anggota rumah tangga contohPenelitian ini hanya menggunakan empat peubah pendukung, menggunakan metode momen untuk menduga parameter A dan β, dan menambahkan pendugaan pengeluaran per kapita untuk desa-desa di Kota Bogor yang tidak disurvei.
5
Pendugaan Tidak Langsung Nilai dugaan beta yang diperoleh tidak
bertentangan dengan hasil eksplorasi. Tanda positif (+) dan negatif (-) pada dugaan koefisien regresi sama dengan tanda pada nilai korelasi Pearson.
Nilai dugaan ragam pengaruh acak (keragaman antar desa) yang diperoleh dengan metode momen yaitu =100.6987, sedangkan nilai dugaan beta ( ) tersaji pada Tabel 1.
Αˆ
βˆ
Tabel 1. Hasil Pendugaan Beta
xi Beta Ragam Beta Duga
x0 -1.6806 2.57072
x1 -0.3473 5.59824
x2 0.3290 2.04967
x3 -0.2830 40.18948
x4 0.0015 0.00004
Pendugaan tidak langsung pada area kecil dalam penelitian ini menggunakan metode empirical Bayes dengan pendekatan jackknife. Software yang digunakan adalah SAS 9.1 dengan prosedur proc IML. Hasil perbandingan pendugaan langsung dan tidak langsung pada pengeluaran per kapita beberapa desa di Kota Bogor tersaji pada Tabel 2.
Tabel 2. Pendugaan pengeluaran per kapita (x Rp. 10.000,00) dengan pendugaan langsung dan pendekatan EB - jackknife beserta nilai RRMSE (%)
Pendugaan Langsung EB - Jackknife
Desa Nama Desa Theta_hat MSE RRMSE Theta_hat MSE RRMSE
1002 PAMOYANAN 19.1191 0.9293 5.0421 19.2372 0.9205 4.9874 1009 MUARASARI 17.9906 2.2942 8.4193 18.0240 2.2269 8.2795 1011 CIPAKU 21.4518 2.2046 6.9215 21.2751 2.1593 6.9070 1013 BATU TULIS 31.3429 4.0476 6.4189 31.0658 3.8291 6.2989 1015 EMPANG 25.2997 8.0337 11.2032 25.6703 7.3307 10.5473 1016 CIKARET 22.1055 1.7929 6.0573 22.3988 1.7607 5.9240 2002 SINDANGRASA 15.9537 2.8804 10.6382 16.0880 2.7696 10.3445 2004 KATULAMPA 83.1377 9.3593 3.6798 80.2945 8.5730 3.6465 2005 BARANANGSIANG 90.7744 15.4758 4.3337 86.9504 14.7351 4.4147 2006 SUKASARI 22.2171 1.3323 5.1953 22.2820 1.3081 5.1328 3001 BANTARJATI 37.4703 39.9670 16.8719 40.2468 29.5742 13.5122 3002 TEGALGUNDIL 15.6954 2.0068 9.0258 16.0259 1.9954 8.8145 3004 CIMAHPAR 19.7865 10.1551 16.1054 20.1946 9.1058 14.9425 3006 CIBULUH 33.3486 6.3171 7.5367 33.7739 5.9061 7.1956 3007 KEDUNGHALANG 32.2212 5.4344 7.2349 31.8530 5.1364 7.1151 3008 CIPARIGI 29.2072 10.5921 11.1430 30.8084 9.8066 10.1646 4002 GUDANG 19.3093 2.4111 8.0415 19.1262 2.3498 8.0146 4004 TEGAL LEGA 70.2715 14.1207 5.3475 65.5288 12.4862 5.3924 4006 SEMPUR 62.9482 47.7744 10.9803 51.5552 30.2529 10.6687 4010 KEBON KELAPA 19.2118 5.1451 11.8067 19.7593 4.8433 11.1378 5002 PASIR KUDA 23.5635 1.0743 4.3987 23.5869 1.0592 4.3633 5003 PASIR JAYA 22.9930 3.8767 8.5632 23.1314 3.7352 8.3552 5004 GUNUNG BATU 22.3138 1.2109 4.9315 22.4463 1.1955 4.8710 5006 MENTENG 25.4122 8.6638 11.5827 25.8190 7.7591 10.7887 5008 CILENDEK BARAT 17.3314 1.2641 6.4873 17.6725 1.2568 6.3435 5009 SINDANGBARANG 25.2394 7.0908 10.5504 25.8323 6.5624 9.9167 5015 CURUGMEKAR 33.1897 8.8772 8.9771 32.8701 8.0614 8.6378 6001 KEDUNGWARINGIN 40.3853 3.8766 4.8753 40.2849 3.6994 4.7744 6003 KEBON PEDES 63.9131 25.8852 7.9604 60.4054 20.5842 7.5109 6004 TANAH SAREAL 25.0582 4.9867 8.9117 24.8285 4.7188 8.7492 6005 KEDUNGBADAK 31.1814 24.5786 15.8995 33.5947 20.5759 13.5023 6007 SUKADAMAI 26.8992 44.1745 24.7085 28.6054 28.5596 18.6822 6009 KAYUMANIS 36.9552 55.4564 20.1512 30.8806 32.1790 18.3697 6011 KENCANA 14.6173 1.2836 7.7509 14.6436 1.2624 7.6728
6
Pengeluaran per kapita rumah tangga untuk masing-masing desa dengan pendugaan tidak langsung tidak berbeda jauh nilainya dengan hasil pendugaan langsung. Ada beberapa desa yang mempunyai nilai dugaan pengeluaran per kapita sangat besar dibanding desa yang lain yaitu Katulampa, Baranangsiang, Tegal Lega, Sempur, dan Kebon Pedes. Desa-desa tersebut merupakan desa dengan sumber utama penghasilan penduduknya adalah industri, perdagangan, dan jasa. Sebagian besar penduduknya juga sudah berlangganan telepon, menggunakan bahan bakar gas untuk memasak, dan sumber air untuk minum/memasak bersumber dari PAM/air kemasan dan sumur. Beberapa desa letaknya dekat dengan pusat kota, mempunyai perguruan tinggi/akademi, dan fasilitas pendidikannya cukup memadai. Berdasarkan pada karakteristik-karakteristik tersebut, desa-desa dengan nilai dugaan pengeluaran per kapita yang besar dapat digolongkan sebagai desa yang cukup maju dibandingkan desa-desa yang lain.
Nilai MSE ( ) yang diperoleh dengan pendekatan jackknife sangat beragam dengan jangkauan nilai yang cukup besar. Perbandingan nilai MSE pendugaan langsung dan MSE EB-jackknife terdapat pada Tabel 2. Boxplot perbandingan nilai MSE dari hasil pendugaan langsung (MSE_n) dan MSE EB-jackknife (MSE_j) tersaji pada Gambar 1.
ΕΒ i θˆ Da ta MSE_j MSE_n 60 50 40 30 20 10 0 Boxplot
Gambar 1. Boxplot nilai MSEJ(θˆiΕΒ)
Semua nilai MSE untuk metode empirical Bayes lebih kecil daripada nilai MSE pada pendugaan langsung. Bahkan terdapat beberapa desa dengan nilai MSE EB-jackknife jauh lebih kecil dari nilai MSE pendugaan langsung. Beberapa desa masih memiliki nilai MSEJ( ) yang cukup besar, di atas 20, yaitu
desa Bantarjati, Sempur, Kebon Pedes, Kedungbadak, Sukadamai, dan Kayumanis. Hal ini terjadi karena nilai ragam sampling error (D
ΕΒ
i
θˆ
i) pada desa-desa tersebut juga besar.
Perbandingan beberapa statistik untuk MSE dari hasil pendugaan langsung dan MSE EB-jackknife terdapat pada Tabel 3.
Tabel 3. Perbandingan statistik MSE
Statistik MSE Pendugaan Langsung EB - jackknife Nilai minimum 0.9293 0.9205 Nilai maksimum 55.4564 32.1790 Rataan 11.3110 8.7729 Q1 2.1552 2.1183 Median 5.2898 4.9899 Q3 11.4743 10.4765 Jangkauan 54.5271 31.2585
Evaluasi hasil pendugaan langsung dan tidak langsung dapat diketahui dengan membandingkan nilai RRMSE keduanya. Nilai RRMSE untuk metode EB-jackknife secara umum lebih kecil daripada nilai RRMSE pada pendugaan langsung, kecuali untuk desa/kelurahan Baranangsiang dan Tegal Lega. Hal ini menunjukkan bahwa pendugaan tidak langsung menggunakan metode EB-jackknife dapat memperbaiki hasil pendugaan langsung. Hasil tersebut juga memperlihatkan bahwa small area estimation baik digunakan untuk pendugaan parameter pada level desa/kelurahan yang memiliki ukuran contoh kecil (15 dan 16 rumah tangga) dengan nilai keragaman antar desa yang besar.
Ada beberapa desa di Kota Bogor yang tidak disurvei pada SUSENAS 2003. Konsep penduga sintetik dapat digunakan untuk menduga pengeluaran per kapita desa-desa yang tidak disurvei tersebut, dengan asumsi perilaku antar desa di Kota Bogor sama (nilai
sama). Nilai harapan dari model small area adalah x
βˆ
iTβ, sehingga pengeluaran per kapita
dihitung dengan rumus:
β
ˆ
x
yˆ
Ti i
=
Sedangkan rumus pendugaan MSE adalah:
( )
( )
(
pi 4 0 p 2 pi T i i Var x ˆ x Var ˆ yˆ MSE β∑
β = = =)
Hasil pendugaan pengeluaran per kapita untuk desa-desa yang tidak disurvei terdapat pada Lampiran 3.
Kajian lebih lanjut diperlukan untuk penyelesaian pendugaan area kecil dengan berbagai metode terutama dalam penerapannya pada data BPS. Pemilihan peubah pendukung pada pendugaan tidak langsung sangat penting untuk mendapatkan model yang sesuai. Peubah pendukung yang dipilih sebaiknya benar-benar berkaitan dengan peubah respon, sesuai dengan logika yang telah ada dan dapat menggambarkan peubah respon dengan baik.
7
KESIMPULAN
Jiang, J., Lahiri, P., dan Wan. S. M. 2002. AUnified Jackknife Theory, Annals of Statistics, 30.
Pendugaan tidak langsung pada area kecil menggunakan metode empirical Bayes dengan pendekatan jackknife memiliki presisi yang baik dalam menduga pengeluaran per kapita rumah tangga di Kota Bogor. Pendugaan tidak langsung tersebut mampu memperbaiki nilai RRMSE pendugaan langsung meskipun kondisi datanya memiliki ragam sampling error yang heterogen dan keragaman antar desa yang besar. Namun demikian, masih ada nilai RRMSE pendugaan tidak langsung yang lebih besar dari nilai RRMSE pendugaan langsung.
Kurnia, A. dan Notodiputro, K.A. 2006a. Penggunaan Metode Jackknife dalam Pendugaan Area Kecil. Makalah disampaikan pada Seminar Nasional Matematika. UNPAD Bandung, 22 April 2006.
Kurnia, A. dan Notodiputro, K.A. 2006b. EB-EBLUP MSE Estimator on Small Area Estimation with Application to BPS Data. Paper presented in International Conference on Mathematical Sciences 1. Bandung 19-21 June 2006.
DAFTAR PUSTAKA
Longford, N. T. 2005. Missing Data and Small Area Estimation : Modern Analytical Equipment for the Survey Statistician. New York : Springer Science + Business Media, Inc.
Badan Pusat Statistik. 2003.http://www.bps. go.id/publikasi/2003[ Agustus 15, 2007] Dewi, L. 2006. Penerapan Metode Empirical
Bayes pada Model Small Area Estimation dalam Pendugaan Pengeluaran Per Kapita di Kota Bogor [skripsi]. Bogor: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.
Rao, J. N. K. 2003. Small Area Estimation. New Jersey: John Willey & Sons, Inc. Saei, A. dan Chambers. 2003. Small Area
Estimation : A Review of Methods Based on the application of Mixed Models. S3RI
Methodologi Working Paper M03/16. University of Southampton, UK.
Ghosh, M. dan Rao, J.N.K.1994. Small Area Estimation : An Appraisal. Statistical Science, 9, No. 1, p:55-93.
9
Lampiran 1. Scatterplot, boxplot, dan nilai korelasi peubah-peubah pendukung (xi)
pe ng e lu a ra n p e r k a p it a 60 45 30 15 0 20 40 60 80 100 1000000 800000 600000 400000 200000 20 15 10 5 0 1000000 800000 600000 400000 200000 25000 20000 15000 10000 5000 x1 x2 x3 x4 Scatterplot 60 45 30 15 0 100 80 60 40 20 20 15 10 5 0 25000 20000 15000 10000 5000 x1 x2 x3 x4 Boxplot
Korelasi xi dengan pengeluaran per kapita:
rx1 = -0.264
rx2 = 0.282
rx3 = -0.104
10
Lampiran 2. Pendugaan langsung pengeluaran per kapita (x Rp. 10.000,00) beserta nilai Di
Desa Nama Desa N
Pengeluaran
per kapita StDev Di
1002 PAMOYANAN 16 19.1191 3.8561 0.9293 1009 MUARASARI 16 17.9906 6.0587 2.2942 1011 CIPAKU 16 21.4518 5.9392 2.2046 1013 BATU TULIS 16 31.3429 8.0474 4.0476 1015 EMPANG 16 25.2997 11.3375 8.0337 1016 CIKARET 16 22.1055 5.3560 1.7929 2002 SINDANGRASA 16 15.9537 6.7887 2.8804 2004 KATULAMPA 16 83.1377 12.2372 9.3593 2005 BARANANGSIANG 16 90.7744 15.7357 15.4758 2006 SUKASARI 16 22.2171 4.6170 1.3323 3001 BANTARJATI 16 37.4703 25.2878 39.9670 3002 TEGALGUNDIL 16 15.6954 5.6665 2.0068 3004 CIMAHPAR 16 19.7865 12.7468 10.1551 3006 CIBULUH 16 33.3486 10.0535 6.3171 3007 KEDUNGHALANG 16 32.2212 9.3247 5.4344 3008 CIPARIGI 16 29.2072 13.0182 10.5921 4002 GUDANG 16 19.3093 6.2110 2.4111 4004 TEGAL LEGA 16 70.2715 15.0310 14.1207 4006 SEMPUR 16 62.9482 27.6476 47.7744 4010 KEBON KELAPA 16 19.2118 9.0731 5.1451 5002 PASIR KUDA 16 23.5635 4.1460 1.0743 5003 PASIR JAYA 16 22.9930 7.8757 3.8767 5004 GUNUNG BATU 16 22.3138 4.4016 1.2109 5006 MENTENG 16 25.4122 11.7737 8.6638 5008 CILENDEK BARAT 16 17.3314 4.4973 1.2641 5009 SINDANGBARANG 16 25.2394 10.6514 7.0908 5015 CURUGMEKAR 16 33.1897 11.9179 8.8772 6001 KEDUNGWARINGIN 16 40.3853 7.8757 3.8766 6003 KEBON PEDES 16 63.9131 20.3510 25.8852 6004 TANAH SAREAL 16 25.0582 8.9324 4.9867 6005 KEDUNGBADAK 16 31.1814 19.8307 24.5786 6007 SUKADAMAI 15 26.8992 25.7414 44.1745 6009 KAYUMANIS 16 36.9552 29.7876 55.4564 6011 KENCANA 16 14.6173 4.5319 1.2836
11
Lampiran 3. Pendugaan pengeluaran per kapita (x Rp. 10.000,00) untuk desa yang tidak disurvei beserta nilai RRMSE (%)
Nama Desa
Pengeluaran
per Kapita MSE RRMSE
MULYAHARJA 31.9639 2.7144 5.1544 RANGGAMEKAR 33.4561 3.0821 5.2475 GENTENG 22.1764 3.4638 8.3924 BOJONGKERTA 29.0968 2.7861 5.7366 HARJASARI 33.4401 2.5359 4.7621 PAKUAN 19.3847 4.2761 10.6680 LAWANG GINTUNG 27.6699 1.0697 3.7378 BONDONGAN 33.6287 3.3373 5.4323 SINDANG SARI 29.4229 3.2154 6.0944 TAJUR 28.0761 2.5875 5.7293 TANAH BARU 45.8028 3.2873 3.9585 CILUAR 18.3914 1.9703 7.6322 PALEDANG 34.1114 2.3757 4.5185 BABAKAN PASAR 23.0592 2.9059 7.3925 BABAKAN 26.5659 1.6324 4.8093 PABATON 23.3994 1.8963 5.8850 CIBOGOR 25.6134 1.7711 5.1958 PANARAGAN 14.6340 2.6196 11.0599 CIWARINGIN 36.4841 2.1587 4.0271 PASIR MULYA 22.3987 2.1103 6.4856 LOJI 29.8252 3.2767 6.0692 CILENDEK TIMUR 26.6234 3.5175 7.0446 MARGAJAYA 30.3393 2.4968 5.2081 BALUMBANG JAYA 26.0864 2.9556 6.5904 BUBULAK 22.2129 1.5797 5.6582 SEMPLAK 17.5101 4.5532 12.1860 CURUG 29.7435 2.8444 5.6702 KEDUNGJAYA 30.4747 2.8173 5.5078 SUKARESMI 30.8295 3.1219 5.7312 CIBADAK 37.3416 3.2635 4.8378 MEKARWANGI 22.5034 0.9840 4.4081
